Đề thi thử TN THPT 2021 môn toán bộ đề theo mức độ GV ĐHSP đề 23 file word có lời giải

ĐỀ SỐ 23 ĐỀ LUYỆN ĐIỂM 10 (Đề thi có 06 trang) Mơn: Tốn (Đề có lời giải) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu Trong không gian Oxyz, cho hai điểm ( P ) : x + y + z − = Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) A ( −1; 2; −3) , B ( 2; −1; −6 ) mặt phẳng chứa AB tạo với mặt phẳng ( P ) góc α thỏa mãn cos α = A x − y + z + 15 = x − y − = B x + y + z + 15 = x − z − = C x − y − 3z + 15 = x − y + = D x + y + z + 15 = x − z + = Câu Trong mặt phẳng ( xOy ) , gọi A, B điểm biểu diễn số phức z1 = −2i; z2 = − 6i Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Khi điểm I biểu diễn số phức A z = − i B z = − 2i C z = − 4i D z = −1 − i Câu Cho số thực dương a > b > > c Khẳng định sau đúng? A log a b > > log b c > B > log a b > logb c > C log a b > > > log b c D > log a b > > log b c Câu Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ Mệnh đề đúng? A a > 0, b > 0, c > 0, d > B a > 0, b > 0, c < 0, d > C a > 0, b < 0, c < 0, d > D a > 0, b < 0, c < 0, d < Câu Tìm giá trị nhỏ hàm số y = x − x + y=0 A (min 2;+∞ ) y = −13 B (min 2; +∞ ) Câu Cho phương trình x +1 + ( 0,5 ) 3x 54 khoảng ( 2; +∞ ) x−2 y = 23 C (min 2; +∞ ) y = −21 D (min 2;+∞ ) + 3.2 x +3 = 125 − 24 ( 0,5 ) Khi đặt t = x + x , phương trình 2x cho trở thành phương trình đây? A 8t − 3t − 12 = B 8t + 3t − t − 10 = Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục [ −1; +∞ ) C 8t − 125 = ∫f( A I = B I = ) x + dx = Tính C I = 16 D 8t + t − 36 = ∫ x.( f ( x) + ) dx D I = 12 Câu Cho hàm số y = 3x + Đẳng thức sau đúng? Trang A y ′ ( 1) = 27 ln B y ′ ( 1) = ln C y ′ ( 1) = 27 ln D y ′ ( 1) = ln  x = − 2t  Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :  y = Trong véctơ sau, véctơ  z = + 3t  véctơ phương đường thẳng d? uu r ur A a3 = ( −2;0;3) B a1 = ( −2;3;3) ur C a1 = ( 1;3;5 ) ur D a1 = ( 2;3;3) Câu 10 Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a, vẽ tia Ax nửa mặt phẳng chứa B bờ đường thẳng qua A cho điểm B cách tia Ax đoạn a Gọi H hình chiếu B lên tia, tam giác AHB quay quanh trục AB đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt trịn xoay có diện tích xung quanh A ( + ) πa B ( + ) πa 2 C ( + ) πa 2 D 2πa 2 Câu 11 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a , cạnh SA vuông a Mặt phẳng góc với đáy SB tạo với đáy góc 60° Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM = ( BCM ) A V = cắt cạnh SD N Tính thể tích V khối chóp S.BCNM a3 B V = a3 3 C V = a3 D V = a3 Câu 12 Tìm tất giá trị m để hàm số y = x + m ( sin x + cos x ) đồng biến ¡ A m ≥ 2 2 B m ≥ 2 C m ≤ D m ≤ 2 Câu 13 Khối chóp S.ABCD có cạnh đáy hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a , cạnh SD thay đổi Thể tích khối chóp S.ABCD lớn nahát độ dài cạnh SD A a Câu 14 Cho biết f ( x ) = B a e2 x ∫ t ln 20 C a D 2a tdt , hàm số y = f ( x ) đạt giá trị cực trị ex A x = 21 ln 2 B x = − 21 ln 2 C x = − 21 ln D x = 21 ln Câu 15 Thiết diện qua trục hình nón ( N ) tam giác vng cân có cạnh góc vng a Tính bán kính đáy R hình nón A R = a B R = a 2 C R = a D R = a Trang Câu 16 Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 2;1; −3) , B ( 1; −1;0 ) mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = Gọi M điểm nằm mặt phẳng ( P ) cho BM nhỏ Mặt phẳng ( Q ) qua A, M góc hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) lớn Phương trình mặt phẳng ( Q ) A ( Q ) : −2 x + y + z + 15 = B ( Q ) : − x + y + z + 10 = C ( Q ) :x + y + z = D ( Q ) : x + y + 3z + = Câu 17 Kim tự tháp Maya (Pyramid Maya) xây dựng người Maya (một tộc thổ dân châu Mỹ sinh sống 2.000 năm trước Mexico) Một kim tự tháp thiết kế sau: Tầng thứ viên đá hình lập phương Tầng thứ có viên đá trung tâm viên đá xung quanh tổng cộng có viên đá Tầng thứ có viên đá trung tâm 16 viên đá xung quanh tổng cộng có 25 viên đá Cứ tiếp tục tầng Hỏi kim tự tháp có 15 tầng số lượng viên đá hình lập phương A 4495 B 1135 C 2375 D 4855 Câu 18 Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục khoảng ( −∞;0 ) , ( 0; +∞ ) có bảng biến thiên sua: Tìm tất giá trị thực m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm phân biệt A −4 ≤ m < B −4 < m < C −7 < m < D −4 < m ≤ Câu 19 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ tích 216 cm3 diện tích tam giác ABC ′ 24 3cm Tính sin góc AB mặt phẳng ( A′BC ) A sin α = B sin α = 13 13 C sin α = D sin α = Câu 20 Cho số phức z thỏa mãn iz + − i = Khoảng cách từ điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Oxy đến điểm M ( 3; −4 ) A B 13 C 10 D 2 Trang 3 Câu 21 Biết đồ thị hàm số ( C ) : y = x + ax + bx + c qua điểm A ( 1;6 ) có cực đại x = −1 Tính giá trị hàm số x = A y ( 3) = 44 Câu 22 Cho B y ( 3) = 36 hàm số y = f ( x) C y ( 3) = 22 xác định, có D y ( 3) = 12 đạo hàm ¡ thỏa mãn:  f ( − x + )  +  f ( x + )  = 10 x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ là: A y = x − B y = x − C y = −2 x + D y = −2 x + Câu 23 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Hỏi có giá trị nguyên m để đồ thị hàm số y = g ( x ) = A B C f ( x) có tiệm cận đứng? f ( x) − m D Câu 24 Trong mặt phẳng cho hình lục giác cạnh Thể tích hình trịn xoay có quay hình lục giác quanh đường thẳng qua hai đỉnh đối diện A 2π B 6π C 8π D π  x − xy + = Câu 25 Cho x > y thỏa mãn:  Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ  x + y ≤ 14 2 biểu thức P = x y − xy − x ( x − 1) Khi tích M m có giá trị A 32 B 16 C D −16 2 Câu 26 Nếu log a + log b = log a + log b = giá trị log ( ab ) A B 18 C D Câu 27 Biết số phức z thỏa mãn z − ≤ z − z có phần ảo không âm Phần mặt phẳng biểu diễn số phức z có diện tích A π B 2π C π2 D π Câu 28 Cho đồ thị ( C ) : y = f ( x ) = x Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) , đường thẳng x = trục Ox Cho điểm M thuộc đồ thị ( C ) điểm A ( 9;0 ) Gọi V1 thể tích khối trịn xoay Trang cho ( H ) quay quanh trục Ox, V2 thể tích khối trịn xoay cho tam giác AOM quay quanh trục Ox Biết V1 = 2V2 Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) đường thẳng OM A S = B S = 27 16 C S = 3 D S = Câu 29 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Hàm số g ( x ) = f ( x ) − x đồng biến khoảng khoảng sau đây? A ( −∞; −2 ) B ( −2; ) C ( 2; ) D ( 2; +∞ ) Câu 30 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 3x − y + z − 15 = ba điểm A ( 1; 2;0 ) , B ( 1; −1;3) , C ( 1; −1; −1) Điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) thuộc ( P ) cho 2MA2 − MB + MC nhỏ Giá trị x0 + y0 + z0 A 11 B C 15 D 10 2 3 2n n +1 Câu 31 Giá trị n thỏa mãn: C2 n +1 − 2.2C2 n +1 + 3.2 C2 n +1 − 4.2 C2 n +1 + + ( 2n + 1) C2 n +1 = 2021 A 1010 B 1009 C 2020 D 2021 Câu 32 Miền phẳng hình vẽ giới hạn y = f ( x ) parabol y = x − x Biết ∫ f ( x ) dx = Khi diện tích hình phẳng − tơ hình vẽ A B C D Câu 33 Xét tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O; R ) Gọi V1 ,V2 , V3 thể tích khối trịn xoay sinh quay tam giác OCA quanh trung trực đoạn thẳng CA, quay tam giác OAB quanh Trang trung trực đoạn thẳng AB, quay tam giac OBC quanh trung trực đoạn thẳng BC Khi biểu thức V1 + V2 đạt giá trị lớn nhất, tính V3 theo R A V3 = 3π R B V3 = 32π R 81 C V3 = 57π R 81 D V3 = 8π R 81 2 Câu 34 Cho z − = , giá trị lớn P = z − i − z − A + 10 B + C + D + 12 Câu 35 Một chậu nước hình nón cụt có chiều cao 3dm, bán kính đáy lớn 2dm bán kính đáy nhỏ 1dm Cho biết thể tích nước 37 thể tích chậu, chiều cao mực nước 189 A 2dm B 0,8dm C 1dm D 1,5dm Câu 36 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục nhận giá trị dương ( 0; +∞ ) thỏa mãn điều kiện f ( x) A = xf ′ ( x ) + với x ∈ ( 1; +∞ ) đồng thời f ( ) = Giá trị f ( ) x2 f ( x) 3 B C D 2 Câu 37 Có giá trị nguyên m để phương trình 2sin x + 3cos x = m.3sin A B C x 16 có nghiệm? D Câu 38 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = 2mx + m − cắt x +1 đường thẳng ( d ) : y = x + hai điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB có diện tích 3, với I ( −1;1) Tổng tất phần tử S A B −10 C D 2 Câu 39 Cho phương trình log x + m log x + log x + m − = (m tham số) Để phương trình có 3 hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 = giá trị m thỏa mãn A < m < B < m < C < m < Câu 40 Cho hàm số y = f ( x ) hàm chẵn, liên tục ¡ D < m < f ( x) ∫−2 2020 x + dx = 29 Khi 2 ∫ f ( x ) dx Trang A 29 B 29 Câu 41 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu C 58 D 30 ( S ) : ( x − 1) M ( 4; −4; ) , N ( 6;0;6 ) Gọi E điểm thuộc mặt cầu ( S) + ( y − ) + ( z − ) = hai điểm 2 cho EM + EN đạt giá trị lớn Phương trình tiếp diện mặt cầu ( S ) E A x − y + z + = B x + y − z − = C x + y + z + = D x − y + z + = Câu 42 Cho số thực dương a, b khác đồ thị hàm số y = log a x, y = log b x hình vẽ Gọi d đường thẳng song song với trục Oy cắt trục hoành điểm A có hồnh độ x = k ( k > ) Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn y = log a x , đường thẳng d trục hồnh; S2 diện tích hình phẳng giới hạn y = log b x , đường thẳng d trục hoành Biết S1 = S , mệnh đề sau đúng? A b = a B a = b C b = a ln D a = b ln 2 Câu 43 Trong không gian Oxyz cho ( P ) : 2mx + ( m − 1) y + ( m + 1) z + = Biết tồn hai mặt cầu cố định tiếp xúc với ( P ) qua điểm A ( 0;1; −1) Tổng hai bán kính hai mặt cầu A 2 B 3 C D Câu 44 Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ Đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC song song với BC cắt cạnh AB, AC M, N Mặt phẳng ( A′MN ) chia khối lăng trụ thành hai phần Tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) chúng A B 23 C Câu 45 Cho hình chóp S.ABCD tích D 27 , đáy ABCD hình vng cạnh Phương x =  trình mặt phẳng ( ABCD ) biết S ( 0;0;0 ) AB :  y = t z =   x −1 = A   z −1 = x +1 = B  z +1 =  x −1 = C   y −1 = x +1 = D   y +1 = Trang 4x2 + y + = Câu 46 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn Giá trị nhỏ biểu thức P = y − x x y +1 A P = −2 B P = − D P = − C P = −3 Câu 47 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục, có đạo hàm [ −5;3] có bảng biến thiên sau Có giá trị nguyên m để phương trình f ( − x − ) = x − 3x + + m có nghiệm thuộc [ −5;3] ? A B C D Câu 48 Đề kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm câu có bốn phương án trả lời, có phương án đúng, trả lời câu 1,0 điểm Một thí sinh làm 10 câu, câu chọn phương án Xác suất để thí sinh đạt từ 8,0 điểm trở lên A 436 410 B 463 410 C 436 104 D 163 104 Câu 49 Cho hàm số y = f ( x ) = mx + nx + px + qx + r m, n, p, q, r ∈ ¡ Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Tập nghiệm phương trình f ( x ) = r có tất phần tử? A B C D Câu 50 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn < ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x ) ≤ 18 Biết giá trị x y z lớn biểu thức P = + + − 2 a a ( x + y + z ) b , với a, b số nguyên dương b tối 108 giản Tính S = 2a + 3b A S = 13 B S = 42 C S = 54 D S = 71 Trang ĐÁP ÁN 1-A 11-A 21-A 31-A 41-D 2-C 12-D 22-A 32-A 42-A 3-D 13-B 23-B 33-D 43-A 4-C 14-B 24-C 34-A 44-B 5-C 15-B 25-D 35-C 45-B 6-C 16-C 26-A 36-C 46-B 7-A 17-A 27-D 37-B 47-D 8-C 18-B 28-B 38-A 48-A 9-A 19-A 29-B 39-C 49-A 10-B 20-C 30-B 40-B 50-C LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Mặt phẳng ( Q ) có dạng: ax + by + cz + d = ( a + b + c ≠ )     A∈ ( Q) −a + 2b − 3c + d =   a = −4b, c = −3b, d = −15b  ⇔ 2a − b − 6c + d = ⇔ Ta có:  B ∈ ( Q ) a = − b , c = 0, d = − b    a + 2b + c cos α =  =   a + b + c + + 6 Phương trình ( Q ) : x − y + z + 15 = x − y − = Câu 2: Ta có: A ( 0; −2 ) , B ( 4; −6 ) Suy I ( 2; −4 ) Điểm I biểu diễn số phức z = − 4i Câu 3: Ta có: a > b > ⇒ log a a > log a b ⇒ > log a b b > > c ⇒ log b > log b c ⇒ > log b c Vậy > log a b > > log b c Câu 4: Dựa vào đồ thị hàm bậc ba ta nhận xét: Nhánh cuối đồ thị hàm số đồng biến nên a > Đồ thị hàm số cắt Oy điểm có tung độ dương nên d > Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm phía trục tung nên ac < ⇒ c < Đồ thị hàm số có hồnh độ điểm uốn dương nên ab < ⇒ b < Câu 5: Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên y′ = x − − ( x − 2) ( x − ) − 27   ; y′ = ⇔ x − = ⇔ x = =  ( x − 2) 54 y = y ( ) = 23 Lập bảng biến thiên ta tìm (min 2;+∞ ) Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ( x − ) ; 2 Ta có y = x − x + 27 27 ; x−2 x−2 54 27 27   = ( x − ) + + − ≥ 3 27 − ⇒ y ≥ 23 x−2  x − x −  Đẳn thức xảy ( x − ) = 27 ⇒ x =5 x−2 y = y ( ) = 23 Vậy (min 2;+∞ ) Trang x +1 Câu 6: Ta có + ( 0,5 ) 3x + 3.2 x + = 125 − 24 ( 0,5 ) ⇔ 8.23 x + x 1 + 24.2 x + 24 x − 125 = 3x 2     ⇔  23 x + x ÷+ 24  x + x ÷− 125 =     x Đặt t = + 1 t ≥ ) Khi ta có 23 x + x = t − 3t x ( 2 3 Phương trình trở thành ( t − 3t ) + 24t − 125 = ⇔ 8t − 125 = Câu 7: Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ 2tdt = dx x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = Ta có ∫f( ) 2 1 x + dx = ∫ 2tf ( t ) dt ⇒ ∫ tf ( t ) dt = ; 2 1 I = ∫ x ( f ( x) + ) dx = ∫ xf ( x ) dx + ∫ xdx = + = x+ Câu 8: Ta có y ′ = ln ⇒ y′ ( 1) = 27 ln uu r uu r Câu 9: Ta dễ thấy ud = a3 = ( −2;0;3) Câu 10: Khi quay quanh tam giác AHB đường gấp khúc AHB vẽ lên mặt trịn xoay Diện tích mặt trịn xoay tổng diện tích xung quanh hai hình nón đường sinh AH BH +) Ta có AH = AB − BH = a ; HK = AH BH a 3.a a = = AB 2a +) Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh AH S1 = π a 3a π a = 2 +) Diện tích xung quanh hình nịn có đường sinh BH S = π a 3a π a = 2 ( 3+ 3) a π +) Diện tích mặt trịn xoay cần tìm S = S + S = 2 Câu 11: Ta có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ AB hình chiếu SB lên mặt phẳng ( ABCD ) a · ⇒ SBA = 60°, AB = a ⇒ SA = a 3, AM = ⇒ M trung điểm SA Ta có: ( MBC ) ∩ ( SAD ) = MN , BC // AD ⇒ MN // AD ⇒ N trung điểm SD Trang 10 Lại có VS BCNM = VS BCM + VS MCN ; VS BCM SM V 1 SM SN 1 = = ⇒ VS BCM = VS BCA = VS ABCD ; S MCN = = ⇒ VS MCN = VS ACD = VS ABCD VS BCA SA 2 VS ACD SA.SD 4 3 a3 ⇒ VS BCNM = VS ABCD = a.2a.a = 8 π π   Câu 12: Ta có y = x + m ( sin x + cos x ) = x + 2m sin  x + ÷; y ′ = + 2m cos  x + ÷ 4 4   π  Để hàm số đồng biến ¡ ⇔ + 2m cos  x + ÷ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ 4  ⇔ π  2m cos  x + ÷ ≤ ⇔ m ≤ ⇔ m ≤ 4  Câu 13: Ta có VS ABCD = 2VS ABC Gọi H trung điểm SB G hình chiếu vng góc C lên ( SAB ) suy G ∈ AH Trong tam giác vng CGH ta có CG ≤ CH Vậy thể tích lớn S.ABCD CG = CH = Gọi O trung điểm AC ⇒ SD = HO = a a ⇒ AC = 2 AC a = 2 20 Câu 14: Giả sử F ( t ) nguyên hàm t ln 20 t , ta có: F ′ ( t ) = t ln t 2x x 2x 2x x x 2x 2x 20 2x x x 20 x Khi đó: f ( x ) = F ( e ) − F ( e ) ⇒ f ′ ( x ) = 2e F ′ ( e ) − e F ′ ( e ) = 2e e ln ( e ) − e e ln ( e ) ⇔ f ′ ( x ) = 221 e x x 20 − e x x 20 = e x x 20 ( 221 e2 x − 1) = ⇒ x = ln 21 ⇔ x = − ln 21 2 Câu 15: Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân đỉnh hình nón Do đường sinh l = a đường kính đáy d = a ⇒ Bán kính R = a Câu 16: Ta có góc hai mặt ( P ) , ( Q ) lớn 90° Khi ( P ) ⊥ ( Q ) Ta có M ∈ ( P ) , BM nhỏ ⇒ M hình chiếu B lên ( P ) Trang 11 x = 1+ t  qua B ( 1; −1;0 )  ∆: ⇒ ∆ :  y = −1 − 2t uu r uur  ∆ ⊥ ( P ) ⇒ u∆ = nP = ( 1; −2;1) z = t  Khi { M } = ∆ ∩ ( P ) ; x = 1+ t t = −1  y = −1 − 2t x =   ⇔ ⇒ M ( 0;1; −1) Xét hệ   z = t y =    x − y + z + =  z = −1 uur uur uuuu r ( Q ) ⊥ ( P ) ⇒ nQ =  nP , AM  = −4 ( 1;1;1) ⇒ ( Q ) : x + y + z = Vì  ( Q ) qua A, M Câu 17: Ta có cơng thức tổng qt số viên đá tầng thứ n ( 2n − 1) 15 15  15   15  2 Vậy tổng số viên đá 15 tầng là: S = ∑ ( 2n − 1) = ∑ ( 4n − 4n + 1) =  ∑ n ÷−  ∑ n ÷+ 15 n =1 n =1  n =1   n =1  Ta có 12 + 22 + + n = n ( n + 1) ( 2n + 1) n ( n + 1) + + + n = Vậy S = 4.1240 − 4.120 + 15 = 4495 Câu 18: Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm phân biệt −4 < m < Câu 19: Gọi AB = x , M trung điểm AB, N trung điểm BC 48 Khi S ∆ABC = C ′M x = 24 ⇒ C ′M = x 2  48   x  ⇒ CC ′ = C ′M − CM =  ÷ ÷ ÷ −  ÷  x    2 Mà V = 216 = CC ′.S ABC x2 = 2  48   x   ÷ ÷ −  ÷ ÷ ⇒x=4 x     ⇒ AB = 3, AA′ = Kẻ AH ⊥ A′N ⇒ AH = Ta có sin ( AB, ( A′BC ) ) = AN AA′ AN + AA′2 =3 d ( A, ( A′BC ) ) AH = = AB AB Câu 20: Ta có: iz + − i = ⇔ iz = i − ⇔ z = i − ( i − ) ( −i ) = = + 2i i Điểm biểu diễn số phức z A ( 1; ) Trang 12 Khi AM = ( − 1) + ( −4 − ) = 40 = 10 Câu 21: Ta có: A ( 1;6 ) ∈ ( C ) ⇒ a + b + c = (1) Ta có: y ′ = x + 2ax + b , hàm số có cực đại x = −1 ⇒ B ( −1; ) điểm cực đại  y ( −1) = a − b + c = ( ) ⇒ ⇒  y ′ ( −1) = 2a − b = ( 3)  a =  Từ (1), (2) (3) ⇒ b = ⇒ ( C ) : y = x + x + 2  c =  Vậy giá trị hàm số x = y ( 3) = 44 Câu 22: Từ  f ( − x + )  +  f ( x + )  = 10 x (*), cho x = ta có  f ( 2) =  f ( )  +  f ( )  = ⇔   f ( ) = −1 Đạo hàm hai vế (*) ta được: −2 f ( − x + ) f ′ ( − x + ) +  f ( x + )  f ′ ( x + ) = 10 Cho x = ta −2 f ( ) f ′ ( ) +  f ( )  f ′ ( ) = 10 ⇔ f ( ) f ′ ( ) 3 f ( ) −  = 10 (**) Nếu f ( ) = (**) vơ lý Nếu f ( ) = −1 , (**) trở thành: − f ′ ( ) ( −3 − ) = 10 ⇔ f ′ ( ) = Phương trình tiếp tuyến y = ( x − ) − ⇔ y = x − f ( x) = +∞ nên ∀m , đồ thị hàm số y = g ( x ) ln có tiệm cận Câu 23: Ta có lim− g ( x ) = lim− x →2 x→2 f ( x ) − m đứng x = Mặt khác, từ bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) phương trình f ( x ) − m = tối đa nghiệm Vậy để đồ thị hàm số y = g ( x ) có tiệm cận đứng điều kiện cần phương trình f ( x ) = m có nghiệm phân biệt x1 , x2 khác ⇔ < m < Khi lim+ g ( x ) = lim+ x → x1 x → x1 f ( x) f ( x) = +∞, lim+ g ( x ) = lim+ = +∞ nên đồ thị hàm số y = g ( x ) có x → x2 x → x2 f ( x ) − m f ( x) − m tiệm cận đứng đường thẳng x = x1 x = x2 Trang 13 Vậy với < m < đồ thị hàm số y = g ( x ) có tiệm cận đứng Do m nguyên nên có giá trị m thỏa mãn toán m = m = Câu 24: Thể tích V hình trịn xoay bao gồm thể tích khối trụ khối nón hình vẽ Ta có: R = AC = = (R bán kính đáy trụ nón) 2 Chiều cao h khối trụ h = Chiều cao h′ khối nón h′ = = 2 Thể tích khối trịn xoay: V = πR h + πR h′ = π Câu 25: Từ điều kiện ta có: y ≤ ( 3) 2 + π ( 3) = 8π 14 − x x + 14 − x  9 ⇒y= ≤ ⇒ x ∈ 1;  x  5 x2 + 5x2 − Thế y = vào P ta được: P = x x  9 5x2 − Bài tốn trở thành tìm GLTN, GTNN biểu thức: P = với x ∈ 1;   5 x Xét P = P′ =  9 5x2 − với x ∈ 1;   5 x 9 5x2 + > nên m = P = P ( 1) = −4, M = max P = P  ÷ = 5 x Vậy M m = −16 a > Câu 26: Điều kiện:  b > Ta có: log a + log b = ⇔ log a + log b = (1); log a + log b = ⇔ log a + log b = (2) Cộng (1) (2) theo vế với vế ta được: 4 log a + log b = 12 ⇔ log a + log b = ⇔ log ( ab ) = 3 Câu 27: Đặt z = x + yi ⇒ z = x − yi ta có: z − ≤ ⇔ ( x + yi ) − ≤ ⇔ ( x − 1) + yi ≤ ⇔ ( x − 1) + y ≤ (1) Lại có z − z = ( x + yi ) − ( x − yi ) = yi có phần ảo khơng âm suy y ≥ (2) Trang 14 Từ (1) (2) ta suy ra phần mặt phẳng biểu diễn số phức z nửa hình trịn tâm I ( 1;0 ) bán kính r = , π r π = (đvdt) 2 diện tích Câu 28: Ta có V1 = π∫ ( x) dx = 81π ( ) Gọi H hình chiếu M lên trục Ox, đặt OH = m (với < m ≤ ), ta có M m; m , MH = m AH = − m 1 2 Suy V2 = π.MH OH + π.MH AH = π.MH OA = 3mπ 3 Theo giả thiết, ta có V1 = 2V2 nên  27 3  81π 27 = mπ ⇔ m = Do M  ; ÷ ÷   Từ ta có phương trình đường thẳng OM y = x Diện tích S phần hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) đường thẳng OM S= 27  ∫   x− 27 2  2 27 x÷ dx = x x − x =  ÷ 3 ÷ ÷ 16   0 Câu 29: Ta có g ′ ( x ) = ( f ′( x ) − x ) = ⇔ x = −2; x = 2; x = Lập trục xét dấu: Hàm số đồng biến khoảng ( −2; ) ( 4; +∞ ) uu r uur uur r Câu 30: Xét điểm I thỏa IA − IB + IC = suy I ( 1; 2; −2 ) uuu r uu r uuu r uur uuu r uur 2 MA2 − MB + MC = MI + IA − MI + IB + MI + IC = 2MI + IA2 − IB + IC ( ) ( ) ( ) 2MA2 − MB + MC nhỏ MI nhỏ hay M hình chiếu I lên ( P )  x = + 3t  Lúc đó, đường thẳng MI có phương trình  y = − 3t suy  z = −2 + 2t   x0 = + 3t   y0 = − 3t  z = −2 + 2t  Mà x0 − y0 + z0 − 15 = ⇔ ( + 3t ) − ( − 3t ) + ( −2 + 2t ) − 15 = ⇔ t = Vậy x0 + y0 + z0 = ( + 3t ) + ( − 3t ) + ( −2 + 2t ) = − t = Trang 15 k Câu 31: Xét kC2 n +1 = k ( 2n + 1) ! k !( 2n + − k ) ! = ( 2n + 1) ( 2n ) ! = 2n + C k −1 ( ) n với ≤ k ≤ 2n + ( k − 1) ! 2n − ( k − 1)  ! 1 2 2n 2n Ta có VT = ( 2n + 1) ( C2 n − C2 n + C2 n − + C2 n ) = ( 2n + 1) ( − ) 2n = 2n + Do đó: 2n + = 2021 ⇔ n = 1010 Câu 32: Từ hình vẽ ta thấy S = ∫ −  f ( x ) − ( x − x )  dx =   ∫ − f ( x ) dx − ∫(x − 2 − x ) dx =  3 −  − ÷=  8   AC 2  π 1 = OP.PA2 Câu 33: V1 = OP.S1 = OP  π  ÷÷ ÷ 3     = π π OP ( OA2 − OP ) = OP ( R − OP ) 3   AB   π 1 V2 = OQ.S2 = OQ  π  = OQ.QA2 ÷   ÷ ÷ 3    = π π OQ ( OA2 − OQ ) = OQ ( R − OQ ) 3 2 Xét hàm f ( x ) = x ( R − x ) Với ≤ x < R R  x = 2 Khi f ′ ( x ) = R − x f ′ ( x ) = ⇔  R  x = −   R  g ( x) = f  Lập bảng biến thiên, thấy xmax ÷ ∈[ 0; R )  3 Khi đó, áp dụng cho V1 ,V2 : V1 + V2 = OP = OQ = π OP ( R − OP ) + OQ ( R − OQ )  đạt giá trị lớn  3 R Hay tam giác ABC cân A (do OP = OQ ) Mà lúc AB = R − OQ = R − R 2R = 3 Do tam giác ABC cân A nên AM ⊥ BC Ta có S ABC R AB AC.BC AB AC 4R = AM BC = ⇒ AM = = = 4R 2R 2R Mà AM = AO + OM ⇒ OM = 4R R −R= 3 Trang 16 1 π π R  R  8πR 2 Vậy V3 = OM S3 = OM π.MC = OM ( R − OM ) =  R − ÷= 3 3 3  81 Câu 34: Ta có z − = ⇔ ( x − 1) + y = 52 2 Lại có P = z − i − z − = x + ( y − 1) − ( x − ) − y = x − y − = ( x − 1) − y + 2 Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: P = ( x − 1) − y + ≤ 42 + 2 ( x − 1) Câu 35: Ta tích chậu V = + y + = 20 52 + = 10 + π ( + + ) = π Gọi chiều cao mực nước 3x với ( x > ) Ta có bán kính mặt nước + x π 37 x 1 + ( + x ) + ( + x )  = 7π ⇔ x =   189 3 Ta có phương trình Vậy chiều cao mực nước 1dm  x f ( x ) − xf ( x ) f ′ ( x ) 1 xf ′ ( x ) = + ⇔ = ⇔  f ( x ) x2 f ( x) f ( x) x2  f ( x) Câu 36: Ta có  x Suy ∫   f ( x)  ′ x ÷ ÷ dx = ∫ x dx ⇔ f ( x ) = − x + C  Lại có f ( ) = nên C = Do đó: x f ( x) = Suy f ( ) = ′ ÷ ÷ = x2  5x − 2x2 − = ⇒ f ( x) = x 2x 5x − 16 ⇒ f ( 4) = 2 2 Câu 37: Ta có: 2sin x + 3cos x = m.3sin x ⇔ 2sin x + 31−sin x = m.3sin x t 2 Đặt t = sin x, t ∈ [ 0;1] Phương trình cho trở thành: 2t + 31−t = m.3t ⇔  ÷ + 31− 2t = m 3 t t 2 2 Xét hàm số f ( t ) =  ÷ + 31−2 t , với t ∈ [ 0;1] Ta có f ′ ( t ) =  ÷ ln − 2.31−2t.ln 3 3 3 2 ′    f ′′ ( t ) =  ÷  ln ÷ + 4.31−2t ( ln 3) > 0, ∀t ∈ [ 0;1] 3  3 ⇒ f ′ ( t ) liên tục đồng biến [ 0;1] nên f ′ ( t ) ≤ f ′ ( 1) = 2 ln < 0, ∀t ∈ [ 0;1] ⇒ f ( t ) liên tục nghịch biến [ 0;1] nên f ( 1) ≤ f ( t ) ≤ f ( ) , ∀t ∈ [ 0;1] Trang 17 Suy ≤ m ≤ phương trình có nghiệm Câu 38: Phương trình hồnh độ giao điểm x ≠ −1 ) Đồ thị ( C ) hàm số y = 2mx + m − = x + ⇔ f ( x ) = x + ( − 2m ) x + − m = ( x +1 2mx + m − cắt đường thẳng ( d ) : y = x + hai điểm phân biệt x +1  ∆′ >  m2 − 3m − > ⇔  (*) ( C ) cắt d A, B suy x A , xB nghiệm phương  m ≠ −  f ( −1) ≠   x A + x B = 2m − trình f ( x ) = , theo định lí Vi-ét ta có   x A xB = − m A ( x A ; x A + 3) , B ( xB ; xB + 3) suy AB = ( x A − xB ) = ( xA + xB ) − xA xB = 8m − 24m − Ta có S ∆IAB = m = d( I ;d ) AB = ⇔ AB = 72 ⇔ 8m − 24m − 80 = ⇔  (thỏa mãn *)  m = −2 Suy tổng phần tử S 2 Câu 39: Ta có: log x + m log x + log x + m − = ( x > ) 3 2 ⇔ log 32 x + m log 3−1 x + log −1 x + m − = 32 ( ) 2 1  ⇔  log x ÷ − m log x − log x + m − = 2  1  ⇔ log 32 x −  m + ÷log3 x + m − = 3  (1) 1  Đặt t = log x Khi phương trình (1) ⇔ t −  m + ÷t + m − = 3  (2) Phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 = ⇔ log3 ( x1 x2 ) = ⇔ log x1 + log x2 = ⇔ t1 + t2 = (với t1 = log x1 t2 = log x2 ) 1  Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (2) ta có t1 + t = ⇔  m + ÷ = ⇔ m = 3  Vậy < m < mệnh đề 2 f ( x) f ( x) f ( x) dx = dx + Câu 40: Ta có: M = ∫ ∫ 2020 x + ∫0 2020 x + dx 2020 x + −2 −2 Trang 18 Xét N = f ( x) dx , đặt t = − x ⇒ x = −t , suy dx = −dt x +1 ∫ 2020 −2 Đổi cận: x = −2 ⇒ t = 2; x = ⇒ t = Khi 2 f ( −t ) f ( t) 2020t f ( t ) 2020 x f ( x ) − dt = dt = dt = ( ) ∫0 2020−t + ∫0 2020t + ∫0 2020x + dx 2020− t + N =∫ Do đó: ∫ f ( x ) dx = ∫ 2 2020 x f ( x ) f ( x) f ( x) f ( x) dx + dx = dx + dx = M = 29 x x x x ∫ ∫ ∫ 2020 + 2020 + 2020 + 2020 + −2 Câu 41: Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1; 2; ) bán kính R = Gọi K trung điểm MN ⇒ K ( 5; −2; ) K nằm mặt cầu ( S ) uur uuuu r Do IK = ( 4; −4; ) , MN = ( 2; 4; ) , MN = IK ⊥ MN  MN  2 2 EM + EN ≤ EM + EN = EK + Ta có ( )  ÷ = EK + 36   Bởi EM + EN đạt giá trị lớn EM = EN EK lớn  x = + 2t  Vì IK ⊥ MN nên EM = EN E thuộc đường thẳng IK :  y = − 2t z = + t  Tọa độ giao điểm E đường thẳng IK với mặt cầu ( S ) ứng với t nghiệm phương trình: ( + 2t − 1) + ( − 2t − ) + ( + t − ) = ⇔ t = ±1 2 Như E1 ( 3;0;3) E2 ( −1; 4;1) uur Ta có E1 K = 3, E2 K = Suy E = ( −1; 4;1) ⇒ IE = ( −2; 2; −1) , nên phương trình tiếp diện mặt cầu ( S) E có phương trình: −2 ( x + 1) + ( y − ) − 1( z − 1) = hay x − y + z + = Câu 42: Theo giả thiết cơng thức tích phân phần, ta có: k ln x   k ln k − ( k − 1) k dx = x ln x − x dx ÷ =  ∫ ln a ln a  x  ln a 1 k k k k S1 = ∫ log a xdx = ∫ k ln x   k ln k − ( k − 1) k dx = x ln x − x dx ÷ =  ∫ ln b ln b x ln b 1   S = ∫ log b xdx = ∫ Vậy S1 = S ⇔ = ⇔ ln b = ln a ⇔ b = a ln a ln b Câu 43: Gọi tâm mặt cầu cố định I ( a; b; c ) ta có phương trình: 2ma + ( m − 1) b + ( m + 1) c + 4m + ( m − 1) + ( m + 1) 2 = a + ( b − 1) + ( c + 1) 2 Trang 19 Xét mẫu thức biểu thức ta có: Do vế trái biểu thức được: 4m + ( m − 1) + ( m + 1) = ( m + 1) 2 2ma + ( m − 1) b + ( m + 1) c + ( m + 1) ta chọn a = 2 Khi ta có: ( m − 1) b + ( m + 1) c + = m ( b + c ) − b + c + nên ta chọn b + c = −b + c + ⇒ b = Thay vào phương trình trên: Vậy 1 2 = + ( c + 1) ⇔ c + 3c + = ⇒ c = − 4 2 c+ 2 = 2 c+ R= Câu 44: Gọi G trọng tâm tam giác ABC Gọi E trung điểm BC ⇒ AG = AE Đường thẳng d qua G song song BC, cắt cạnh AB, AC M, N  AM = AB  AM AN AG  ⇒ = = = ⇒ ⇒ S ∆AMN = S ∆ABC AB AC AE  AN = AC  Ta có VABC A′B′C ′ = S ∆ABC AA′ VA′ AMN = S ∆AMN AA′ Từ (1) (2), suy VA′ AMN = Khi tỉ số: VA′ AMN VBMNC A′B′C ′ Câu 45: Ta có VS ABCD = (1) (2) 23 VABC A′B′C ′ ⇒ VBMNCA′B′C ′ = VABC A′B′C ′ 27 27 4 = 27 = 23 23 27 S ABCD d( S ,( ABCD ) ) ⇒ d( S ,( ABCD ) ) = 2 2 Đặt ( ABCD ) : ax + by + cz + d = ( a + b + c ≠ ) r r r r Vì AB ⊂ ( ABCD ) nên n( ABCD ) ⊥ u AB ⇔ n ABCD u AB = ⇔ b = Vì M ( 1;0;1) ∈ AB ⊂ ( ABCD ) nên a + c + d = ⇒ d = − a − c Ta có: d( S ,( ABCD ) ) = ⇔ a = = ⇔ a + c = a + c ⇔ 2ac = ⇔  a2 + c2 c = −a − c Trường hợp 1: a = Chọn c = ⇒ ( ABCD ) : z + = Trường hợp 2: c = Chọn a = ⇒ ( ABCD ) : x + = Trang 20 4x2 + y + = ⇔ x3 + 3x = ( y + ) y + ⇔ x + x = ( y + ) y + Câu 46: Ta có x y +1 ⇔ ( x ) + ( x ) = ( y + 1) y + + y + (1) Xét hàm f ( t ) = t + 3t ¡ Ta có f ′ ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ¡ ⇒ Hàm số f ( t ) = t + 3t đồng biến ¡ (1) ⇔ f ( x ) = f ( ) y +1 ⇔ 2x = y +1 ⇔ x = y +1 Vậy P = y − 2 y + = g ( y ) với y ∈ ( 0; +∞ ) Ta có g ′ ( y ) = − = ⇔ y +1 = ⇔ y = 2 y +1 Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có Pmin = g ( y ) = − ( 0;+∞ ) y = 2 Câu 47: Đặt − x − = t ⇒ f ( t ) = −t − 6t − 9t + m  t = −1 −t m Gọi g ( t ) = − 2t − 3t ⇒ f ( t ) − g ( t ) = Có g ′ ( t ) = −t − 4t − = ⇔  3  t = −3  t = −1 Dựa vào bảng xét dấu y = f ′ ( t ) y = g ′ ( t ) suy ra: f ′ ( t ) − g ′ ( t ) = ⇔   t = −3 Khi ta có bảng biến thiên f ( t ) − g ( t ) : Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm phân biệt ⇒ −1 < m < ⇒ −3 < m < Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Trang 21 Câu 48: Với câu hỏi, thí sinh có phương án lựa chọn nên số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) = 410 Gọi X biến cố “thí sinh đạt từ 8,0 điểm trở lên” +) Trường hợp 1: Thí sinh làm câu (tức 8,0 điểm): Chọn câu số 10 câu hỏi câu lại câu có cách chọn đáp án sai nên có C10 cách để thí sinh câu +) Trường hợp 2: Thí sinh làm câu (tức 9,0 điểm): Chọn câu số 10 câu hỏi câu lại có cách lựa chọn đáp án sai nên có C10 cách để thí sinh câu +) Trường hợp 3: Thí sinh làm 10 câu (tức 10,0 điểm) Chí có cách Suy số kết thuận lợi cho biến cố X n ( X ) = C10 + C10 + = 436 Vậy xác suất cần tìm P = n ( X ) 436 = 10 n ( Ω) 7  Câu 49: Ta đặt y = f ′ ( x ) = k ( x + )  x − ÷( x − 3) 6   7 65219   S = k ∫0 ( x + )  x − ÷ ( x − 3) dx = 1552 k   Xét    S = k ( x + )  x −  ( x − 3) dx = 65219 k  ÷ ∫7  6 1552   Do đó: S1 = S = ∫ f ′ ( x ) dx = − ∫ f ′ ( x ) dx ⇔ f ( ) = f ( 3) Lập bảng biến thiên ta suy phương trình f ( x ) = r = f ( ) có tất nghiệm 2 2 Câu 50: Từ giả thiết ta có: x ≤ ( x + y + z ) ≤ ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x ) ≤ 18 ⇒ x ∈ [ 0;3] 2 Một cách tương tự ta có y , z ∈ [ 0;3] x y z Do ta có ≤ x + 1, ≤ y + 1, ≤ z + 1; ∀x, y, z ∈ [ 0;3] Vì P ≤ x + y + z + − ( x + y + z) 108 Đặt t = x + y + z ∈ [ 0;9] , ta có P ≤ f ( t ) = t + − 21 t ≤ max f ( t ) = f ( 3) = 0;9 [ ] 108 Dấu “=” đặt ( x; y; z ) = ( 3;0;0 ) , ( 0;3;0 ) , ( 0;0;3) Vậy S = 2.21 + 3.4 = 54 Trang 22 ... 1-A 11-A 21-A 31-A 41-D 2-C 12-D 22-A 32-A 42-A 3-D 13-B 2 3- B 33-D 43-A 4-C 14-B 24-C 34-A 44-B 5-C 15-B 25-D 35-C 45-B 6-C 16-C 26-A 36-C 46-B 7-A 17-A 27-D 37-B 47-D 8-C 18-B 28-B 38-A 48-A... 46-B 7-A 17-A 27-D 37-B 47-D 8-C 18-B 28-B 38-A 48-A 9-A 19-A 29-B 39-C 49-A 10-B 20-C 30-B 40-B 50-C LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Mặt phẳng ( Q ) có dạng: ax + by + cz + d = ( a + b + c ≠ )    ... ) liên tục, có đạo hàm [ −5;3] có bảng biến thi? ?n sau Có giá trị nguyên m để phương trình f ( − x − ) = x − 3x + + m có nghiệm thuộc [ −5;3] ? A B C D Câu 48 Đề kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc