Mời các bạn học sinh lớp 11 tham khảo Đề thi HSG Toán lớp 11 năm 2016 của trường THPT Triệu Sơn 3. Đề thi gồm 5 câu trong vòng 150 phút, tham khảo để các bạn củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải đề và chuẩn bị thật tốt cho kì thi sắp diễn ra nhé!
SỞ GD&ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 11 Năm học: 2016-2017 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) 2x 1 (C ) x 1 Gọi M điểm thuộc đồ thị (C), N điểm đối xứng M qua I(1;2) Chứng minh điểm N thuộc đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 4 x Câu II (4,0 điểm) tan x tan x � � Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số y Giải phương trình: tan x sin �x � � 4� � 18 x 18 x y 17 x y � Giải hệ phương trình � 2 � y ( x y )( x y ) y ( y 1) x(1 x) x Câu III (4,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ac �12 bc �8 Tìm giá trị nhỏ 1 � �1 � biểu thức D a b c � � �ab bc ca � abc Tính giới hạn sau L lim x �0 x 2.3x 3.4 x 2017 2016.2017 x x Câu IV (4,0 điểm) Cho p( x) (1 x) n a0 a1 x a2 x an x n thỏa mãn a0 a a1 a2 a3 nn 212 2 2 Tìm max{a0 ; a1 ; ; an } Đoàn trường THPT Triệu Sơn tổ chức kiểm tra nề nếp lớp dịp 26/3 Trong đoàn kiểm tra có tất thầy thầy cô độc lập với chọn lớp để kiểm tra Tính xác suất để lớp có thầy vào kiểm tra, lớp có thầy vào kiểm tra lớp cịn lại lớp có thầy vào kiểm tra Câu V (4,0 điểm) Cho hình chóp SABC có SC ABC tam giác ABC vuông B Biết AB a; AC a 13 góc hai mặt phẳng (SAB), (SAC) với sin Tính độ dài SC theo a 19 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vuông B, BC = BA = a, AA’= a , M điểm thuộc đoạn BC a Tính góc tạo đường thẳng A’B với mặt phẳng (ACC’) b Tìm vị trí điểm M để khoảng cách AM B’C a 7 HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm CâuSỞ GD&ĐT THANH HĨA Nội dung 2a SƠN TRƯỜNG THPT TRIỆU Hướng dẫn chấm Gọi M( a; ) thuộc đồ thị Vì N đối xứng với M qua I(1;0) nên ta có a 1 a xN � a xN � �x a �N � � xN � � 2x 1 � 2a � � yN N yN yN I � � � xN xN a 1 � � � Điểm 2,0 Vậy N thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến đồ thị hàm số song song với đường thẳng cho là: y 4 x y 4 x 10 2,0 k (*) Phương trình cho tương đương với: cos x(tan x tan x) sin x cos x � 2sin x 2sin x.cos x sin x cos x � 2sin x(sin x cos x) sin x cos x � (sin x cos x)(2sin x 1) + Với sin x cos x � tan x 1 � x k 0 x Điều kiện: cos x �۹ + Với 2sin x � sin x 0,25 0,5 0,5 5 � x k 2 ; x k 2 6 0,5 Đối chiếu điều kiện (*), suy nghiệm phương trình cho là: 5 x k ; x k 2 ; x k 2 (k ��) 6 �x �0 ĐK: � �y �1 0,25 Phương trình (2) hệ � ( y x ) ( x y )( y x 1) ( y x 1) y x 1 � ( y x 1)( x y 1) � ( y x 1)( x y 1) y 1 x y 1 x II y 1 x � � � x y (VN x �0; y �1) � � y 1 x Với y-1 = x thay vào phương trình (1) ta 18 x 18 x x 17 x x Đặt t = 0,5 0,5 x (t �0) ta phương trình 18t4 – 18t3 – 17t2 – 8t – = � 10 t (l ) � � (3t 4t 2)(6t 2t 1) � 3t 4t � � S � 10 t � � H � 14 10 x �x � Từ ta � K �y 23 10 � � C Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có a b B a b ab �3 · · 3, dấu “=” xảy 0,5 0,5 a A (1) dấu “=” xảy (2) 0,5 dấu “=” xảy (3) dấu “=” xảy (4) hay 0,5 Mặt khác, từ giả thiết suy Do 0,5 III Dấu đẳng thức xảy Vậy, giá trị nhỏ biểu thức D đạt 0,5 0,5 Chứng minh công thức: (1) 0,5 Áp dụng (1) ta thu 0,5 Vậy L 0,5 Ta có 0,5 0,5 Đồng hệ số ta Với n = 12 ta 1,0 IV Gọi hệ số lớn từ ta có Vì thầy độc lập với chọn lớp để kiểm tra nên số phần tử không gian mẫu Gọi A biến cố lớp có thầy kiểm tra1 lớp có thầy kiểm tra , lớp cịn lại có thầy kiểm tra Số phần tử biến cố A 0,5 1,0 ... 23 10 � � C Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có a b B a b ab ? ?3 · · 3, dấu “=” xảy 0,5 0,5 a A (1) dấu “=” xảy (2) 0,5 dấu “=” xảy (3) dấu “=” xảy (4) hay 0,5 Mặt khác, từ giả thi? ??t... Với y-1 = x thay vào phương trình (1) ta 18 x 18 x x 17 x x Đặt t = 0,5 0,5 x (t �0) ta phương trình 18t4 – 18t3 – 17t2 – 8t – = � 10 t (l ) � � (3t 4t 2)(6t 2t 1) � 3t ... hệ số lớn từ ta có Vì thầy độc lập với chọn lớp để kiểm tra nên số phần tử không gian mẫu Gọi A biến cố lớp có thầy kiểm tra1 lớp có thầy kiểm tra , lớp cịn lại có thầy kiểm tra Số phần tử biến