KÌ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II MÔN TOÁN NĂM HỌC 2009-2010

A. PHẦN DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y 2 x3  3(2m 1) x 2  6m(m 1) x  1 có đồ thị (Cm). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 2;  Câu II (2 điểm) a) Giải phương trình: 2 cos 3 x(2 cos 2 x  1) 1 b) Giải phương trình : (3 x  1) 2 x 2  1 5 x 2  3 ln 2 3 x3 2

SỞ GD- ĐT QUẢNG NINH TRƯỜNG THPT TRẦN NHÂN TÔNG KÌ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2009-2010 MƠN TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 180 phút) A PHẦN DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y  x3  3(2m 1) x  6m(m 1) x  có đồ thị (Cm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để hàm số đồng biến khoảng 2;  Câu II (2 điểm) a) Giải phương trình: cos x(2 cos x  1)  b) Giải phương trình : (3 x  1) x   x  ln Câu III (1 điểm) Tính tích phân I  x3 dx ( e  2) x Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A’ lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng cách AA’ Câu V (1 điểm) (Thí sinh thi khối B,D khơng làm câu này) BC a Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 3(a  b  c )  4abc  13 2.(Thí sinh thi khối A không làm câu này) Cho x,y,z thoả mãn số thực: x  xy  y  Tìm giá trị lớn ,nhỏ biểu thức x4  y4 1 x2  y2 1 B PHẦN DÀNH CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn Câu VIa (2 điểm) a) Cho hình tam giác ABC có diện tích Biết A(1;0), B(0;2) trung điểm I AC nằm đường thẳng y = x Tìm toạ độ đỉnh C b) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng với O qua (ABC) Câu VIIa(1 điểm) Giải phương trình: ( z  z )( z  3)( z  2)  10 , z  C Dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao Câu VIb (2 điểm) a Trong mp(Oxy) cho điểm A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng () : x  y   cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích P b.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: d1 : x  y 1 z  x2 y3 z   d2 :   1 2 Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng d1 d2 Câu VIIb (1 điểm) Giải bất phương trình: x(3 log x  2)  log x  …… HẾT Ebook4Me.Net ĐÁP ÁN Câu I a) Học sinh tự làm 0,25 y  x3  3(2m 1) x  6m(m 1) x   y '  x  6(2m  1) x  6m(m  1) b) 0,5 y’ có   (2m  1)  4(m  m)   x  m y'    x  m  Hàm số đồng biến 2;   y '  x   m    m  0,25 0,25 điểm Câu II a) Giải phương trình: cos x(2 cos x  1)  PT  cos x(4 cos x  1)   cos x(3  sin x)  0,25 Nhận xét x  k , k  Z khơng nghiệm phương trình ta có: 0,25 cos x(3  sin x)   cos 3x (3 sin x  sin x)  sin x  cos 3x sin x  sin x  sin x  sin x 2m  x  6 x  x  m 2       x  x m    x   2m  7 0,25 ;mZ 2m  k  2m=5k  m  5t , t  Z  2m  Xét = k  1+2m=7k  k=2(m-3k)+1 hay k=2l+1& m=7l+3, 7 lZ 2m  2m Vậy phương trình có nghiệm: x  ( m  5t ); x   ( m  7l  ) 7 m, t , l  Z Xét b) Giải phương trình : (3 x  1) x   x  x3 PT  2(3 x  1) x   10 x  3x  0,25 điểm 0,25 2(3 x  1) x   4(2 x  1)  x  x  Đặt t  x  1(t  0) Pt trở thành 4t  2(3x  1)t  x  x   Ta có: '  (3x  1)  4(2 x  x  2)  ( x  3) Pt trở thành 4t  2(3x  1)t  x  x   Ta có: '  (3x  1)  4(2 x  x  2)  ( x  3) Ebook4Me.Net 0,25 x2 2x 1 ;t  2 ta phương Từ ta có phương trình có nghiệm : t  Thay vào cách đăt giải trình có 0,5     60  nghiệm: x   ;    Câu III ln Tính tích phân I   điểm dx (3 e x  2) x ln Ta c ó I   x 0,25 e dx = x e (e  2) x x Đặt u= e  3du  e dx ; x   u  1; x  ln  u  2 Ta được:  1 3du =3     I 4u 4(u  2) 2(u  2) 1 u ( u  2)  du  0,25 0,25 1  1  =3  ln u  ln u   2(u  2)  4 3 ln( )  3 Vậy I  ln( )   0,25 Câu IV C’ A’ B’ H A C O M B AM  BC    BC  ( A' AM ) A' O  BC  Kẻ MH  AA' , (do A nhọn nên H thuộc đoạn AA’.) BC  ( A' AM )  Do   HM  BC Vậy HM đọan vơng góc chung HM  ( A' AM ) Gọi M trung điểm BC ta thấy: Ebook4Me.Net 0,5 AA’và BC, d ( AA' , BC)  HM  a Xét tam giác đồng dạng AA’O AMH, ta có: A' O HM  AO AH AO.HM a a a   AH 3a 1aa a3 Thể tích khối lăng trụ: V  A' O.S ABC  A' O.AM.BC  a 23 12 1.Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 3(a  b  c )  4abc  13 0,5  suy A' O  Câu V bc *Trước hết ta chưng minh: f (a, b, c)  f (a, t , t ) :Thật Đặt f (a, b, c)  3(a  b  c )  4abc  13; t  điểm 0,5 Do vai trò a,b,c nên ta giả thiết a  b  c  3a  a  b  c  hay a  f (a, b, c)  f (a, t , t )  3( a  b  c )  abc  13  3( a  t  t )  at  13 = 3(b  c  2t )  4a (bc  t ) 2   2(b  c)  (b  c)  3(b  c) 2  a (b  c) = 3b  c  =   4a bc  4     = (3  2a )(b  c)  a  *Bây ta cần chứng minh: f (a, t , t )  với a+2t=3 0,5 Ta có f (a, t , t )  3(a  t  t )  4at  13 = 3((3  2t )  t  t )  4(3  2t )t  13 = 2(t  1) (7  4t )  2t=b+c < Dấu “=” xảy  t  & b  c   a  b  c  (ĐPCM) Cho x,y,z thoả mãn số thực: x  xy  y  Tìm giá trị lớn ,nhỏ biểu thức x4  y4 1 P x  y2 1 Tõ gi¶ thiÕt suy ra:  x  xy  y  xy  xy  xy  ( x  y )  xy  3xy Tõ ®ã ta cã  xy Măt khác x  xy  y   x  y   xy Ebook4Me.Net 0,25 nªn x  y   x y xy đăt t=xy Vởy toán trở thành tìm GTLN,GTNN t 2t  P  f (t )  ;  t  t2 TÝnh f ' (t )   1  t   0 (t  2) t  2(l ) Do hàm số liên tục trªn f(  0.25 0.25  ;1 nªn so sánh giá trị ) , f (  2) , f (1) cho kÕt qu¶: 0.25 11 MaxP  f (  2)   , P  f ( )  15 Câu VIa (Học sinh tự vẽ hình) a)  Ta có: AB   1;2   AB  Phương trình AB là: x  y   I   d  : y  x  I  t ; t  I trung điểm AC: C (2t  1;2t ) Theo ra: S ABC điểm 0,5 t   AB.d (C , AB)   6t     t   0,5 Từ ta có điểm C(-1;0) C( ; ) thoả mãn 3 b) *Từ phương trình đoạn chắn suy pt tổng quát mp(ABC) là:2x+y-z-2=0 *Gọi H hình chiếu vng góc O l ên (ABC), OH vng góc với (ABC) nên OH // n(2;1;1) ; H   ABC  Ta suy H(2t;t;-t) thay vào phương trình( ABC) có t= Giải phương trình: ( z  z )( z  3)( z  2)  10 , z  C PT  z ( z  2)( z  1)( z  3)  10  ( z  z )( z  z  3)  Đặt t  z  z Khi phương trình (8) trở thành: Đặt t  z  z Khi phương trình (8) trở thành t  3t  10  Ebook4Me.Net 0,25 1 suy H ( ; ; ) 3 3 2 *O’ đỗi xứng với O qua (ABC)  H trung điểm OO’  O ' ( ; ; ) 3 CâuVIIa điểm 0.25 0,5 điểm 0,25 0,25 t  2  z  1  i   t   z  1  0,5 Vậy phương trình có nghiệm: z  1 ; z  1  i Câu VIb a) điểm Viết phương trình đường AB: x  y   AB  0,25 Viết phương trình đường CD: x  y  17  CD  17 Điểm M thuộc  có toạ độ dạng: M  (t ;3t  5) Ta tính được: 13t  19 11t  37 d ( M , AB)  ; d ( M , CD )  17 0,25 Từ đó: S MAB  S MCD  d (M , AB ) AB  d ( M , CD).CD 7  t  9  t   Có điểm cần tìm là: M (9; 32), M ( ; 2) 3 0,5 b) điểm Giả sử mặt cầu S(I, R) tiếp xúc với hai đương thẳng d1, d2 hai điểm A B ta ln có IA + IB ≥ AB AB ≥ d  d1 , d  dấu xảy I trung điểm AB AB đoạn vng góc chung hai đường thẳng d1, d2 Ta tìm A, B :    AB  u   Ad1, Bd2 nên: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’)  AB  u '   AB (….)…  A(1; 2; -3) B(3; 0; 1)  I(2; 1; -1) 0, 25 0,25 0,25 Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) bán kính R= Nên có phương trình là:  x    ( y  1)2  ( z  1)  CâuVIIb Giải bất phương trình x(3 log x  2)  log x  Điều kiện: x  Bất phương trình  3( x  3) log x  2( x  1) Nhận thấy x=3 không nghiệm bất phương trình x 1 TH1 Nếu x  BPT  log x  x3 Xét hàm số: f ( x)  log x đồng biến khoảng 0;  x 1 nghịch biến khoảng 3;  g ( x)  x3 f ( x)  f (4)  3 *Với x  :Ta có   Bpt có nghiệm x  g ( x)  g (4)   Ebook4Me.Net 0,25 điểm 0.25 0,25 * Với x  :Ta có f ( x)  f (4)  3   Bpt vô nghiệm g ( x)  g (4)   TH :Nếu  x  BPT  x 1 log x  x3 0,25 log x đồng biến khoảng 0;  x 1 g ( x)  nghịch biến khoảng 0;3 x3 f ( x)  f (1)  0 *Với x  :Ta có   Bpt vơ nghiệm g ( x )  g (1)   f ( x)  * Với x  :Ta có f ( x)  f (1)  0   Bpt có nghiệm  x  g ( x )  g (1)   x  Vậy Bpt có nghiệm  0  x  Chú ý:Các cách giải khác cho kết đươc điểm tối đa Ebook4Me.Net 0,25 ... trình có nghiệm : t  Thay vào cách đăt giải trình có 0,5     60  nghiệm: x   ;    Câu III ln Tính tích phân I   điểm dx (3 e x  2) x ln Ta c ó I   x 0,25 e dx = x e (e  2) x x... Tõ gi¶ thi? ?t suy ra:  x  xy  y  xy  xy  xy  ( x  y )  xy  3xy Tõ ®ã ta cã   xy  Măt khác x xy y   x  y   xy Ebook4Me.Net 0,25 nªn x  y   x y  xy  đăt t=xy Vởy toán trở...ĐÁP ÁN Câu I a) Học sinh tự làm 0,25 y  x3  3(2m 1) x  6m(m 1) x   y '  x  6(2m  1) x  6m(m  1) b) 0,5