GV: Hunh Mnh Dng THCS Nguyn Trng T- CMGar-klk Chuyên đề: tứ giác nội tiếp I) Các kiến thức cần nhớ 1) Khái niệm: O A B C D Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp đ- ờng tròn (Gọi tắt là tứ giác nột tiếp) 2) Định lí - Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 -Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 thì tứ giác đó nội tiếp đờng tròn. 3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng số do hai góc đối diện bằng 180 0 . - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. - Tứ giác có bón đỉnh cách đều một điểm(mà ta có thể xác định đợc). Điểm đó là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác. - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc . II) Bài tập Bài tập 1 Cho ABC vuông ở A. Trên AC lấy diểm M và vẽ đờng tròn đờng kính MC. Kẻ BM cắt đờng tròn tại D. Đờng thẳng DA cắt Đờng tròn tại S. Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD nội tiếp. b) ã ã ABD ACD= c) CA là phân giác của ã SCB Bài tập 2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. Chứng minh: - 1 - GV: Hunh Mnh Dng THCS Nguyn Trng T- CMGar-klk a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp . b) CA là phân giác của BCF. c) Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp Bài tập 3 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N . Chứng minh : a) CEFD là tứ giác nội tiếp . b b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM . c) BE . DN = EN . BD Bài tập 4 Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E . Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn . c) AC song song với FG . d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy . Bài tập 5 Cho tam giác vuông ABC ( 0 90A = ; AB > AC) và một điểm M nằm trên đoạn AC (M không trùng với A và C). Gọi N và D lần lợt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đơng tròn đờng kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đờng tròn đờng kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh: a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đờng tròn. b. CM là phân giác của góc BCS . c. TA TC TD TB = . Bài tập 6 Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài đờng tròn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với đờng tròn (M, N là các tiếp điểm) và một cát tuyến bất kì cắt đờng tròn tại P, Q. Gọi L là trung điểm của PQ. a/ Chứng minh 5 điểm: O; L; M; A; N cùng thuộc một đờng tròn. b/ Chứng minh LA là phân giác của ã MLN - 2 - GV: Hunh Mnh Dng THCS Nguyn Trng T- CMGar-klk c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh MA 2 = AI.AL d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng KN // AQ. e/ Chứng minh KLN cân. Bài tập 7 Cho ng trũn (O; R) tip xỳc vi ng thng d ti A. Trờn d ly im H khụng trựng vi im A v AH <R. Qua H k ng thng vuụng gúc vi d, ng thng ny ct ng trũn ti hai im E v B ( E nm gia B v H) 1. Chng minh gúc ABE bng gúc EAH v tam giỏc ABH ng dng vi tam giỏc EAH. 2. Ly im C trờn d sao cho H l trung im ca on AC, ng thng CE ct AB ti K. Chng minh AHEK l t giỏc ni tip. 3. Xỏc nh v trớ im H AB= R . Bài tập 8 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 1. Các tứ giác AEHF, nội tiếp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF Bài tập 9 Cho ABC không cân, đờng cao AH, nội tiếp trong đờng tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đờng kính AD của đờng tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh: a) Bốn điểm A,B, H, E cùng nằm trên đờng tròn tâm N và HE// CD. b) M là tâm đờng tròn ngoại tiếp HEF. Bài tập 10 Cho đờng tròn tâm O và điểm A ở bên ngoài đờng tròn. Vẽ ccs tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đờng tròn ( B và C là các tiếp điểm). Gọi Hlà trung điểm của DE. a) CMR: A,B, H, O, C cùng thuộc một đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn này. b) Chứng minh: HA là tia phân giác ã BHC . c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB 2 = AI.AH d) BH cắt (O) tại K. Chứng minh: AE // CK. Bài tập 11 Từ một điểm S ở ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD của đờng tròn đó. - 3 - GV: Hunh Mnh Dng THCS Nguyn Trng T- CMGar-klk a) Gọi E là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 điểm S,A,E,O,B cùng thuộc một đờng tròn b) Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? tại sao? c) Chứmg minh rằng: . . . 2 AB CD AC BD BC DA = = Bài tập 12 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B và E). 1. Chứng minh AC. AE không đổi. 2. Chứng minh ABD = DFB. 3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp. Bài tập 13 Trên đờng thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với dt. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K. Đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P. 1) Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp đợc đờng tròn . 2) Chứng minh AI.BK = AC.CB 3) Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất. Bài tập 14 Cho ABC vuông tại A. Kẻ đờng cao AH, vẽ đờng tròn đờng kính AH, đờng tròn này cắt AB tại E, cắt AC tại F. a) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật. b) Chứng minh:BEFC là tứ giác nội tiếp . c) Chứng minh: AB.AE = AC.AF d) Gọi M là là giao điểm của CE và BF. Hãy so sánh diện tích của tứ giác AEMF và diện tích của tam giác BMC. Bài tập 15 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Chứng minh ED = 2 1 BC. 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Bài tập 16 - 4 - GV: Hunh Mnh Dng THCS Nguyn Trng T- CMGar-klk T im M ngoi ng trũn (O) v 2 tip tuyn MA v MB. Trờn cung nh AB ly 1 im C. V CD AB; CE MA; CF MB. Gi I l giao im ca AC v DE; K l giao im ca BC v DF. Chng minh rng: a) T giỏc AECD; BFCD ni tip c. b) CD 2 = CE.CF c) IK CD Bài tập 17 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O). M là điểm di động trên cung nhỏ BC. Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC. a) Chứng minh DMC đều. b) Chứng minh MB + MC = MA. c) Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp đợc. d) Khi M Di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đờng cố định nào ? Bài tập 18 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. 1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn . 3. Chứng minh OI.OM = R 2 ; OI. IM = IA 2 . 4. Chứng minh OAHB là hình thoi. 5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. 6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d. Bài tập 19 Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự. Vẽ đờng tròn (O) bất kỳ đi qua B và C (BC không là đờng kính của (O)). Kẻ từ các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E; F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D. Chứng minh: 1. AE 2 = AB.AC 2. Tứ giác AEOF 3. Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đờng tròn. 4. ED song song với Ac. 5. Khi (O) thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đ- ờng thẳng cố định. Bài tập 20 Cho ABC có các góc đều nhọn và à 0 45A = . Vẽ đờng cao BD và CE của ABC. Gọi H là gia điểm của BD và CE. a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. - 5 - GV: Hunh Mnh Dng THCS Nguyn Trng T- CMGar-klk b) Tính tỉ số DE BC c) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh OA DE Bài tập 21 Cho tam giác nhọn PBC. Gọi A là chân đờng cao kẻ từ P xuống cạnh BC. Đờng tròn đờng kính BC cắt PB, PC lần lợt ở M và N. Nối N với A cắt đờng tròn đờng kính BC ở điểm thứ hai E a/ Chứng minh rằng: 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đờng tròn. Hãy xác định tâm và bán kính đờng tròn ấy. b/ Chứng minh: EM vuông góc với BC c/ Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh rằng AM.AF = AN.AE Bài tập 22 Cho tam giác vuông ABC ( 0 90A = ); trên đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với các điểm A và C). Đờng tròn đờng kính DC cắt BC tại các điểm thứ hai E; đờng thẳng BD cắt đờng tròn đờng kính DC tại điểm F (F không trùng với D). Chứng minh: a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC. b. Tứ giác ABCF nội tiếp đờng tròn. c. AC là tia phân giác của góc EAF. Bài tập 23 Cho hình thang cân ABCD (AB>CD; AB//CD) nội tiếp trong đờng tròn (O). Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD a/ Chứng minh: Tứ giác AEDI nội tiếp b/ Chứng minh AB//EI c/ Đờng thẳng EI cắt cạnh bên AD và BC của hình thang tơng ứng ở R và S. Chứng minh: * I là trung điểm của RS * RSCDAB 211 =+ Bài tập 24 Cho đờng tròn (O; R) có hai đờng kính AOB và COD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA, nối CE cắt đờng tròn tại F. Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đ]ờng tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA. Gọi I là giao điểm của Fx và Ey a/ Chứng minh I; E; O; F cùng nằm trên một đờng tròn. b/ Tứ giác CEIO là hình gì? vì sao? c/ Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào? Bài tập 25 - 6 - GV: Hunh Mnh Dng THCS Nguyn Trng T- CMGar-klk Cho nửa đờng tròn đờng kính BC bán kính R và điểm A trên nửa đờng tròn (A khác B và C). Từ A hạ AH vuông góc với BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F. a. Tứ giác AFHE là hình gì? Tại sao? b. Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp. c. Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tứ giác AFHE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R. Bài tập 26 Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đờng tròn (O) thay đổi đi qua hai điểm M, N. Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PT với đờng tròn (O) a) Chứng minh: PT 2 = PM.PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua M, N thì T, T thuộc một đờng tròn cố định. b) Gọi giao điểm của TT với PO, PM là I và J. K là trung điểm của MN. Chứng minh: Các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp. c) Chứng minh rằng: Khi đờng tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N thì TT luôn đi qua điểm cố định. d) Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để góc TPT = 60 0 . Bài tập 27 Cho ABC vuông ở A. Trên AC lấy điểm M (MA và C). Vẽ đờng tròn đ- ờng kính MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đờng tròn. Nối BM kéo dài cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là D. Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai S. Chứng minh: a) Tứ giác ABTM nội tiếp b) Khi M chuyển động trên AC thì ã ADM có số đo không đổi. c) AB//ST. Bài tập 28 Cho hai đờng tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Đờng vuông góc với AB kẻ qua B cắt (O) và (O') lần lợt tại các điểm C, D. Lấy M trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O). Gọi giao điểm thứ hai của đờng thẳng MB với đờng tròn (O') là N và giao điểm của hai đờng thẳng CM, DN là P. a. Tam giác AMN là tam giác gì, tại sao? b. Chứng minh ACPD nội tiếp đợc đờng tròn. c. Gọi giao điểm thứ hai của AP với đờng tròn (O') là Q, chứng minh rằng BQ // CP. Bài tập 29 Cho ABC vuụng ti A (AB < AC). H bt k nm gia A v C. ng trũn (O) ng kớnh HC ct BC ti I. BH ct (O) ti D. a) Chng minh t giỏc ABCD ni tip. b) AB ct CD ti M. Chng minh 3 im H; I; M thng hng - 7 - GV: Hunh Mnh Dng THCS Nguyn Trng T- CMGar-klk c) AD ct (O) ti K. Chng minh CA l tia phõn giỏc ca ã KCB Bài tập 30 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối Ac cắt MN tại E. 1. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp . 2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. 3. Chứng minh AM 2 = AE.AC. 4. Chứng minh AE. AC - AI.IB = AI 2 . 5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Bài tập 31 Cho na ng trũn (O;R) ng kớnh AB, dõy AC. Gi E l im chớnh gia cung AC bỏn kớnh OE ct AC ti H, v CK song song vi BE ct AE ti K. a) Chng minh t giỏc CHEK ni tip. b) Chng minh KH AB c) Cho BC = R. Tớnh PK. Bài tập 32 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK. 1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn. 2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bài tập 33 Cho điểm A bên ngoài đờng tròn (O ; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đờng tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE. a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đờng tròn. b) Chứng minh HA là tia phân giác của ã BHC . c) DE cắt BC tại I. Chứng minh : 2 AB AI.AH= . d) Cho AB=R 3 và R OH= 2 . Tính HI theo R. Bài tập 34 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. a) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh rằng: AI 2 = IM . IB. - 8 - GV: Hunh Mnh Dng THCS Nguyn Trng T- CMGar-klk c) Chứng minh BAF là tam giác cân. d) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi. e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn. Bài tập 35 Cho hai ng trũn (O 1 ), (O 2 ) cú bỏn kớnh bng nhau v ct nhau A v B. V cỏt tuyn qua B khụng vuụng gúc vi AB, nú ct hai ng trũn E v F. (E (O 1 ); F (O 2 )). 1. Chng minh AE = AF. 2. V cỏt tuyn CBD vuụng gúc vi AB ( C (O 1 ); D (O 2 )). Gi P l giao im ca CE v DF. Chng minh rng: a. Cỏc t giỏc AEPF v ACPD ni tip c ng trũn. b. Gi I l trung im ca EF chng minh ba im A, I, P thng hng. 3. Khi EF quay quanh B thỡ I v P di chuyn trờn ng no? Bài tập 36 Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC, CD lần lợt lấy điểm E, F sao cho ã 0 45EAF = . Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự tại G, H. Chứng minh: a) ADFG, GHFE là các tứ giác nội tiếp b) CGH và tứ giác GHFE có diện tích bằng nhau Bài tập 37 Cho đờng tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đờng tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đờng kính BA; trên tia đói của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M; MD cắt AB tại K; MB cắt AC tại H. a. Chứng minh: BMD = BAC , từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp. b. Chứng minh: HK // CD. c. Chứng minh: OK.OS = R 2 . Bài tập 38 Cho đờng tròn (O), một đờng kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2 3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN, sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. a. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đợc trong một đờng tròn. b. Chứng minh V AME đồng dạng với V ACM và AM 2 = AE.AC. c. Chứng minh AE.AC AI.IB = AI 2 . d. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Bài tập 39 Cho ba điểm A, B, C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng d vuông góc với AC tại A. Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì. Tia - 9 - GV: Hunh Mnh Dng THCS Nguyn Trng T- CMGar-klk CM cắt đờng thẳng d tại D; Tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N; Tia DB cắt đ- ờng tròn tại điểm thứ hai P. a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp đợc. b) Chứng minh: Tích CM. CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M. c) Tứ giác APND là hình gì? Tại sao? d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAB chạy trên một đờng tròn cố định. Bài tập 40 Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài đờng tròn. Các tiếp tuyến với đờng tròn kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn ở B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn (M khác B và C). Gọi H; K; I lần lợt là chân các đờng vuông góc kẻ từ M xuống BC; CA; AB. a/ Chứng minh: Tứ giác MHBI, MHCK nội tiếp. b/ Chứng minh: ã ã MHI MK H= . c/ Chứng minh: MH 2 = MI.MK. Bài tập 41 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R. Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm trên (d) sao cho MA, MQ, QA. Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P. Chứng minh: 1. Tích BN.BM không đổi. 2. Tứ giác MNPQ nội tiếp. 3. Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R Bài tập 42 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn tâm O và P là trung điểm của cung AB không chứa C và D. Hai dây PC và PD lần lợt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I, các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: a. Góc CID bằng góc CKD. b. Tứ giác CDFE nội tiếp đợc một dờng tròn. c. IK // AB. Bài tập 43 Trên đờng tròn (O; R) đờng kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B). AM cắt BE tại C; AE cắt BM tại D. a. Chứng minh MCED là một tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB. b. Gọi H là giao điểm của CD và AB. Chứng minh BE.BC = BH.BA. c. Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đờng tròn (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đờng thẳng CD. d. Cho biết 0 45BAM = và 0 30BAE = . Tính diện tích tam giác ABC theo R. - 10 - [...]... CMIN lµ h×nh g× ? Bµi tËp 68 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC b) Chứng minh AE.AB = AF.AC c) Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và K là trung điểm OK của BC Tính tỉ số BC khi tứ giác BHOC nội tiếp d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm ,... c Chøng minh ®êng th¼ng AB ®i qua trung ®iĨm cđa EF - 20 - GV: Huỳnh Mạnh Dũng THCS Nguyễn Trường T - CưM’Gar-Đăklăk Bµi tËp 91 Cho đường tròn tâm O và cát tuyến CAB (C ở ngồi đường tròn) Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB tại I, CM cắt đường tròn tại E, EN cắt đường thẳng AB tại F 4) Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp 5) Chứng minh góc CAE bằng góc MEB 6) Chứng minh:... tËp 86 - 19 - GV: Huỳnh Mạnh Dũng THCS Nguyễn Trường T - CưM’Gar-Đăklăk Cho đường tròn tâm O đường kính AC Trên AC lấy điểm B , vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC Gọi M là trung điểm của AB Từ M kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường tròn tâm O tại D và E Nối DC cắt đường tròn tâm O’ tại I Chứng minh: a/ AD // BI b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng c/ MD = MI d/ DM2 = AM.MC e/ Tứ giác DMBI nội tiếp Bµi... trÝ cđa M ®Ĩ kho¶ng c¸ch O1O2 lµ ng¾n nhÊt Bµi tËp 66 - 15 - GV: Huỳnh Mạnh Dũng THCS Nguyễn Trường T - CưM’Gar-Đăklăk Cho điểm A bên ngồi đường tròn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đường tròn (O) Gọi H là trung điểm của DE a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn · b) Chứng minh HA là tia phân giác của BHC 2 c) DE cắt BC tại I Chứng minh : AB = AI.AH... lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n EF Chøng minh r»ng: a Tø gi¸c PMON néi tiÕp ®êng trßn b C¸c ®iĨm P, N, O, H cïng n»m trªn mét ®êng trßn c Tam gi¸c PQO c©n d PM2 = PE.PF - 21 - GV: Huỳnh Mạnh Dũng e ∠PHM = ∠PHN THCS Nguyễn Trường T - CưM’Gar-Đăklăk - 22 - ... th¼ng hµng Bµi tËp 76 - 17 - GV: Huỳnh Mạnh Dũng THCS Nguyễn Trường T - CưM’Gar-Đăklăk Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O M lµ mét ®iĨm trªn cung AC ( kh«ng chøa B ) kỴ MH vu«ng gãc víi AC ; MK vu«ng gãc víi BC 1) Chøng minh tø gi¸c MHKC lµ tø gi¸c néi tiÕp · · 2) Chøng minh AMB = HMK 3) Chøng minh ∆ AMB ®ång d¹ng víi ∆ HMK Bµi tËp 77 Cho nửa đường tròn đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa... O1 , O2 , M , B n»m trªn mét ®êng trßn 3) E lµ trung ®iĨm cđa IJ , ®êng th¼ng CD quay quanh A T×m tËp hỵp ®iĨm E 4) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa d©y CD ®Ĩ d©y CD cã ®é dµi lín nhÊt - 16 - GV: Huỳnh Mạnh Dũng THCS Nguyễn Trường T - CưM’Gar-Đăklăk Bµi tËp 71 Cho tam gi¸c ABC , gãc B vµ gãc C nhän C¸c ®êng trßn ®êng kÝnh AB , AC c¾t nhau t¹i D Mét ®êng th¼ng qua A c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh AB , AC lÇn lỵt t¹i... hµnh Bµi tËp 57 Cho ®êng trßn (O) vµ ®êng th¼ng xy ngoµi ®êng trßn §êng th¼ng ®i qua O vu«ng gãc víi xy t¹i H c¾t ®êng trßn (O) t¹i A vµ B M lµ ®iĨm trªn (O), ®êng th¼ng AM - 13 - GV: Huỳnh Mạnh Dũng THCS Nguyễn Trường T - CưM’Gar-Đăklăk c¾t xy t¹i E, ®êng th¼ng BM c¾t xy t¹i F, tiÕp tun t¹i M c¾t xy t¹i I, ®êng th¼ng AF c¾t (O) t¹i K Nèi E víi K a) Chøng minh: IM = IF b) Chøng minh: 4 ®iĨm E, M, K,... trên nửa đường tròn sao cho cung AC bằng cung CB Trên cung CB lấy điểm D khác C và B Các tia AC, AD cắt Bx lần lượt tại E và F a, Chứng minh ABE vng cân b, Chứng minh ABF BDF c, Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp d, Chứng minh AC.AE = AD.AF Bµi tËp 78 Cho tø gi¸c ABCD cã hai ®Ønh B vµ C ë trªn nưa ®êng trßn ®êng kÝnh AD, t©m O Hai ®êng chÐo AC vµ BD c¾t nhau t¹i E Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa... BC, CA, AB a ChØ ra c¸ch dùng ®êng trßn (O) b Chøng minh tø gi¸c BIMK néi tiÕp c Gäi P lµ giao ®iĨm cđa MB vµ IK; Q lµ giao ®iĨm cđa MC vµ IH Chøng minh PQ ⊥ MI Bµi tËp 81 - 18 - GV: Huỳnh Mạnh Dũng THCS Nguyễn Trường T - CưM’Gar-Đăklăk Cho ∆ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp trong ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R H¹ c¸c ®êng cao AD, BE cđa tam gi¸c C¸c tia AD, BE lÇn lỵt c¾t (O) t¹i c¸c ®iĨm thø hai lµ M, N Chøng . giác nội tiếp - ờng tròn (Gọi tắt là tứ giác nột tiếp) 2) Định lí - Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 -Nếu một tứ giác. thì tứ giác đó nội tiếp đờng tròn. 3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng số do hai góc đối diện bằng 180 0 . - Tứ