Chuyên đề 18 hàm số mũ hàm số logarit đáp án

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT Chuyên đề 18 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng Tìm tập xác định hàm số mũ - logarit Hàm số mũ Dạng: x a  với  ya a  ya u Tập xác định: D   Hàm số logarit Dạng: y  log a x a  với  y  log a u a   y  ln x ; a  10   y  log x  lg x Đặc biệt: a  e  Điều kiện xác định: u  Câu   (Mã 105 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y  log x  x  m  có tập xác định  A m  B m  C m  Lời giải D m  Chọn D Để hàm số có tâp xác định  x  x  m   0, x        1   m  1   m  Câu  tập xác định  A  m  C m  Chọn C Hàm B m  1 m  D m  Lời giải tâp xác định  a   0(ld ) x  x  m   0, x        1  m    m  Câu  (Mã 104 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y  ln x  x  m  có số có Hàm số y  ln  x  mx  1 xác định với giá trị x  m  2 A  m  B m  C 2  m  D m  Lời giải Chọn C Yêu cầu toán  x  mx   , x    m    2  m  Câu (THPT Cẩm Giàng 2019) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số xác định khoảng  0;   y m log x  log x  m  Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A m   ; 4   1;   C m   4;1 B m  1;   D m  1;   Lời giải Cách Điều kiện: x  Hàm số xác định khi:   m log 32 x  log x  m    m log3 x   4log3 x   m  Để hàm số xác định  0;   phương trình m  Xét hàm số y  log x  , x   0;   log 32 x  log x  vô nghiệm x   0;   log 32 x  log x  log 32 x   1 4t  t 4t  6t     y 0   Đặt log x  t ta có y  , y  2  t 1 t  1 t   Ta có BBT:  t   y 0  y 0 4 Để hàm số xác định  0;   m   ; 4   1;   Cách 2: Đề hàm số xác định khoảng  0;   thi phương trình m.log 32 x  log x  m   vơ nghiệm TH1: m  PT trở thành 4 log x    log x  3  x  34 Vậy m  không thỏa mãn TH2: m  để PT vơ nghiệm    4   4m  m  3   m  4  4m  12m  16    m  Để hàm số xác định  0;   m   ; 4   1;   Câu Tìm tất giá trị m để hàm số y  ln   x  mx  2m  1 xác định với x  1;  A m   3 C m  D m   Lời giải Hàm số xác định với x  1;   x  mx  m   0, x  1;  B m   f  x   x  mx  m   0, x  1;   f  x   có nghiệm thỏa mãn x1    x2 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  f 1  3m    m 4m    f    Câu (Chun Lê Q Đơn Điện Biên -2019) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y  log( x  x  m  1) có tập xác định  A m  4 C m  4 D m  3 Lời giải Hàm số y  log( x  x  m  1) có tập xác định  x  x  m   x   Câu B m  (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Có giá trị nguyên tham số m  2018; 2018 để hàm số y  ln  x  x  m  1 có tập xác định  ? A 2019 Lời giải B 2017 C 2018 D 1009 Hàm số y  ln  x  x  m  1 có tập xác định  khi: x  x  m   x     '    m    m  Kết hợp với điều kiện m nguyên thuộc  2018; 2018 ta có 2018 giá trị m Câu (THPT Nghĩa Hưng Nđ- 2019) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y  log  x  2mx   có tập xác định  A 2  m  B m  m  C   m  2 Lời giải D 2  m  y  log  x  2mx   Điều kiện xác định hàm số trên: x2  2mx   1  0, m a  Để tập xác định hàm số     2  m     m   Vậy đáp án đáp án Câu D 1  Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y  log  mx  m   xác định  ;   2  A B C Vô số D Lời giải Chọn A Điều kiện xác định mx  m    mx  m  (1) Trường hợp m  1   1  (luôn với x   ;   )   Trường hợp m  1  x  m2 m 1  Để hàm số y  log  mx  m   xác định  ;     Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 m2    m  m Vì m   nên m  1;2;3 Trường hợp m  1  x  m2 m m2  Suy tập xác định hàm số y  log  mx  m   D   ;  m   1  Do  ;    D suy khơng có giá trị m  thỏa yêu cầu toán 2  Từ trường hợp ta m  0;1; 2;3 Câu 10   x2 (Gia Bình 2019) Tìm tất giá trị m để hàm số y  log 2018  2018 x  x   m  xác   định với giá trị x thuộc 0;   A m  B m  C  m  Lời giải D m  Chọn B Hàm số cho xác định x  0;    2018 x  x  x2  m  0, x  0;   x2  m, x  0;   YCBT  m  f  x   2018 x  x  x0;   x2 , x   0;    f   x   2018 x ln  2018    x Đặt f  x   2018 x  x   f   x   2018x  ln 2018    0, x  0;   Khi f   x  đồng biến x 0;   f     ln  2018    Suy f  x  đồng biến x 0;   f    Vậy m  thỏa YCBT   Câu 11 Hàm số y  log x  x  m có tập xác định  A m  B m  C m  D m  Lời giải Chọn D Điều kiện xác định: x  x  m  Hàm số cho có tập xác định   x  x  m  0, x    m  4 x  x , x   (*) Đặt t  x ,  t   Khi (*) trở thành m  t  t , t   m  max f (t ) với f (t )  t  t , t   0;  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có: f '  t   2t  , f '  t    t  2 Bảng biến thiên hàm số f (t )  t  t , t  : t 0 + f 't  - f t    1 đạt t  Vậy m  max f  t   m   0;   Từ BBT ta thấy max f (t )   0;  Câu 12 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số 3x  xác định với x   y log 2018  x  x  m  4m   A  ;1   3;   C  ;1 B (1;3) \ 2 D 1;3 \ 2 Lời giải Xét hàm số y  3x  log 2018  x  x  m  4m    x  x  m  4m    x  x  m2  4m    ĐKXĐ:   2 2 log 2018  x  x  m  4m  5   x  x  m  4m    x  x  m  4m   Nên điều kiện để hàm số xác định với x    với x    x  x  m  4m   Điều xảy : 1    m  4m    m   m  4m       m  4m       m  4m   m  2    m  4m    Vậy m   ;1   3;     x2 Câu 13 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  log 2018  2017 x  x   m  1 xác   định với x thuộc  0;    ? A B C 2018 Lời giải D Vô số Chọn D Điều kiện 2017 x  x  x2 x2  m   0, x   0;    2017 x  x   m  1, x   0;   2 Xét hàm số f  x   2017 x  x  x2 , x   0;   liên tục có f   x   2017 x ln 2017   x, x   0;   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 f   x   2017 x ln 2017   0, x   0;   Vậy hàm số f   x  đồng biến  0;   suy f   x   f     ln 2017   0, x   0;   Vậy hàm số y  f  x  đồng biến  0;   suy f  x   f    0;  Mặt khác m   f  x   f     m  0;  Vậy có vơ số giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 14 (Sở Vĩnh Phúc 2019) Có tất giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y  log x  m xác định khoảng  2;3 ? 2m   x A B C D Lời giải  2m   x   x  2m  Hàm số xác định     D   m; 2m  1 x  m  x  m Hàm số cho xác định khoảng  2;3 nên  2;3  D   m; 2m  1  m    2m  m   1 m  2m   Vì m nguyên dương nên m  1; 2 Câu 15 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  log 2020  mx  m   xác định 1;    A m  B m  C m  1 Lời giải D m  1 Chọn B Cách 1: Điều kiện: mx  m    mx  m  1  Trường hợp 1: m   1 trở thành  1 (luôn thỏa mãn)  Trường hợp 2: m   1  x  m2 m2   Tập xác định hàm số D   ;  m m   m2   m   m  2  (luôn thỏa mãn) m m2 m2   Trường hợp 3: m   1  x   Tập xác định hàm số D    ;  Do m m   Khi đó, yêu cầu tốn trở thành khơng tồn m thỏa mãn yêu cầu toán Vậy tất giá trị cần tìm m  Cách 2: Điều kiện: mx  m   , x  1;     m  x  1  2 , x  1;    1  Với x  , ta 0m  2 , với m 2  Với x  , ta 1  m  , x  1;      x 1 2 Xét hàm số g  x   với x  , ta có: g   x    , x  x 1  x  1 Bảng biến thiên: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Từ bảng biến thiên, ta    m  Vậy, tất giá trị cần tìm m m  Câu 16 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai  Tập 2019) xác định hàm số  y  log 2020 log 2019  log 2018  log 2017 x   D   a ;   Giá trị a 2019 A 2018 2020 B 2019 2018 C 2017 Lời giải D Điều kiện xác định hàm số cho là: x  x  x  log log   2017 x   2017 x    log 2017 x  log  log x  2017   2018 log 2018  log 2017 x   log 2018  log 2017 x    log  log  log  x  log log x      2019 2018 2017 2018 2017   x  x  x    log 2017 x     x  2017 2018 2018 log x  2018 x  2017  2017  log  2017 x  2018 Dạng Tính đạo hàm mũ – logarit Đạo hàm hàm số mũ x x y  a   y  a ln a y  a u   y  au ln a u Đặc biệt: (e x )  e x (eu )  eu u với e  2,71828 Đạo hàm hàm số logarit x ln a u y  log a u   y  u ln a y  log a x   y  x u (ln u )   u (ln x )   Đặc biệt: Câu ln x , mệnh đề đúng? x 1 B y  xy  C y  xy   D y  xy  x x x Lời giải (Đề Tham Khảo 2017) Cho hàm số y  A y  xy   x2 Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x  ln x  ln x x  Cách 2 x x x2 1  ln x  x   x  1  ln x   x x  x 1  ln x   y  x4 x4  x  x 1  ln x   1  ln x   2ln x    x x x3  ln x  ln x  ln x   ln x Suy ra: y  xy  x   x x x x Cách Ta có xy  ln x , lấy đạo hàm hai vế, ta y  xy  x  ln x  x  x.ln x  y  Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế biểu thức trên, ta y   y  xy    Câu (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số C S  2016 2017 1 , hay y  xy   x x  x  f  x   ln 2018  ln    x 1  Tính S  f ' 1  f '    f '  3    f '  2017  A S  4035 2018 B S  2017 2018 D S  2017 Lời giải Chọn B 1  x  Ta có f  x   ln 2018  ln      f  x  x  x  1 x x   x 1  1 1 1 2017   1  Do S       2 2017 2018 2018 2018 Câu (Sở Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x   ln 2018 x x 1 S  f  1  f      f   2018  A ln 2018 B C 2018 D 2018 2019 Lời giải x  2018  2018 x   2018 x  Ta có: f   x    ln      2018 x  x 1  x  x  1   x   2018 x  x  1 x 1 Vậy S  f  1  f      f   2018  1 1 1 1           1.2 2.3 2018.2019 2 2018 2019 2018  1  2019 2019  Câu Cho hàm y  x cos  ln x   s in  ln x   Khẳng định sau đúng? A x y   xy  y   B x y  xy  xy  C x y  xy  y   D x2 y  xy  y  Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Tính tổng TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Chọn D Ta có y  x cos  ln x   s in  ln x   y   cos  ln x   s in  ln x   s in  ln x   cos  ln x   cos  ln x  y   sin  ln x  x Từ kiểm tra thấy đáp án D : x y  xy  y  y  2 x sin  ln x   x cos  ln x   x cos  ln x   sin  ln x    Câu (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Tính đạo hàm hàm số y  log 2019 x , x  A y   x ln 2019 x B y   C y   x ln 2019 D y   x ln 2019 Lời giải log 2019 x , x   y  log 2019 x      log 2019 x  , x     , x    x ln 2019   y  y   1  x ln 2019  , x     x  ln 2019 Câu (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số f  x   e x  x Biết phương trình f   x   có hai nghiệm x1 , x2 Tính x1.x2 A x1.x2   C x1.x2  B x1.x2  D x1 x2  Lời giải Chọn A Ta có: f   x   1  x  e x  x 2 f   x   2e x  x  1  x 1  x  e x  x   1  x  x  e x  x 2 f   x     1  x  x  e x  x   1  x  x  x1 x2  Câu (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số c  a  x  f  x   ln    x2 Tổng f ' 1  f '    f '     f '  2021 A 4035 2021 B 2021 2022 C 2021 D 2022 2023 Lời giải Chọn D 1  x  ' Ta có f  x   ln      f  x  x  x  2 x x   x2 Vậy Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 1 1 f ' 1  f '  3  f '     f '  2021        3 2021 2023 2022  1  2023 2023 Câu f  x  (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Phương trình 1  f  x   ln  x  x  x   có nghiệm? 2  A nghiệm B nghiệm C nghiệm Lời giải Chọn B Điều kiện: x  x3  x  với D nghiệm 0 x  x  12 x  x Ta có: f   x    f   x    x  12 x  x    x  x  4x  4x   x  2 Đối chiếu điều kiện ta x  Vậy phương trình f   x   có nghiệm Câu Cho hàm f  x   ln số x 1 x4 Tính giá trị biểu thức P  f     f   3  f      f   2019  A B 2024 2023 2022 2023 Lời giải C D 2020 2023 Chọn C Với x [0 ; +) ta có x   x   nên f  x   ln Từ f   x   x 1  ln  x  1  ln  x   x4 1  x 1 x  Do P  f     f   3  f      f   2019   2022  1 1 1 1    1                  1 2023 2023      10   2020 2023  Câu 10 (THPT Minh Khai - 2019) Cho hàm số y  f  x    2m  1 e x  Giá trị m để f '   ln   A m  B m  C m  D m   Lời giải Chọn C f '  x    2m  1 e x Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 … Tương tự tiền gốc lãi anh A nhận tháng thứ n là: an 1 M n  1  r  1  r   1 a 1 r + Sau tháng thứ n anh A gửi vào ngân hàng triệu đồng với lãi suất kép 0,6% tháng Tn  Ma n  Ma n 1   Ma  Ma  a n 1  a n    1  Ma nhận số tiền nhiều 100 triệu, ta có:  n  0, 6%   1 1  0, 6%   100  n  30,3   0, 6%  Vậy sau 31 tháng anh A có số tiền nhiều 100 triệu Câu (Sở Hà Tĩnh - 2020) Một người vay tiền ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0, 7% / tháng với tổng số tiền vay tỉ đồng Mỗi tháng người trả cho ngân hàng số tiền để trừ vào tiền gốc lãi Biết 25 tháng người trả hết gốc lãi cho ngân hàng Hỏi số tiền người trả cho ngân hàng tháng gần với số sau đây? A 43.730.000 đồng B 43.720.000 đồng C 43.750.000 đồng D 43.740.000 đồng Lời giải Chọn D Gọi M số tiền vay ban đầu Gọi A số tiền mà hàng tháng người trả cho ngân hàng Sau tháng dư nợ lại là: M 1, 007  A Sau tháng dư nợ lại là:  M 1,007  A 1, 007  A  M 1, 007  A.1,007  A Sau tháng dư nợ lại là:  M 1, 007 2  A.1, 007  A 1, 007  A  M 1, 0073  A 1, 007   1, 007  1    Sau tháng thứ n dư nợ lại là: M 1, 007 n  A 1, 007   Vì 25 tháng trả hết nợ nên: n 1  1, 007 n 2   1, 007  1  24 1.1, 007 25  A 1, 007   1, 00723   1, 007  1    1, 007 25  24  1, 007 25  A 1,007   1, 007 23   1, 007  1  1, 007 25  A   0, 007  A Câu 1, 00725.0, 007  0, 04374151341 tỉ đồng  43.741.513 đồng  43.740.000 đồng 1, 007 25  (Sở Bình Phước - 2020) Một sinh viên trường làm ngày 1/1/2020 với mức lương khởi điểm a đồng tháng sau năm lại tăng thêm 10% chi tiêu hàng tháng 40% lương Anh ta dự định mua hộ chung cư giá rẻ có giá trị thời điểm 1/1/2020 tỷ đồng sau năm giá trị hộ tăng thêm 5% Với a sau 10 năm mua hộ đó, biết mức lương mức tăng giá trị nhà không đổi ( kết quy trịn đến hàng nghìn đồng) A 11.487.000 đồng B 14.517.000 đồng C 55.033.000 đồng D 21.776.000 đồng Lời giải Chọn B n Áp dụng công thức P  Po 1  r  5 Ta giá trị nhà sau 10 năm là: P  109 1  0, 05   109 1, 05  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 47 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Sau chi tiêu hàng tháng số tiền Người sinh viên lại tháng 60% lương Trong hai năm 2020 - 2021, Người sinh viên có số tiền là: 24  0, 6a Trong hai năm 2022 - 2023, anh sinh viên có số tiền là: 24  0, 6a 1  0,1 Trong hai năm 2024 - 2025, anh sinh viên có số tiền là: 24  0, 6a 1  0,1 Trong hai năm 2026 - 2027, anh sinh viên có số tiền là: 24  0, 6a 1  0,1 Trong hai năm 2028 - 2029, anh sinh viên có số tiền là: 24  0, 6a 1  0,1 Tổng số tiền anh sinh viên có sau 10 năm là: 24  0, 6a  24  0, 6a 1  0,1  24  0, 6a 1  0,1  24  0, 6a 1  0,1  24  0, 6a 1  0,1 4  24  0, 6a 1  1  0,1  1  0,1  1  0,1  1  0,1     1  0,1 0, 61051  24  0, 6a   24  0, 6a  87, 91344  a  1  0,1 0,1 Số tiền giá trị nhà sau 10 năm: 109 1, 05   87, 91344  a  a  14.517.000 Câu (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 0, 7% / tháng theo thỏa thuận tháng người trả cho ngân hàng triệu đồng trả hàng tháng hết nợ (tháng cuối trả triệu) Hỏi sau tháng người trả hết nợ ngân hàng? A 21 B 22 C 23 D 24 Lời giải Chọn B Gọi số tháng n ( n   * ) Đặt a  , q  1, 007 Đến lần nộp tiền thứ n : Khoản tiền a trở thành a q n1 Khoản tiền a thứ hai trở thành a q n2 … Giả sử khoản tiền cuối a tổng số tiền trả vốn lẫn lãi a qn  1, 007 n   q 1 0, 007 Số tiền 100 triệu đồng với lãi suất 0, 7% / tháng, sau n tháng, trở thành 100 1, 007 n Ta có phương trình 1, 007 n   100.1, 007 n  n  21, 0, 007 Theo đề bài, tháng cuối trả triệu đồng nên số tháng phải làm tròn 22 tháng Câu (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) COVID19 loại bệnh viêm đường hô hấp cấp chủng virus corona (nCoV) bắt nguồn từ Trung Quốc (đầu tháng 12/2019) gây với tốc độ truyền bệnh nhanh (tính đến 7/4/2020 có 360 039 người nhiễm bệnh) Giả sử ban đầu có người bị nhiễm bệnh sau ngày lây sang người khác Tất người nhiễm bệnh lại tiếp tục lây sang người khác với tốc độ (1 người lây người) Hỏi sau ngày có tổng cộng người nhiễm bệnh? (Biết người nhiễm bệnh khơng phát thân bị bệnh khơng phịng tránh cách li, thời gian ủ bệnh lây bệnh sang người khác) A 77760 người B 16384 người C 62500 người D 78125 người Lời giải Chọn D Sau ngày, tổng số người nhiễm bệnh   người Sau ngày, tổng số người nhiễm bệnh 1    1    1   người Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 Sau ngày, tổng số người nhiễm bệnh 1    1    1   người  Sau ngày, tổng số người nhiễm bệnh 1  7  78125 người Ngồi áp dụng cơng thức lãi kép để tính nhanh: n S n  A 1  r   1    78125 , với A  , r  , n  Câu (Liên trường Nghệ An - 2020) Ơng A có số tiền 100000000 đồng gửi tiết kiệm theo thể thức lãi kép, có hai loại kì hạn: loại kì hạn 12 tháng với lãi suất 12% /năm loại kì hạn tháng với lãi suất 1% /tháng Ông A muốn gửi 10 năm Theo anh chị, kết luận sau (làm trịn đến hàng nghìn)? A Gửi theo kì hạn tháng có kết nhiều kì hạn năm 16186000 đồng sau 10 năm B Cả hai loại kì hạn có số tiền sau 10 năm C Gửi theo kì hạn tháng có kết nhiều kì hạn năm 19454000 đồng sau 10 năm D Gửi theo kì hạn tháng có kết nhiều kì hạn năm 15584000 đồng sau 10 năm Lời giải Chọn C Tổng số tiền ông A nhận sau 10 năm gửi theo kì hạn 12 tháng là: n1 T1  T0 1  r1   108.1,1210  310585000 (đồng) Tổng số tiền ông A nhận sau 10 năm gửi theo kì hạn tháng n2 T2  T0 1  r2   108.1,01120  330039000 (đồng) Như vậy, sau 10 năm, gửi theo kì hạn tháng có kết nhiều kì hạn năm là: T  T2  T1  330039000  310585000  19454000 (đồng) Câu (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Một người vay vốn ngân hàng với số tiền 50 triệu đồng, thời hạn 50 tháng với lãi suất 1,15% tháng, tính theo dư nợ trả ngày quy định Hỏi hàng tháng người phải trả đặn vào ngân hàng khoản tiền để đến cuối tháng thứ 50 người trả hết gốc lẫn lãi cho ngân hàng (làm tròn đến trăm đồng) ? A 1.018.500 đồng B 1.320.800 đồng C 1.320.500 đồng D 1.771.300 đồng Lời giải Chọn C Gọi N số tiền vay ban đầu, r lãi suất theo tháng, A số tiền phải trả hàng tháng, ta có: + Số dư nợ sau tháng là: N  Nr  A  N 1  r   A + Số dư nợ sau tháng là: N 1  r   A   N 1  r   A r  A  N 1  r   + Số dư nợ sau tháng là: N 1  r   A 1  r   1  r A  r   1   r … n + Số dư nợ sau n tháng là: N 1  r   A n 1  r   1  r n Giả sử sau n tháng dư nợ 0, ta có N 1  r  n N 1  r  r A n  1  r   1   A  n   r 1  r   Áp dụng với N  50.000.000 đồng, r  1,15% n  50 tháng ta có: A  1.320.500 đồng Câu 10 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Để đủ tiền mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triệu theo phương thức trả góp với lãi suất 0,85% /tháng Nếu sau tháng, kể từ thời điểm vay, anh An trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định 10 triệu đồng bao gồm tiền lãi vay tiền gốc Biết Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 49 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 phương thức trả lãi gốc không thay đổi suốt trình anh An trả nợ Hỏi sau tháng anh trả hết nợ ngân hàng? (Tháng cuối trả 10 triệu đồng) A 68 B 66 C 65 D 67 Lời giải Chọn B Giả sử anh An vay số tiền A với lãi suất r tháng trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định x Anh An sau tháng nợ ngân hàng với số tiền là: Tháng thứ 1: A 1  r   x Tháng thứ 2:  A 1  r   x  1  r   x  A 1  r   1  1  r   x  A 1  r  1  r  Tháng thứ : A 1  r   x 1  r   x 1 r 1 r … Tháng thứ n : A 1  r  n 1  r   x n 1 r Áp dụng cơng thức ta có: A  500; r  0, 0085; x  10 sau n tháng trả hết nợ ta có: 500 1  0, 0085  n n 1  0, 0085  10  50 1, 0085   Câu 11 n 1 0, 0085 1, 0085 n 0, 0085 1 0 n  1, 0085   40 40  n  log1,0085  65, 23 23 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Ông Chính gửi 200 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7% năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho năm từ năm thứ trở đi, năm ông gửi thêm vào tài khoản với số tiền 20 triệu đồng Hỏi sau 18 năm số tiền ơng Chính nhận gốc lẫn lãi bao nhiêu? Giả định suốt thời gian gửi lãi suất khơng thay đổi ơng Chính khơng rút tiền (kết làm trịn đến hàng nghìn) A 1.686.898.000 VNĐ B 743.585.000 VNĐ C 739.163.000 VNĐ D 1.335.967.000 VNĐ Lời giải Gọi a  200 triệu; b  20 triệu;   7% Số tiền sau năm: a 1    Số tiền sau năm: a 1     b 1    Số tiền sau năm: a 1     b 1     b 1    …………………… 18 17 16 Số tiền sau 18 năm: a 1     b 1     1      1       18  a 1    17      1   b 1        Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy số tiền ông Chính nhận sau 18 năm là: 1.335.967.000 VNĐ Câu 12 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Một người gửi tiết kiệm số tiền 80000000 đồng với lãi suất 6,9% / năm Biết tiền lãi hàng năm nhập vào tiền gốc, hỏi sau năm người rút tiền gốc lẫn tiền lãi gần với số sau đây? A 105370000 đồng B 111680000 đồng C 107667000 đồng D 116570000 đồng Lời giải Gọi P0 số tiền gửi ban đầu, r lãi suất / năm Số tiền gốc lãi sau năm thứ nhất: P1  P0  P0 r  P0 1  r  Số tiền gốc lãi sau năm thứ hai: P2  P1  P1.r  P0 1  r  … Số tiền gốc lãi người rút sau năm 5 P5  P0 1  r   80000 000 1  6,9%   111680 799 (đồng) Câu 13 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Một người tháng đặn gửi vào ngân hàng khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% tháng Biết sau 15 tháng, người có số tiền 10 triệu đồng Hỏi số tiền T gần với số tiền số sau A 613.000 đồng B 645.000 đồng C 635.000 đồng D 535.000 đồng Lời giải Chọn C Số tiền nhận gửi khoản tiền T tháng T (1  0,006)15  T 1,00615 Số tiền nhận gửi khoản tiền T tháng thứ T (1  0, 006)14  T 1,00614 Cứ vậy, số tiền nhận gửi khoản tiền T tháng thứ 14 T (1  0,006)  T 1,006 Vậy tổng số tiền nhận sau 15 tháng là: T (1,00615  1,00614   1,0062  1,006)  T 1,006 Theo giả thiết có: 10000000  T 1,006 1,00615  0, 006 1,00615   T  635301, 46 0, 006 Câu 14 Một người muốn có tỉ tiền tiết kiệm sau năm gửi ngân hàng cách ngày 01/01/2019 đến 31/12/2024, vào ngày 01/01 hàng năm người gửi vào ngân hàng số tiền với lãi suất ngân hàng 7% / năm (tính từ ngày 01/01 đến ngày 31/12) lãi suất hàng năm nhập vào vốn Hỏi số tiền mà người phải gửi vào ngân hàng hàng năm (với giả thiết lãi suất không thay đổi số tiền làm tròn đến đơn vị đồng)? A 130 650 280 (đồng) B 130 650 000 (đồng) C 139 795 799 (đồng) D 139 795 800 (đồng) Lời giải Chọn A Gọi T0 số tiền người gửi vào ngân hàng vào ngày 01/01 hàng năm, Tn tổng số tiền vốn lẫn lãi người có cuối năm thứ n , với n  * , r lãi suất ngân hàng năm Ta có: T1  T0  rT0  T0 1  r  Đầu năm thứ , người có tổng số tiền là: T0 1  r 2  1  T0 1  r 2  1 T0 1  r   T0  T0 1  r   1   r   1  r   1  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 51 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Do đó: T2  T0  T T 2 1  r   1  1  r   1 r  1  r   1 1  r      r r r …… Ta có: Tn  T0  n 1  r   1 1  r   r  Áp dụng vào tốn, ta có: 10  Câu 15 T0  1  0, 07   1 1  0, 07   T0  130 650 280 đồng   0, 07 (THPT Ba Đình 2019) Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 0, 7% /tháng theo thỏa thuận tháng người trả cho ngân hàng triệu đồng trả hàng tháng hết nợ (tháng cuối trả triệu) Hỏi sau tháng người trả hết nợ ngân hàng A 22 B 23 C 24 D 21 Lời giải Gọi số tiền vay ban đầu M , số tiền hoàn nợ tháng m , lãi suất tháng r Hết tháng thứ nhất, số tiền vốn lẫn nợ ngân hàng M  Mr  M 1  r  (triệu đồng) Sau hồn nợ lần thứ nhất, số tiền cịn nợ M 1  r   m (triệu đồng) Sau hoàn nợ lần thứ hai, số tiền nợ M 1  r   m   M 1  r   m  r  m  M 1  r   m 1  r   m (triệu đồng) Sau hồn nợ lần thứ ba, số tiền cịn nợ 2 M 1  r   m 1  r   m   M 1  r   m 1  r   m  r  m    M 1  r   m 1  r   m 1  r   m (triệu đồng) Lập luận tương tự, sau hoàn nợ lần thứ n , số tiền nợ n M 1  r   m 1  r  n 1  m 1  r  n2   m 1  r   m  M 1  r  n m 1  r    r n 1  1  Sau tháng thứ n trả hết nợ ta có M 1  r  n m 1  r    r n 1 n  1    m  Mr 1  r  n 1  r   m  m   n  log 1 r    m  Mr  m  Mr  Thay số với M  100.000.000 , r  0, 7% , m  5.000.000 ta tính n  21,62 (tháng) n n  m   m  Mr 1  r   1  r   Vậy sau 22 tháng người trả hết nợ ngân hàng Câu 16 (HSG Bắc Ninh 2019) Vào ngày 15 hàng tháng ông An đến gửi tiết kiệm ngân hàng SHB số tiền triệu đồng theo hình thức lãi kép với kì hạn tháng, lãi suất tiết kiệm khơng đổi suốt q trình gửi 7,2% / năm Hỏi sau năm kể từ ngày bắt đầu gửi ông An thu số tiền gốc lãi (làm trịn đến nghìn đồng)? A 195251000 (đồng) B 201453000 (đồng) C 195252000 (đồng) D 201452000 (đồng) Lời giải Gọi Tn số tiền gốc lẫn lãi sau n tháng, a số tiền gốc, r lãi xuất, ta có: Cuối tháng thứ ơng An có số tiền là: T1  a 1  r  Đầu tháng thứ ông An có số tiền là: T2  a 1  r   a Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Cuối tháng thứ ơng An có số tiền là: T2  a 1  r   a   a 1  r   a  r  a 1  r   a 1  r  …………………………………………………………… Cuối tháng thứ n ơng An có số tiền là:: Tn  a 1  r   a 1  r    a 1  r    a 1  r   1  r    1  r  n   a 1  r   1  r  n n   a 1  r  1  r  1 1 1 n  r 1 r Với kì hạn tháng, suy năm có 36 kỳ Lãi xuất năm 7,2% , suy lãi xuất 7,2 %  0.6% Áp dụng 1 ta có: a  5000000; r  0.6%  0.072; n  36 tháng là: 12  T36  Câu 17  36   201453000 5000000 1  0.6%  1  0.6%   0.6% (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Anh Bình gửi 200 triệu vào ngân hàng VB với kì hạn cố định 12 tháng hưởng lãi suất 0, 65% / tháng Tuy nhiên sau gửi tròn tháng anh phải dùng đến 200 triệu Anh đến ngân hàng định rút tiền nhân viên ngân hàng tư vấn: “Nếu rút tiền trước kì hạn, tồn số tiền anh gửi có lãi suất khơng kỳ hạn 0, 02% / thángAnh nên chấp sổ tiết kiệm ngân hàng để vay ngân hàng 200 triệu với lãi suất 0, 7% / tháng Khi sổ anh đến kì hạn, anh rút tiền để trả nợ ngân hàng” Nếu làm theo tư vấn nhân viên ngân hàng anh Bình đỡ thiệt số tiền gần với số (biết ngân hàng tính lãi theo thể thức lãi kép) A 10,85 triệu đồng B 10,51 triệu đồng C 10,03 triệu đồng D 10,19 triệu đồng Lời giải Số tiền trả cho ngân hàng vay 200 triệu tháng N  200 1  0, 7%   200  5, 65907 Tổng số tiền lãi anh Bình gửi kì hạn 12 L1  200 1  0, 65%   200  16,16996 Số tiền lãi anh Bình làm theo tư vấn nhân viên ngân hàng L  16,16996  5, 65907  10,51089 Số tiền lãi gửi tháng theo hình thức lãi suất khơng kì hạn L2  200 1  0, 02%   200  0,32022 Số tiền anh Bình đỡ thiệt làm theo tư vấn nhân viên ngân hàng 16,16996  5, 65907  0,32022  10,19067 Câu 18 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Một thầy giáo đầu tháng lại gửi ngân hàng 000 000 VNĐ với lãi suất 0,5% / tháng Hỏi sau tháng thầy giáo tiết kiệm tiền để mua xe ô tô trị giá 400 000 000 VNĐ? A 60 B 50 C 55 Lời giải D 45 Đặt T  000 000 Số tiền thầy giáo thu sau tháng thứ nhất, thứ 2, thứ 3,., thứ n T1 , T2 , T3 , , Tn Ta có: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 53 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 T1  T 1  r  T2  T1  T  1  r   T 1  r   T 1  r  T3  T2  T  1  r   T 1  r   T 1  r   T 1  r  n Tn  T 1  r   T 1  r  n 1   T 1  r   T 1  r   Theo ta có Tn  400 000 000  T 1  r   n  1  r   1  r  n 1 r 1  r  n 1 r  400 000 000 251 251  n  log1.005  44,54 201 201 Vậy sau 45 tháng thầy giáo mua xe ô tô trị giá 400 000 000 VNĐ Câu 19 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Một người vay ngân hàng số tiền 400 triệu đồng, tháng trả góp 10 triệu đồng lãi suất cho số tiền chưa trả 1% tháng Kỳ trả cuối tháng thứ Biết lãi suất khơng đổi suốt q trình gửi, hỏi số tiền phải trả kỳ cuối để người hết nợ ngân hàng? (làm trịn đến hàng nghìn) A 2.921.000 B 3.387.000 C 2.944.000 D 7.084.000 Lời giải Cuối tháng thứ nhất, tiền gốc lãi 400 1, 01 triệu đồng Sau trả 10 triệu số tiền người cịn nợ ngân hàng  400 1, 01  10  triệu đồng Cuối tháng thứ hai, tiền gốc lãi là:  400 1, 012  10 1, 01 triệu đồng Sau trả 10 triệu số tiền người cịn nợ ngân hàng  400 1, 012  10 1, 01  10  triệu đồng Như cuối tháng thứ n  n  1 người cịn nợ số tiền nợ là:  400 1,01 n  10 1, 01n1  10 1,01n     10  triệu đồng Xét 400 1,01n 10 1,01n1 10 1,01n2   10   400 1, 01n  10  1, 01n  n   600 1,01  1000  n  log1,01  51,33 0, 01 Do kỳ cuối người phải trả tiền tháng thứ 52 Cuối tháng thứ 51 , số tiền nợ lại 1, 0151   3, 3531596 triệu đồng 0, 01 Vậy kỳ cuối người phải trả số tiền 3,3531596 1, 01  3,386647 triệu đồng  3387000 đồng 400 1, 0151  10  Câu 20 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,5% / tháng ông ta rút đặn tháng triệu đồng kể từ sau ngày gửi tháng hết tiền ( tháng cuối khơng cịn đủ triệu đồng) Hỏi ơng ta rút hết tiền sau tháng? A 139 B 140 C 100 D 138 Lời giải Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi số tiền lúc đầu người gửi A (triệu đồng), lãi suất gửi ngân hàng tháng r , Sn số tiền lại sau n tháng Sau tháng kể từ ngày gửi tiền, số tiền lại người là: S1  A 1  r   Sau tháng kể từ ngày gửi tiền, số tiền cịn lại người là: S   A 1  r   1 1  r    A 1  r   1  r   … Sau n tháng kể từ ngày gửi tiền, số tiền cịn lại người là: n Sn  A 1  r   1  r  n 1  1  r  n2 n    1  r    A 1  r   1  r  n 1 r Giả sử sau n tháng người rút hết tiền Khi ta có S n   A 1  r   n  log1 r  Câu 21 n 1  r   n 1 r   1  r  n  Ar  1    n   log1 r  1  Ar   Ar (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Một bà mẹ Việt Nam anh hùng hưởng số tiền triệu đồng tháng (chuyển vào tài khoản ngân hàng mẹ ngân hàng vào đầu tháng) Từ tháng năm 2019 mẹ không rút tiền mà để lại ngân hàng tính lãi 1% tháng Đến đầu tháng 12 năm 2019 mẹ rút toàn số tiền ( gồm số tiền tháng 12 số tiền gửi từ tháng ) Hỏi mẹ lĩnh tiền? (kết làm tròn theo đơn vị nghìn đồng) A 50970000 đồng B 50560000 đồng C 50670000 đồng D 50730000 đồng Lời giải Gọi sô tiền mẹ gửi vào ngân hàng vào đầu tháng hàng tháng A đồng Số tiền mẹ lĩnh vào đầu tháng 12 T đồng Lãi suất hàng tháng mẹ gửi ngân hàng r % Vì mẹ rút tiền vào đầu tháng 12 năm 2019 nên thời gian tính lãi suất 11 tháng Ta có: +) Đầu tháng mẹ gửi vào A đồng  cuối tháng số tiền mẹ là: A  Ar  A 1  r  đồng +) Đầu tháng số tiền mẹ gửi vào là: A  A 1  r  đồng  cuối tháng số tiền mẹ là:  A + A 1  r   1  r   A 1  r   A 1  r  đồng +) Đầu tháng số tiền mẹ gửi vào là: A  A 1  r   A 1  r   cuối tháng số tiền mẹ 2 là:  A  A 1  r   A 1  r   1  r   A 1  r   A 1  r   A 1  r    Cứ đến cuối tháng thứ 11 số tiền mẹ là: 11 11 A 1  r   A 1  r    A 1  r   A 1  r   1  r    1  r    T1   11 Ta thấy 1  r   1  r    1  r   tổng cấp số nhân với u1   r , n  11, q   r    T1  A u1 1  q11  1 q Ta có: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 55 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A  4000000 r  1%  0.01  T1  46730000 đồng Vì mẹ rút tiền vào đầu tháng 12 năm 2019  T  T1  4000000  50730000 đồng Câu 22 (Sở Thanh Hóa 2019) Bạn H trúng tuyển vào trường Đại học Ngoại Thương khơng đủ tiền nộp học phí nên H định vay ngân hàng bốn năm năm triệu đồng để nộp học phí với lãi suất ưu đãi 3%/năm (theo thể thức lãi suất kép) biết tiền vay năm H nhận từ ngày năm học suốt bốn năm học H không trả tiền cho ngân hàng Ngay sau tốt nghiệp Đại học (tròn năm kể từ bạn H bắt đầu vay ngân hàng) bạn H thực trả góp hàng tháng cho ngân hàng số tiền (khơng đổi tiền trả vào ngày cuối tháng) với lãi suất theo cách tính 0,25%/tháng lãi suất tính theo dư nợ thực tế, bạn H trả năm hết nợ Tính số tiền hàng tháng mà bạn H phải trả cho ngân hàng (kết làm tròn đến hàng đơn vị) A 323.582 (đồng) B 398.402 (đồng) C 309.718 (đồng D 312.518 (đồng) Lời giải Xét tốn 1: Vay nhận vốn định kì lãi suất kép Gọi A số tiền năm bạn H vay ngân hàng, r1 lãi suất theo năm Cuối năm thứ nhất, H nợ ngân hàng với số tiền A 1  r1  Đầu năm thứ hai, H nợ ngân hàng với số tiền A  A 1  r1  Cuối năm thứ hai, H nợ ngân hàng với số tiền A  A 1  r1    A  A 1  r1   r1  A 1  r1   A 1  r1  Tiếp tục vậy, cuối năm thứ n số tiền mà H nợ ngân hàng là: B  A 1  r1   A 1  r1    A 1  r1  n n A 1  r1  1  r1   1    r1 Xét tốn 2: Vay trả góp, lãi suất dư nợ thực tế Gọi a số tiền mà bạn H phải trả hàng tháng sau trường, r2 lãi suất tháng, số tiền H nợ ngân hàng B Cuối tháng thứ bạn H nợ ngân hàng số tiền là: B  B.r2  a  B 1  r2   a Cuối tháng thứ hai bạn H nợ ngân hàng số tiền là: B 1  r2   a   B 1  r2   a  r2  a = B 1  r2   a  a 1  r2   Cứ tiếp tục ta có cơng thức tổng qt Cuối tháng thứ m bạn H nợ ngân hàng số tiền m B 1  r2   a  1  r2  a  1  r2  a   1  r2   = B 1  r2  m 1  r2  a r2 m 1 m1 a  Áp dụng toán vào câu 42, ta có phương trình Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 4.1, 03 1, 034  1 0, 03 60 1, 002560  a 1, 0025    a  0,309718 (triệu đồng) 0, 0025 Vậy số tiền mà H cần phải trả hàng tháng 309.718 triệu đồng Câu 23 (Sở Phú Thọ 2019) Ông A muốn mua ơtơ trị giá tỉ đồng chưa đủ tiền nên chọn mua hình thức trả góp hàng tháng (số tiền trả góp tháng nhau) với lãi suất 12% /năm trả trước 500 triệu đồng Hỏi tháng ông phải trả số tiền gần với số tiền để sau năm, kể từ ngày mua xe, ông trả hết nợ, biết kì trả nợ sau ngày mua ôtô tháng tính lãi hàng tháng số dư nợ thực tế tháng đó? A 23 537 000 đồng B 24 443 000 đồng C 22 703 000 đồng D 23 573 000 đồng Lời giải Chọn A Gọi a số tiền trả hàng tháng Sau tháng thứ 1, số tiền lại: P1  500 1  r   a Sau tháng thứ 2, số tiền lại: P2  P1 1  r   a  500 1  r   a 1  r   a n Sau tháng thứ n , số tiền lại: Pn  500 1  r   a 1  r  Vậy sau 24 tháng: 500 1  r  24 1  r  a 24 1 r n 1   a 1  r   a 24 0a 500 1  r  r 1  r  24 1 24 a Câu 24 500 1  1%  1% 1  1%  24  23,537 triệu đồng 1 (Chuyên Thái Nguyên 2019) Một người vay ngân hàng 50 triệu đồng, tháng trả ngân hàng triệu đồng phải trả lãi suất cho số tiền nợ 1,1% tháng theo hình thức lãi kép Giả sử sau n tháng người trả hết nợ Khi n gần với số sau? A 14 B 13 C 16 D 15 Lời giải M Phương pháp:Sử dụng công thức trả góp P(1  r )n  (1  r )n  1 , đó:  r  P : số tiền phải trả sau n tháng r : Lãi suất/ tháng M : số tiền phải trả tháng Áp dụng cơng thức ta có: M P(1  r )n  (1  r )n  1  r    50(1  1,1%)n  (1  1,1%)n  1  1,1%   50(1  1,1%)n   4 (1  1,1%)n  1,1% 1,1% 3450  (1  1,1%)n 1,1% 11  (1  1,1%)n  80 80  n  log 11,8  13, 52 69 69 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 57 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 25 Ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 1% /tháng Ơng ta muốn hồn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hoàn nợ tháng sau năm kể từ ngày vay ơng A cịn nợ ngân hàng tổng số tiền 50 triệu đồng Biết tháng ngân hàng tính lãi số dư nợ thực tế tháng Hỏi số tiền tháng ơng ta cần trả cho ngân hàng gần với số tiền đây? A 4,95 triệu đồng B 4, 42 triệu đồng C 4,5 triệu đồng D 4,94 triệu đồng Lời giải Gọi X số tiền tháng ông A trả cho ngân hàng Số tiền nợ sau n kì hạn Tn  T 1  r  n 1  r   X n 1 r (triệu đồng), T  100 (triệu đồng) số tiền mà ông A vay Sau năm, số tiền ơng cịn nợ 50 triệu đồng nên ta có 12 12 50  100 1  0, 01 1  0, 01  X 1 100.1, 01 X 12  50  0, 01  4, 94 (triệu đồng) 0, 01 1, 01  Vậy tháng ông ta cần trả cho ngân hàng gần với số tiền 4,94 triệu đồng Câu 26 12 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc cho công ty với mức lương khởi điểm tháng ba năm triệu đồng/ tháng Tính từ ngày đầu làm việc, sau ba năm liên tiếp tăng lương 10% so với mức lương tháng người hưởng Nếu tính theo hợp đồng tháng năm thứ 16 người nhận mức lương bao nhiêu? A 6.1,14 (triệu đồng) B 6.1,16 (triệu đồng) C 6.1,15 (triệu đồng) D 6.1,116 (triệu đồng) Lời giải Sau năm, tháng năm thứ số tiền lương người nhận sau tháng  6.10%  6.1,1 (triệu đồng) Sau năm ( 2.3 năm), tháng năm thứ số tiền lương người nhận sau tháng 6.1,1  6.1,1.10%  6.1,1 1  10%   6.1,12 (triệu đồng) Tương tự sau 15 năm ( 5.3 năm), tháng năm thứ 16 số tiền người nhận sau tháng 6.1,15 (triệu đồng) Vậy tháng năm thứ 16 , người nhận mức lương 6.1,1 (triệu đồng) Câu 27 (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6% / năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người nhận số tiền nhiều 100 triệu đồng bao gồm gốc lãi? A 11 năm B 12 năm C 13 năm D 14 năm Lời giải Dạng toán lãi kép: Bài toán tổng quát: gửi a đồng vào ngân hàng với lãi suất r % (sau kì hạn khơng rút tiền lãi ra) Gọi An số tiền có sau n năm Sau năm: A1  a  r % a  a 1  r %  Sau năm: A2  a 1  r %   a 1  r %  r %  a 1  r %  Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 Sau năm: A3  a 1  r %   a 1  r %  r %  a 1  r %  n Sau n năm: An  a 1  r %  Người nhận số tiền 100 triệu Suy ra: n 50 1  6%   100  50.1, 06n  100  1, 06n   n  log1,06  11,9 Vậy n  12 Câu 28 (THPT Nghĩa Hưng NĐ 2019) Anh C làm với mức lương khởi điểm x (triệu đồng)/ tháng, số tiền lương nhận vào ngày đầu tháng Vì làm việc chăm có trách nhiệm nên sau 36 tháng kể từ ngày làm, anh C tăng lương thêm 10% Mỗi tháng, giữ lại 20% số tiền lương để gửi tiết kiệm ngân hàng với kì hạn tháng lãi suất 0,5% /tháng, theo hình thức lãi kép (tức tiền lãi tháng nhập vào vốn để tính lãi cho tháng tiếp theo) Sau 48 tháng kể từ ngày làm, anh C nhận số tiền gốc lãi 100 triệu đồng Hỏi mức lương khởi điểm người bao nhiêu? A 8.991.504 đồng B 9.991.504 đồng C 8.981.504 đồng D 9.881.505 đồng Lời giải Gọi số tiền tháng anh gửi tiết kiệm ngân hàng 36 tháng đầu A ; số tiền tháng anh gửi tiết kiệm sau tháng thứ 36 B Đặt q   0,5%  1, 005 Gọi S n số tiền sau tháng thứ n ta có S1  A  A.0,5%  A.q S   S1  A    S1  A  0,5%   S1  A  q  Aq  Aq … S36   S35  A    S35  A  0, 5%   S35  A  q  Aq 36  Aq 35    Aq  Aq q 36  q 1 S37   S36  B    S36  B  0,5%   S36  B  q  S36 q  B.q S38   S37  B    S37  B  0,5%   S37  B  q  S36 q  Bq  Bq … S 48  S36 q12  Bq12  Bq11   Bq  Aq13 q 36  q12   Bq q 1 q 1 Theo giả thiết ta có A  20% x  0, x ; B  20%  x  10% x   0, 22 x ; S 48  108 Vậy 0, xq13  q 36  q12   q 36  q12   0, 22.q  0, 22 x.q  108  x  108 :  0, 2q13   x  8991504 q 1 q 1  q 1 q 1  đồng Câu 29 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Bạn Nam vừa trúng tuyển đại học, hồn cảnh gia đình khó khăn nên ngân hàng cho vay vốn năm học đại học, năm 10 triệu đồng vào đầu năm học để nạp học phí với lãi suất 7,8% /năm (mỗi lần vay cách năm) Sau tốt nghiệp đại học tháng, hàng tháng Nam phải trả góp cho ngân hàng số Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 59 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 tiền m đồng/tháng với lãi suất 0,7% /tháng vòng năm Số tiền m tháng Nam cần trả cho ngân hàng gần với số sau (ngân hàng tính lãi số dư nợ thực tế) A 1.468.000 (đồng) B 1.398.000 (đồng) C 1.191.000 (đồng) D 1.027.000 (đồng) Lời giải Bài toán chia làm hai giai đoạn 7, * Giai đoạn 1: vay vốn để học đại học năm Đặt r   0, 078 100 Ở năm thứ nhất: M1  10(1  r )4 (triệu đồng) Ở năm thứ hai: M  10(1  r )3 (triệu đồng) Ở năm thứ ba: M  10(1  r )2 (triệu đồng) Ở năm thứ tư: M  10(1  r )1 (triệu đồng) Như tổng số tiền mà Nam vay năm M   M i  48, 4324 (triệu đồng) i 1 * Giai đoạn 2: trả góp cho ngân hàng số tiền vay hàng tháng  0,7  0,7 Sau tháng thứ nhất, người cịn số nợ là: P1  M o 1    m Đặt y   100  100  Sau tháng thứ hai người cịn nợ: P2  P1 y  m   Mo y  m y  m  M o y  m( y  1)  M a y  m y2 1 y 1 Sau tháng thứ ba người cịn nợ: P3  P2 y  m  M o y  m  y  y  1  M o y  m y3 1 y 1 Bằng phương pháp quy nạp, sau n tháng số tiền trả hết M o y   m M y n ( y  1) yn  0m o n y 1 y 1 Đồng thời ta có: n  48 tháng y   Câu 30 0,7  1,007 suy m  1, 914 (triệu đồng) 100 (Chuyên Phan Bội Châu -2019) Một anh sinh viên nhập học đại học vào tháng năm 2014 Bắt đầu từ tháng năm 2014 , vào ngày mồng hàng tháng anh vay ngân hàng triệu đồng với lãi suất cố định 0,8% /tháng Lãi tháng trước cộng vào số nợ để tiếp tục tính lãi cho tháng (lãi kép) Vào ngày mồng hàng tháng kể từ tháng / 2016 sau anh khơng vay ngân hàng anh cịn trả cho ngân hàng triệu đồng việc làm thêm Hỏi sau kết thức ngày anh trường  30 / / 2018  anh nợ ngân hàng tiền (làm trịn đến hàng nghìn đồng)? A 49.024.000 đồng B 47.401.000 đồng C 47.024.000 đồng D 45.401.000 đồng Lời giải Chọn Anh sinh viên vay hàng tháng a  triệu đồng từ / 2014 đến / 2016 , tổng cộng 24 tháng Cuối tháng thứ 1: T1  a  ar  a 1  r  Cuối tháng thứ 2: T2  T1  a  T1  a  r  a 1  r   a 1  r  … Trang 60 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 n Cuối tháng n: Tn  a 1  r   a 1  r  Suy Tn  a 1  r  1  r  n n 1   a 1  r  1 r Vậy tổng số tiền vay đến cuối tháng 8/2016 T24  1  0,8%  1  0,8%  24 1 0,8%  79, 662 triệu Tính từ cuối tháng 8/2016 Anh sinh viên thiếu ngân hàng A  79, 662 bắt đầu trả đầu hàng tháng m  triệu từ / 2016 đến / 2018 , tổng cộng 22 tháng Đầu tháng / 2016 : nợ A  m  79, 662   77, 662 triệu Cuối tháng / 2016 : tiền nợ có lãi đến cuối tháng: T1  77, 662  r  1 Đầu tháng 10 / 2016 sau trả nợ m cịn nợ 77, 662  r  1  m Cuối tháng 10 / 2016 : nợ T2   77, 662  r  1  m  1  r   77, 662 1  r   m 1  r  Cuối tháng 11 / 2016 : nợ T3  77, 662 1  r   m 1  r   m 1  r  … Cuối tháng / 2018 nợ 22 21 20 T22  77, 662 1  r   m 1  r   m 1  r    m 1  r  22  77, 662 1  r   m 1  r  22 1  r  21 1 r  77, 662 1  0,8%   1  0,8%  1  0,8%  0,8% 21 1  46, 64 triệu đồng BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 61 ... 2019 2 018 2017 2 018 2017   x  x  x    log 2017 x     x  2017 2 018 2 018 log x  2 018 x  2017  2017  log  2017 x  2 018 Dạng Tính đạo hàm mũ – logarit Đạo hàm hàm số mũ x... 2017 2 018 2 018 2 018 Câu (Sở Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x   ln 2 018 x x 1 S  f  1  f      f   2 018  A ln 2 018 B C 2 018 D 2 018 2019 Lời giải x  2 018  2 018 x   2 018 x... 3 Dạng Khảo sát hàm số mũ, logarit Sự biến thiên hàm số mũ: y  a x Nếu a  hàm đồng biến  Nếu  a  hàm nghịch biến  Sự biến thiên hàm số logarit: y  log a x Nếu a  : hàm đồng biến (0;