Để cm một mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n N ta không thể thử trực tiếp với mọi số tự nhiên được vì tập hợp số tự nhiên là vô hạn. Song ta có thể tiến hành các bước kiểm tra như sau Bước 1 : Trước hết ta kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=0 Bước 2 : Rồi ta chứng rằng : Từ giải thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n=k 0 bất kì suy ra nó đúng với n=k+1 .
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP Để cm mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n N ta thử trực tiếp với số tự nhiên tập hợp số tự nhiên vơ hạn Song ta tiến hành bước kiểm tra sau Bước : Trước hết ta kiểm tra mệnh đề với n=0 Bước : Rồi ta chứng : Từ giải thiết mệnh đề với số tự nhiên n=k suy với n=k+1 Ví dụ : Chứng minh với số tự nhiên n ta có đẳng thức : an-bn =(a-b)(an-1 +an-2b +… + bn-1) Chứng minh Ta chứng minh phương pháp qui nạp * Khi n=2 ta có a2 -b2=(a-b)(a+b) * Giả sử đẳng thức n=k Tức ta có : ak-bk =(a-b)(ak-1 +ak2 b +… + bk-1) Ta cần chứng minh với n=k+1 Tức C/m ak+1-bk+1 =(a-b)(ak +ak-1b +… + bk) Thật ta có : VT = ak+1 - bk+1 = ak+1 -akb + akb -bk+1 = ak(a-b)+ b(ak -bk) = ak(a-b) + b(ab)(ak-1 +ak-2b +… + bk-1) = (a-b)[ ak + b(ak-1 +ak-2b +… + bk-1)] = (a-b)(ak +ak-1b +… + bk) = VP Vậy theo giả thiết quy nạp đẳng thức với n Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên n ta có đẳng thức : n(n 1) 1+2+3+4…………+ n = Bài 2: Chứng minh với n N* ta có : 12 +22 +32 + 42 +52 n(n 1)(2n ) +……+n2 = Bài 3: Chứng minh với n N biểu thức Un=13n -1 chia hết Bài : Chứng minh với số tự nhiên n ta có 2n > 2n+1 2n Bài 5: Chứng minh với số tự nhiên n ta có: 4.3 32n 36 64 Bài : Chứng minh với số tự nhiên n ta ln có: (n+1)(n+2)…(2n) 1.3.5…(2n-1) Bài : Chứng minh với số tự nhiên n ta ln có: n3+2n n Bài 8: Chứng minh với số tự nhiên n ta ln có: 16 15n 1 225 A CHIA HẾT SỐ NGUYÊN Định nghĩa: Cho hai số nguyên a b (b 0) Tồn cặp số nguyên (q, r) cho a = bq + r với * Nếu r = a chia hết cho b: a b a = kb 0r b a, b, k * Nếu r phép chia a cho b có dư Tính chất qua hệ chia hết: aa a b b a a = b a b b c a c a m ka m ak m a m, b m a b m a b m mà a m b m a m, b n ab nm a m an mn an m, m nguyên tố a m a m, a n mà (n, m) = a mn a m, a n, a k; n, m, k ngun tố sánh đơi a mnk a m, b m a b m * Trong n số nguyên liên tiếp (n N*) có số chia hết cho n * Trong n+1 số nguyên (n N*) chia cho n có hai số chia cho n có số dư * Để chứng tỏ A(n) chia hết cho số nguyên tố p ta xét trường hợp số dư n chia cho p * Để chứng tỏ A(n) chia hết cho hợp số m, ta phân tích m thành tíchcác thưac số đơi ngun tố chứng tỏ A(n) chia hết cho thừa số * Để CM f(x) chia hết cho m thơng thường ta phân tích f(x) thành nhân tử xét số dư chia x cho m PHƯƠNG PHÁP GIẢI : 1/ Phương pháp : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư chia n cho p Ví dụ : A(n) = n(n2+1)(n2+4) chia hết cho n chia cho có số dư r =0,1,2,3,4,5 a/ Với r = n chia hết cho => A(n) chia hết cho b/ Với r = => n = 5k+1 => n2= 25k2+10k +1 (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho c/ Với r = => n = 5k+2 => n2= 25k2+20k +4 (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho d/ Với r = => n = 5k+3 => n2= 25k2+30k +9 (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho e/ Với r = => n = 5k+4 => n2= 25k2+40k +16 (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 2/ Phương pháp : A(n) chia hết cho m; ta phân tích m = p.q a/ (p,q) = ta chứng minh: A(n) chia hết cho p, A(n) chia hết cho q => A(n) chia hết cho p.q b/ Nếu p q khơng ngun tố ta phân tích A(n) = B(n).C(n) chứng minh B(n) chia hết cho p, C(n) chia hết cho q => , A(n) chia hết cho p.q 3/ Phương pháp : Để chứng minh A(n) m biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử chứng minh hạng tữ chia hết cho n 4/ Phương pháp : Để chứng minh A(n) m ta phân tích A(n) thành nhân tử, có nhân tử m chia hết cho m: A(n) = m.B(n) + Thường ta sử dụng đẳng thức : an – bn a – b ( a b) n an – bn a – b ( a - b) n chẵn an + bn a + b ( a - b) n lẻ 5/ Chứng minh quy nạp toán học : Bài Chứng minh : a) n5 - 5n3 + 4n 120 ; với n Z b) n3-3n2-n+3 48 ; với n lẻ c) n4 + 4n3 -4n2 -16n 384 với n chẵn Bài CMR: a) n n 12 b) n(n 2)(25n 1) 24 c) Chữ số tận số tự nhiên n n5 giống 3 d) (a b) (a b ) e) Cho n > (n, 6) = CMR n 1 24 2n 2n g) f) 32n 6n 11 B, CHIA HẾT ĐA THỨC : Ta sử dụng định lý Bơ zu : Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a giá trị đa thức f(x) x = a Từ ta có hệ : Đa thức f(x) ( x – a) < = > f(a) = tức a nghiệm đa thức Từ suy : Đa thức f(x) có tổng hệ số chia hết cho x – Đa thức f(x) có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ f(x) ( x + 1) 2.Đa thức bậc trở lên : Cách : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có nhân tử chi hết cho đa thức chia Cách : Xét giá trị riêng 3/ Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác : Cách : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có thừa số chia hết cho đa thức chia Cách : Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia Cách : Sử dụng biến đổi tương đương : chứng minh f(x) g(x) ta chứng minh : f(x) + g(x) g(x) f(x) - g(x) g(x) Cách : Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia Bài Xác định số a ; b cho: a) 4x - 6x + a (x-3) b) 2x2 + x + a (x+3) c) x3 + ax2 - (x2 + 4x + 4) d) 10x2 - 7x + a (2x - 3) e) 2x2 + ax + chia cho x - dư g) ax5 + 5x4 - (x-1) Bài Tìm số a b cho x3 + ax + b chia cho x + dư 7, chia cho x - dư -5 Bài Tìm n Z để : a/ n2 + 2n – 11 b/ 2n3 + n2 + 7n +1 2n – c/ n3 – n – d/ n3 - 3n2 + 3n - n2 +n + e/n4 – 2n3 + 2n2 – 2n + n4 – Bài 4: Tìm số dư phép chia x99 + x55 + x11 +x + cho x + Bài 5: CMR : a/ x50 + x10 + x20 + x10 + b/ x2 - x9 – x1945 x2 - x + c/ x10 - 10x + (x – 1)2 d/ 8x9 - 9x8 + (x – 1)2 ... chia hết cho m thông thường ta phân tích f(x) thành nhân tử xét số dư chia x cho m PHƯƠNG PHÁP GIẢI : 1/ Phương pháp : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư chia n cho p Ví dụ : A(n) = n(n2+1)(n2+4)... cho q => , A(n) chia hết cho p.q 3/ Phương pháp : Để chứng minh A(n) m biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử chứng minh hạng tữ chia hết cho n 4/ Phương pháp : Để chứng minh A(n) m ta phân... cho e/ Với r = => n = 5k+4 => n2= 25k2+40k +16 (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 2/ Phương pháp : A(n) chia hết cho m; ta phân tích m = p.q a/ (p,q) = ta chứng minh: A(n) chia hết cho