Cùng tham khảo “Đề thi chọn đội tuyển HSG môn Toán 12 năm 2018-2019 - Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội” sau đây để biết được cấu trúc đề thi cũng như những dạng bài chính được đưa ra trong đề thi. Từ đó, giúp các bạn học sinh có kế hoạch học tập và ôn thi hiệu quả. Chúc các bạn ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao.
TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT CHUYÊN Độc lập - Tự - Hạnh phúc ———–***———– ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018-2019 Ngày thi thứ nhất: 10-09-2018 Thời gian làm bài: 180 phút Câu Cho tam thức bậc hai f (x) = x2 + ax + b với a, b ∈ R Biết tồn số thực x0 cho f (f (x0 )) = Chứng minh a, b số không âm Câu Cho ba số dương a1 , b1 , c1 thoả mãn a1 + b1 + c1 = dãy số (an ), (bn ), (cn ) thoả mãn an+1 = a2n + 2bn cn , bn+1 = b2n + 2an cn , cn+1 = c2n + 2an bn với n ∈ N∗ Xét dãy (xn ) xác định xn = a2n + b2n + c2n với n nguyên dương Chứng minh (a) xn+1 2x2n + (xn − 1)2 = với n ∈ N∗ (b) (xn ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ tìm giới hạn Câu Ghi lên bảng 2018 số nguyên dương đầu tiên: 1, 2, 3, , 2018 Thực thuật toán sau: lần cho phép xố hai số a, b mà khơng có số bội số thay chúng hai số ước số chung lớn bội số chung nhỏ a, b Hỏi ta thực thuật tốn vơ hạn lần không? Tại sao? Câu Cho tam giác ABC khơng cân nội tiếp đường trịn (O), I tâm đường tròn nội tiếp Gọi E giao điểm BI AC, F giao điểm CI AB M, N theo thứ tự giao điểm thứ hai BI, CI đường tròn (O) Đường thẳng BI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BN F điểm thứ hai P Đường thẳng CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CM E điểm thứ hai Q (a) Chứng minh tứ giác EF P Q nội tiếp đường tròn (b) Qua I kẻ đường thẳng ∆ vng góc với BC Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EF P Q nằm ∆ TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT CHUYÊN Độc lập - Tự - Hạnh phúc ———–***———– ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MƠN TỐN NĂM HỌC 2018-2019 Ngày thi thứ hai: 11-09-2018 Thời gian làm bài: 180 phút Câu Cho n số nguyên lớn (x1 , , xn ) hoán vị tập hợp {1; 2; ; n} (tập hợp gồm n số nguyên dương đầu tiên) Chứng minh n kxk (k + xk ) ≤ k=1 n2 (n + 1)2 Câu Cho số nguyên m, n lớn thoả mãn n số x2 − x với x = 1, , n khơng có hai số có số dư chia cho m Chứng minh (a) m ≥ 2n − (b) m = 2n − m số nguyên tố lẻ Câu Với số nguyên n > 1, ta gọi hoán vị (a1 , , an ) tập hợp {1; 2; ; n} (tập hợp gồm n số nguyên dương đầu tiên) tốt |a1 − 1| = |a2 − 2| = · · · = |an − n| = Chứng minh (a) Không tồn hoán vị tốt n lẻ (b) Nếu n chẵn số hốn vị tốt số ước dương n Câu Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân, nội tiếp đường trịn (O) P, Q theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB, OAC R điểm đối xứng O qua BC Gọi X ÷ =Y ÷ giao điểm RB CP , Y giao điểm RC BQ Chứng minh BAX AC ...TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT CHUYÊN Độc lập - Tự - Hạnh phúc ———–***———– ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 201 8-2 019 Ngày thi thứ hai: 1 1-0 9-2 018... vị tốt n lẻ (b) Nếu n chẵn số hốn vị tốt số ước dương n Câu Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O) P, Q theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB, OAC R điểm đối