Tìm toạ độ điểm C trên đường tròn (C) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ NHẤT (31/08/2010) Mơn Tốn – Khối A-B
Thời gian 180 phút
Phần dành chung cho tất thí sinh (7 điểm) Câu 1: Cho hàm số y = x3 3mx2 3(m2 1)x (m2 1)
(1) a) Với m = 0, khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ dương Câu 2: a) Giải phương trình: sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin2(2x+
4
) =
b) Giải phương trình: 2
1
log ( 1) log
log x
x x
Câu : Tính tích phân:
2
3 ln (1 )
x dx x
Câu : Cho lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' 'có thể tích V Các mặt phẳng (ABC'),(AB C' ),(A BC' )cắt O Tính thể tích khối tứ diện O.ABC theo V
Câu : Cho x, y, z số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 3 3 3 3
2 2
4(x y ) 4(y z ) 4(z x ) 2( x y z ) y z x
.
Phần riêng (3 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B ) A Theo chương trình chuẩn
Câu 6a : a) Cho đường trịn (C) có phương trình : x2 y2 4x 4y 4 0
đường thẳng (d) có phương trình : x + y – = Chứng minh (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A,B Tìm toạ độ điểm C đường tròn (C) cho diện tích tam giác ABC lớn
b) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;3) hai đường thẳng có phương trình :
1
( ) :
2
x y z
d
'
' ( ) :
3 x t
d y
z t
Viết phương trình đường thẳng () qua điểm A cắt hai đường thẳng (d1), (d2) Câu 7a : Tìm số hạng khơng chứa x khai triển :
7
3 x
x
( với x > ) B Theo chương trình nâng cao
Câu 6b : a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC biết B(2;-1) , đường cao đường phân giác qua đỉnh A,C : 3x -4y + 27 =0 x + 2y – =
b) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;4;1) , B(3;5;2) đường thẳng () có phương trình :
2 x y z x y z
Tìm toạ độ điểm M nằm đường thẳng () cho : MA + MB nhỏ
Câu 7b : Cho 12 24
0 24
(2)-ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
Câu 1 (2 điểm)
a (1.0 điểm) Khảo sát… Với m=0, ta có: y=x3-3x+1 TXĐ D=R
y’=3x2-3; y’=0 1 x x
lim
x y
0,25
BBT
x -1 1
y’ + - +
y
-1
0,25
Hs đồng biến khoảng ( ;-1) (1;), nghịch biến khoảng (-1;1)
Hs đạt cực đại x=-1 ycđ=3, Hs đạt cực tiểu x=1 yct=-1 0,25 Đồ thị : cắt Oy điểm A(0;1)
và qua điểm B(-2;-1), C(2;3)
Đồ thị nhận điểm A(0;1) làm tâm đối xứng
0,25
b (1.0 điểm) Tìm m để …
Ta có y’= 3x2-6mx+3(m2-1) y’=0
2
1
x m x m
1 m
y x 2x (m 1)(m 1)
3
2
2
y (m 1)(m 3)
y (m 1)(m 2m 1)
0,25
Để đồ thị hàm số cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ dương ta phải có: '
2 2
'
( 1)( 3)( 1)
0
1 0
( 1) (0)
y
CD CT CD CT
m R
f f m m m m
x m
m x
m af
0,25 y
-2 -1
-1
(3)Vậy giá trị m cần tìm là: m( 3;1 2)
0,25
Câu 2 (2.0 điểm)
a (1.0 điểm) Giải phương trình sin2x + (1+2cos3x)sinx – 2sin2(2x +
4
)=0
sin2x + sinx + sin4x – sin2x = – cos(4x + )
0,25
sinx + sin4x = 1+ sin4x 0,25
sinx = 0,25
x =
+ k2, kZ
Cách khác: sin2x + (1+2cos3x)sinx – 2sin2(2x +
)=0
2 sin 2x sin x sin x cos 3x (sin 2x cos 2x)
sin 2x sin x sin 4x sin 2x sin 4x
0,25
b (1.0 điểm) Giải phương trình:
2
1
log ( 1) log
log x
x x
Điều Kiện
x
0 2x 1 x
x
0,25
4 2 2
2
1 1 1
log ( 1) log log ( 1) log (2 1) log ( 2)
log 2 2
x
x x x x x 0,25
2( 1)(2 1) ( 1)(2 1)
log ( 1)(2 1)
2
x x x x
x x x
x x 0,25
2
1
2
1 x x x x
, so với đk nhận nghiệm x 0,25 Câu 3 (1.0 điểm)
Tính tích phân 3 ln (1 ) x I dx x 0,25 Đặt dx
u ln x du
x dx dv v (1 x) (1 x)
3 3
1 1
(3 ln x) dx ln dx
I
1 x x(1 x) x(1 x)
0,25
3
3 1
3 ln 1 ln
dx ln x ln(x 1)
4 x x
0,25
3 ln 3
ln ln ln ln ln
4 4
0,25
1
3
3
3
(4)Câu 4 (1.0 điểm)
Gọi I = AC’A’C, J = A’BAB’ (BA'C) (ABC') = BI
(BA'C) (AB'C) = CJ Goi O = BI CJ
O điểm cần tìm
Ta có O trọng tâm tam giác BA’C
0,25
Gọi H hình chiếu O lên mp(ABC)
Do ABC hình chiếu vng góc BA’C (ABC) nên H trọng tâm ABC 0,25 Gọi M trung điểm BC Ta có:
'
OH HM
A B AM 0,25
1 1
'
3 9
OABC ABC ABC
V OH S A B S V
0,25
Câu 5 (1.0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có :
2
2 2
x y z
P xy yz zx
y z x 0,5
3
3
1
6 12
xyz
xyz 0,25
dấu xảy x y z 1 Vậy GTNN P 12. 0,25
Câu 6a (2.0 điểm)
Chương trình chuẩn a (1.0 điểm)
(C) có tâm I(2;2), bán kính R=2
Tọa độ giao điểm (C) (d) nghiệm hệ:
0,25
J
I
O
H
M B'
A'
C'
C
(5)2
0 2
4 4
0 x y x y
x y x y x
y
Hay A(2;0), B(0;2)
Hay (d) cắt (C ) hai điểm phân biệt A,B 0,25
Ta có
ABC
S CH AB (H hình chiếu C AB)
ax CH max
ABC
S m
Dễ dàng thấy CH max ( ) ( )
C
C C x
0,25
Hay : y = x với :
(2; 2)
d I
(2 2; 2)
C
Vậy C(2 2; 2 2) SABCmax
Chú ý: Giải C ( ) ( )C có hai điểm C Có thể chọn điểm C theo hai cách sau: -d(C ;(AB))1 d(C ;(AB))2 chọn C1
- C, I nằm phía đường thẳng AB
0,25
b (1.0 điểm)
Nhận xét: A(d1) A(d2) Giả sử ( ) ( 1)
( ) ( 2)
d I
d H
Với Id1 I(2t-1; -1-2t; 2+t) Hd2 H(4t’; -2; 3t’)
0,25
1 (1 ')
23 (2 2)
10 ,
1 (3 ') 23 18
( ; ; )
5 10
cbt
t k t IM k HM
y t k t
k R k
t k t I
0,5
Vậy phương trình đường thẳng ( ) qua điểm I H là: 0,25
H
A
B I
y
x M
2
2 O
(6)1 56 16 33
x t
y t
z t
Cách khác: Viết phương trình mp (P) qua A chứa (d1) Gọi B = (d2)(P) Đường thẳng ( ) cần tìm đường thẳng qua điểm A, B
Câu 7a (1.0 điểm)
Ta có:
1
7
7
4
7
0
( ) k( ) (k )k k
x C x x
x
0.25
Để số hạng thứ k khơng chứa x
1
(7 )
4
4
[0;7], k
k k
k k
0.5
Vậy số hạng không chứa x khai triển là: 74 35
C 0,25
Câu 6b (2.0 điểm)
Chương trình nâng cao a (1.0 điểm)
Phương trình đường thẳng chứa cạnh BC:
1 ( ) qua B
( ) : BC d
BC
BC x y
Tọa độ điểm C nghiệm hệ: ( 1;3)
x y
C x y
0,25
Gọi KAC, KBC, K2 theo thứ tự hệ số góc đường thẳng AC, BC, d2
Ta có:
2
2
3 1
4 2
1
1 1 . 1
2
0
(loai)
AC BC d d AC
BC d d AC
AC AC
AC
K
K K K K
K K K K K
K K
0,25
Vậy pt đường thẳng AC qua C có hệ số góc k=0 là: y = + Tọa độ điểm A nghiệm hệ:
27 ( 5;3)
x y
A y
0,25
Pt cạnh AB là:
x y
x y
Vậy AB: 4x+7y-1=0
AC: y=3
BC: 4x+3y-5=0
0,25
b (1.0 điểm)
+ Xét vị trí tương đối AB và, ta cú: cắt AB K(1;3;0)
Ta cú KB 2KA A, B nằm phía
0,25
(7) H( 1;t;-3+t) (với PTTS :
3 x y t
z t
)
Ta có 1.0 ( 4).1 ( ).1 (1; 4;1) '(0;4;1)
AH u t t t
H A
Gọi M giao điểm A’B d (1;13 4; )
3 M
0,25
Lấy điểm N
Ta cú MA+MB=MB+MA’=A’BNA+NB Vậy (1;13 4; )
3
M 0,25
Câu 7b (1.0 điểm)
Ta có:
(1+x+x2)12 = [(1+x)+x2 ]12 = =
0 12 11 12 12 24
12(1 ) 12(1 ) 12(1 ) ( ) 12
k k k
C x C x x C x x C x
0,25
=
0 12 11 11
12 12 12 12 12 11 11
2 10 10
12 10 10
[C ]+C x [C ]
+C [C ]+
C x C x C x x C x
x x C
0,25
Chỉ có số hạng đầu chứa x4 0,25
0 10
4 12 12 12 11 12 10 1221
a C C C C C C