Tham khảo tài liệu ''đề luyện thi thử tốt nghiệp - đại học năm 2011 - số 29'', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Luyện thi mạng Phiên 1.0 www.khoabang.com.vn Câu I Cho hàm số y= 2x + (1 - m)x + + m x- m 1) Với m = 1, hÃy khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2) Chứng minh với mạ -1, đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đỷờng thẳng cố định điểm cố định 3) Xác định m để hàm số (1) đồng biến khoảng (1;+Ơ) Câu II 1) Chøng minh r»ng víi sè a, b, c, d, e bÊt k×, bao giê ta cịng cã a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a(b + c + d + e) 2) Cho a £ 6, b £ - 8, c £ Chøng minh r»ng víi mäi x ³ ta ®Ịu cã x4 - ax2 - bx c Câu III 1) Giải phỷơng trình cos2 3x 4x + = cos 5 2) Chøng minh r»ng mäi tam giác ABC ta có 2(sinA sin2A + sinB sin2B + sinC sin2C) < (sinA + sinB + sinC)(sin2A + sin2B + sin2C) (1) www.khoabang.com.vn Luyện thi mạng _ Câu I 1) Đề nghị tự giải 2) Trớc hết tìm điểm cố định A (x o , yo ) cho (1) qua A víi ∀m ≠ − Khi ®ã yo = 2x2o + (1 − m)x o + + m , ∀m ≠ −1 xo − m ⇒ yo (xo − m) = 2x o2 + (1 − m)xo + + m (∀m) ⇔ (xo − yo − 1)m + yo xo − 2xo2 − xo − = (∀m) x o − yo = ⇒ yo xo − 2x o − x o − = Giải hệ ta đợc xo = , yo = −2 DƠ kiĨm tra r»ng m ≠ (1) qua (1, 2) Mặt khác y'(x) = 2x − 4mx + m − 2m − (x − m)2 ; y'(−1) = (m + 1)2 (m + 1)2 = víi ∀m ≠ −1 Từ ta thấy, đờng cong (1) tiếp xúc với đờng thẳng y = x (1, 2) 3) Muốn hàm đồng biến khoảng < x < + ta cần chọn m cho 2x − 4mx + m − 2m − (x − m)2 ≥0 víi < x < + ∞ ⇔ 2x − 4mx + m − 2m − ≥ (1 ; + ∞) m≤1 f(x) = 2x − 4mx + m − 2m − ; ∆' = 4m − 2m + 4m + = 2(m + 1)2 ≥ NÕu m = −1 th× tháa mÃn Đặt 2 Nếu m ta cần cã 2f(1) ≥ m − 6m + ≥ ⇔ m ≤ 3−2 ⇔ 4m < < m KÕt luËn : m ≤ − 2 C©u II 1) a + b2 + c2 + d + e2 ≥ a(b + c + d + e) ⇔ a2 a2 a2 a2 − ab + c2 + − ac + d2 + − ad + e2 + − ae ≥ 2 a a a2 a ⇔ b − + c − + d − + e − ≥ 2 2 2 ⇔ b2 + 2) §Ỉt f(x) = x − ax2 − bx Ta cã : f'(x) = x3 − 2ax − b, f''(x) = 12 x2 − 2a = 2(6 x2 − a) Do a ≤ vµ x2 ≥ nên f''(x) f'(x) đồng biến khoảng [1 ; + ∞) f'(1) = − (2a + b) ≥ (do 2a + b ≤ 4) VËy f'(x) ≥ kho¶ng [1 ; + ∞) ⇒ f(x) đồng biến khoảng Lại có f(1) = − (a + b) ≥ (do a + b ≤ −2) VËy víi mäi x ∈ [1 ; + ∞) ta ®Ịu cã f(x) ≥ ≥ c (điều phải chứng minh) www.khoabang.com.vn Luyện thi mạng _ Câu III 1) Đặt cos 2x = t (| t | ≤ 1) ta sÏ tíi 4t − 6t − 3t + = (t − 1)(4 t − 2t − 5) = hay Phơng trình có hai nghiệm t1 = , t = − 21 + 21 thích hợp, nghiệm t = > bị loại 4 Từ tìm x 2) Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với < sinA(−sin2A + sin2B + sin2C) + sinB(sin2A − sin2B + sin2C) + sinC(sin2A + sin2B − sin2C).(1) Ta cã : −sin2A + sin2B + sin2C = −2sinAcosA + 2sin(B + C)cos(B − C) = 2sinA[cos(B + C) + cos(B C)] = 4sinAcosBcosC, (1) tơng đơng với a cosBcosC + b2 cosAcosC + c2 cosAcosB > (2) Nếu ABC tam giác nhọn hay vuông (2) hiển nhiên Giả thử ABC tam giác tù, chẳng hạn có góc A tù Thế a = b2 + c2 − 2bc cos A > b2 + c2 , vËy (cosB, cosC > 0) a cosBcosC + b2 cosAcosC + c2 cosAcosB > (b2 + c2 ) cosBcosC + b2 cosAcosC + c2 cosAcosB = b2 cosC(cosA + cosB) + c2 cosC(cosA + cosC) > bëi v× dÉu cosA < nh−ng cosA + cosB = cos A+B A−B cos > 2 Luyện thi mạng _ www.khoabang.com.vn C©u IVb 1) Gọi K chân đỷờng vuông góc hạ tõ O xuèng (d) Ta cã: sina = a OK ị OA = sina OA Trong tam giác vuông SOA ta cã : SA2 = SO2 + OA2 Nhûng 8a 5 a ; SA = OA = VËy 3 sina 25a 64a a2 Þ 25 = 64sin2x + = + 2 9 sin a sin a SO = 1 Û sin 2a = Þ sina = Þ a = 30 (ở ta không lấy giá trị sina = - a góc tam giác) ^ ^ 2) Đoạn SO cố định,OES = OFC = 90o Điểm E F di chuyển nhỷng luôn nhìn đoạn cố định SO d ới góc vuông, E F nằm mặt cầu đỷờng kính SO Mặt khác E F di chuyển nhỷng luôn nằm mặt phẳng (S, d) cố định Vậy E F nằm giao tuyến hai mặt nói Giao tuyến đỷờng tròn, kí hiệu (g), nằm mặt phẳng (S, d) Hạ OH ^ SK ta có H thuộc mặt cầu đỷờng kính SO Mặt phẳng (SOK) mặt đối xứng hình cầu đỷờng kính SO Ta lại có mặt phẳng (S, d) vuông góc với mặt phẳng(SOK) Do đỷờng tròn (g) nằm mặt phẳng (S, d) phải nhận SK làm trục đối xứng Do H thuộc (g) nên SH đỷờng kính đỷờng tròn Đảo lại : Lấy điểm F (g), F khác S khác H Nối SF, SF thuộc mặt phẳng (S, d) SF kéo dài cắt (d) ^ B Nối OB,dựng góc vuông BOA mặt phẳng P (A d) Nối SA, cắt đỷờng tròn (g) E Vì E, F nằm (g) nên E, F nằm mặt cầu đỷờng kính SO, OE ^ SA, OF ^ SB Vậy tập hợp điểm E F đỷờng tròn (g) - giao mặt cầu đỷờng kính SO mặt phẳng (S, d) - trừ hai điểm S H Luyện thi mạng _ www.khoabang.com.vn 3) Gọi M điểm AB Vì tam giác AOB vuông O nên M tâm đỷờng tròn ngoại tiếp tam giác Tâm I hình cầu ngoại tiếp tứ diện SOAB phải nằm giao mặt phẳng trung trực R đoạn SO với đỷờng thẳng (D) vuông góc với P ®iĨm M Do ®ã ta cã MI//SO vµ SO = 2MI Nèi OI, nã gỈp trung tun SM cđa tam giác SAB G: Ta có : G'M MI G'M = = Þ = G'S SO SM VËy G’ trïng víi t©m G cđa tam giác SAB Hay nói cách khác ba điểm O, G, I thẳng hàng Luyện thi mạng Phiên b¶n 1.0 www.khoabang.com.vn Câu IVa Trong mặt phẳng cho hai đỷờng thẳng (D ), (D ) có phỷơng trình (D1) : (D2) : kx - y + k = 0, (1 - k2)x + 2ky - (1 + k2) = 1) Chøng minh r»ng k thay đổi, đỷờng thẳng (D ) luôn qua điểm cố định 2) Với giá trị k, hÃy xác định giao điểm (D ) (D ) 3) Tìm tập hợp giao điểm đó, k thay đổi Câu IVb Trong mặt phẳng (P), cho điểm O cố định, đỷờng thẳng (d) cố định không qua O, góc vuông XOY quay quanh điểm O : cạnh Ox, Oy cắt (d) theo thứ tự A B Trên đỷờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) qua O, lấy điểm S Gọi a khoảng cách từ O đến (d), OAB = 1) TÝnh gãc α OS = 8a , SA = OA 3 ∧ 2) H¹ OE ⊥ SA, OF SB Tìm tập hợp điểm E, F gãc vu«ng XOY quay quanh O 3) Gäi G trọng tâm tam giác SAB, I tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OSAB Chứng minh điểm O, G, I thẳng hàng ... SO, ®ã OE ^ SA, OF ^ SB VËy tập hợp điểm E F đỷờng tròn (g) - giao mặt cầu đỷờng kính SO mặt phẳng (S, d) - trừ hai điểm S H Luyện thi mạng _ www.khoabang.com.vn...www.khoabang.com.vn Luyện thi mạng _ C©u I 1) Đề nghị tự giải 2) Trớc hết tìm ®iĨm cè ®Þnh A (x o , yo ) cho (1)... thẳng hàng Luyện thi mạng Phiên 1.0 www.khoabang.com.vn C©u IVa Trong mặt phẳng cho hai đỷờng thẳng (D ), (D ) có phỷơng trình (D1) : (D2) : kx - y + k