Nối tiếp nội dung phần 1 tài liệu Tuyển tập 90 đề thi thử Quốc gia môn Toán (Tập 3), phần 2 giới thiệu tới người đọc phần dự đoán các đề thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo, giúp bạn đọc có những định hướng ôn tập một cách tương đối chính xác và có thêm những kiến thức bổ ích, có hệ thống cấu trúc đề thi Đại học các năm.
Trang 1Tuyển tập 90 đà thì thứ đại học, cao đẳng mơn Tốn ¬ Lovebook vx 1) Có thế chứng mỉnh AI L MN như sau:BC 1 (SAK) = MN £ (SAK) => MN 2 AL
2) Cé thể làm theo phương pháp tọa độ:
Chẳng hạn chọn hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz sao cho
K(0;0;0),D (5:0;0).c(-$;0;0) alo -Ẻ, 0) ,§ (s 18, h) trong đó h là tọa độ đài đường cao SH của hình chóp S.ABC
Câu IV.2a,
Cách EPt đường thẳng (P)chứa đường thẳng A; có dang:
a(x~ 2y +2—4) + B(x-+ 2y— 2244) = 0 (d2 + B2 0)
<> (a + B)x—- (2a—~ 2B)y + (a ~ 28)z—4a+ 46 z Ô
Vậy Tp = (d + [; —2œ + 2B; a — 2B).Ta có > = (1; 1;2) II Asvà Mạ(3;2; 1) € Ad ^À
c
npủa = G mw B= O ty we A
(P) I "nh (ue (py Vay P):2x-2=0 ee
Cach IL Ta cé thể chuyển phương trình Á¡ sang dạng tham số như sau: aye
Tir ptA, suy ra 2x — z = 0, Đặt x = 2t = buf : ae 2=> My (0; AOE ay i tị = (233; 4) Il Ay
| ổ tìm tọa đệ điểm in € Á¡ bằng cách cho x = Ö sẽ y = x2 = Ơ za © vành =([Ƒ2 1 ;| 1 11,|1=2D) = @;a3) ros
Trang 2Tuyén tân 90 đề thi thir dai hoc, cao đẳng mơn Tốn Lovebook.vn Vậy la — 1| = 2V3 + 2 ` | Ây _ 7+4V5 6+2V3 Ề THI:a, = 2/3 +3 = 6 (A, 3 *) —4V3—1 —6—2V3 TH2: a; = —2V/3— 1> Ge CS) 3 3 ach li: Goi []4 tam dweng trén ndi tiép AABC Vir = 2 = y, = £2 x~ 4 i Pt BI:y = tg30°.(x— 1 = y = tg30° (x — 1) Fi => x, 1+ 2V3 i
TH1: Nếu A và O khác phía đối với B = xị = 1 + 2ã 5 x ì Pad
Trang 3Tuyển tập 90 dé thi thir đại hoc, cao đẳng mơn Tốn _Lovebook.va
_ DE THI TUYEN SINH DAI HOC, CAO DANG KHOI A ~ 2003
5 „ x? Ex
Cau 1: Cho ham sé y = aa (1)(m là tham số)
1) Khảo sất sự biến thiên và vẽ đồ thị ham sé (1) khim = —1
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cất trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ đương, Cau 2: 1) Giải phương trình: cotgx = 1 = an, + sin? x — ` gin2x i + tex 2 “ \ 2) Giải hệ phương trình x Ty sy 2y=x” +1 c Câu 3: 2 o
1) Cho hinh lập phương ABCD.A'B'CDP' Tính số đo của góc phẳng nhị ait ACD
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông gốc Oxyz cho hình "chữ nhật ABCD A'B'CD' có A tròng với gốc
của hệ tọa độ, B(a; 0; 0),Đ(0;a; 0),A'(0; 0; b)(a > 0,b > o đồi là trung điểm cạnh CC
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA'Mtheo a và b @ a ~ b) X4c dinh ty sé 5 để hai mặt phẳng (A'BD) và (MBDf vuông góc với nhau, + Câu4: % sy x é 1 ” ag
1) Tìm hệ số của số hạng chưa xŠ trong khai tri nữị thức Niuton của |~ + VxŠj ,biếtrần i Ề
Trang 4Tuyển tập 90 để thi thir dai học, cao đẳng mơn Tốn Lovebook.vn
LỜI GIẢI CHITIẾT
Câu 1.2,
¬ BR HEM sor at
Đô thị hàm số y = Sx cat truc hoanh tai 2
điểm phân biệt có hoành độ đương ptf(x) = mx* +x+m=0 A= 1— 4m? > 0 [m} <= 1 cô 2 nghiệm đương phân biệt khác 1 « f(13)= 2m +10 @ a <> “% <m<0 m —— S=——>0,P==>0 |” ; m mo m <@ ^À Bài luyện tập 1: Cho hàm số: c y = xŠ — (3m + 4)x? + (2m + 1)x + m + 2 oe
Tim m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn -1 ‘Ne
Trang 5Tuyẫn tập 90 đề thi thir dai hoc, cao dang won Toda _Levebook, ve Trường hợp này hệ vô nghiệm —Ì +V5 mỈtPVB\ /—t—v5 —1— vỗ Vậy nghiệm của hệ phương trình 1A: (xy) = ain,( 5 v5 2 *),( 2 , 5 ” Nhân xót: Sai lầm trước hết là cho rằng 1 1 fxg} =t— + ta 6 f(t) = 1+ 8 > 0 ® hàm số f(9 đồng biến 1 Do đá từ phương trình xs ny~= 3 f(x) = fly) <> x = y (7) 1 Thue ra f(t} = t h đồng biến trên (—eo,0)và trên (0,+ea) \ 1
Nói cách khác t— cha t =at~ 1 = 0luổn có 2 nghiệm phân biệt, ay
Sai làm thứ hai xảy ra khi giải phuong trinh x? ~ 2x + 1 = 0 Một số thí sinh cho sings b +e 0 thi xX, = Lx, = : (điều này chỉ đúng với phương trình bậc 2 ax? + bx +c= 0 (ag) ‘
Với phương trình đại số chắc chắn có một nghiệm bằng 1, ngoài ra có thévbn nghiệm khác Để tìm các nghiệm khác cần phân tích đa thức đó ra thừa số bằng cách thực hiện phép chia đa thie pho (x— i) oo
Một sai lầm nữa cũng đễ mắc phải ở đây là nhiều bạn sẽ cho ko phương trình x2 + x + 2 vô nghiệm nên xt ob + 2 we 0 cũng vô nghiệm () Œ 2 Day ự2 ~ + 2 oe Dye mz ye om Các bạn luyện thêm bài sau: a) {com 5 siny _ : z ỳ b) fe ee OY 5 4y (Xét chiều biển thién cha ham f(t) = t— sìn t or Vậy giá trị m cần tìm là : ~5<m<0, o ? Ö_€ Câu 3; O
1) Cách 1 Đặt AB = a Gọi H là hình hiếu vuông góc của B trên AC, Ag |
suy ra BH 1L A'C,mà BB L (ach BD 1 A'C,do dé A’C 1 (BHD) TT, be
= A‘C 1 DH Vậy góc phẳng Ghi điện [B,A'C, D]là góc BH aren
Xét AA'DC vuông tại Dahon là đường cao, Ta có DH.A'C=CD.A'Ð B les fh TU f
=> DH = CD.A'D set v2 Ă aV2 a“ — feo en
AG “ aV3 vã onan À
Tương tố BC vuông tại B có BH là đường cao và BH = v2 A p
Mặt bác 2a? = RD2 = BH? + DH? — 2BH DHcosBHD = = th ~ 2S cosBHD ` Do đó cosBHD = -5 => BHD = 120°,
Cach 2.Ta cé BD 1 AC => BD 1 A‘C (dinh ly ba dong vudng géc) Tương tự BfC 1 A’C = (BC'D) 1 A'C Goi Ha giao điểm của A'Cvà (BC’D) => BHD ia góc phẳng của [B; A'C; DỊ,
Các tam giác vuông HA! B, HA!D,HA/C'hằng nhau = HB = HC! = HD
=> Hla tâm ABC'D đều = BHD = 120°
Trang 6Tuyễn tập 90 đề thủ thứ đợi bọc, cao đẳng môn Toán oe Lovebook.vn b 3
2) a) Từ giả thiết ta có: C(a;a;0); C'(a;a;b) => M (a; ais), , > Vậy BŨ = (~a;a;0),BM = a tay , = (0a; 2)^ = [BB,BMI =(S + 2 2 , | 8' : H ⁄⁄, 3a*b i + BA’ = (2; 0:b) = [BD,BM).BA’ = ——> : m———bw ———k a 2b ‘Ade VÉ 4 Do dé Vepa'm = 5 [50 BH) BS =A , “ _ ⁄ Vu
Ngoài cách giải của bộ, ta có thể làm như sau; Bie —C
Đặt § = Sgpa,V = VAgcp.A'B'C!Đ! = a?b, x |
Kí hiệu h,hạ,hạlần lượt là khoăng cách từ các điểm M,Œ,C' đến mp(BDA') thih = $4 ay | on * * + # f = ab ah 2 4, O b) M&t phang (BDM)cé véc tophap tuyến là = [BD, BM] = (=: zig ) Se oY Mặt phẳng (A'BD) có véc tơ pháp tuyến là te = [BD,BA]=Gbraba) `: / 24,2 a* ht “y Do dé (BDM) 1 (A’BD) © iii, = 0 “5 +h Ta =098=b@ =1 ay Câu 4.1 - ° Ta có CR† — CP.„ = 7(n + 3) o> (CREP CB) ~ Chis = 7Ín + 3) % Wf 2){n+3 ‹ c 01201 1Ÿ) —7(n 43) c>n+2<7221< 14 2ï | n =12 ae as gà 12—k \ » Số hạng tổng quát của khai triển là Ch, (x3)* (2) x CK oy 60—11k 60 — 11k wes oO Ta có x 5 mXẾ m———m 2 n $? k = 4, 12! OY Do a6 hé cia sd hang chita x® » Ch, = “2= =e 11 ce ul) ba a = OE? Luyén thém bai sau: oS r1 42 cư) Cách khác(+ýx5) = Hãy xác định số hạng tox trién (cả +x “B) biết rằng C? + CR”1 4 Cho? = 79 (x > 0) Cau 4.2, ae * 2a ae
inh tich phan I js
Trang 7Tuyén tap 90 dé thi th dai hoc, cao đẳng mơn Tốn | Lovebook yx 5 canieore V5 c ng = nao | sint -n|aslE a 1—cosœ 1 1 5 T ínhtanz Re a a Teed g Suy ral tỉ ==Ìn, 113 kưn ý: Giả sử cần tính | f(x)dx Xo Vax? +b + Néu f(x) = xJax? + b hoặc fŒ) = ——— thì có thể dùng phép biến đổi t = Jax? +b 1 ‡ + Nếu fQÒ = => thÍf ta có thể dùng phép đổi hiển mx+ n = = 6 rnx+ nVaX£ + bx+€ +bx+c épmep t \ cờ "VES xe Oo Luyện thêm: a J5 vệ ) dx b)ìl= Na ) RTT > sO) ae _ Với mọi,Ÿ ta có lf+ð| <l8l+Ïl@ — —- 3 vi f+ VỊ? = ñ +? + 20 ý < IJ? + J2 + 2{đl || = (+ ys Đăt3 ft) tulad oa Đặt ä = (x3) =(v2).2 (s2) % oe Ap dung bat dang thite () ta e6 [3] + [| + fa] = [2 + BS > |lä+ + Or 1 1 4 “ 1 1 ty?
far Pos [yt de 242 Zhe we vt ee ee oe oe
Vay P k “ath tắt h oe hevra+ C+ 5+)
Cách 1; ta có ả ö Ch »
‡
t> le+y+gt+(S+)
Œ+y+2)\' cả
với tzx (3/xyz aan = 5
Đặt QŒ) = 9t bì oe nã 9 a 0,v e (0; |= (t) gidm tra (0:5 t 9 Q(Ð giảm trên ra] = Q(t) ft) = 82, Vậy P > /Q0) > v82 ae 1 (n#ề"= " xây ra khi x= ÿ = 2= QÌ Cách 2:Ta cô 1 1 4? 1 1 4# 2 — _— — Em] 2 a et — — 2 (x+y +z) +4543) 81x + y+ 2) +4543) 80(x + y +2) 1 4 oi > 18G+y+2)( + +2) — 80(x+y + 22? > 162 — 80 = 82 Vậy P > v82 1
Dấu " =" say rakhix=y= z= 5
Ngoài cách giải của Bộ, các bạn tham khảo bài viết của thầy Đặng Thanh Hải và Nguyễn Anh Dũng trên báo Toán Học Tuổi Trẻ tháng 7/2003 sau:
Giả thiết của đề bài gợi ý có thể sử dụng các bất đẳng thee(BBT) sau {chỉ xét khi x, y, z >0) Dxtyt+2stl
Trang 8Tuyển tập 90 dé thi thir dai hoe, cao đẳng mơn Tốn Lovebook.vn a 2) œ+y+2)( + 5+ =\> 9 Đẳng thúc xây ra khi x = ÿ = ? Chứng minh BĐT bên trái dựa vào BĐT cô-sỉ ,Bu-nhi-a-côp.xki hoặc khai triển rồi sử dụng BĐt Cô-si cho hai số 4) (a? +b?)(C? + đ?) > (ac + bở)? b Đẳng thức xảy ra khi : =q Chứng minh (4) bằng cách khai triển rồi sử đụng bất đẳng thức Co-si cho hai SỐ: 5) lai + bị + đái đàn of (aq bag + ay)* + (by + bg + bạ)? ^À Az 3a c Đẳng thức xảy ra khi SE ne aad Chứng minh: và ¬"Cách 1: trên mặt phẳng với hệ tọa độ Đề: các vuông góc xét các điểm 0(0;0) M(a;;b,3,N(az;b¿}, obs) Từ OM + MN + NP > OP suyra (5) ay
Cách 2; Đặt vế trái của (5) là T, bình phương T và sử dụng (4) được
T? > at +.a3 + af? +b? + b3 + bg + 2(a,az + bybz) + 2(a1a3 + bibs) + 2(azas ~ pads)
= (ay +a -+ag)* + (b, + bz +b;)* `
6) Đặt vế trái của (9) là S thì (9 œ S > VB2 Ta thử tìm a trixy.z dé cé đấy Đằng xây ra ở Œ 1 82
Thay x= y =y > 0 vào @) được” "5`
Trong quá trình giải cần luôn chú ý nếu sử dụng BĐT nào thì dấu bằng của BĐT xây ra đều phải thỏa mãn (6) để đảm bảo ¬ sẽ có đấu bằng xảy ra ở (9 tet be ne or O
Xin trình bày tôm tắt một số cách chứng mình BĐT(®) _`
Hướng dẫn giải 1: sử dụng BĐT Cô-sỉ Bu-nhi-a-côp;XBi oS Cach 1 a: S¥ dung (4) cé , or KG: Za oo a 1 hn „ ws zs Đẳng thức xảy ra khi : wa = x= 3 th éa man (6) Twong ty déi voi y,z ta có : `" ÔÔÔÒ +2 (7) Từ (7) sử dụng (2), (1) có : ` | 1411 V825 > 81x + y +2) +9(J++2)~80%+y+3) | 1.1.1 > 2.93 (ty +2) + (24542) — 802 162-80 = 82, Hoặc từ (7) sử dụng (2), (1) có :
(BIS > ety +2) + Bt ns (xt ba) pt ee 2 80 = 82 ety aT oyyen y Xtytz Xty+tz~ ~
Trang 9Tuyến tập 90 dé thi thir dat học, cao đẳng môn Toán - *aveboal,vn v82 228, S04 82 > V85 3 9" 27\x y 2/3 27 35 Bài tập luyên 2: Cho ba số đương x,y,z thôa mãn x + ÿ +z < 1 Chứng mỉnh rằng với hai số thực không âm a bất kì b < 81 ta có: b b
lax? teat lay? tat lẽ + >va+8ïb
Bạn hãy tổng quát hóa đơn đối với xŸ + xổ + + Xạ < 1 -Hướng dẫn giải 2: Sử dụng BĐT Co-si cho nhiều số :
pa SP Sen xay xe "* ” g1y2 81x2” ”““ |(81x2)81” “Ug8ixs = ^À
f
Đăng thức xây ra khi x? = Spa PX théa min (6) aad Tương tự đối với y,z sử dụng BĐT Cô — si cho 3 số và (3) có: we 82 f 1 1 ot 82 3 ye s> tee ( ttt tn) > ve VSEE AIO “A fyt0 | 240 J 32/3340 “/(xyz)10 =) Œ ` Bài tập luyện 3: Chơ ba số đương x,y,z thỏa mãn x + y + z £ 1 Chứng vĩnh rằng với số tự nhiên n>1 bất kì có : ae 1 1 i “> o fers cty tủ beads 83.3n~2 ay b) pers + y+ + dee Bạn hãy tổng quát hóa với X; + x; + + xi - pag 1 Hướng dẫn giải 3: Đặt R = (x+y sais ở Sử dụng BĐT (5) có S > VÑ ta giÊthúng minh R > 82
Đăng thức xảy khi: x2 = v2 LS? o> x y=z (9)
Cách 3a: sử dụng BĐT CỀŠsi cho hai số và (1), (2) có
i of 1 1 1
R= suey gre toe 3 ~E0G+y +2)? > 18G +y+)( + +t +=) ~80 > 162-80 = 82
= (8), Digg Qi a cry +2) = 4! += ; kết hợp với (9) thi thỏa mãn (6) Cách 3& Đặtt = Œœ + y + 2?sử dụng (0,2) có:
4Š 81 1, 80
REtt——a(t+s}+—2 2+ 80 = 82 = (8)
`
Đằng thức xây khi t= + œ t2 = 1, Kết hợp với (9) thì thỏa mãn (6)
Trang 10"Tuyển tập 90 đề thủ thứ đại học, cao đẳng mơn Tốn Su HC " Lavebook.vn DE THI TUYEN SINH DAI HOC, CAO DANG KHOI A- 2004 Câu 1: —yx? ~ Cho hàm số: y = ay (1) 1) Khảo sắt hàm sd (4) 23 Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại bai điểm A, B sao cho AB=1, Câu 2: ^À rere ‘ 1) Giải bất phương trình: ch +Vx—3> = „ < 1 eo .3) Giải hệ phương trình | aan vs” 2 Câu 3: Se
(1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(0; 2) và B(—V3; —1) wo trực tâm và tọa độ tâm
đường tròn ngoai tiếp của tam giác OAB v £
(2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đầy seb là hinh thoi, AC cat BD tại gốc tọa độ O
Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0),S(0; 0; 2/2} Gọi M là trung điểm chad S SC
a) Tinh góc và khoảng cách giữa hai đưởng thắng SA, BM gq
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SP tại điểm N Tinkythe tích khối chóp S.ABMN, Câu 4: oad z ‘ x ‘ 1) Tính tích hânL= [— ==d One ) P J itvx~1 S 2) Tim hé sé cha x® trong khai triển thành đa thức của [1 + x°(1 ~ x)Ÿ Ø Câu 5: O
Cho tam giác ABC không tù, thỏa mốp/iếu kiện cos2A + 2/2 cos B + 2V2cosC = 3,
Trang 11Tuyén tập 90 dé thi thie dai học, caa đẳng mơn Tốn Lovehaok,vn
LỜI GIẢI CHÍ TIẾT
Gầu 12
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y=mh:
—x* +3x-—3 2 —
“Se i =™ o> x4 ++ (Am — 3)x+ 3 — 2m = 0 (+)
Với điều kiện (**) , đường thẳng y = mì cất đồ thị hàm số tại bai điểm A và B có hoành độ x;,x; là nghiệm của phương trình (9, AB = 1€ |Xị = xa] = 1© |xy — xạ]? = 1 €> Œị + xa)? — 4X; = 1 ® (2m ~ 3)? = 4(3 ~ 2m) = 1 & m = i a ` (hỏa mãn (+) ) ay Cầu L1 ` Điều kiện :x > 4 we Bất nhương trình đã chớ tương đương vơi bất phương trình : aye (2G? — 16) +x=3 >7 =x © JUG 16) > 10 — 2x rae
+ Nếu x > 5 thi bất phương trình được thỏa mãn , vì vế trái dư phải âm
+ Nếu 4 < x < 5 thì hai vế của bất phương trình không âm n BNN phương hai vế ta được :
2G — 16) > (10 — 2x)? em x? ~ 20x + 66 < 0 © 10x đ3# < x< 10 + V32
Kết hợp với điều kiện 4 < x < Sta 0610 = V34 < x ZlÄ Đáp số x > 10— v34
CÂuIL2 Biều kiện: y > x và y > 0, oF Ờ 1 ae” 4 log: (y — x) ~ logy ~ = 1 < — log, (y ~¥)-log,— = 1 = y or y ne ete _ 3y \ eR = Thế vào phương trình TỶ 2 25 tac6 ( » +y?=25 © y = +4, “> —log,™
So sánh với điều kiệm Ea được y = 4, suy ra x = 3 (thỏa mãn y > x) Vậy nghiệm clade phuong trinh 1a (3;4)
Cau HEL 2“
+ Đưng thang qua O, vuông góc với BÀ(V3; 3)có phương trình Vẩx + 3y = 0, Dadi thẳng qua B, vuông góc véi OA(0; 2)có phương trình y = —1
(Đường thẳng qua A, vuông góc với BÕ(V3; 1)có phương trình Vấx + 3y — 2 = 0 Giải hệ hai (trong ba)phương trình trên ta được trực tâm H(Vỗ; ~1)
+ Đường trung trực cạnh OA có phương trình y= i, Đường trung trực cạnh OB có phương trình Vẩx + y +2 = 0
Trang 12Tuyển tập 90 dé thi thir dai hoc, cao ding m6nTodn k0W€b00ïVW
(Đường trung trực cạnh AB có phương % |
trình ¥3x + 3y = 0
Giải hệ hai(trong bằng nhau) phương
S(O; 0; 2/2)
trình trên ta được tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB bà 53; 1) Gui Za + Ta cé:C(~2; 0; 0), D(0;—1; 0), M(-1; 0;v2) SA = (2;0;—2V2), BM = (-1; —1; v2) Gọi œ là góc giữa SA và BM Ta được cosg = [cos(SA, BM)| _JSABMI 8 - BIEMI “+ 'Ta có [SA,BM] = (~2V2; 0; ~2), TP Se A ake ak ee! sea nck at ya tev et BH * TA bt oe ae ae ek ae oe Sree oe en oe} x TC v ÄB = (—2; 1;8) eo” A0:00) bờ I[SABM].AB ; (4 Vậy: dGA,BM) = GIẾT = 2¥6 A” ¥ TIPM] 3 ` Câu HL2°b, 42 'Ta có: MN í AB CD = N B trung điểm SD = NCO; Fi v2) oF a, YY SK = (2; 0;-2¥2), SM = (—1;0;—2),5B(0; 1;—2V2),SN SN (stl 51-V = [SA, SM] = (0;4¥2;0) v 2/2 on at Veamn =¿|lSA,SMỊI.SB a= * ý oe Vsamn = & = |[SA SM]|.SN = = tạ Veanm + Wawy = VỀ Câu W1 Ge dx dit: ke ~ text? +1 > dx = 2tdt ae x= +t=0x=2<tÝ= 1 _ peri 2 2 Ta có: Í “=2 Í( ~t+2-—=5)at ữ 1 I 1 i 11 om 2 Ít — —tẺ von = 7j _— ZR inne mee i alse zt + 2t 2ịt + 11] 2/3 gta 2m2] 3 42, Câu W2 [t + x2 — x)]Ê = CỆ + Cậx2( — x) + Cậx'(1 — x)? + Cậx5(1 — x)? + Cẩx”(1 — x}” + Cặx10(1 ~- x)Š + C§x1?(1 — x)Š + Cấx?2(1 — x)7 + Cẩx?®(4 — x)?
Bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8 Vậy xề chỉ có trong các số bạng thứ tư, thứ năm, với hệ số tương ứng là Có C?, Có Cá Vay: ag = 168 + 70 = 238,
CauV,
Gọi M = cos2A + 2V cosB + 2V2 cósC — 3 = 2cos” Á — 1 + 2VB.2 cos cosy ~ 3}
Trang 13Tuyén tap 90 dé thi thir dai học, cao đẳng mơn Tốn Lovebook vn
A BC A
Dosin— 2 > 0,cos <1 nên M < 2cos”A + 4V2sin5 — 4 Mặt khác tam giác ABC không tù nên cos Á > 0,cos? Á < cosÁ Suy ra A A A A A MS 2cosA + 4V2sin> ~ 4 = 2(1~2sin?5) + 4/2sing —4= Asin? + AVEsing ~ 2 A 2 2 ond (Vsin5 ~ 1) < 0.VậyM < 0 cos* A= cosA Theo gid thiét:M = 0; «3 4 6S 2 tes A= 90" 2 v2 Nhận xt \
Giả thiết của bài toán cho biếu thức đổi xứng của hai góc B và C, vì vậy có thể dự đoán Š Ti cân tại đỉnh A Một cách giải _ các bài toán dạng này là sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để đưa biểu eR, B,O) =0 về g(A)=0 hoặc g(A) >
0, hoặc g(A) < 0 Từ đó bằng công cụ đạo hàm g(A) và tìm ra lời giải cho các bàÌgoần 375 Bài luyện tập 1: Tính ba gúc của tam giác ABC néu cosA + V3(cosB + r= 3
Trang 14Tuyén tap 90 dé thi thiz dai hoc, cao dang mon Toản ¬ _*ovebook.vn ĐỀ THỊ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG KHỐI A - 2005
Câu 1:
i
Goi (C,,) 14 dé thị của ham sé y = mx + = (") Gm id tham s6) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số {(”) khi m = #
2) Tìm m để hàm số () có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C„) đến tiệm cận xiên của (Cm) „1 bằng-—— an | f ^À Câu 2: c 1) Giải bất phương trình VẾX CC T~—VK— 1> VN 4 oe
2} Giai phương tì trình cos* 3xcos 2x ~- cos? x= 0
SNE err neers yen ane
~ z re ˆ A = ` = `»
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy chơ hai đường thẳng ÁN dị:xy =0 và dạ:2x+ty~x1<= 0, on
Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCP biết rằng đỉnh A thuộc đị, đỉnh C thuéc da vaght aio B, Ð thuậc trục hoành, 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng % ”
K1 y+ỏ 3 en
1 2"
a) Tim toa 46 diém I thuéc d sao cho khoanh cach te 1 dén ma lăng (P) bang 2
b) Tim toa dé giao điểm A của đường thẳng d va mat phaner } Viết phương trình tham số của đường thẳng A nằm 3 và mặt phẳng Pree yr 2e+9=0 trong mặt phẳng (P), biét A di qua A và vuông góc đói d + ‘ x Oo 2 sin 2x-+ sinx G lỗ St net 10000000225 x ® 4, Vi t3c0SX or
2} Tìm số nguyên dương n sao cho oS
Trang 15Tuyén tip 90 dé thi thir đại học, cao đẳng mơn Tốn Lovebook vit
LỒI GIẢI CHI TIẾT Câu L b Ta có y' = 3x” ~= 6x + 3m Đô thị hàm số có cực trị « phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x;; xa ++ 9 ¬ 9m > Ö @ m < 1 Xy +X, = 2 Theo định lý Viet ta có: { X4X_ = mM Do y = V1, G ~3) ++ 2(m — 1)x + m+ 2 nén toa dé hai diém ewe tri la: ÁG¿; 2GŒm Ix, +m + 2);BG; 20n — Dx, + m+ 2) => AB* = [4(m— 1)? + 11x, —x,)* = 4/41 ~ m)? + (1— m)]
Theo giả thiét: 4[4(1 -m)° + (1 -~m)] = 16,65 « 4(1 ~ m)? + (1 — m) — 260 = 0 © „e3 Đề đơn giản hóa biểu thức tính toán ta đã sử dụng phép chia đa thúc y cho y’ oo
= Đây là một phương pháp cơ bản thường sử dụng trong các bài toán hàm số svacacia đề thi đại học Gơ sở lí thuyết của
phương phắp này như sau: “êm
Giả sử f() là hàm số bậc 3 có hai điểm cực trị A(a;f(a)) và BŒ;f(b)) Khi dort f(x) = (x— c) P(x) + mx + nthi y=mx+n là phương trình đường thẳng đi qua 2 cực trị của đồ thị hàm số ae
That vậy: vì A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số nên ra)=rQuất Do đó: fan mh a Bà A,B € đường thẳng d:y = mx+n „2
Để ứng dụng tốt phương pháp này, bạn đọc cần luyện tập tốt phép chia đa thức
_ Câu]L | > e
Phương trình tương đương: of
2V3sinxcosx ~ (2 cos? x — 1) + 1~ (V3 sgh mes ũ « V/3sinx(2cosx — 1} — (2cosx — pgp 2) = «2 (2cosx — 1)(v3: SỈNX — COSX xB) = 0 COSX = 3 or = be ® sin (x + s) =i] oe X=boet zt k2n ee an 5 KED) x¬g= k2m Xx se a + kan aN
—Bai đầu nhìn vào các đấu hiệu: sin 2x,cos2x, v3 ta đễ bị sa đà vào việc cố đưa về dạng
sin (2x _ 2) tuy nhiên số thực 1 cân trở ta, khiến cố gắng biến đổi không có kết quả => nghĩ cách khử 1 ải Điều đó dẫn đến một cách khác tự nhiên hơn để làm bài này:
pt © 2V3sinxcosx + 2 sin? x =v3(sinx+ VScosx) « (2sinx— V3)(V3cosx + sinx) = 0 Giải cũng ra nghiệm tương tw
—Bài này cũng có thế sử dụng phương pháp đoán nghiệm để giải (nhân tử (cos X — 2 quen thuộc) Xem thêm phương pháp đoán nghiệm giải phương trình lượng giác ở đề 21
Câu 1H,
Hệ phương trình tương đương
(x— y}? (x—y)2
3 1
4x2 — 4y +4y? tẻoss =51 |@+y)2+t3G~y)?+t—=s=51
2x+—=—=7 X _ x©oy + +y+ pee? vi
Trang 16| Tuyén tép 90 dé thi thir dgi hoc, cao ding mon Toda _ovebook.vn a=xd+y 3;b=4 x Ty acon 1 spa }A? +3b2=57 a+b=7 “®lạ=;p=-ễ | 24/6 Với a mz 3; b = 4 ta có: x+y=3 x=š+t3 y1 we yes “_ — = 5-3 143 x—y x“y x2 838 yy = vB es 15 1 - ` * *~ a» ze
Véia = 3Ì b= “3 thay vào hệ phương trình vô nghiệm
Nhận xét: Đây là một bài toán khá hay Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, tác giả giấu ban chất bài toán rất khéo léo Cần phải có tư duy tốt mới có thể giải được Nên ghí nhớ bài này như một kinh nghiệm giải toán, " ` Câu C : +O Tính tích ‘phan’ Í= —#rr3)sin2xdx C3 @®) Biểu thức dạng tích của một đa thức và một hàm điều hòa —+ Sử ứ dụng pp tich phan từng pha» c& - Đặt; u=b° ~4x-+3)=> đu =(2x~4) dâu =sin2vdx => v=~—cos2x củ = ° t ` = “ ¬ 1% _ Alfn? 1, lim 1 - Thay vào C9: I=-s -4x+3)cos2xt 2 [(#x~4)cos2x [3 arbre —2n+3 +zI0) ae | | a 5 H3 5 rt - Tính: J= j@x- 4)eossac= 2 @x- -4)4(sin2x)= (2x ae ha -Jsnase = COS2x|2 =~ 10 0 vớ \
- Thay vào (1) ta có : to} P ace} 3) etait
Nhân xét Một số lưu ý khi sử dụng phương iáp tích phân từng phần trong trường hợp tương tự:
- Bậc của PŒ) càng cao thì số lần lấy pen phân từng phần càng lớn : Nếu bậc của PQQ cao nhất là 2 thì ta phải lấy hai lần tích phân từng phần thì mới ra kết
- Tổng quát : Nếu gặp phải cắc tích phân có dạng : P{x}sin” axdx v P(x}cos"axdx Ta phải sử dụng các công thức hạ bậc: ae
_2 l-cos2x ; l+cos2x 3 3sinx—sin3x 3, 3cosx+cos3x
Như: sin K=mr¡cos x=mism Km 3S xe
Sau đó tách tích phân đã cho thành hai hay nhiều tích phân mà ta có thể tìm được nhờ các gợi ý đã biết, Bạn đọc có thể xem thêm các trường hợp sử dụng phương pháp tích phân từng phần ở đề 26
Trang 17Tuyển tận 90 đề thị thử đại học, cao đẳng mơn Tốn Lovebook vit Câu V, Gọi M là trung điểm của AB, ta có: (oy i AB NM L AB =p SH 1 (ABCD) Cần tính chiều cao SH => AB 1 (SMN) Kê SH L MN Trong tam giác SMN có av3 SM= 3 ;5N = MN = a nén tam giác SMN vuông tại S aV3 SM.SN ==> SH == —— (= 4 = ~MN- 4 a3 = Ve.ancp = 3 SH Sancn = “75 Gọi E là trung điểm của BC, Xét tam giác vuông SMN ta 3a HM SM* 3 cốt HIM = =; HN = 2 (CON Nr?
nên H là giao điểm của MN và DE Gọi K là giao điểm của AN và DE.©>
Kẻ KP 1 SD <> KP 1 AN nén KP là đoạn vuông góc chưng cia sit ÁN Điều “gặp may" lớn nhất của ta ở bài này là tìm fe được DH 1.AN ” DK KP 7 Xét ADSH đồng dạng với ADKP (ø.8)cóy c = sự 4 % avB5 avä "`" hưng _ V30 d TẤN) _ 250 “DS aV/ 20 se 2 aby Câu VỊ, \9 \
Phân tích: nghĩ cách đồn biển vật biểu thức đối xứng 3 biến nên nhiều khả năng sẽ đưa về biến mới là một biểu thúc đối
xứng của 3 biển (tổng, tích, Ges đôi một) "
Lại có hằng đẳng thức¿ + b)(b + ¢}(c + a) = (a +b + c)(ab + bc + ca) - abc
— đồn về biến là on +b + cnhư sau:
Ta có : (a +b)đết c)(c + a) = (a + b + ©(ab + bc + ca) -
Do tye > 3(xy + yz +) => (ab + bc + ca)? > 3abc(a + b + c)
=> al: Phe + ca 2 /3(a+b+d) suýŸà 72 va+b+c+tDC P>(a+b+c)/3@& + b+c) + Đặtt=a+b+c=t>3 Khi đó i LF) = 33v 2/tt+ 133 + D2 = 72
Đo đó f(Q đồng bién trén khoang [3; +00) => f(t) > f(3) = 44 Vậy giá trị nhỏ nhat cha Pla 44 khia= bee = 1
Nhân xét tư duy đồn biến- khảo sát hàm đã trở nên quen thuộc trong các bài bất đẳng thức trong kì thi đại hoc Cau Vila,
P > f(t) = tVŠt+ œ0,vớit z3
Trang 18
Tuyén tap 90 dé thi thir dei hoc, cae dang min Tốn ¬ , _ Lovebook.vn
A
Gọi G 14 trong tam tam gidc ABC Do ID 1 AB va EG }! AB nén ID 1 GE, mat khac ID L DE nén [14 trwe tam tam piac DEG => EEL DC ==>
phương trình ĐC qua M và vng góc với BÍ là: x = 3
Gọi D(3;a}.Ta cé DI = g7 DN = (—6; —a} B
Theo giả thuyết suy ra
DILDN = 0 © -4-a, 3 a (} am=e=—= 4 3 + Véia = 3 thì D(3; 3) suy ra phương trình AB: x- 2y + 3 = 0 «a (t 4 ¬ \ DE = (5: -;) la vécto phap tuyến của Alnén cé ptALx~y~ 2 = 0, ở B G 3 3 é
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ A on
_x—2y+3=0 PRAT) ash suy ra DER) wie
Địa HC _ : | mY
+ Với a = qe DG; 3 | ae
Phương trình AB: 2x + 9y +6 = 0 on
Phương trình AI: 12x + 27y - 89 = 0 =
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: ay
eae 107 a
2x + 9y + 6= 0 Tem x
12x + 27 — 89 = 0 °° - 125 hông thỏa mẫn UN +
T—?>? ST
Nhân xét Đây là một bài toán rất hay và khó, có sử dụng nhiều tiễi thức hình học phẳng Nếu không nằm vững các kiến
thức hình học phẳng này thì rất khó để làm được bài này tiệo “chiều xuôi", khi đó sẽ phải đặt Ẩn là tọa độ các diém A,B,C,
lập hệ phương trình và giải ra nghiệm, tuy nhiên tính qgần sẽ rất phức tạn và đễ nhầm lẫn
Cau Vila C Đ
Trước tiền ta phải để ý rằng A và B đều Ha
Do A, BE (S) va AB = V6énén ban kinh -đuờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
AB
™ 2sinC = v6 a
(vi diéu kiện ZACB = 30° kha fee nen ta phải chuyển về dạng này đễ xử lý hơn) Phương trình mặt phẳng Ti aŒœ%— Ù + bứ — 2) + cz = 0, (a? +b“ + c2 # 0) bo BE (P) a— 2b<Šc = 0 =3 c = 2b — — a (1) Ta có: đ(t,(P)) = se JR? — 1? 2c? = a? +b? (2) Thé (1)vao (2)ta cb: a® — Bab + 7b? = 0 & a=b=c=b a = 7b == c = =5b Với a = b = c, phương trình mp (P): x + y +2 - 3 =0 Với a = 7b, c = -5b, phương trình mp(ŒP): 7x + y - 52 - 9 = Ô Nhận xét mấu chốt ở bài này là chuyển được điều kiện ZACB = 30° về đạng r = V6, phần còn lại không quá khó khăn Cau Xa
Phân tích: đề bài cho các điều kiện khá dài đồng, ta cần đưa chúng về đạng ngắn gọn để hiểu hơn,
+) “Biết rằng giới chuyên môn đánh giá Phong và Đạt ngang tài ngang sức”: xác suất để Phong va Dat thang trong một vận là như nhau và bằng 0,5
+)" khi Dat thắng được 4 vấn và Phong thắng được 2 ván rồi”: nghĩa là Đạt chỉ cần thắng 1 vần nữa là được 5 ván, còn Phong phải thắng 3 vần nữa mới đạt được
Trang 19Tuyển tập 90 để thi thik dai bọc, cao đẳng mơn Tốn Lovebook.vn
Giất
Để xác định xác suất thẳng chung cuộc của Đạt và Phong ta tiếp tục chơi thêm các ván “giả tưởng", Để Phong có thế thắng chung cuộc thì anh phải thắng Dat 3 van liên tiếp (vì Đạt chỉ còn 1 ván nữa là thắng) Như vậy xác suất thẳng cuộc của Phong là: 3 1 + P@ =() =§ => xác suất thắng cuộc của Đạt lâ P@)=1~e i _ Đôi sà cops Mm if ~- _ = tỉ lệ chia tiền phù hợp là \
Vậy chia theo tỉ lệ 7:1 là hợp lí nhất »”
Nhận xét: Một bài toán xác xuất hay, điểm raấu chốt là phải xác định được phươn p lộ "chơi thêm các ván giả tưởng”, sau đó mới liệt kê các trường hợp xây ra và sử dụng các công thức tính xác xuấÊ (sống, nhân) tính ra đấp án, Đây là phương pháp tính xác suất thường được sử dụng trong một lớp các bài toá xác suất trò chơi, Bạn đọc có thể làm thêm
một vài bài tương tụ: | | oe vs — Si
a) An va Binh thị đấu với nhau một trận bóng bàn, người nào tiễng trước 3 sóc sẽ giành chiến thắng chung cuộc, Xác suất An thắng mỗi séc là 0,4 (không có hòa) Tính x4c sudtQn thang chung cuộc
b}) Hai team Trường Sa và Thái Bình thi đấu AOE theo thế thúc chạm 3 cham 4 nghĩa là team Trường Sa thắng 3 ván trước thì Trường Sa thẳng cuộc, team Thái Bình tiếng 4 ván trước thì Thái Bình thắng cuộc (không có ván hòa) Tính xấc suất thẳng chung cuộc của team Trường giết xác suất thẳng mỗi ván của họ là 0,4
C4u Vib 2B
Phân tích: Ta phải tìm cách khai thác điều tiện bán kính đường tròn nội tiếp Đặc điểm của hình elip là tổng khoảng cách
từ 1 điểm bất kì đến 2 tiêu điểm không đối
— chu vi cla AMF,F, không đất» khai thác thông qua công thức diện tích: r = = (p 1a nira chu vi A) O G MF, + MF, + FF Ta có: a = 5,b = 3 = =4 pc EE Wg 2 : 3411 =* SMr,E, = ĐT ace 3 4(M, Ox) 8 = d(M, Ox) = 3 = ly] => yu = £3 oO Do &6 M(m; 3y4.%c Mứm; -3)
Vì M thuộ&(Ế) nên m = 0 Vậy M(0; 3) và M(0; -3) là hai diém théa méin bai ton
: bài toán khai thác một kiến thức hình học phẳng khá thú vị của hình elip, đòi hãi học sinh phải có tư duy linh
hoật và óc sáng tạo hơn là chỉ biết làm bài theo dạng có sẵn
Câu VIib
Sơ đồ giải:
ABCD là hình thang cân
` 2 AB ECD
CFD Đường thang AB ©— [an đi qua À
Be=ABe= Độ dài đoạn AB ©- S,pcnp = 27 Xp > Xa
Trang 20Tuyển tip 90 dé thi thử đại học, cao đẳng mơn T\ ốn Xovebook,VH AB Dat AB = = (237 2t; =+ t> 0Q > x4) = t= a= 2 => AB = (4;4;2) => BC3;3; 2) oo HỆ = 7 AB = (6; 6; 3) => C(6; 3; 5) Vì ABCD là hình thang nén tia AB cing hwéng véi tia DC => 3 , , HD = gAB = (—2; 2; -1) = C(~2; 5; 2) iu Xb, Phân tích: số mũ khá lớn z? khiến ta định hướng sử dụng dạng lượng giác của số phức, Trước tiên ta giải điều kiên để tìm Ta 5 Đặtz =x + ÿi,GŒ, y € R) + Z = X— VÌ {z— 1Œ ~— Ù ss =——s z+ 2h « (4 — 2i)z— (3 + Z = 2 + 4i © (x+ y) + Ấy — 3x) = 2 + 4i ^À (x+y) =2 ¬ = 1 tị= là % 1“ cổ 9 9 oy Do a6 29 = (V2) Co + isin] = 16 + lồi " "Phần thực của ziã 16, Tam vn han do ca zk 160 0 ————————— cai se coe mong đình th kiến tee tay Meee ee re TA eg tee etaee cy Câu L2 “`
2, vac hiya cui ei oe
y'=——>,y'=0 cé nghiém khi va chi khi m>0 > x 6 @ + Nếu m > 0 tìy =0 2X, é = _—m—==,Ä„ i nee 1 Bp co mẻ ˆ đm Ni at Qo Xét đâu V: 6 ca x —œo ——> vm se a we +00 _ , 0 ~ oo + y + ` I lê, G Hàm số luôn cực trị với mọi m>0 i Ne Điểm cực tiểu của (C) là M + 8 Ja ti Cy Tiém can xién (d): y = mx <> ory = =0 HA tr d=-=œ =- em? ~2m+i<>em=l *2 m +1 42 Kết luận: m = 1 Lưu Khoảng cách từ điểm A(xa:yog)đến đường thẳng y = ax + b (A)được tính bởi công thức |axe — yọ + bị d{A, A) = (44) vat +i = ~ ~ ` Le x? = 3x + 4
Bai luyén tip: Che ham sé y = ST
Trang 21Tuyển tip 90 dé thi thé agi học, cao đẳng môn Toổm | Xonebook,vn M5x~1>Ajx—1+^Í2x~4 6 5x~L>2x- 4+x-1+2(Gx=2G- 1) >x+2>./(2x—4)(x—I DĐ @x? +4x+4>2x” =6x +4 <> x? ~10xK<0<0<x<10, Kết hợp với điều kiện ta có: 2< x< 10 là nghiệm của bất phương trình đã cho Câu 11⁄2 Phương trình đã cho tương đương với (1 +cos6x)cos 2x —(1+cos 2x) =0 <> COS6XCOS2X ~Í =0 <> Cos8x +cos4x~2=0 <> 2cos’ 4x +cos4x—3=0 “Y cos4x = 1 CO eos 4x = 5 ~ Vay: cos4x = 1 @x=ko(keZ) OP 2 “
1) Quy về phương trình bậc 2, bậc 3, đối với sin hoặc cosin "` góc nào đó, 2) Biến đổi phương trình về dang tích ne
any, Viéc gidi PT lượng giác có hai hướng thường gặp sau:
Các số hạng cos° 3u, sin? 3u thường được hạ bậc để đưa về cos 6u rồi sau đó dùng công thức góc nhân ba để
để đưa về cos2u *
Bài hyện tân: Giải phương trình: sin? 3x = cor +3
Cau HLL có %
Vi Aed, => A(t;t) cố
Vi A va C đối xứng nhau qua BD Des D thuộc Ox nén C(t; +t)
Vi Ced,nén2t—t~1= 0$ t= =1 Vậy A(1;1),CŒ;—1) `
Trung rung điểm của điểm của A Ød.nn AC] ;0) 4 tam của hình vuông nên hình B= =I
Trang 22Tuyển tập 90 đề thì thử đại học, cao đẳng môn Toản ¬ _ #owebook.vn
VIA thuộc d nên A(1 ~ t3 — 263 40) | | Ta có Á thuộc (P) €* 2(1 ~ 9 + (3 + 20 — 3(3 + 9 +9 =0 €Œ> te 1,
Vậy Á(0;—1; 4)
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến h=(2;1;—2)
Đường thẳng đ có vecto chỉ phương =(—l;2;])
Vì ACŒ)và A L đnên Á có vecto chỉ phương u=[n;u]=(5;0;5) x=t Phương trình tham số của Á : 4 ÿ = =Ì _ ~À 4, Câu V1 we ' hc aye 1 [Eg 0 1+3cosx cv ` 2 O t =1 ^> 008% =2 6 @ Dat: t= J14+3cosx => 3sinx dx A” Mở dt = — eee 2-Ï+3cosx LO & x=09t=2,x= >t vế 2 1 ( 2 34 [= 2——+ 11 -< Ht=—Í(2t?+lI)dt =<“ a) ae —+2 |—=i —=+l | lG sf 3} 51K ” ey B HG) 27 Las: 1) Cũng có thể đặt cosx = t, sau dé anf phan đối với biến t asin 2 sin x fect dcosx 2) Để tính tích phân dang fF ủx, ta đổi biến số bằng cách đặtt = ve + dcosx Bài luyện tập: ` 3 sf ee | sin 2x -+ 3sin x , Tính tích phâ "Í TE= ——=——— -dx ` nh ích phân: Ï Z V6cosx—2 Câu W2
` 2n+I1 = ơ ‡ 3 3 2m thy 2n+E
Ta có: (1+) =C) +E), XC XỔ tO) x tt OK VxeR
Dao ham hai vé ta cé:
(2041) +x)" = Ch, +202, x 43C), xt + (2n + DC x, VxeR
Thay x = ~—~2 ta có:
(Ch 2.202, +3.2?C2 ond 2n4† —4.22C7 ra t(n +2 C2? =2n+], an Theo giả thiết ta có 2n + 1 = 2005 suy ra n = 1002
Ngoài 2 cách trên, chúng ta có thể sử đụng cách sau để giải quyết bài toán: Ta xét s6 hang tng quat: G+ DCS
Cé: G+ CHE = (1+ DCH, trong dé i,k 14 cdc sé nguyên, không âm (các bạn tự chứng mình
Từ đó: C},.¡ — 2.2022, + 3.22C§nv¡ — 4.22G2.¡ +n + (2n + 225C P2}
Trang 23Tuyên tận 96 đề thị thit đại học, cao đẳng mơn Tốn Lovebook, vi = (2n + 1)C2, — (2n+ 1).2C$, + (2n + 1)2°C3, — (an + 1)23CR, + + (2n + 19277038 = (2n + 1)Cân ~ 20}, + 22C? — 29C3, + + 229C2) = (2n + 1)(1~ 2)? = 2n+h Theo giả thiết ta có: 2n + 1 = 2005 = n = 1002, Tau ye 1) Dé tinh tang dang S = Ci + 2aC2 + 3a2Cổ + + na"~1C" tạ xét đa thức PGÒ = (x + ÙP rồi khai triển nhị thức Newton, ta duoc § = P“(a) 2) Dé tink téng dang wh a2? _ bề 3 nen bề ant1 nn prvi a eet ——-Ũ 1 6Ó 1 SE vua xe CHÍ $= a CR beg Ch hg Bb ech
Ta xét da thức PG) = (x + 1)", rồi khai triển nhị thức Newton, ta được: S = J P(x}dx \
3) Với cách giải thứ 3, chúng ta không càn phải sử dụng đến kiến thức đạchaàm, hay tighhphan, chỉ thuần kiến thức của giải tích tổ hợp, Mấu chốt để sử đụng thành công cách này là các em phải tìm được Bg he tổng quát trong dãy và đưa vỀ dạng
đơn giản hơn, : 2Ÿ
Bài luyện thêm: Tính tổng (giải theo 2 cách) | 7 và : a) S= C9 — 201 +3C2 —4C3+ 4(-D"(nt DCR ay b)§= clash acct cất men 3 n+ : on oe o~ cau, chu 1 lẾ1 sy Với a, b >0 ta có: 4ab<(a+b} tb 4 1 Ai +b 4 Ne * b Dấu ”z” xảy ra khi và chỉ khi a=b x Ap dung két qua trén ta cé: &, cr
Trang 24Tuyển tập 90 đỀ thị thit dai học, cao đẳng môn Toản -_ _*⁄0vebook.vn ` 1 if i 1 Tương tự: xryz“00g° ze) 1 1/ 1 3 x+y+2z” 8\W22 jJyz Cộng theo từng vẽ 3 BDT trên ta được : 1 ‡ 1 1/ 1 1 1 _ - <<Í~—d+——d+—= mataatmealp ee) @) Mặt khác từ BĐT Cô-si : - +=2(+2)+;+2)+;+z)> L + + 1 (4)
~ 2\x yi 2Ay z/ 2\x x Jxy fye vmx \
Te (3), suy ra , Uy ty tz x+2y+z x+y+2z” + — 4 fey | | ` Cách 3: Ấp dụng BĐT Cô-5¡ cho 4 số dương hoặc( BĐT Bu-nhi-a-côp-xk `
Trang 25Tuyển tap 90 dé thi thir dai hoc, cao ding mbn Todu 7 Lovebook.vn
DE THI TUYEN SINH DAI HOC KHỐI A - 2006
PHẦN CHƯNG CHO TẤT CÁ CÁC THÍ SINH
Câu Í (2 điểm)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x” — 9x” + 12x— 4 2 Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2l? ~ 9x? + 12|x| = Câu H (2 điểm) 2(cosẼ x + sinđ x) sinxcosx Ơ22sinx ate * x+ty/xy =3 2 Giải hệ phương trình: (xy ER 5 vx+1+/y+i=4 yeR) 1.Giải phương trình: ` c Cầu HH (2 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bình lập phương ABCĐ.A"BGĐ' gr 0; 0), B; 0; 0), D(0; 1;0), A’(0; 0; 1) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD OP
x 1
2 Viét ph lết phương trìn \h mặt phẳng c ứa Á'C và tạo với mặt phẳng cu góc trình hứa A’ ặt phẳng O + œ biết c biết cos œ = “ex Ve 1, Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C va MN, Câu IV (2 điểm) ; = , sỉn 2x d | ra » —— nan Oh Aa 2 Vcos2x + 4sin? w a2 2.Cho haisé thucx # 0,y # 0 thay déi va safe mãn điều kiện: (x + y)xy = x*® + y* —xy | vw
Tim giá trị lớn nhất của biểu thức A = 5
PHAN TY CHON: Thi sinh chọn chủV2thoặc câu V.b
Câu V.a Theo chương trình ng phân ban (2 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng: 2 duxty + 3-90, doix—y~ 4 = O;dyix—2y = 0
Tim toa dé điểm hầm trên đường thẳng d;ạsao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d; bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thiyế d; 1 Tính tích phân: Í = Sử 1 8 2.Tìm nu của số hạng chứa x?® trong khai triển nhị thức Niutơn của (= + z7) paging
Cầng + haga Fn gate tCEiyg = 27° — 1 (nm nguyén dwong, Ck 1a sé td hop chập k của n phần tử), Câu V.b Theo chương trình THPT phân ban thí điểm (2 điểm)
1 Giải phương trình: 3.8% + 4.123 — 18% ~ 2.275 = 0
2 Cho hình trụ có các đầy là hai hình tròn tâm O va 0’, bán kính đầy bằng chiều cao và bằng a, Trên đường tròn đáy tâm Ó lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB= 2a Tính thể tích của khối tứ điện OO'AS
,.,
Trang 26Tuyển tập 90 đề thí thử đại học, cao đẳng mơn Tốn , Lovebook vn -LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 11 y=2x' -0x” +12x—4 TXE: RK
Sự biến thién: y"=6(x’ —-3x+2),y'=0<>x=1x=2
Trang 27Tuyển tập 90 đề thì thử đụi học, cao Bằng môn Toản _— *onebook.vn
Điều kiện: x>—~,y>—Íxy>0 Cách 1;
Đặt t=-xy (t> 0) Từ phương tình thứ nhất của bệ suy ra: x+y=3+t Bình phương hai về của phương trình thứ hai ta được: K+y+2+Qfay +K+y +1 =16 (2) Thay xy =t?,x+y=34t vio (2) ta được: 3+t+2+2t +3+t+.1=16<©2At?+t+4=11—t O<st<ll Ost<sil < 4Œ? +t+4)=(11~а `” |3 +26t~105 2 2 2 | =0 t=3 : c Ầ v Với t = 3 ta có x + y = 6,xy = 9, Suy ra, nghiệm của hệ là @ y) = (3; 3) oe Cách 2: (sử dụng bất đẳng thức) 2Ÿ 3 Từ (Ù cổ x + y = 3 + fxy > 0 suy rax > 0;y > 0 ¬ x Từ ( áp dụng BĐT Cauchy ta có: & a Pom am by › TH ` cy xXry=otvxý s3 ts(xty) 7sx+y s6) ` + *‹<x Từ (2) áp dụng BĐT Bunhiacovski ta có: AS” 4=1Vx†T+l.WW+T1<V12+12/Œ@G+D+ 72 x+y26 (4) sy x=y \ : TY G), @Achx+y = 6 jer = /y¥t 1ô xe y = 3, xty = 3+ fy Lưu € Khi giải hệ đối xứng loại 1 déi vất dn x, y ta đặt S = x + y,P = xy với điều kiện đối với §, P là SẼ — 4P > 0, Luyện thêm; À x+y—xy se Bail: Gidihépe {1 1% x? Nip 2 oo boxe 4 4
Reg med at ox 1 ae ay + yz axes : ——= =
Bài 2: Giá sử x fighiệm của hệ: es +VẺ +22 = 2-CMR: sẤ YZ 3
Trang 28Tuyén tập 90 đề thì thử đụi học, cao đẳng mơn Tốn towebook.vn 20-1 2 I VP +0? 42 ~ 22” _ Vay d(A'C,MN) =d(M,(P)) = Câu H2 Gọi mặt phẳng cần tìm là (Q) :ax+ by+ c +á= 0(a? +bỂ +c? >0) ct+d=0 Vi (Q) di qua A’(0;0;1) va C(1;1;0) nén: <>em—d=a+thb ._ la+b+d=0
Do đó, phương trình của (Q) có đạng: ax + by + (a + b)z— (a+ b) = 0
Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n=(a;b;a+b), mặt phẳng Oxy có vectơ phap tuyén k =(0;0;)) ẹ ` “in (0À và 0y B L le V2” Vì góc giữa (Q) và Oxy là œmà C0Sœ=—— nên |cos(n,k)|=—= ve ⁄26 Te 2Ÿ a a+b| - ~-e»6(a+b) = 2(a? +b* +ab) 2 2 We “` a TW +b +(atby V6 eS _®>a=—2bhoặc y =Ï ` a Sy
Véi a=—2b, chonb = ~1, dwoc mat phing (Q,):2x~-y+z—-1=0 ^„ Voi y=1, chona = 1, duoc mat phang (Q, }:x—2y-z+1=0 UN * ; %
Câu 1 wes
x x oad
+ 7 sin2x _ oe — sin2x | a Os
> ¥cos? x+4sin? x 9 Vi+3sin’ x Jiessin’x Dat t=1+3sin? x=>dt=3sin2xảx `” on Với x=0 thì t=ei, Với KT tht, » oe a lát 2 r4 <2? Suy ra: Ï re — —== St =, 3Ñ 3 II Câu W2, ` tii 1 Từ giả thiết suy ra —~ bh = + me xy *# y xy Đặt Ta Cô : a+b=a* +b’ ~ab aly x y
A=a’ +b’ =(a+b)(a’ +b’ ~ab)=(a+by
Trang 29Tuyén tép 90 dé thi thir dai hoc, cao ding mon Todn Lovebook ve ;
Với Xe =2 thì A =l6 Vây giá trị lớn nhất của A 1A 16 Ngoài cách của bộ giáo dục trên, chúng ta có thể làm theo 2 cách sau:
Cách 1: DatS = x + y,P = xy, Điều kiện với S,P là S2 — 4P > 0 Dễ thấy (x + y)xy = x? + y2 — xy > 0 niên x + y và xy cùng đấu, Sử dụng giả thiết trên ta có: X+ y)(x? + y? — x+y\ a= Stor ty (=) => $= VA.P (1) xy¥ xy Matkhac tir gia thiét ta cé: SP = $2 ~ 3P (2) ` ` 3 3Ä Từ (và (2)ta tính Gage? = TT) rŠ “TW Giải BPT S” — 4P > 0,ta tìm được A < 16 ^À Từ đó max A = 16 khi x = y = 0,5, c Cách 2: gO Dat x = ty Te & + y)xy = x? + y? ~ xy suy ra: (t+ Dty? = (t? ~t+ Dy? sờ " oe tte t+1 “ 1 1 t?+2t+-1 Ta tinh dwoc: A = (` + iy" -( 1n , Đặt = m, Biến để Bn pt bậc 2 của t \X W/ \ŒT—t+ti/7 Of} Từ điều kiện để pt bac 2 đó có nghiệm ta tìm được tập giá ti na m và suy ra Á < 16, Nhận xép ny 1 Nếu gặp bài toán dạng “Cho x, y thôa mãn ERS ⁄ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A = g(x,y)" Ta thường đưa về: B 4) Tìm A để hệ pt oa a pconghiém, oj”
Ta dyuge tap gia trị của A, từ đó SU# he trị lớn nhất và nhỏ nhất của A
2 Với dạng toán “Cho các số stg y théa man f(x,y) = g(x, y) Thm giả trị lớn nhất, nhỏ nhất của biếu thức A = p{x,y) Trong a6 f(x, y)va g(x,y) ania các biểu thức đẳng cấn đối với x, y" có thếp lãi bài toần bằng cách sau:
Với y = Ũ ta thet true HEB
Nếu y # 0, dat x = te Thay vao gid thiét f(x,y) = g(x, y) ta sé tinh due y, x theo t Bidu dian A theo t TY đó tìm được tập giả trị của A ; Luyén iy sư Ộ Bài 1: làm mìn, max của À = x° — 3xy = 2y", trong đó: x,ylà 2 sé thyc théa man x? + xy + y’, ¬ 2 "` Cho 2 số thực x # 0,y # 0 thỏa mãn x? + y2 = x2y + y?x, Tìm mín,maxcủa A = ty CauVa.1, Vi Med, nén M(2y;y) Tacé: d(M;d,)= ly ty+3] _ [By +3] d(M,d,)=Z= y-4]_ly-4l + 2 WPecy 45 [3y+3] d(M,d,)=2d(M,d,)<©———— 2-41 =-lLy=] 5 s°
Với ÿ=—11 được điểm M(-22;~—11)
Với ÿy =1 được điểm M(2;1) Câu Va, 2
+ Từ giả thiết suy ra Côn + Ca beet Co 2 I ti 20
Trang 30Tuyển tập 90 đề thị thứ đại học, cao đẳng mon Todn — 7 Lovebook.vn 2n+l~k Vì Ca =EG* Vk,0<k<2n+]T nên: i 5 etd Chi FO ong beet Coy = 5 (Coo + + + Công ) (2) 20+}
Từ khai triển nhị thức Niuton của +1” suy ra
Cone + Cont beet Che ant .c ax (I + )"= (3) Từ (Ð,(2),GŒ) suy ra 2” ~2 => ns 10 Tacé: 10-k py 7yk k Hk-40 ¬ ` co : À (4 2) Seve (x’) = cu OY ke0 © Hé s6 céa xa CX v6i k théa man 1Ik~40=26<>k=6 we oe wee Vậy: hệ số của “28 653 Cy “mt x12 ] Đ~ Ô ` ">> ¬ x
Nhận xét: Với bài toán tìm hé s6 cla x9 trong khai triển P(x) = (ax? + bx)", cv trong đó m,k, q là các số nguyên cho trước,n & N*, a
Ta thường làm như sau: %, “ở +
it ` *»
Khai trién P(x) = » Clan-ipxmn-mi+d, Dẫn đến mn ~ mí + ki = q ˆ ay?
ist NỞ
"Fa tìm được L Suy ra hệ số của x8là Cha Thi, 2
Luyện thêm: aoe
1
Bài 1: Khi khai trién P(x) = (3+ ¬ ta duge P(X) = = oy axons +a, xẴn~ #9 +, Biết rằng 3 hệ số đầu aa,a;,az lập thành 1 cấp số seg tính n và tính hệ số của số hạng chứa xế,
ĩt
2
Trang 31Tuyển tip 90 dé thi the đại học, cao đẳng môn Tuần Lovebook.vn x 2 2 2 Voit== thi] =| == hay x=] ới 3 i (2) 3 bay CauVh.2, Kệ đường sinh ÁA” Gọi D là điểm đối xứng Á qua Ở và H „ t \ t ' } 4
là hình chiếu của B trên dung thing A’D
Trang 32T tuyển tập 90 dé thi thir dai học, cao đẳng môn Toản _— Lovebook va
DE THI TUYEN SINH DAI HOC KHOI A~ 2007- |
PHAN CHUNG CHO TAT CA CÁC THÍ SINH Cau I (2 diém) x* + 2(m + 1)x+ m? + 4m x+2 , mm Khảo sắt sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=—1 Cho hàm số y = (1),m là tham số,
2 Tim m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành: một tam giác vuông tại 0
Câu II (2 điểm) , | _ s | `
- £
1.Giải phương trình: (1+ sin’ x)cosx + (1+ cos* x)sinx = 1+ sin 2x on 2 Tìm m dé phwong trinh sau cé nghiémthwe: 3V¥x — 1 + mvx + T= 44x? -1 ` oe Câu Hí (2 điểm) sĩ at "Trong khồng gian với hệ tọa độ 0xy2 chó Hãai đường thắng eat teeters ete See GP sen et rai cấc cưa Kon KH ¬ ¬ ee tee ee ete a "¬ eee phe x yri 242 x==1+tết = Ấy x dig = ay" = i và d;: ' y=1+t on zZ=3 SS 1 Chứng mình rằng dạ và dạ chéo nhau, %, “
2 Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x+ x55 0 và cắt hai đường thăng dụ, dạ
Câu IV 2 điểm) &, a
1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các duéng: y = (Ce + 1z ke = (1 + 6 )X
2 Cho x, y, z là các số thực đương thay đối và thỏa mãn điều vế xyz = 1 Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa — biểu thức: _ x*(y + 2) y?Ge+ z) z2(y +x)
‘yf ¥ + 2ev2 \ \ Bick ava xvx + 2y/¥ PHAN TY CHỌN: Thí nh chỉ được chọn am cfu V.a Secu Vb
C4u Va Theo chương trình THPT không phân ban G điểm) |
1 Trong mat phang véi hệ toa dé Oxy, che-faiin gidc ABC cé A(0; 2), B(~2; —~2) và C(4; =2), Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm cfg ec cạnh AB và BC, Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H,M, N
2 Chứng mịnh rằng: sơ of ith +s : Q Cên C + + Cit = eo : Cn là số nguyên dương GkK là số tố hợp chập k của n phần tử)
CAu Vb Theo chương truiấ"ÈHPT phân ban thí điểm (2 điểm)
1 Giải bất phương trình: 2logs(4x — 3) + logs(2x + 3) <
2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SÁP là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông gốc với đây Gọi M, N, P lần Hượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thế tích của khối tứ điện CMNP
—
Trang 33Tuyén tận 90 đề thị thử đụi học, cao đẳng mơn Tốn : Lovebook.va
LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu L2
;_ X°+4x+4—~mŸ
(x+2
Ham s6 (1) có cực đại và cực tiểu
<> g(x) =x? +4x+4~—m" có 2 nghiệm phân biệt A'=4~4+m? >0 Xz#~2<>$- <> m+ 0 Goi g(-2)=4—8+4— mỸ z0 = \ A,Blà các điểm cực trị ` => A(-2—m;~2),B(—2+m;4m—2) oo — _— an “Y Do OA=(~m-~-2;—2)40,0B=(m-—2;4m —2)#Onén ba điểm 0, %o thành tam giác vuông tại “y nee ant iS 0 <> CA.OB=0 <> —m? —8m+8=0¢>m=—442V6 (théa an m #0) = O Vay gid tim cantimla m=—4+2J6 ; o~ „ 7 Câu H4 AS”
Trang 34Tuyển tập 90 a6 thi thứ dai học, cao đẳng mon Tốn _ ; ¬ _ #*ằoUwebook.vn + d, qua M(O;l;—2) có véctơ chỉ phương u,=(2-bD,
d, qua ÑN(-1;1;3) có véctơ chỉ phương u, =(21;0) + [u,.u,]=(-12;4) va MN=(—1,0;5) + [u,,u, |.MN =21z0=+d, và d, chéo nhau Câu H12 Giả sử đ cắt đ, và d, lần lượt tại A,B.vì Aed, “Bed, nén A(2s,1~s,~2+s),B(~1+2t;1+t;3) S ^À => AB=(2t—2s—I;t +s;-s+5) oe (P) có véctơ pháp tuyến 1 =(7;1;-4) 2t~.2s~-l t+sà —s+5 an suaet eo oe “mm _—— <> 7 | 4 4t-+3s+5=0 =A(2;0;—1),B(—5;—1;3) Phương trình của đ là: Kn? Yet \ * } -4 of Câu IVA1,- oo %
1, Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho ay (e+l)x=(+e”)x<>(6e” -e)x=0 >xe= =0 hogs = =] Dién tich cha hinh phing cantim la - G3 S=[ ke" ~ex|dx=e[' xdx— red" ,
oS
Ta có : ef xdx= ef =8 rhe = xe" | -[edx= e~e* |=]
Vay =—> 5 Kavat) vê
2.Ta có : vqupmink- mange y (z+x)2 ayy 22(x+y)2 2evz
2xx 2w 2z^lz
T3 xa nã x x+2y-W
Trang 35Tuyển tập 90 dé thi thir dat hoc, cao đẳng mon Todn Lovebook va
(Do £48 TH boca bea 2 Bag tương tự 2+} € 23) boca
Trang 36Tuyển tập 90 dé thi thir dai hoc, cao đẳng mơn Tốn MẮắẮắ ¬ Lovebook.yn
Cau V.b2
Gọi H là rung điểm của AD Do ASAD đều nên SH_L AD
Do (SAD) (ABCD) nên SH (ABCD) =>SH L BP @) Xéthình vuông ABCD có: ACDH = ABCP => CH i BPQ) Từ Œ),(2) suy ra BP 1L (SHC) vi MN//SC và AN //CH nén (AMN)/ /(SCH)
Trang 37Tuyển tap 90 dé thi thứ Gai hoc, cao đẳng trân Toán Lovebook va
ĐỀ THỊ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A - 2008 PHẦN CHUNG CHO TẤT CÁ CÁC THÍ SINH
Câu L (2 điển) Cho hàm số y- mÉ +(8m ~2)x~2 (1), véi m 1A tham số thực,
x+3m
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi ra=1
2 Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450, Câu ïï (2 điểm) 1 Giải phương trình ~S—~+——_Ä ram == 4L S‡T† Ty ( #) _ È*4 7 \ sin} x —~ “` 2 & 5 or
x?+ty+ xây + xy? bay = 7 oe
2.Giải hệ phương trình (wy ER) “`
xO by? + xy( + 2= aye
Cau I (2 điểm) x
^ kata * ase os Sy x-l oy 2-2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và dwonpthang di — === : = 2 1 2 A
Ả Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đườnghẤng d
2 Viét phương trình mặt phẳng (œ) chứa d sao cho kho} cách từ A đến {d) lớn nhất Câu IÝ (2 điểm) & ft Co : % 'Š 4 ụ
1 Tinh tich phan t= {2% ay 3 cos2x @ a
2 Tìm các giá trị của tham số m đề dhừơng trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt : Oo 4J2x+-J2x+24f6—x+26=x =m {me RK}
A 7
PHẦN RIÊNG :Thí sinh chỉđược làm 1 trong 2 câu: V.a hoặc Vib
Câu V.a, Theo chương Đình KHÔNG phân ban (2 điểm) Js 1, Trong mat plang với hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elíp (E) biết rằng (E) có tâm sai bằng i va oO hình chữ Xuất cơ sở của (E) có chu vị bằng 20 Á AS 4 2 + ss “ m a + 2 CHó Xhai triển (1+2xP =a, +a x+ +a,x”,trong đó ne Ñ` và các hệ số ag.a,,.„,a, thỏa mãn hệ thức a 0 + TL % Gray nh ag
ag + a Fat oh = 4096 Tim sé lớn nhất trong các số ag,a, „ Câu V.b Theo chương trình phân ban (2 điểm)
1, Giải phương trình loga„_;(2x7+x—1)+log,,;(2x—Ð? =4
2 Cho lăng trụ ABC.A "BC" có độ dài cạnh bên bằng 2a, đầy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC=a-/3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA‘, BC’
Trang 38Tuyén thp 90 dé thi thik Agi học, cao đẳng môn Tuân ¬¬ ¬ Lovebook.vn LOT GIAL CHETIET Câu I2 mx? +(3m” —2)xT—2 m~2 BE ——seetreerrefec=mrse sơ TWĂX 2 x+3m x+3m y ‡ he * ` " ¬ a + * " +) Khi m = 3 -đồ thị hàm số không tôn tại hai tiệm cận i +) Khi m+ 3 đồ thị hầm số có hai tiệm cận: đ,:x=-3m<>x+3m =0,d, :y =n~2 my ~2=Ô | ay ~ _— Cr Vectơ pháp tuyến của d;, đ; lần lượt là m =Q1;0),n, =(m;—l) oe " ẢẢẢAẢ a we von ¬n >| | “ COSAS? = lees se lees GD pee oe <> Me LÍ, oe Lo Inn, Vin? +1 m +1 2 X 4 @ Cách 2: Aw” 1 | &
Khi m z 2 và m #: 0,đồ thị có tiệm cận đứng x = ~3m và tiệm cận xiên ye Ghx =2
Hai đường tiệm cận này hợp với nhau một góc 45° khi và chỉ khi đường tiệm cận xiên tạo với trục hoành một góc 45° hoặc
135°, oO PY
Ta được m = tan459 = 1 hoặc m = tan135° =—1, & | |
Laru fs hai đường tiệm cận đứng và xiên tạo với nhau mrộtgốc œ thì tiệm cận xiến tạo với trục hoành góc 90° ~ œ hoặc 90° + œ Khi hệ số góc của tiệm cận xiên là k = cotœ hoặeƒ-* —cotœ
Luyện tập: tìm tất cả các giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng tiệm cận của đồ thi ham số: _ ket 1)x? + (4m — 3)x + m =— 2 ¬- “sĩ bang 30° Ỡ: Câu H.1 C; + ¬ Diéu kién sinx #0 va sings ——j#0 at ¬ VSR ae 4 “3h " : ` ] a Phương trình đã cho tương đương với: — sinx cosx -t =~—2N2(sinx+cOSX) ‡ x2 <>(sinx+cosX)| —— sinxcosx +2N2 ¡=0 - + 7 sinx + cosx = 0 X=e—— + Kí Koen +k <> ] > —+242=0_] 2 1t
SIN XCOSX sin 2x -—? x= “3 +
Đổi chiều với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là :
St 1 71
Kame tk; Kane tke; x=-+kn (ke22}
Lưu ý: Khi biến đổi PT lượng giác về dạng tích phân nên lưu ý các công thức sau để nhận biết thừa số chung
Trang 39Tuyén tip 90 dé thi thir dei hoc, cao ding mén Todn : - Epvebook.vun ; ; tt tt sinx + cosx = V2sin (x +3) = Vicos( _ 2) _ ft _ tt cosx — sinx = ¥2sin Œ- x) = V2cos (x+ 2) Câu H2,
Quan sat thấy phương trình thứ hai xuất hiện số hạng x',x5, trong đầu liên tưởng ngay tới hàng đẳng thức đáng nhớ: (at b)* = a* + Zab +b Sau khi sử dụng hàng đẳng thức ta có diện tạo mới của phương trình thứ 2 (X2 + v)Ê + xự = —5/4 Đến đây ta hình thành một ý tưởng là đưa hệ về 2 ẩn xề + y và xy Gon đi rất nhiều, quan sát tiếp phương trình đầu ta lại thấy có x” + y và xy nữa Ngoài ra, về phải của hai phương trình bằng nhau cũng khiến ta nghĩ ngay tới việc trừ về theo vế 2 phương trình cho nhau, ty txy +xy? + xự =—Š X” +ÿ+Xy +xyQ ty)=—Š _ nA 4 © 4 x MX oS 4 2 _ 5 3 3 _ 5 _ x +y +xyd+2x)=—— (X“ ty) +xy=—— 4,50) 4 4 oo ^z ở ‘ 5 «hed 2 u=x?+y u+tV-+uVy =~ “xu | u=0,v== pH Hệ phương trình (9 trở thành 1 s eS => 1 | ven i H2+V== af i lu+tu?2+<= _ ‹ L Qa, Va > 2 2 2 0 „ xế +y= > 5 l5,S 25 Với u=#0, v«—~ ta có hệ pt fi u=Q, v 4 co he p xy =—> <> K= 3-4 y =P , ee? 16 4 \* oS “o a 3 1 3 nm ve ee of mee 2x +x—3=0 Vớin=—} ya 2 ta có hệ phương tu Tỳ“: Ệ phương tite 2x 2 3 <® y= 3 ©x=ly=-Š =I, 2 \ ' jy eee 2% 2x co OT a , sa S$ 257 3 Hé phwong tinh cé 2 nghiéin : |——r=¿l—— | vài —=— |, CO} 4 16 2 a, O CAuHHL — 2° Ẻ Cs ~ Đường tage có vectơ chỉ phyong U=(2;1;2) Goi H 1a hinh chigu vuéng géc a * — của aiken ủ, suy ra H(1+2bt;2+29 và AH =(2t—1;t—5;2t—1)., + VìAH l dnên AHu=0©>2(2E—1)+t—~5+2(2t—1) =0 © tet, Suy ra H(3;1;4) Câu H12
Gọi Klà hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (ø)
Ta có đCA,(œ))= AK < AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên) Do đó khoảng cách từ A đến (œ) lớn nhất khi và chỉ khi AK = AH hay Ktrùng H
suy ra (đ) qua H và nhận vectơ AH = (1;~4;1) lam vecto phap tuyến
Phương trình của (0) là: láx—3)—4(yT—1)+1—4)=0 >x~4y +z—3=0, Câu W1,
LÍ COS2X ° (I~tanˆx).cos°x
Trang 40Tuyên tập 90 đề thí thứ đại học, cao đẳng môn Toán 7 Lovebook.vn
.Với x= Othi t=0, voi x= Eth te 3 Đặt t = tan x —> dt = cos” x ] t 1, ,t+l,l>e ——~t+=h|——| J 3 2 tài) ; i + +4 an LL Suy ra [= {Ie aớt = -[# (t? +Ddt + sie ce _ at t+1 t-l 0 =1In(+-)—-19 2 9l Câu 1⁄2 Điều kiện: 0 < x < 6 À | Đặt vế trái của phương trình là fG},x € f0; 6] Ss Ta 06 £" (9) = het he — pee oe
2J(x)* Vix 2Y(6-x)? vée~ x ~Y
cay (as ames) +) “` oe Am canines
2 Vaxy3 +/ (6 — x)! Vix Vé~-x rae
Dat u(x) = lên ~ z==i)x@ = (==- -=—) fax [6-08 Vix Veo & oe Ta thấy a(2) = v(2) = 0 = f'(2) = 0 ne Hon nia u(x), v(x)cting dương trên khoảng (0; 2)và cùng âm trên khoảng es x 0 2 2À : 6 F(x) il + as — it ` ” we | aye +6 F(x) eS Oy _ / 2V6 £2N6 ` V12 + 23 -~
Suy ra các giá trị cần tìm của m là: 2V6 + 26 < m < 3V2 + 6 |
bưu ý: Đây là bài toán khó về ứng dụng kháế Sắt ham số để biện luận nghiệm của PT Việc tính đạo hàm và xét dấu của đạo ham là không đơn giản, Đôi hỏi học si tó kỹ năng tính toán vững vàng mới giải được,
Bài tập luyện: Biện luận theo m sốxÿpiiệm của phương trình 3x + 2 — mvx4 +3 = 0 a * ce x” vì Gọi phương trình chính đất của elip (E) là: ~y + Tự =ba> b>0 ä «8 a 3 Từ giả thiết ta có hệ phương trình 4 2(2a + 2b) = 20 ce = a _ b’ 2 2 Giải hệ phương trình trên tìm được a=3,b==2 Phương trình chính tắc của (E) là Stat! Chu V.2.2 j A HÀ a, a, | 1 n
pac F(x)=(1+ 2x) =a, +a,x+ +a,x a, to tat eh) =2
Tir gid thiét suy ra 2" = 4096=2" <on=12