Slide

 Được nghiên cứu trong vận trù học (operations research) và khoa học máy tính lý thuyết (theoretical computer science).  Nguồn gốc thật sự: unknown[r]

(1)

Giảng viên: ThS Trần Quang Khải

TOÁN RỜI RẠC

Chương 6:

(2)

Toán rời rạc: 2011-2012

Nội dung (phần 3)

1 Bài tốn tìm đường ngắn nhất:

 Giải thuật Dijsktra.

2 Giới thiệu toán TSP.

(3)

Bài tốn tìm đường ngắn nhất

(4)

Đồ thị có trọng số

Chương 6: Đồ thị

Weighted graph

(5)

Tốn rời rạc: 2011-2012

Liên quan:

 Thời gian.

 Khoảng cách.

 Chi phí.

 …

(6)

Độ dài (length) đường có trọng số:

Tổng trọng số các cạnh trên đường đi.

 Đường ngắn nhất: đường có độ dài nhỏ nhất số đường có.

Lưu ý:

Khác với khái niệm độ dài tổng số cạnh.

(7)

Bài toán tìm đường ngắn nhất

Shortest path problems:

Tìm đường có độ dài nhỏ đỉnh s (source) t (destination).

Các thuật tốn:

 Dijsktra (giữa đỉnh, khơng cạnh âm).

 Floyd-Warshall (mọi cặp đỉnh).

 Bellman-Ford (có cạnh âm).

(8)

Bài tốn tìm đường ngắn nhất

Nhận xét:

 Có thể bỏ bớt cạnh bội, giữ lại cạnh có trọng số nhỏ nhất.

 Có thể bỏ khuyên có trọng số khơng âm.

 Nếu có khun trọng số âm: khơng có lời giải.

(9)

Bài tốn tìm đường ngắn nhất

Biểu diễn đồ thị dạng ma trận kề:

aij =

 Trọng số cạnh nhỏ nối i đến j nếu có.

 nếu khơng có cạnh nối i đến j nếu có.

Phải kiểm tra giá trị 0 trong ma trận.

Tổng quát hơn: thay 0 bằng +∞.

(10)

Nguyên lý Bellman

Gọi P là đường ngắn từ i đến j, k là đỉnh nằm i và j trên P thì:

 Đường P1 từ i đến k cũng đường ngắn

nhất từ i đến k.

 Đường P2 từ k đến j cũng đường ngắn

nhất từ k đến j.

(11)

Thuật toán Dijsktra

Ý tưởng:

 Giải thuật Dijsktra chủ yếu dựa nguyên lý gán

nhãn (labeling).

 Tác giả: Edsger Dijkstra Công bố: 1959

Chương 6: Đồ thị 11

(12)

Điều kiện:

 Đồ thị G = (V, E).

 Có hướng vơ hướng.

 Khơng có cạnh âm.

(13)

Ý tưởng:

Dựa dãy bước lặp:

 Bắt đầu từ tập chứa đỉnh xuất phát a.

 Mỗi bước lặp thêm đỉnh vào tập đỉnh ghé qua.

 Gán nhãn cho đỉnh bước lặp:

Nhãn đỉnh w là độ dài đường ngắn từ a đến (thơng qua đỉnh tập thăm).

 Bước lặp tiếp:

Chọn đỉnh gán nhãn (có giá trị nhãn nhỏ nhất) để tiếp tục.

(14)

Thuật tốn Dijsktra

Ví dụ: tìm đường từ s đến t.

(15)

Example

(16)

Example

(17)

Cài đặt thuật tốn Dijsktra:

Trình bày - Nhóm (thời gian: tuần 9):

1 Liêu Tấn Đạt - MSSV: 1131200001.

2 Hoàng Trung Thành - MSSV: 1131200016. 3 Lê Trọng Hà - MSSV: 1131200006.

(18)

Bài toán TSP

(19)

Bài toán TSP

The travelling salesman problem:

“Cho một danh sách các thành phố và

khoảng cách đường giữa mỗi cặp thành phố, tìm đường đi ngắn nhất có thể sao cho mỗi thành phố được ghé qua đúng một lần”.

(20)

Bài toán TSP

 The travelling salesman problem:

 Bài tốn “lớn+khó” (NP-hard) tối ưu tổ hợp

(combinatorial optimization).

 Được nghiên cứu vận trù học (operations research) khoa học máy tính lý thuyết (theoretical computer science).

 Nguồn gốc thật sự: unknown.

(21)

Bài toán TSP

Ứng dụng:

 Lập quy hoạch.

 Ngành hậu cần.

 Sản xuất vi mạch.

 Xử lý chuỗi DNA.

 ….

(22)

Bài toán TSP

(23)

Bài toán TSP

 Lược sử nghiên cứu (với trợ giúp máy tính):

 1950s, 1960s: phổ biến châu Âu, châu Mỹ.

 Phương pháp mặt phẳng cắt.

 1972: Richard Karp chứng minh độ khó TSP.

 Cuối 1970s, đầu 1980s: giải trường hợp 2392 thành phố (Grötschel, Padberg, Rinaldi).

 2005: Cook cộng giải trường hợp có

33810 thành phố, xuất phát từ toán thiết kế vi mạch.

(24)

Bài toán TSP

Giải pháp:

Các phương pháp “xấp xỉ”, kết hợp giữa:

 Lý thuyết đồ thị.

 Phương pháp tối ưu hóa KHMT:

•Giải thuật di truyền.

•Các giải thuật tìm kiếm cục (local search): Tabu search, giải thuật leo đồi, giải thuật mô

luyện kim, đế chế đàn kiến,…

(25)

Bài toán TSP

(26)

Bài tập – Giải thuật Dijsktra

1

2

(27)

3 4

(28)

5