sở gd&đt thái bình trờng thpt bắc đông quan đề kiểm tra chất lợng học kỳ II-lần II Năm học 2008-2009 môn : Toán 12 ( Thời gian lm bi 150 , không kể giao đề ) I Phần chung dnh cho tất thí sinh ( 7,0 điểm) x x+2 Khảo sát v vẽ đồ thị (C) hm số Viết phơng trình tiếp tuyến cđa (C) biÕt tiÕp tun ®i qua ®iĨm A(0; -1) Gọi (H) l hình phẳng giới hạn (C), trục honh v đờng thẳng y = -3x TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay sinh bëi (H) quay quanh Ox Câu : (2,0 điểm) Giải bất phơng trình log (9 x + 9) > x − log 3x +1 − C©u : (3,5 ®iĨm) Cho hμm sè y = ( ) Tìm giá trị lớn nhÊt, nhá nhÊt cña hμm sè f ( x) = dt đoạn [7 ; 16] 25 t x Câu : (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có diện tích đáy , góc cạnh bên v mặt đáy 450 Xác định tâm v tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp y x+ y x+ y < Câu : (0,5 điểm) Cho sè thùc d−¬ng x, y Chøng minh r»ng e x II Phần riêng : (3,0 điểm) Thí sinh học chơng trình no đợc lm theo chơng trình Theo chơng trình chuẩn x = 2t ' Câu 5a : (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho ®−êng th¼ng d1 : ⎨ y = −5 + 3t ' z = Hai mặt phẳng () v () lần lợt có phơng trình l x + y -3 = vμ x + 2z -1 = Chứng tỏ () cắt () Viết phơng trình tham số đờng thẳng d2 l giao tuyến hai mặt phẳng () v () Chứng tỏ d1 v d2 chộo Tính khoảng cách d1 v d2 Câu 6a : (1,0 điểm) Trong mặt phẳng phức cho bốn điểm A, B, C, D lần lợt biểu diễn cho sè phøc + (3 + 3)i ; (3+ 3)i ; + 3i ; + (1+ 3)i Chøng minh r»ng ®iĨm A, B, C, D thuộc đờng tròn Theo chơng trình nâng cao 1 Câu 5b : (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho ba điểm H ( ;0;0), K(0; ;0) vμ I (1;1; ) 2 Chứng tỏ ba điểm H, I, K không thẳng hμng TÝnh diƯn tÝch cđa tam gi¸c HIK ViÕt phơng trình tham số đờng thẳng d l hình chiếu vuông góc trục Ox mặt phẳng (HIK) Câu 6b : (1,0 điểm) Giải phơng trình sau tËp c¸c sè phøc : z = (1 − i )10 ( + i)5 (−1 − i 3)10 -HÕt -Hä vμ tªn thÝ sinh : Sè b¸o danh http:laisac.page.tl kiĨm tra chất lợng học kỳ II - lần II sở gd&đt thái bình trờng thpt bắc đông quan môn : Toán 12 Năm học 2008-2009 hớng dẫn chấm v biểu điểm Nội dung Điểm x Câu : (3,5 điểm) Cho hm số y = x+2 Khảo sát v vẽ đồ thị (C) hm số Viết phơng trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0;-1) Gọi (H) l hình phẳng giới hạn (C) , trục honh v đờng thẳng y = -3x – TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay sinh bëi (H) quay quanh Ox a) TËp xác định : R\{-2} b) Sự biến thiên * Giới h¹n-tiƯm cËn Lim+ y = +∞ , lim− y = −∞ , 0,25 x →−2 x →−2 Do ®ã ®−êng thẳng x = - l tiệm cận đứng đồ thị hm số Lim y = , nên ®−êng th¼ng y = -1 lμ tiƯm cËn ngang cđa đồ thị hm số 0,25 x * Bảng biến thiªn −3 +) y ' = < ,∀x ≠ -2 ( x + 2) x y’ -∞ +∞ -2 - +∞ -1 (2,0) 0,25 0,25 y -∞ -1 Hm số nghịch biến khoảng (- ;-2) v ( -2 ; +) 0,25 c Đồ thị + Giao víi Oy : (0;1/2) + Giao víi Ox : (1;0) 0,75 NX : Đồ thị nhận I(-2;-1) l giao ®iĨm cđa hai ®−êng tiƯm cËn lμm t©m ®èi xøng (1,0) + Gäi x0 lμ hoμnh ®é tiÕp ®iĨm suy phơng trình tiếp tuyến có dạng x0 −3 ( x − x0 ) + y= x0 + ( x0 + ) + V× tiếp tuyến qua A(0;-1) nên ta có = −3 ( x0 + ) (− x0 ) + 0,25 − x0 ⇔ x0 = −1 x0 + 0,5 Suy phơng trình tiếp tuyến l : y = -3x-1 0,25 +) §T y = -3x-1lμ tiếp tuyến tiếp điểm (-1;2) v cắt trục honh điểm(-1/3;0) Theo hình vẽ (Tiếp tuyến ny không cắt (C) điểm no khác nữa) + Gọi (H1) l hình phẳng giới hạn (C) , Ox , x = -1,x=1.Suy thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh bëi (H1) quay quanh Ox lμ 2 1 ⎛ ⎞ ⎛ 1− x ⎞ ⎛ ⎞ V1 = π ∫ ⎜ + 1⎟dx − 1⎟ dx = π ∫ ⎜ − ⎟ dx = π ∫ ⎜ x+2⎠ x+2 ⎠ x+2 ⎠ −1 ⎝ −1 ⎝ −1 ⎝ ( x + 2) (0,5) Đặt x+2=u du=dx ; x= -1⇒ u=1 , x=1 ⇒ u =3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ V1 = π ∫ ⎜ − + 1⎟du = π ⎜ − − ln u + u ⎟ = π (8 − ln 3) u ⎠ ⎝ u ⎠1 1⎝u + Gọi (H2) l hình phẳng giới hạn tiếp tuyến (ý 2), Ox, x = -1, x =-1/3 Suy thĨ tÝch khèi trßn xoay sinh bëi (H2) quay quanh Ox b»ng thĨ tÝch cđa khèi nãn trßn xoay có bán kính đáy v chiều cao b»ng 2/3 8π ⇒ V2 = (π 22 ) = 3 ⎛ 64 ⎞ − ln ⎟ ⎝ ⎠ + ThÓ tích khối tròn xoay cần tìm l V = V1 V2 = Câu : (2,0 điểm) Giải bất phơng trình log (9 x + 9) > x − log 3x +1 − ( (§vtt) 0,25 0,25 ) x ⎛ Tìm giá trị lớn , nhỏ hm sè f ( x) = ∫ ⎜1 − 25 − t đoạn [7 ; 16] + Điều kiÖn 3x+1 − > ⇔ x > log (*) (1,0) ⎞ ⎟dt ⎠ + §−a bất phơng trình dạng 2.9x -7 3x < + Gi¶i x < log ( KÕt ln ) + KÕt hỵp víi (*) suy log < x < log 3 x x 0 − 0,25 0,25 0,25 + f ( x) = ∫ dt + 4∫ (25 − t ) d(25-t ) (1,0) 0,25 0,25 + Tính đợc f ( x) = x + 25 x 40 ( Xác định v liên tục đoạn [7 ; 16] ) + Ta cã f '( x) = − vμ f '( x ) = ⇔ x = ∈ (7;16) 25 − x + f(7) = 24 − 33 ; f(9 ) = ; f(16) = Suy m ax f ( x) = , [7;16] f ( x) = [7;16] 0,25 0,25 0,25 Câu : (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có diện tích đáy góc cạnh bên v mặt đáy 450 Xác định tâm v tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp + Gọi tam giác ABC có cạnh ®¸y b»ng x ⇒ dtΔABC = x sin 600 2 x = Theo gi¶ thiÕt ⇒ x = S 450 0,25 C A + Gọi H l hình chiếu vuông góc S (ABC) ⇒ HA = HB = HC H I hay H l trọng tâm tam giác ABC B 2 2dt ΔABC ⇒ HA = AI = = 3 BC (Vì AI BC) Mặt khác góc cạnh bên v mặt đáy hình chóp = (SA,(ABC))=(SA,AH) 0,25 = ∠SAH = 450 ⇒ ΔSAH vu«ng cân H HS = HA = HB = HC Suy H l tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính R = HA = Diện tích mặt cầu S= 4R2 = 16 3 0,25 0,25 Chó ý : NÕu häc sinh xác định không xác vị trí tâm mặt cầu m đa đợc kết diện tích mặt cầu đợc 0,5 điểm Câu : (0,5 điểm) Cho số thực dơng x , y Chøng minh r»ng e y x+ y < x+ y x x+ y x+ y 2y > (1) Đặt =t , t>1 x 2x + y x 2(t − 1) 2(t − 1) (1) trë thμnh lnt > ⇔ ln t − >0 t +1 t +1 2(t − 1) + XÐt f(t) = l n t − trªn [1;+∞) , t +1 (t − 1) f '(t ) = ≥ 0, ∀t ∈ [1; +∞ ) (f'(t) = ⇔ t = 1) t (t + 1) Suy f(t) đồng biến [1;+) Do ®ã t >1 ⇔ f(t) > f(1) = + ) BĐT ln Từ suy điều ph¶i chøng minh 0,25 0,25 ⎧ x = −2t ' Câu 5a : (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho đờng thẳng d1 : y = + 3t ' z = Hai mặt phẳng () v () lần lợt có phơng trình l x+y-3 = vμ x + 2z -1 = Chøng tỏ () cắt () Viết phơng trình tham số đờng thẳng d2 l giao tuyến hai mặt phẳng (α) vμ (α’) Chøng tá d1 vμ d2 chéo Tính khoảng cách d1 v d2 + () có véc tơ pháp tuyến l n (1;1;0) 0,5 () có véc tơ pháp tuyến l n '(1;0; 2) G JG Dễ thấy hai véc tơ không cïng ph−¬ng (Hay n ≠ kn ', k ∈ R ), suy (α) c¾t (α’) ⎧x + y − = + d2 l tập hợp tất điểm M(x;y;z) thoả mÃn hệ x + 2z − = Cho y = ⇒ x =3 vμ z = -1 ⇒ M ( 3;0; −1) ∈ d2 0,25 ⎡ ⎤ +Do d2 vu«nggãc víi n v n ' nên d2 có véc tơ phơng u2 = ⎢ n , n '⎥ = (2;-2;-1) ⎣ ⎦ ⎧ x = + 2t ⎪ Suy phơng trình tham số d2 l y = −2t 0,25 ⎪ z = −1 − t ⎩ → → → → → → → + ChØ vÐc t¬ chØ ph−¬ng u1 , u2 cđa d1 vμ d2 không phơng , đồng thời + 2t = 2t ' phơng trình sau vô nghiêm ⎨−2t = −5 + 3t ' suy d1 vμ d2 chéo ⎪ −1 − t = ⎩ 0,5 + Mặt phẳng () chứa d2 v //d1 , suy (β) ®i qua M vμ cã vÐc tơ pháp tuyến n vuông góc với u1 (-2; 3;0) v u2 nên lấy nβ = [ u1 , u2 ]=(-3;-2;-2) 0,25 ⇒ Ph−¬ng tr×nh (β) : -3(x-3) - 2y - 2(z+1) = ⇔ - 3x - 2y - 2z + = + Khoảng cách d1 v d2 khoảng cách d1 v () v khoảng cách gi÷a M1(0;-5;4)∈ d1 vμ (β) ⇒d(d1 , d2)= d(M1, (β))= KÕt luËn : -3.0 − 2.(−5) − 2.4 + (−3) + (−2) + (−2) 2 = 17 0,25 Câu 6a : (1,0 điểm) Trong mặt phẳng phức cho bốn điểm A, B, C, D lần lợt biĨu diƠn cho sè phøc + (3 + 3)i ; (3+ 3)i ; 1+3i ; 2+(1+ 3)i Chøng minh r»ng ®iĨm A, B, C, D cïng thuộc đờng tròn + A(4;3 + 3), B(0;3 + 3), C (1;3), D(2;1 + 3) 0,25 JJJG JJJG JJJG JJJG + DÔ thÊy AC (−3; − 3), BC (1; 3) AC.BC = ABC vuông C Do đờng tròn(C) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm l trung điểm I đoạn AB v b¸n kÝnh R=AB/2 JJJG Ta cã I (2;3 + 3), R = AB = ⇒ Pt cña (C): ( x − 2) + ( y − − 3) = (1) 0,5 + Râ rng D(C) , từ suy đpcm Câu 5b : (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho ba điểm 1 H ( ;0;0) , K(0; ;0) vμ I (1;1; ) 2 Chøng tá ba điểm H, I, K không thẳng hng Tính diện tích tam giác HIK 2.Viết phơng trình tham số đờng thẳng d l hình chiếu vuông góc trục Ox mặt phẳng (HIK) 0,25 JJJG JJJG 1 1 1 1 +) HK = (− ; ;0) , HI = ( ;1; ) kh«ng cïng ph−¬ng (do − : : ≠ :1: ) 2 2 Suy ba điểm H, I, K không thẳng hng G JJJG JJJG ⎛1 3⎞ + )Ta cã n = ⎡⎣ HK , HI ⎤⎦ = ⎜ ; ; − ⎟ ⎝6 4⎠ 2 ⎡ JJJG JJJG ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 89 +) S ΔHIK = ⎣ HK , HI ⎦ = (®v dt) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜− ⎟ = 2 ⎝6⎠ ⎝6⎠ ⎝ 4⎠ 24 G +) DƠ thÊy n lμ mét vÐc t¬ pháp tuyến mặt phẳng (HIK) + Gọi (P) l mặt phẳng chứa Ox v vuông góc với (HIK) JJG G JJG G JJG G G ⎛ 1⎞ Suy VTPT cña (P) lμ n p ⊥ n vμ n p ⊥ i ⇒ cã thÓ lÊy n p =[ n , i ]= ⎜ 0; − ; + Gọi dJJlG hìnhGchiếu vuông gãc cđa Ox trªn (HIK) ⇒d =(P) ∩ (HIK) ⇒ d⊥ n p , d ⊥ n , ®ã d cã vÐc t¬ chØ ph−¬ng G JJG G 1⎞ ⎛ 85 ; − ; ⎟ = (85; −4;18) u = 144 ⎡⎣ n p , n ⎤⎦ = 144 ⎜ ⎝ 144 36 ⎠ + Trôc Ox cắt (HIK) điểm H ( ;0;0) Hd ⎧ ⎪ x = + 85t ⎪ (t∈R) Suy pt tham sè cña d lμ : ⎨ y = −4t ⎪ z = 18t ⎪ ⎩ 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 C©u 6b : (1.0 điểm) Giải phơng trình sau tập số phøc : (1 − i )10 ( + i )5 z2 = (−1 − i 3)10 10 ⎡ π π ⎞⎤ ⎡ ⎛ π π ⎞⎤ ⎛ ⎢ ⎜ cos( − ) + i sin( − ) ⎟ ⎥ ⎢ ⎜ cos + i sin ⎟ ⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎠⎦ PT ⇔ z = ⎣ 10 ⎡ ⎛ 4π 4π ⎞ ⎤ ⎢ ⎜ cos + i sin ⎟ ⎥ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎡ 5⎛ 5π 5π ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ 5π 5π ⎞ ⎤ ⎢ ⎜ cos( − ) + i sin( − ) ⎟ ⎥ ⎢ ⎜ cos + i sin ⎟ ⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⇔ z2 = ⎣ ⎡ 10 ⎛ 40π 40π ⎞ ⎤ ⎢ ⎜ cos + i sin ⎟ ⎥ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎡ 10 ⎛ 5π 5π ⎞ ⎤ ⎢ ⎜ co s( − ) + i sin( − ) ⎟ ⎥ ⎝ ⎠⎦ ⇔ z2 = ⎣ ⎡ 10 ⎛ 40π 40π ⎞ ⎤ ⎢ ⎜ cos + i sin ⎟ ⎥ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⇔ z = cos( − 15π ) + i sin( − 15π ) = − ⇔ z = ± i KÕt luËn : z = i Chú ý : - Trên l hớng dẫn lm bi; phải lý luận hợp lý cho điểm - Những cách giải khác đợc điểm tối đa - Điểm ton bi đợc lm tròn đến 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 KIM TRA CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN II NĂM HỌC 2009–2010 Mơn thi : TỐN, khối A, B, D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x − x + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt: x − 4x + = m Câu II (2 điểm) π Giải phương trình: cos3 x − = s inx, x ∈ ¡ 4 x ( x − ) + x ( x + 1) = x , x ∈ ¡ Giải phương trình: Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I = π dx ∫ s inx + π cos x Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC với đáy ABC tam giác vuông B, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết BC = a 3, AC = AS góc đường thẳng SC với mặt phẳng (SAB) 45o , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Câu V (1 điểm) Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x − xy + y = Tìm giá trị lớn (x giá trị nhỏ biểu thức: P = − 1) + ( y − 1) + 2xy(xy − 1) + 2 x + y2 − PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh làm hai phần (A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A(1; 3), B(5; 2), C(-2; -1) Xác định tọa độ điểm D cho ABCD hình thang cân với AD song song BC Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; -2; 3), B(2; 1; -3), C(1; -3; 2) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng, xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Câu VII.a (1 điểm) Tìm nghiệm phức phương trình: z + 2z = B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(-3; 1), phân giác đường cao xuất phát từ B có phương trình: d 1: x + 3y + 12 = 0, d : x + 7y + 32 = Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC x −1 y − z − Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = = hai mặt −1 phẳng ( P ) : x − 2y + z − = 0, ( Q ) : x + y − 2z − = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm đường thẳng ∆ đồng thời tiếp xúc với (P) (Q) Câu VII.b (1 điểm) log3 ( x +1) = x, x ∈ ¡ - Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh : .Số báo danh : Giải phương trình : ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN II NĂM HỌC 2009 – 2010 Mơn Tốn , khối A, B, D (gồm 05 trang) Câu I Ý Điểm Nội dung Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 1,00 • Tập xác định: D = ¡ • Sự biến thiên: Chiều biến thiên y ' = 4x − 8x y ′ = ⇔ x = 0; x = ± 0,25 ( ) ( 2; +∞ ) Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; − ) ( 0; ) Hàm số đồng biến khoảng − 2;0 Hàm số đạt cực đại x = 0, ycd = , đạt cực tiểu x = ± 2, yct = −1 Giới hạn: lim y = lim y = +∞ 0,25 x →+∞ x →−∞ Bảng biến thiên: -∞ x − y' - + +∞ 0 - 0,25 + +∞ +∞ y -1 -1 • Đồ thị: (h1) y y 6 5 4 3 2 1 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 O x -6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1 -1 -2 -2 -3 -3 (h1) 0,25 (h2) Tìm giá trị m… Xét hàm số y = x − 4x + (2) Từ đồ thị hàm số (1) suy đồ thị hàm số (2) sau: Giữ nguyên phần đồ thị hàm số (1) nằm phía trục hồnh 1,00 0,25 Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số (1) nằm Ox qua Ox; bỏ phần đồ thị hàm số (1) nằm 0,25 Ox Số nghiệm thực phương trình x − 4x + = m số giao điểm đường thẳng y = m với đồ thị hàm số (2) Căn vào đồ thị (h2) ta thấy không tồn m thỏa mãn yêu cầu toán 0,25 0,25 II Giải phương trình lượng giác… 1,00 π cos3 x − = s inx ⇔ ( cos x + s inx )3 = s inx ⇔ ( cos x + s inx )3 = sin x 4 2 0,25 ⇔ cos3 x + 3cos x sin x + 3cos x sin x + sin x = sin x + Nếu sinx=0 cosx=0, mâu thuẫn với s in x + cos x = 0,25 + Nếu sinx ≠ chia vế phương trình cho sin x ta ( ) cot x + cot x + 3cot x + = + cot x ⇔ cot x − cot x + cot x − = ( ) ⇔ ( cot x − 1) cot x + = ⇔ cot x = ⇔ x = π + kπ, k ∈ ¢ 0,25 0,25 Giải phương trình vô tỷ… 1,00 Điều kiện x ∈ ( −∞; −1] U [ 2; +∞ ) U {0} 0,25 Phương trình tương đương: ( ) ( ) x − 2x + x + x + x x − x − = 4x ⇔ x x − x − = 2x + x ( ) ( ) ( ) ⇔ 4x x − x − = x 4x + 4x + ⇔ x 4x − 4x − − 4x − 4x − = x=0 thỏa mãn điều kiện ⇔ x ( −8x − ) = ⇔ x = − III I= 1,00 π dx dx = ∫ ∫ 2π1 π s in x + π s inx + cos x 6 ( 2π Đặt t = x + 2π ) 2π 0,25 1 + d cos t = − ( ln (1 + cos t ) − ln (1 − cos t ) ) ∫ π − cost + cost 0,25 π dt dcost , ta có: I = ∫ =− ∫ π sint π − cos2 t =− 0,25 0,25 Tính tích phân… π 0,25 2π π 0,25 2π 1− 1 + cos t = − ln = − ln − cos t π 4 1+ IV = − ln = ln 0,25 Cho hình chóp S.ABC… 1,00 BC ⊥ AB · ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ BSC góc đường thẳng SC với 0,25 BC ⊥ SA mặt phẳng (SAB) Vậy tam giác SBC vng cân đỉnh B Ta có Đặt SA=x, ta có AC= x ⇒ SC = x (1) Mặt khác tam giác SBC vuông cân B nên SC= a (2) 0,25 Từ (1) (2) suy a = x ⇔ x = a ⇒ AB = a 0,25 1 Thể tích khối chóp SABC: V(SABC) = dt ( ABC ) SA = AB.BC.AS 3 = V 0,25 a 6 a.a 3.a = = a (đvtt) 6 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức x − 1) + ( y − 1) ( P= 2 + 2xy ( xy − 1) + x + y2 − = 1,00 x y − 2xy + xy − 0,25 = x − xy + y = ( x − y ) + xy ≥ xy ⇒ xy ≤ 2 = x − xy + y = ( x + y ) − 3xy ≥ −3xy ⇒ xy ≥ − t − 2t + 4 Từ đặt t = xy t ∈ − ;1 P = f ( t ) = =t+ t−2 t−2 f ′(t) = − ( t − )2 = ⇔ ( t − 2) 0,25 t−2=2 t = =4⇔ ⇔ t − = −2 t = xy = ( x + y )2 = ⇔ f ( t ) = −3 ⇔ t =1 ⇔ ⇔ x − xy + y = xy = t ∈ − ;1 x = y =1 x = y = −1 xy = max f ( t ) = −2 ⇔ t =0 ⇔ ⇔ ( x; y ) ∈ {( 0;1) , ( 0; −1) , (1;0 ) , ( −1; )} x − xy + y = t ∈ − ;1 0,25 0,25 Vậy giá trị nhỏ P -3, giá trị lớn P -2 VIa Xác định tọa độ điểm D… 1,00 uuur 3 1 Ta có: BC = ( −7; −3 ) Trung điểm I BC có tọa độ I ; 2 2 0,25 Phương trình đường thẳng ∆ trung trực BC: 7x +3 y – 12 = Dễ thấy A B nằm phía ∆ nên tồn hình thang thỏa mãn điều kiện 0,25 tốn Phương trình đường thẳng d qua A song song với BC: 3x − 7y + 18 = 7x + 3y − 12 = 15 81 Tọa độ giao điểm J d ∆ nghiệm hệ: ⇒ J( ; ) 29 29 3x − 7y + 18 = 30 x +1 = x= 29 Điểm D (x,y) đối xứng với A qua J nên tọa độ thỏa mãn: ⇔ y + = 162 y = 29 Vậy D ( 29 75 29 0,25 0,25 75 ; ) 29 29 Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 1,00 uuur uuur AB = (1;3; −6); AC = (0; −1; −1) uuuur uuur r −6 −6 1 AB,AC = ; ; ; = − 9;1; − ≠ ⇒ A, B, C không thẳng hàng ( ) −1 −1 −1 0 −1 0,25 Phương trình mặt phẳng (ABC): 9x − y + z = 14 Gọi I (x; y; z) tâm đường tròn ngoại IA = IB 0,25 tiếp tam giác ABC, ta có: IA = IC I ∈ (ABC) VIIa ( x − 1)2 + ( y + )2 + ( z − 3)2 = ( x − )2 + ( y − 1)2 + ( z + 3)2 x + 3y − 6z = 2 2 2 ⇔ ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − ) ⇔ y + z = 9x − y + z = 14 9x − y + z = 14 0,25 126 14 14 ⇒ I ;− ; 83 83 83 0,25 Tìm nghiệm phức phương trình: z + 2z = 1,00 Giả sử z = x + yi, theo giả thiết ta có: x − y + 2xyi + 2x − 2yi = ⇔ x − y + 2x + 2y(x − 1)i = x − y + 2x = ⇔ 2y(x − 1) = ( x, y ) ∈ {( 0;0 ) ; ( −2;0 ) ; (1; 0,25 0,25 )( ; 1− )} 0,25 Phương trình có nghiệm z = 0; z = -2; z = + 3i ; z = − 3i VIb 0,25 Tìm tọa độ đỉnh B, C… 1,00 x + 3y + 12 = x =3 Tọa độ điểm B nghiệm hệ ⇔ ⇒ B(3; −5) x + 7y + 32 = y = −5 0,25 Gọi A ′ (x,y) điểm đối xứng với A qua d1 : AA ′ ⊥ d1 trung điểm AA’ thuộc d1 x + y −1 = ⇔ ⇔ x − + y + + 12 = 2 27 x=− 3x − y + 10 = 27 31 ⇔ ⇒ A′ − ; − 5 x + 3y + 24 = y = − 31 0,25 Đường thẳng BC đường thẳng BA ′ : x − 7y − 38 = 0,25 x + y −1 = ⇔ 7x − y + 22 = Phương trình đường thẳng AC: 7x − y + 22 = x = −4 Tọa độ C nghiệm ⇔ ⇒ C ( −4, −6 ) Vậy B ( 3; −5 ) , C ( −4, −6 ) x − 7y − 38 = y = −6 Viết phương trình mặt cầu (S)… 0,25 1,00 Gọi I tâm mặt cầu (S), I thuộc ∆ nên tọa độ I có dạng I(1+2t;2+t; 3-t) 0,25 Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) (Q) nên d(I,(P)) = d(I,(Q)) ⇔ + 2t − − 2t + − t − 12 + ( −2 ) + 12 = + 2t + + t − + 2t − + Với t = suy I(5; 4;1), R = 12 + 12 + ( −2 ) ⇔ t + = 5t − (S): ( x − ) + ( y − ) + ( z − 1) = 2 + Với t = VIIb t = ⇔ t = 2 25 0,25 0,25 10 5 7 8 20 5 8 ⇒ I ; ; ;R = (S): x − + y − + z − = 3 3 3 3 3 Giải phương trình … 0,25 1,00 Điều kiện x > -1 Đặt t = log3 ( x + 1) ⇒ x + = 3t ⇒ x = 3t − t 0,25 t 2 1 Phương trình trở thành t = 3t − ⇔ t + = 3t ⇔ + = 3 3 (*) 0, 25 ; ∈ ( 0;1) nên vế trái (*) hàm số nghịch biến t, vế phải hàm 0, 25 3 (*) có nhiều nghiệm Vì Mặt khác t = nghiệm (*) suy (*) tương đương t = hay log3 ( x + 1) = ⇔ x + = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) 0,25 http://laisac.page.tl Sở GD-ĐT Thanh Hóa Trường THPT Hậu Lộc ®Ị kiĨm tra chất lượng dạy - học bồi dưỡng năm học 2009-2010 Mơn Tốn, Khối D (Thời gian làm 180 phút) Phần chung cho tất thí sinh (7,0điểm) 2x + m -1 Câu I(2,0điểm) Cho hàm số : y = (Cm) x - Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến (Cm) giao điểm (Cm) với trục tung Câu II(2,0điểm) 1.Giải phương trình : sinx( 2cos2x + ) - cosx( 2sin2x + ) = Giải phương trình : x - + - x - 4 x - x - = -2 ( với x Ỵ R ) p Câu III(1,0điểm) Tính tích phân sau : I = ̣ sin x ( e cos x + sin x ) dx Câu IV (1,0điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ^ (ABCD) SA = 2a Gọi M trung điểm CD, I giao điểm AC BM Tính thể tích khối chóp I.SAD Câu V(1,0điểm) Chứng minh với số thực dương a, b, c ta ln có: a b c 1 + + ³ + + b c a a b c Phần riêng(3,0điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình chuẩn Câu VIa.(2,0điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ oxy, cho hình bình hành ABCD biết phương trình đường thẳng AB, BC AC : x - 5y - = , x + y - = x - y + = Tìm tọa độ đỉnh D Trong khơng gian với hệ tọa độ oxyz cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 , biết D(0;0;0) , A(a;0;0) , C(0;a;0) , D1(0;0;a) Gọi M trung điểm DD1, G trọng tâm tam giác ABB1.Viết phương trình mặt cầu đường kính MG Câu VIIa.(1,0 điểm) n ỉ Tìm hệ số x khai triển nhị thức Niu-tơn çç + x ÷÷ , biết C n3+ - C n3+ = (n + 3) ø è x B Theo chương trình nâng cao Câu VIb.(2,0điểm) Trong mặt phẳng (oxy) cho đường thẳng D : x - y + = điểm I(1 ; -1).Viết phương trình đường trịn tâm I cắt D theo dây cung có độ dài Trong không gian với hệ tọa độ oxyz cho tam giác ABC , biết A(5;1;3) , B(5;0;0) , C(4;0;6) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC Câu VIIb(1,0điểm) 1 C nn , biết C nn + C nn -1 + C nn- = 79 Tính tổng : S = C n0 + C n1 + C n2 + + n +1 (với C nk số tổ hợp chập k n phần tử) Gi¸m thị xem thi không giải thích thêm! Họ tªn thÝ sinh : SBD : Đáp án - thang điểm Đề kiểm tra chất lượng dạy học bồi dưỡng mơn tốn khối D-năm 2009-2010 Câu I(2,0đ) Đáp án Điểm 1.(1,25đ) Với m = ta có hàm số : y = 2x - x-2 0,25 Tập xác định : D =R\ {2} Sự biến thiên: -3 < , với "x Ỵ D ( x - 2) ̃ hàm số nghịch biến khoảng (-¥;2) (2 ; + ¥ ) 0,25 cực trị : Hàm số khơng có cực trị Giới hạn : lim y = lim y = ; lim y = +¥ , lim y = -¥ ̃ đồ thị có tiệm cận Chiều biến thiên: y' = x đ -Ơ x đ2 + x đ +Ơ x đ2 - ng l ng thng x =2 tiệm cận ngang đường thẳng y = 0,25 Bảng biến thiên : x -¥ +¥ y' +¥ y -¥ 1 ) , cắt trục hoành taị ( - ;0) 2 đồ thị nhận điểm I(2 ;2) làm tâm đối xứng Đồ thị : cắt trục tung ( 0; - 0,25 y I O 0,25 x 2.(0,75đ) Gọi A giao điểm (Cm)với oy ta có A( 0; 1- m ) , D tiếp tuyến với 1- m ̃ pt D : (m+3)x + 4y +2m -2 = ém = 2m - 2 = Ûê êm = (m + 3) + 16 ë (Cm) A Ta có pt D : y = y'(0).x + theo gt ta có : d(O; D ) = II.(2,0đ) Û 1.(1,0đ) pt Û 2(sinx.cos2x - cosx.sin2x) + sinx - cosx = Û -2sinx + sinx - cosx = p Û sinx + cosx = -1 Û sin( x + ) = - p 7p 5p é é ê x + = + k 2p ê x = + k 2p ; (k Ỵ Z) Ûê Ûê ê x + p = - p + k 2p ê x = - p + k 2p êë êë 2.(1,0đ) Đk : £ x £ t2 - đặt t = x - + - x (t ³ 0) ̃ x - x - = 2 t -2 ta có phương trình: t - = -2 Û 2t - t - = ét = , t ³ ,nên t = Ûê êt = - ë x -1 + - x = Û 4x - x - = Û x2 - 4x + = Û x = t=2 ̃ III.(1,0đ) p Ta có : I = ̣e 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 p cos x sin xdx + ̣ sin x.dx p 0,5 p = - ̣ e cos x d (cos x) + = -e 0,25 cos x p (1 - cos x)dx ̣0 p 1 p / + ( x - sin x) / = + e - 0 2 0,5 IV.(1,0đ) Gọi O giao điểm AC BD, ta có : a a 2a + = AI = AO + OI = AO + OC = 3 1 2a 2 a ̃ SAID = AI.AD.sinDAI = a = 2 3 1 a 2a = (đvtt) ̃ VI.SAD = VS.ADI = SA SAID = 2a 3 0,5 0,25 0,25 S A B O I D V.(1,0đ) M Theo bđt TBC-TBN ta có : C a a 1 + + ³3 b b a b b b 1 + + ³3 c c b c c c 1 + + ³3 a a c a cộng theo vế bđt ̃ đpcm VIa.(2,0đ) 0,75 0,25 1.(1,0đ) Ta có : A = AB Ç AC ̃ tọa độ A nghiệm hệ phương ́x - y - = ́ x = -3 trình: í Ûí ̃ A(-3 ; -1) ỵx - y + = ỵ y = -1 0.5 Tương tự ta có B(7 ; 1) C(3; 5) Gọi I giao điểm AC BD ,ta có : trung điểm AC nên I(0 ; 2) 0,5 I trung điểm BD, nên D(-7; 3) 2.(1,0đ) Ta có : B( a ;a ;0 ) ; B1(a;a;a) ; A(a ;0 ;0) 0,25 z D1 A1 C1 B1 M G D A x C B y G trọng tâm tam giác ABB1 , nên G(a; 2a a ; ) 3 0,25 a M trung điểm DD1 nên M(0;0; ) Gọi I trung điểm MG ̃ a a 5a a 53 2a a I( ; ; ) ; MG = a + ( ) + ( ) = 12 2 0,5 ỉ ỉ 5a 53a ỉ ̃ pt mặt cầu đường kính MG : ỗ x - ữ + ỗ y - ữ + ỗ z - ữ = 2ứ ố 3ứ è 12 ø 144 è VIIa.(1,0đ) Từ C n3+ - C n3+ = (n + 3) Û ( n + 4)! ( n + 3)! = 7( n + 3) 3! (n + 1)! 3!.n! 0,5 Û (n + 4)(n + 2) - (n + 2)(n + 1) = 42 Û n = 12 n 12 ỉ -1 ỉ Khi ta có : ỗỗ + x ữữ = ỗỗ x + x ÷÷ , có số hạng tổng qt : è x ø è ø k 12 - k k 12 - k =1 C12k ( x )12-k ( x ) k = C12k x ; ứng với số hạng chứa x, ta có : Û k = ̃ hệ số C125 = 792 VIb.(2,0đ) 1.(1,0đ) R bán kính đường trịn cần tìm.giả sử đường trịn tâm I cắt D theo dây cung AB, với AB = Gọi H trung điểm AB; ta có R = 0,5 IH + AH ; với IH = d(I; D ) = ̃R= 13 , AH = AB =4 244 13 0,75 2 ̃ pt đường tròn : ( x - 1) + ( y - 1) = 244 13 0,25 (1,0đ) Ta có AB = (0;-1;-3) , AC = ( -1;-1;3) ̃ n = AC , AB = (6;-3;1) [ ] mp(ABC) qua điểm A(5 ;1;3) , nhận n làm vtpt ,nên có pt: 6(x - 5) - 3(y - 1) + z - = Û pt(ABC): 6x - 3y + z - 30 = Gọi H(x;y) Do H trực tâm nên ta có : 187 ́ ï x = 23 ́ H Ỵ ( ABC ) ́6 x - y + z - 30 = ï ï 171 187 171 81 ï ï Û ̃ H( ; ; ) x y z Û + = = BH AC íy = í í 23 23 23 23 ï ï y + z - 18 = ï ỵ ỵCH AB = 81 ï ï z = 23 ỵ VIIb.(1,0đ Từ C nn + C nn -1 + C nn- = 79 Û + n + 0,75 n( n - 1) = 79 Û n + n - 156 = Û n = 12 Theo cơng thức nhị thức Niu-Tơn ta có: (1 + x) n = C n0 + C n1 x + C n2 x + + C nn x n 0,25 0,5 ̃ ̣ (C n0 + C n1 x + C n2 x + + C nn x n )dx = ̣ (1 + x) n dx 0 1 n+1 - C nn = ; mà n = 12, nên: ̃ S = C n0 + C n1 + C n2 + + n +1 n +1 213 - 8191 S= = 13 13 0,5 .. .kiểm tra chất lợng học kỳ II - lần II sở gd&đt thái bình trờng thpt bắc đông quan môn : Toán 12 Năm học 2008-2009 hớng dẫn chấm v biểu điểm Nội dung... đến 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN II NĂM HỌC 2009–2010 Mơn thi : TỐN, khối A, B, D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG... = 12 n 12 ỉ -1 ỉ Khi ta cú : ỗỗ + x ữữ = ỗỗ x + x ÷÷ , có số hạng tổng quát : è x ø è ø k 12 - k k 12 - k =1 C12k ( x )12- k ( x ) k = C12k x ; ứng với số hạng chứa x, ta có : Û k = ̃ hệ số C125