Đề thi Khảo sát chất lượng lớp 12: Lần II năm 2011 môn Toán - THPT chuyên ĐH Vinh

Đề thi Khảo sát chất lượng lớp 12: Lần II năm 2011 môn Toán của trường THPT chuyên ĐH Vinh sẽ giúp các bạn biết được cách thức làm bài thi cũng như kiến thức của mình trong môn Toán. Mời các bạn tham khảo.

www.VNMATH.com TR TR NG  I H C VINH  NG THPT CHUYÊN   KH O SÁT CH T L NG L P 12 L N 2, N M 2011  MƠN : TỐN; Th i gian làm bài :180 phút  I.PH N CHUNH CHO T T C  THÍ SINH(7 đi m)  Câu I (2,0 đi m)  − x + 1    x − 2 2.  Tìm trên (H) các đi m A,B sao cho đ  dài AB = 4 và đ ng th ng AB vng góc v i đ ng th ng y = x.  Câu II(2,0  m)  sin 2x + cos x − ( cos 2x + sin x )  = 0 .  1.  Gi i ph ng trình sin 2x −  x + 4x + y 2  − 4y = 2    2.  Gi i h  ph ng trình   2   x y + 2x + 6y = 23 x ln ( x + 2 )  Câu III.(1,0 đi m).Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ  th  hàm s y = và tr c hoành.  − x 2  Câu IV.(1,0 đi m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình ch  nh t v i AB = a, AD =  a 2 , góc gi a hai m t  ph ng (SAC) và (ABCD) b ng 60 0   G i H là trung đi m c a AB.Bi t m t bên SAB là tam giác cân t i đ nh S và  thu c m t ph ng vng góc v i m t ph ng đáy. Tính th  tích kh i chóp S.ABCD và bán kính m t c u ngo i ti p  hình chóp S.AHC  Câu V.(1,0 đi m) Cho các s  th c d ng x, y, z tho  mãn  x + y + z 2  + 2xy = 3(x + y + z)  Tìm giá tr  nh  nh t  20 20  c a bi u th c  P = x + y + z + +   x+z y + 2 II. PH N RIÊNG (3,0 đi m)  a. Theo ch ng trình chu n  Câu VIa. (2,0 đi m)  1.  Trong m t ph ng to  đ  Oxy cho tam giác ABC có ph ng trình ch a đ ng cao và đ ng trung tuy n k   t  đ nh A l n l t có ph ng trình x – 2y – 13 = 0 và 13x – 6y – 9 = 0. Tìm to  đ  B,C bi t tâm đ ng  trịn ngo i ti p tam giác ABC là I(­5;1).  2.  Trong khơng gian to  đ  Oxyz cho đi m A(1;0;0), B(2;­1;2), C(­1;1;3) và đ ng th ng  x − y z − 2  D :  = =  Vi t ph ng trình m t c u có tâm thu c đ ng th ng D , đi qua đi m A và c t m t  − 1 2 ph ng (ABC) theo m t đ ng trịn sao cho đ ng trịn có bán kính nh  nh t  9  Câu VIIa. (1,0 đi m) Tìm s  ph c z tho  mãn  z − 3i = − iz và  z −  là s  thu n  o.  z b. Theo ch ng trình nâng cao  Câu VIb(2,0 đi m)  1.  Trong m t ph ng to  đ  Oxy cho đ ng tròn (C): x + y 2  − 4x + 2y − 15 = 0  G i I là tâm đ ng tròn (C).  ng th ng D  đi qua M(1;­3) c t (C) t i hai đi m A và B. Vi t ph ng trình đ ng th ng D  bi t tam  giác IAB có di n tích b ng 8 và c nh AB là c nh l n nh t.  x − y + z − 1  2.  Trong không gian to  đ  Oxyz cho đi m M(1;­1;0) và đ ng th ng  D :  = = và m t ph ng  − 1 (P): x + y + z  ­ 2 = 0. Tìm to  đ  đi m A thu c m t ph ng (P) bi t đ ng th ng AM vng góc v i D  và  33    kho ng cách t  A đ n đ ng th ng D  b ng  2  1.  Kh o sát s  bi n thiên và v  đ  th  (H) hàm s   y =  z   z   Câu VIIb.(1,0 đi m ) Cho các s  ph c z1  , z2  tho  mãn  z1 − z = z1 = z 2  > 0  Tính  A =   +  2    z   z1   4  www.VNMATH.com TR TR Câu  I.  (2,0  m)  ÁP ÁN  NG  I H C VINH  NG THPT CHUN   KH O SÁT CH T L NG L P 12 L N 2, N M 2011  MƠN:   TỐN;    Th i gian làm bài: 180 phút  áp án  1. (1,0 đi m)  a. T p xác đ nh:  D = R \ { 2 }.  b. S  bi n thiên:  i m  1  > 0 , ∀x ≠ 2 .  ( x − 2 ) 2 Suy ra hàm s  đ ng bi n trên các kho ng  (−∞ ; 2 )  và  (2 ; + ∞) .  − x + 1  − x + 1  * Gi i h n:  lim y  = lim  = −1  và  lim y = lim  = −1 ; x → +∞ x → +∞ x − 2  x → −∞ x → −∞ x − 2  − x + 1  − x + 1  lim  y  = lim  = +∞ lim  y = lim  = −∞   x → 2  x → 2  x − 2  x → 2  x → 2  x − 2  * Ti m c n:   th  có đ ng ti m c n ngang là  y  = −1 ; đ ng ti m c n đ ng là  x = 2   *B ng bi n thiên:  x − ∞ + ∞ + +  y '  + ∞ * Chi u bi n thiên: Ta có  y ' =  − y − + − 1 −1 + y  − ∞  th :   th   hàm  s  c t tr c hoành t i (1; 0),  1  c t  tr c  tung  t i  (0 ;  −  ) và  nh n  giao  2  m  I (2 ;  − 1 )  c a hai ti m c n làm tâm  đ i x ng.  0,5  0,5  c.  O  − 1 1  2  x  I 2. (1,0 đi m)  Vì đ ng th ng AB vng góc v i  y =  x  nên ph ng trình c a AB là  y = − x + m .  − x + 1  Hoành đ  c a A, B là nghi m c a ph ng trình  = − x + m , hay ph ng trình  x − 2  x 2 − ( m + 3 ) x + 2 m + 1 = 0 ,  x ≠ 2  (1)  2  2  Do ph ng trình (1) có  D = ( m + 3 )  − 4 ( 2 m + 1 ) = m  − 2 m + 5 > 0 ,  ∀m  nên có hai nghi m  phân bi t  x 1 , x 2  và c  hai nghi m đ u khác 2. Theo đ nh lí Viet ta có  x 1 +  x 2  = m + 3 ; x 1 x 2  = 2 m + 1  Theo gi  thi t bài tốn ta có  AB 2 = 16 ⇔ ( x 2  − x 1 ) 2  + ( y 2  − y 1 ) 2  = 16  0,5  ⇔  ( x 2 − x 1 ) 2  + ( − x 2  + m + x 1  − m ) 2  = 16 ⇔ ( x 2  − x 1 ) 2  = 8 ⇔ ( x 1  + x 2 ) 2  − 4 x 1 x 2  = 8  II.  (2,0  ⇔ ( m + 3 ) 2  − 4 ( 2 m + 1 )  = 8 ⇔ m 2  − 2 m − 3 = 0 ⇔ m  = 3 ∨ m  = −1 .  * V i  m = 3 ph ng trình (1) tr  thành  x 2 − 6 x + 7 = 0 ⇔ x = 3 ± 2 . Suy ra hai đi m A,  B c n tìm là  (3 +  2 ;  − 2 ),  ( 3 − 2 ;  2 ) .  * V i  m = −1 ta có hai đi m A, B c n tìm là  (1 +  2 ;  − 2 − 2 )  và  (1 −  2 ;  − 2 + 2 ) .  V y c p đi m TM: (3 +  2 ;  − 2 ),  ( 3 − 2 ;  2 ) ho c (1 +  2 ;  − 2 − 2 ) , (1 −  2 ;  − 2 + 2 ) .  1. (1,0 đi m)  π  π  3  ⇔ x ≠ + k π và  x ≠  + k π ,  k ∈ Z.  i u ki n: sin 2 x ≠  2  6  3  0,5  www.VNMATH.com m)  Khi đó pt  ⇔ sin 2 x + cos x − 3 (cos 2 x + sin x ) = 2 sin 2 x − 3  ⇔ sin 2 x + 3 sin  x + 3 cos 2 x − cos x − 3  = 0  ⇔ sin  x ( 2 cos x + 3 ) + ( 2 cos x + 3 )(  3 cos x − 2 ) = 0  0,5 ⇔ ( 2 cos x + 3 )(sin  x + 3 cos x − 2 )  = 0   3  5 π  x = ± + k 2 π cos x = −  2  6  ⇔ ⇔ π   π    sin  x + 3  = 1   x = 6  + k 2 π    i chi u đi u ki n, ta có nghi m c a ph 0,5  ng trình là  x =  2. (1,0 đi m)  2  2  2  ( x  + 2 )  + ( y − 2 )  = 10  H ⇔  2   x  ( y + 2 ) + 6 y = 23  5π  + k 2 π ,  k ∈ Z   6  t  u =  x 2 + 2 ,  v = y − 2 .  Khi đó h  tr  thành u 2  + v 2  = 10  u 2  + v 2  = 10  ⇔ ⇔   ( u − 2 )( v + 4 ) + 6 ( v + 2 ) = 23  uv + 4 ( u + v ) = 19  u + v = 4 ,  uv = 3  u + v = −12 ,  uv = 67   0,5  TH 1.  u + v = −12, uv = 67 , h  vô nghi m.  u = 3 ,  v = 1  u + v = 4  , ta có  TH 2  u = 1 ,  v = 3  uv = 3  u = 3  ta có * V i  v = 1   x 2  = 1   x = ±1  ⇔  = 3  y   y = 3   2   x  = −1  u = 1  ta có  * V i  , h  vô nghi m.  v = 3   y  = 3  V y nghi m (x, y) c a h  là  (1 ; 3 ), ( − 1 ;  3 ).  0,5  Chú ý: HS có th  gi i theo ph ng pháp th   x 2  theo y t  ph ng trình th  hai vào ph ng  trình th  nh t.   x = 0  x ln( x + 2 )   Suy ra hình ph ng c n tính di n tích chính  = 0 ⇔  III.  Ta có ph ng trình 2  4 − x   x = −1  (1,0  m)  là hình ph ng gi i h n b i các đ ng  x ln( x + 2 )  y  =  ,  y = 0 ,  x = −1 ,  x = 0 .  4 − x 2 0  0  x ln( x + 2 )  − x ln( x + 2 )  Do đó di n tích c a hình ph ng là  S  =  ∫ d x = ∫ d x . .  4 − x 2 4 − x 2  −1  −1  − x  d x  t  u = ln( x + 2 ),  d v = d x . Khi đó  d u =  , v = 4 − x 2    x + 2  4 − x  Theo cơng th c tích phân t ng ph n ta có  0  0  −1  −1  S  =  4 − x  ln( x + 2 )  − ∫ 0  4 − x 2  4 − x 2  d x = 2 ln 2 − ∫ d x .  x + 2  x + 2  −1  0,5 www.VNMATH.com π t  x = 2 sin t .  Khi đó  dx = 2 cos t d t . Khi  x = −1, t  = − ; khi  x = 0, t  = 0 .  6  0  Suy ra  I  = ∫ −1  4 − x 2 d x = x + 2  0  − Suy ra  S  = 2 ln 2 − 2 + 3 − IV.  (1,0  m  0  0  0,5  π 4 cos 2  t  ∫π 2 sin t + 2 d t = 2 ∫π ( 1 − sin t ) d t = 2 ( t + cos t ) −π = 2 + 3  − 3 .  − 6  π 6  6  3  +) T  gi  thi t suy ra  SH ⊥ ( ABCD ).  V   HF ⊥  AC  ( F ∈ AC )  ⇒  SF ⊥ AC  (đ nh lí ba đ ng vng góc).  Suy ra  ∠SFH  = 60 0.  K   BE ⊥  AC  ( E ∈ AC ).  Khi đó  S  I  K  1  a  2  HF =  BE = D  2  2  3  A  F a  2  E  H Ta có SH  = HF . tan 60 0  =   J  2  a 3  1  Suy ra  V S  ABCD  =  SH . S ABCD  =   B  C  3  3  +) G i J, r l n l t là tâm và bán kính đ ng trịn ngo i ti p tam giác AHC. Ta có  AH . HC . AC  AH . HC . AC  3 a  3  r  =  = =   4 S AHC 2 S ABC  4  2  K   đ ng  th ng D  qua  J  và  D // SH   Khi  đó  tâm  I  c a  m t  c u  ngo i  ti p  hình  chóp  S. AHC  là giao đi m c a đ ng trung tr c đo n SH và D  trong m t ph ng (SHJ). Ta có  IH =  IJ 2  + JH 2  = 0,5  0,5  2  SH  + r 2 .  4  31    32  Chú ý: HS có th  gi i b ng ph ng pháp t a đ   1  2  2  2  V.  T  gi  thi t ta có  3 ( x +  y + z ) = ( x + y )  + z  ≥ ( x + y + z )    2  (1,0  Suy ra  x +  y + z ≤   m  Khi đó, áp d ng B T Cơsi ta có  8  8    8  8    1   + + 4  + P =  ( x + z ) + +  +  ( y + 2 ) + x + z  x + z    y + 2  y + 2   x + z   8  8  2  ≥ 12 + 12 + − 2 ≥ 22 + ≥ 26 .  ( x + z )( y + 2 )  x + y + z + 2  D u đ ng th c x y ra khi và ch  khi  x = 1,  y = 2 ,  z = 3 .  V y giá tr  nh  nh t c a P là 26, đ t đ c khi  x = 1,  y = 2 ,  z = 3 .  1. (1,0 đi m)  VIa.  Ta  có  A (− 3 ;  − 8 ).  G i  M  là  trung  m  BC  A  (2,0  ⇒  IM // AH    Ta  suy  ra  pt  IM  : x − 2 y + 7 = 0 .  m)  Suy ra t a đ  M th a mãn   x − 2 y + 7 = 0  ⇒ M ( 3 ; 5 ).   I  13 x − 6 y − 9 = 0  Suy ra bán kính m t c u là  R = a  B  Pt đ H  M  0,5  1   − 2  y + 2  0,5  0,5  C  ng th ng  BC : 2 ( x − 3 ) + y − 5 = 0 ⇔ 2 x + y − 11 = 0 .  B ∈ BC  ⇒ B( a ; 11 − 2 a ).  Khi đó  0,5  www.VNMATH.com a = 4   T  đó suy ra  B ( 4 ; 3 ), C ( 2 ;  7 )  ho c  B ( 2 ;  7 ), C ( 4 ;  3 ).  IA = IB ⇔ a 2  − 6 a + 8 = 0 ⇔  a = 2  2. (1,0 đi m)  Ta có  AB (1 ; − 1 ;  2 ),  AC ( −2 ; 1 ; − 3 ).  Suy ra pt  ( ABC ) : x −  y − z − 1 = 0 .  G i tâm m t c u I ∈ D ⇒ I ( 1 − t ;  2 t ;  2 + 2 t ) . Khi đó bán kính đ ng trịn là  2 t 2  + 4 t + 8  2 ( t + 1 ) 2  + 6  = ≥ 2 .  3  3  D u đ ng th c x y ra khi và ch  khi  t  = −1.  Khi đó  I ( 2 ; − 2 ;  0 ),  IA = 5 .  Suy ra pt m t c u  ( x − 2 ) 2 + ( y + 2 ) 2  + z 2  = 5 .  t  z = a + bi  ( a , b ∈ R ).  Ta có  | z − 3 i | = | 1 − i z |  t ng đ ng v i  VIIa.  | a + ( b − 3 ) i |  = | 1 − i ( a − bi ) |  ⇔ | a + ( b − 3 ) i |  = | 1 − b − ai |  (1,0  ⇔ a 2 + ( b − 3 ) 2  = ( 1 − b ) 2  + ( − a ) 2  ⇔ b = 2 .  m)  9  9  9 ( a − 2 i )  a 3  − 5 a + ( 2 a 2  + 26 ) i  = a + 2 i − = là  s   o  khi  và  Khi  đó  z −  = a + 2 i − z  a + 2 i  a  + 4  a 2  + 4  ch  khi  a 3 − 5 a = 0  hay  a = 0, a = ± 5 .  V y các s  ph c c n tìm là  z  = 2i ,  z  = 5 + 2 i ,  z  = − 5 + 2 i .  1. (1,0 đi m)  VIb.  ng trịn (C) có tâm  I (2 ; − 1 ),  bán kính  R = 2 5 .  G i H  (2,0  m)  là trung đi m AB.  t  AH  =  x  (0 < x < 2  5 ).  Khi đó ta có  I   x = 4  1  2  IH AB = ⇔ x 20 − x  = 8 ⇔  M  2   x = (ktm AH < IA)  H  A B  nên  AH  = 4 ⇒ IH  = 2 .  2  Pt đ ng th ng qua M:  a ( x − 1 ) + b ( y + 3 ) = 0 ( a  + b  ≠ 0 )  ⇔ ax + by + 3b − a = 0 .  | a + 2 b |  4  = 2 ⇔ a ( 3 a − 4 b ) = 0 ⇔ a = 0 ∨ a = b .  Ta có  d ( I ,  AB ) =  IH  = 2 ⇔ 2  3  a  + b  * V i  a = 0 ta có pt  D : y + 3 = 0 .  4  * V i  a =  b .  Ch n  b = 3 ta có  a = 4  Suy ra pt  D : 4 x + 3 y + 5 = 0 .  3  V y có hai đ ng th ng D  th a mãn là  y + 3 = 0  và  x + 3 y + 5 = 0 .  2. (1,0 đi m)  G i (Q) là m t ph ng qua M và vng góc v i D  Khi đó pt  (Q ) : 2 x −  y + z − 3 = 0 .  Ta có  nQ ( 2 ; − 1 ; 1 ), n P ( 1 ; 1 ; 1 ). T  gi  thi t suy ra A thu c giao tuy n d c a (P) và (Q) Khi đó  r  =  IA 2 − d 2 ( I ,  ( ABC ))  =  x = 1 + 2 t     u d  = [n P ,  n Q ] = ( 2 ; 1 ; − 3 )  và  N ( 1 ; 0 ; 1 ) ∈ d  nên pt c a d :  y = t   z  = 1 − 3 t   Vì A ∈ d  suy ra  A( 1 + 2 t ; t ; 1 − 3 t ).  1  1  G i H là giao đi m c a D  và m t ph ng (Q). Suy ra  H (1 ; −  ; ).  2  2  33  8  Ta có  d ( A , D ) = AH  = ⇔ 14 t 2 − 2 t − 16 = 0 ⇔ t  = −1 ∨ t  =   2  7  23  8  17  Suy ra  A (− 1 ; − 1 ; 4 )  ho c  A ( ;  ; −  ).  7  7  7  z1  t  = w  ta đ c  | z 2 w − z 2  |  = | z 2 w |  = | z 2  |  > 0 . Hay  | w − 1 |  = | w |  = 1 .  VIIb.  z 2  (1,0  m)  Gi  s   w = a + bi  ( a , b ∈ R) . Khi đó ta có  0,5  0,5  0,5  0,5  0,5  0,5  0,5  0,5  0,5  www.VNMATH.com 3  ( a − 1 ) 2 + b 2  = a 2  + b 2  = 1  hay  a =  , b = ±   2  2  4 π  4 π 4 π  4 π π  π 3    1  i = cos  + i sin  Ta có  w = cos  + i sin  * V i  w =  + và    = cos  − i sin    2  2  3  3  3  3   w 4 π  Do đó  A = cos  = −1 .  3  3  i , t ng t  ta c ng có  A = −1   * V i  w =  − 2  2  Chú ý: HS có th  gi i theo cách bi n đ i theo d ng đ i s  c a s  ph c.  3  3  0,5 ... NG  I H C? ?VINH? ? NG? ?THPT? ?CHUYÊN   KH O SÁT CH T L NG L P 12 L N 2, N M? ?2011? ? MƠN:   TỐN;    Th i gian làm bài: 180 phút  áp án  1. (1,0 đi m)  a. T p xác đ nh:  D = R  { 2 }.  b. S  bi n? ?thi? ?n: ... ng ti m c n ngang là  y  = −1 ; đ ng ti m c n đ ng là  x = 2   *B ng bi n? ?thi? ?n:  x − ∞ + ∞ + +  y '  + ∞ * Chi u bi n? ?thi? ?n: Ta có  y ' =  − y − + − 1 −1 + y  − ∞  th :   th   hàm  s  c t tr... ng  trình th  nh t.   x = 0  x ln( x + 2 )   Suy ra hình ph ng c n tính di n tích chính  = 0 ⇔  III.  Ta có ph ng trình 2  4 − x   x = −1  (1,0  m)  là hình ph ng gi i h n b i các đ ng  x ln( x +