Đến với Đề khảo sát chất lượng lớp 12, lần 3 năm 2014 môn Toán của Trường Đại Học Vinh các bạn sẽ được tìm hiểu hai phần thi là phần chung và phần riêng với các câu hỏi tự luận có kèm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết dành cho tất cả các bạn học sinh khối A và A1.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN - NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối: A A1; Thời gian làm bài: 180 phút I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x (m 1) x 2m có đồ thị (Cm ), với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m 5 b) Cho I 0; Tìm m để (Cm ) có điểm cực đại A, hai điểm cực tiểu B C cho tứ giác ABIC 2 hình thoi Câu (1,0 điểm) Giải phương trình sin x 2sin x sin x cos xcos2 x x x x y y y Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ( x, y ) 2 x y x y Câu (1,0 điểm) Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y , y 0, x x xung quanh trục hoành 3x a 10 1350 Hình , AC a 2, BC a, ACB chiếu vng góc C ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M AB Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' góc tạo đường thẳng C ' M với mặt phẳng ( ACC ' A ') Câu (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có AA ' Câu (1,0 điểm) Giả sử x, y, z số thực dương thỏa mãn x y xy ( x y ) z z Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức P 2 4( x y ) ( x z ) ( y z) II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần a phần b) a Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x 2)2 ( y 1) đường thẳng d : x y Từ điểm M thuộc d kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với (C) A B Tìm tọa độ điểm M cho độ dài AB nhỏ x y z 1 Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : 1 2 x y 1 z : Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc d, cắt hai điểm A, B cho IAB tam 1 2 giác vuông AB 11 Câu 9.a (1,0 điểm) Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác cho số có mặt chữ số 9? b Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình tắc elip (E) có tâm sai , biết diện tích tứ giác tạo tiêu điểm đỉnh trục bé (E) 24 Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 0; 2), B(3; 1; 4), C (2; 2; 0) Tìm điểm D mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm cho thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) Câu 9.b (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn z 2i i z có acgumen Hết Cảm ơn bạn Châu Tân ( chautan94@gmail.com ) đã gửi tới www.laisac.page.tl TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN - NĂM 2014 Mơn: TỐN – Khối A, A1; Thời gian làm bài: 180 phút Câu Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) Câu (2,0 điểm) x x a) Tập xác định: D ; y hàm số chẵn b) Sự biến thiên: * Giới hạn vô cực: Ta có lim y lim y Khi m hàm số trở thành y x x * Chiều biến thiên: Ta có y ' x x; 0,5 x x x 2 ; y' ; y' y' x 2 2 x 0 x Suy hàm số đồng biến khoảng 2; , 2; ; nghịch biến khoảng ; , 0; * Cực trị: Hàm số đạt cực đại x 0, yCĐ 3, hàm số đạt cực tiểu x 2, yCT 1 * Bảng biến thiên: y x 2 y' – + – + y 3 0,5 1 1 2 O c) Đồ thị: Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng x 1 b) (1,0 điểm) Ta có y ' x3 2(m 1) x, với x (Cm ) có điểm cực đại điểm cực tiểu y ' có nghiệm phân biệt 2(m 1) m 1 (1) Khi nghiệm phân biệt y ' x 0, x 2(m 1) x 2(m 1) Điểm cực đại (Cm ) A(0; 2m 1), hai điểm cực tiểu B 2( m 1); m C 0,5 2( m 1); m Nhận thấy AI vng góc với BC H 0; m H trung điểm BC Do tứ giác ABIC hình thoi H trung điểm AI Hay xH x A xI 2m 2m m m 2 yH y A yI Câu (1,0 điểm) 0,5 Đối chiếu điều kiện (1) ta giá trị m m Phương trình cho tương đương với 2sin x cos x sin x(2sin x 1) cos x cos x cos x(2sin x sin x cos x) *) cos x x k , k 0,5 *) 2sin x sin x cos x sin x sin x cos x sin x sin x 2 3 x x k 2 x k 2 x x k 2 x 2 k 2 , k 3 Vậy nghiệm phương trình x Câu (1,0 điểm) k , x k 2 , x 0,5 2 2 k , k 3 Điều kiện: x 2, y Phương trình thứ hai hệ tương đương với x 2 y x y Thế vào phương trình thứ nhất, ta x (2 y x y 2) x x y y y 0,5 x 3x x y y y ( x 1) ( x 1) ( x 1) (2 y )2 y y (1) Xét hàm số f (t ) t t t với t 1 1 Ta có f '(t ) 2t ; f "(t ) ; f "(t ) t t 1 (t 1) 3 Suy f '(t ) f ' với t (1; ) Do hàm f (t ) đồng biến 4 [ 1; + ) Suy phương trình (1) f ( x 1) f (2 y ) x y x y Thế vào phương trình thứ hai hệ, ta y 1 2 (2 y 1) y 2(2 y 1) y y y y 1 Suy nghiệm (x; y) hệ (1; 1), ; 6 Câu (1,0 điểm) Thể tích khối trịn xoay V dx 1 3x 0,5 2t t2 Đặt t 3x , ta có x t 2, x t x nên dx dt 3 2 2t 2 2 1 t Khi ta có V dt dt dt 2 (1 t ) 3 (t 1) t (t 1)2 2 2 ln | t 1| ln 6ln 6 9 t 1 C' B' Câu (1,0 điểm) 0,5 0,5 a2 S ABC CA.CB sin1350 2 Áp dụng định lý cosin cho ABC AB a A' CA2 CB AB a 4 a C ' M C ' C CM CM H K C B M Suy thể tích lăng trụ V C ' M S ABC A Kẻ MK AC (K thuộc AC), MH C ' K (H thuộc C ' K ) 0,5 a3 0,5 Vì AC (C ' MK ) nên AC MH MH ( ACC ' A ') C ' M , ( ACC ' A ') MC ' H MC ' K (1) Vì M trung điểm AB nên SCAM 2S 1 a2 a MK 'K MK MAC tan MC SCAB AC C 'M 2 ' K 300 Suy MC C ' M , ( ACC ' A ') 300 Từ (1) (2) suy Câu (1,0 điểm) (2) Đặt x z a Từ giả thiết tốn ta có ( x z )( y z ) 1, hay y z a Do x y nên x z y z Suy a 1 a2 a a Ta có x y x z ( y z ) a Khi P 0,5 a2 a2 a2 3a a 3a a2 2 2 a 4( a 1) 4( a 1) a 4( a 1) Đặt a t Xét hàm số f (t ) Ta có f '(t ) (1) t 3t với t 4(t 1) t ; 4(t 1) t f '(t ) f '(t ) (t 2)(3t 3t 2) t BBT: – + 0,5 f (t ) Dựa vào BBT ta có f (t ) với t Từ (1) (2) suy P 3, dấu đẳng thức xảy x z 2, y z (2) Vậy giá trị nhỏ P (C) có tâm I (2; 1), bán kính R 5, d ( I , d ) 10 R nên d A Câu 7.a (1,0 điểm) không cắt (C) M d M (3m 9; m) R M I H B AH Từ tính chất tiếp tuyến ta có MI AB H trung điểm AB 1 Trong tam giác vng AIM ta có 2 AH AI AM d 0,5 AI AM R ( IM R ) R4 R2 2 AI AM IM IM Ta có AB nhỏ AH nhỏ IM nhỏ ( R không đổi) Mà IM (3m 7)2 (m 1) 10(m 2) 10 10 nên suy IM 10 m 2 0,5 Suy M (3; 2) IAB có IA IB nên vng I Suy IH I Câu 8.a (1,0 điểm) d AB 11 (H hình chiếu I lên AB) R A H Suy d ( I , ) 11 0,5 (1) B Khi bán kính mặt cầu R IH 22 I d I (2t ; t ; 2t 1); u (1; 1; 2) M (0; 1; 2) MI (2t ; t 1; 2t 1) 0,5 u , MI u , MI ( 4t 3; 2t 1; 3t 1) d ( I , ) u 29t 26t 11 (2) I (2; 1; 1) t Từ (1) (2) 29t 26t 55 110 55 139 I t 55 ; ; 29 29 29 29 2 2 110 55 139 Suy pt mặt cầu ( x 2) ( y 1) ( z 1) 22 x y z 22 29 29 29 Câu 9.a (1,0 điểm) 2 Giả sử số cần lập abcd , d {0, 2, 4, 6, 8} Xét trường hợp sau 0,5 * d Số cách lập abc có chữ số C71 3! 42 * d Số cách lập abc có chữ số C82 3! C71 2! 154 * d {2, 4, 6} Số cách lập abc có chữ số C71 3! 120 0,5 Vậy số số lập 42 154 120 316 Câu 7.b (1,0 điểm) y Phương trình tắc (E) có dạng B2 x2 y (a b 0) a b2 Gọi F1 ( c; 0), F2 (c; 0) tiêu điểm với c a b , F1 F2 B1 (0; b), B2 (0; b) đỉnh trục bé c x O F1 B1F2 B2 hình thoi 1 Suy S F1B1F2 B2 F1 F2 B1B2 2c.2b 2bc 24 B1 2 (1) bc 12 b c 144 b (a b ) 144 c Tâm sai e 0,6 25c 9a 25(a b ) 9a 4a 5b hay a b (2) a a x2 y Từ (1) (2) suy Suy ( E ) : 25 16 b b D (Oyz ) D(0; y0 ; z0 ) , điều kiện z0 Câu 8.b (1,0 điểm) Phương trình (Oxy ) : z d D , (Oxy ) z0 z0 Suy z0 1 D(0; y0 ; 1) Ta có AB (1; 1; 2), AC (4; 2; 2), AD (2; y0 ; 1) Suy AB, AC (2; 6; 2) AB, AC AD y0 y0 VABCD AB, AC AD y0 y0 1 Suy D(0; 3; 1) D(0; 1; 1) 0,5 0,5 0,5 0,5 Đặt z r cos i sin , r Câu 9.b (1,0 điểm) Suy z r cos( ) i sin( ) Khi Theo giả thiết ta có Suy z 2i i z 2r cos i sin 6 6 0,5 3r r i Khi z 2 3r r i 2 r 3r 12 r r r 2, r 2 Vậy z i Cảm ơn bạn Châu Tân ( chautan94@gmail.com ) đã gửi tới www.laisac.page.tl 0,5 ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN - NĂM 2014 Mơn: TỐN – Khối A, A1; Thời gian làm bài: 180 phút... xoay V dx 1 3x 0,5 2t t2 Đặt t 3x , ta có x t 2, x t x nên dx dt 3 2 2t 2 2 1 t Khi ta có V dt dt dt 2 (1 t ) 3 (t 1) t (t ... abc có chữ số C71 3! 42 * d Số cách lập abc có chữ số C82 3! C71 2! 154 * d {2, 4, 6} Số cách lập abc có chữ số C71 3! 120 0,5 Vậy số số lập 42 154 120 31 6 Câu 7.b (1,0 điểm)