Đang tải... (xem toàn văn)
Đề chính thức của Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang. Ngày thi 28-03-2010. Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề. Đề thi có kèm hướng dẫn chấm thi để các bạn kiểm tra lại bài đã giải.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi: Toán-lớp 12 Ngày thi: 28 tháng 03 năm 2010 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (5,0 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + (m tham số) (1) Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = Tìm m để đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A(0;1), B, C cho tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) B C vng góc với Câu II (4,0 điểm) x x − y = x + y y Giải hệ phương trình: (x, y ∈ R) x − y = π sin x + cos x = sin ( x + ) − Giải phương trình: (x ∈ R) Câu III.(2,0 điểm) Cho phương trình: log( x + 10 x + m) = 2log(2 x + 1) (với m tham số) (2) Tìm m để phương trình (2) có hai nghiệm thực phân biệt Câu IV (2,0 điểm) Tính tích phân: π tan xdx ∫ cos x + cos x Câu V (4,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 2), đường thẳng ∆1: x + y – = đường thẳng ∆2: x + y – = Tìm tọa độ điểm B thuộc ∆1 điểm C thuộc ∆2 cho tam giác ABC vuông cân A Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3; 5; -5), B(5; -3; 7) mặt phẳng (P): x + y + z - = Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng (P) cho MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ Câu VI (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy Góc mặt phẳng (SBC) (SCD) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Câu VII (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = a3 b3 c3 + + ≥ Chứng minh rằng: b +3 c +3 a +3 (Cán coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh:……………………………………….SBD:…………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi: Tốn, lớp 12 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 28 tháng 03 năm 2010 (Hướng dẫn có trang) Chú ý: Dưới sơ lược bước giải cách cho điểm phần Bài làm học sinh yêu cầu tiết, lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác mà chấm điểm phần tương ứng Câu Phương pháp - Kết Ta có y’ = 3x + 6x + m Ycbt tương đương với phương trình 3x2 + 6x + m = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 9 - 3m > x + x = -2 I.1 (2điểm) ⇔ m x1.x2 = x1 + x2 = Giải hệ ta m = -105 2.+) Hoành độ điểm chung (C) d nghiệm phương trình x3 + 3x2 + mx + = ⇔ x(x2 + 3x + m) = Từ tìm m < m ≠ d cắt (C) ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C +) B(x1; 1), C(x2; 1) với x1; x2 nghiệm phương trình x2 + 3x + m = Hệ số góc tiếp tuyến B k1 = 3x12 + 6x1 + m I.2 C k2 = 3x22 + 6x2 + m (2điểm) Tiếp tuyến (C) B C vng góc với k1.k2 = -1 ⇔ 4m2 – 9m + = − 65 ( t/m) m = ⇔ + 65 ( t/m) m = II.1 Điều kiện x, y ≥ (2điểm) Xét y = 0, không thỏa mãn hpt +) y ≠ 0, đặt x = t y , t ≥ Hệ phương trình trở thành 5t − = t + (*) 2 t y − = t + y t −1 t − ⇔ y (t − 1) = y = (t ≠ 1) t −1 Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (*) ⇔ 4t3 – 8t2 + t + = 1 3 ; t = Đối chiếu điều kiện ta t = 2 Từ tìm (x;y) = (9; 4) (HS giải toán phương pháp cách khác kết điểm tối đa) PT ⇔ 2sin 2x cos 2x + 2cos2 2x = 4(sin x + cos x) ⇔ (cos x + sin x) (cos x – sin x) (sin 2x + cos 2x) = 2(sin x + cos x) ⇔ t = 1; t = - sinx + cos x = (cos x − sinx)(sin x + cos2 x) = 0,5 0,5 0,5 ⇔ II.2 π x = − + kπ (2điểm) ⇔ 0,5 cos3 x − sinx = Chứng minh phương trình cos 3x – sin x = vô nghiệm π + kπ 1 x > − x > − ⇔ 2 PT ⇔ x + 10 x + m = (2 x + 1) m = 3x − x + 1(**) III Ycbt ⇔ (**) có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x >2 (2điểm) Lập bảng biến thiên hàm số f(x) = 3x2 – 6x + (- ;+∞ )ta 19 tìm đươc m ∈ (-2; ) KL: x = − I= π tan xdx ∫ cos x Đặt t = = + cos x π ∫ cos tan xdx 2 + tan x ⇒ t = + tan x ⇒ tdt = tdt = I= ∫ t V.1 (2điểm) 1 0,5 x + tan x IV (2điểm) Đổi cận : x = ⇒ t = π x= ⇒t= 0,5 tan xdx cos x 0,5 0,5 ∫ dt = 3− 0,5 B ∈ ∆1 ⇔ B(a; –a) C ∈ ∆2 ⇔ C(b; 9-b) uuur uuur AB AC = ∆ ABC vuông cân A ⇔ 2 AB = AC 0,5 (1) 2ab - 10a - 4b + 16 = ⇔ 2 2a - 8a = 2b − 20b + 48 (2) a = không nghiệm hệ 0,5 5a - Thế vào (2) tìm a = a = a-2 Với a = suy b = Với a = suy b = 2.Gọi I trung điểm AB ⇒ I ( 1; 1; 1) +) MA2 + MB2 = 2MI2 + IA2 + IB2 Do IA2 + IB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ MI nhỏ ⇔ M hình chiếu I lên mặt phẳng (P) V.2 x-1 y-1 z-1 (2điểm) = = +) Phương trình đường thẳng MI : 1 M giao điểm MI mặt phẳng (P) Từ tìm M(2; 2; 2) (1) ⇔ b = 0,5 0,5 0,5 0,5 S M A VI (2điểm) D B C Gọi M hình chiếu vng góc B lên SC Chứng minh góc DMB = 1200 ∆ DMB cân M Tính được: DM2 = a2 1 = + ∆ SCD vuông D DM đường cao nên 2 DM DS DC Suy DS = a Tam giác ASD vuông A suy SA = a Vậy thể tích S.ABCD a3 VII (1điểm) 0,5 0,5 0,5 0,5 a3 b3 c3 + + ≥ (***).Do ab + bc + ca = nên b +3 c +3 a +3 a3 b3 c3 + + b + ab + bc + ca c + ab + bc + ca a + ab + bc + ca a3 b3 c3 + + = (b + c)(a + b) (c + a )(b + c) (a + b)(c + a ) a3 b + c a + b 3a + + ≥ Theo BĐT AM-GM ta có (b + c)(c + a ) 8 a 5a − 2b − c ⇒ ≥ (1) (b + c )(c + a ) Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được: VT (***) = 0,5 b3 5b − 2c − a ≥ (c + a )(a + b) c3 5c − 2a − b ≥ (a + b)(c + a ) a+b+c Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta VT (***) ≥ Mặt khác ta dễ dàng chứng minh : a + b + c ≥ 3(ab + bc + ca) = Đẳng thức xảy a = b = c = (Đpcm) (2), (3) 0,5 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010 Mơn thi: Tốn, lớp 12 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 28 tháng 03 năm 2010 (Hướng... 3x − x + 1(**) III Ycbt ⇔ (**) có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x >2 (2điểm) Lập bảng biến thi? ?n hàm số f(x) = 3x2 – 6x + (- ;+∞ )ta 19 tìm đươc m ∈ (-2; ) KL: x = − I= π tan xdx ∫ cos x... (1) 2ab - 10a - 4b + 16 = ⇔ 2 2a - 8a = 2b − 20b + 48 (2) a = không nghiệm hệ 0,5 5a - Thế vào (2) tìm a = a = a-2 Với a = suy b = Với a = suy b = 2.Gọi I trung điểm AB ⇒ I ( 1; 1; 1) +)