Tu chon GT 12 NC

[r]

I.HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN A.TÓM TẮT GIÁO KHOA

 Nhắc lại định nghĩa.

- f(x) đồng biến K nếu : x1,x2K,x1 x2  f(x1) f(x2) - f(x) nghịch biến K nếu : x1,x2K,x1 x2  f(x1) f(x2)  Định lí: Giả sử f có đạo hàm khoảng I

a) Nếu f’(x) > xI  f(x) đồng biến I b) Nếu f’(x) < xI  f(x) nghịch biến I c) Nếu f’(x) = xI  f(x) không đổi I

* Chú ý: Nếu f(x) liên tục [a ; b] và có đạo hàm f’(x) > (a ; b) thì hàm số f đồng biến [a ; b]

* Nhận xét : Giả sử f(x) có đạo hàm khoảng I Nếu f’(x) 0,xI ( hoặc f’(x) 0,xI)và f’(x) = tại rời rạt một số điểm thuộc I thì f(x) đồng biến ( nghịch biến ) I

Cần nhớ : f(x) = ax2 + bx + c

* Nếu 0 thì f(x) cùng dấu a Nếu  0 thì f(x) cùng dấu a

a b x

2

  

Nếu 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 , ta có bảng xét dấu sau:

x - x1 x2 +

f(x) cùng dấu a trái dấu a cùng dấu a  af()0f(x) = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x1 <  x2



      

      

  

2 0 ) (

0

2

S af x x



      

      

  

2 0 ) (

0

2

S af x x

 Đặc biệt: +

  

      

0 0 0

)(

+

  

      

0 0 0

)(

a R x xf B.BÀI TẬP

1/ Xét chiều biến thiên của các hàm số:

a) y = + 3x – x2 b) y = 2x3 + 3x2 + c) y = 3 7 2

3

1

 

 x x

x

d) y = x3 - 2x2 + x + e) y = - x3 + x2 – f) y = x3 – 3x2 + 3x + 1

g) y = - x3 – 3x + h) y = x4 – 2x2 + k) y = - x4 + 2x2 – 1

l) y = x4 + x2 – m) y =

x x

 

1

n) y = 2

 

x x p) y = x +

x

4

q) y = x - x

2

r) y = x

x x

 

1 2

s) y = 4 x2

 t) y = x2  x 20 u) y = x + x2 1 2/ Tìm m để các hàm số sau đồng biến tập xác định

a) y = x3 -3mx2 + (m + 2)x – ĐS: 1

3

 

 m

b) y = mx3 – (2m – 1)x2 + 4m -1 ĐS: m =

2 3/ Tìm m để các hàm số sau nghịch biến tập xác định

a) y = - ( 2) ( 8)

2

   

 m x m x

x

ĐS:  1m 4 b) y = (3 2)

3 )

(

    

x m mx

x m

ĐS: m



4/ Tìm m để các hàm số:

a) y = x3 + 3x2 + (m – 1)x + 4m, nghịch biến khoảng (-1 ; 1) ĐS: m8

b) y = x (m 2)x mx 3m

3

1

   

 , nghịch biến khoảng (1 ; ) ĐS: m 4

c) y = (6 )

3

1x3  mx2  m x , đồng biến (1 ; +) ĐS: m 2  d) y =

m x

m mx

 

 10

2

, nghịch biến từng khoảng xác định ĐS: 2

5

 

 m

e) y =

1 2

  

x mx mx

, nghịch biến từng khoảng xác định ĐS: m 0 f) y =

1 2

  

x

m x x

, đồng biến khoảng (3 ; +) ĐS: m9 5/ a) Chứng minh hàm số f(x) = tanx – x đồng biến khỏang 

  

 

2 ;

0 

b) Chứng minh rằng: 

       



2 ;

tan

3



II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ. A.TÓM TẤT GIÁO KHOA

* Điểm cực trị : Giả sử hàm số f xác định tập hợp D(D R)và xoD

xo gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khỏang (a ; b) cho xo

) ; (a b

 D và f(x) < f(x

o)  

0

0 ;(ba \) x

x  

Điểm cực tiểu của hàm số định nghĩa tương tự *Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị.

Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm xo và hàm số f có đạo hàm tại điển xo thì f’(xo) =

(Hàm số f có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó nó không có đạo hàm) * Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị.

1) Giả sử f liên tục khỏang (a ; b) chứa điểm xo và có đạo hàm các khỏang

(a ; xo) và (xo ; b) Khi đó:

+ Nếu f’(x) < x(a;x0) và f’(x) > 0x(x0 ;b)thì f đạt cực tiểu tại điểm xo

+ Nếu f’(x) > x(a;x0) và f’(x) < 0x(x0 ;b)thì f đạt cực đ ại tại điểm xo

2) Giả sử f có đạo hàm cấp một khỏang (a ; b) chứa điểm xo , f’(xo) = và f có đạo

hàm cấp hai khác tại điểm xo Khi đó:

+ Nếu f’’(xo) < thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xo

+ Nếu f’’(xo) > thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xo

B BÀI TẬP.

1 Tìm cực trị của các hàm só

1) y = x2 – 3x - 4 2) y = -x2 + 4x – 3 3) y = 2x3 -3x2 + 1 4) y = x 4x

3  5) y = -2x3 + 3x2 + 12x – 5 6) y = x3 – 3x2 + 3x + 1 7) y = -x3 -3x + 2

8) y =

2

1x4  x2  9) y = 4

1

x x 

 10) y = x4 + 2x2 +

11) y =

 

x x

12) y = 2



x x

13) y = - x

2

14) y =

2 2

  

x x x 15) y =

1



x x

16) y =

1

 

x x x

17) y =

3

 

x x

18) y = x - x

1 19) y = sin2x - 3.cosx,x[0;] 20) y = 2sinx + cos2x , [0 ; ]

2 Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu

1) (12 )

3

1 3 2  

 x mx m x

y Đ S: m < -4, m >

2) 2

 

x mx

y ĐS: m0

3) (3 1)

3

2

   

mx x m x

y ĐS:

3

 

4) ( 1) 3

2

   

mx mx m x

y ĐS:

10 ,

0 

 m

m 5)

1 2

   

x mx x

y ĐS: m <

6)

2 2

   

x m x x

y ĐS: m >

7)

m x

m x mx y

   

2

ĐS: m < 0, m >

8)

m x

m mx x y

    

2

ĐS: m 0 Tìm m để hàm số:

1) y = x4 – mx2 + có cực trị. ĐS: m > 0

2) y = x4 – (m + 1)x2 – có cực trị ĐS : m < - 1

3) y = mx4 + (m – 1)x2 + – 2m có cực trị ĐS : < m < 1

4 Tìm m để hàm số:

1) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + đạt cực trị tại x = 2 ĐS : m = 1

2) ( 2) (2 )

3

1

   



 mx m x m x

y đạt cực trị tại x = -1 ĐS : m = 3 3) y = x3 – mx2 – mx – đạt cực tiểu tại x = 1 ĐS : m = 3

4) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2

5) y =

m x

mx x

 



2

đạt cực đại tại x = ĐS : m = -3 III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. A.TÓM TẮT GIÁO KHOA

1 Định nghĩa:

M = max f(x)

  

 



 

 

M x f D x

M x f D x

) ( ,

) ( ,

0

M = minf(x)

  

 



 

 

m x f D x

m x f D x

) ( ,

) ( ,

0 Cách tìm GTLN- GTNN.

a) Trên khỏang (a ; b)

.Tìm TXĐ: D = (a ; b)

.Tính y’ và cho y’ = 0, tìm x1, x2,…  (a ; b) và tính f(x1), f(x2),…

.Lập BBT và kết luận

b)Trên đọan [a ; b]

Tính y’ và cho y’= 0, tìm x1, x2,… (a ; b) và tính f(x1), f(x2), ….f(a), f(b)

M = maxf(x) = max { f(x1), f(x2), ….f(a), f(b) }

m = minf(x) = { f(x1), f(x2),……f(a), f(b) }

* Chú ý: - Nếu f(x) tăng đọan [a ; b] thì Max f(x) = f(b) và minf(x) = f(a) - Nếu f(x) giảm đọan [a ; b] thì Maxf(x) = f(a) và minf(x) = f(b)

B.BÀI TẬP.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

1) y = x2 – 2x + 2 2) y = -x2 + 4x + 1 3) y = x3 – 3x2 + 1

4) y = x2 + 2x – đọan [-2 ; 3] 5) y = x2 – 2x + đọan [2 ; 5]

6) y = x3 – 3x2 + đọan [-1 ; 1] 7) y = 2 3 4

3

1

 

 x x

x đọan [-4 ; 0] 8) y = x4 – 2x2 + đọan [-3 ; 2] 9) y = -x4 + 2x2 + đọan [0 ; 3]

10) y = x4 – 2x2 + đọan [1 ; 4] 11) y =

1

 

x x

đọan [2 ; 5] 12) y = x +

x

1

khỏang (0 ; +) 13) y = x - x

1

khỏang (0 ; 2]

14) y =

1

  

x x x

đọan [1 ; 4] 15) y =

2 2

  

x x x

đọan [-3 ; 3] 16) y = 100 x2

 đọan [-8 ; 6] 17) y = x1 5 x 18) y = (x + 2) 4 x2

 19) y =

1

 

x x

đọan [1 ; 2] 20) y = x + 4 x2

 21) y = 2sinx + sin2x đọan [0 ;

2



] 22) y = 2cos2x + 4sinx [0 ; ]

2



23) y = 2sinx -

sin2x [0 ; ]

24) y = 2cosx + x [0 ; ]



25) y = sin2x + 2sinx – 1

26) y = cos22x – sinxcosx + 4 27) y = sin3x – cos2x + sinx + 1

28) y = | x3 – 3x + 1| [0 ; 3] 29) y = | -x3 + 3x2 – 3| [1 ; 3]

30) y =

2

2

 

 x x

x

31) y =

2 cos

1 sin

 

x x

IV TIẾP TUYẾN A.TÓM TẮT GIÁO KHOA

1) Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại điểm M0(x0 ; y0)(C)

y = y’(x0)(x – x0) + y0

2 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k Gọi M0(x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là:

y = y’(x0)(x – x0) + y0

Giải phương trình y’(x0) = k tìm x0 và y0

Gọi () là đường thẳng qua A có hệ số góc là k Phương trình của (): y = k(x – xA) + yA.

)

( tiếp xúc (C)

  



   

k x f

y x x k x

f A A

) ('

) ( ) (

có nghiệm, nghiệm của hệ là hịanh đợ tiếp điểm

B BÀI TẬP.

1 Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

a) Tại điểm uốn của (C) b) Tại điểm có tung độ -1

c) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x –

d) Vuông góc với đường thẳng d2 : x + 24y =

2 Cho (C) : y = 2

 

x x

Viết phương trình tiếp tuyến của (C): a) Tại giao điểm của (C ) với trục Ox

b) Song song với đường thẳng d1 : y = 4x –

c) Vuông góc với đường thẳng d2: y = -x

d) Tại giao điểm của hai tiệm cận 3.Cho (C ) : y =

1

  

x x x

.Viết phương trình tiếp tún của (C ): a) Tại điểm có hịanh đợ x =

b) Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + = c) Vuông góc với tiệm cận xiên

4 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) a) y = x3 – 3x + qua điểm A(1 ; 0)

b) y =

2 3

1x4  x2  qua điểm A(0 ; )

c) y =

2

 

x x

qua điểm A(-6 ; 5) d) y =

2

  

x x x

qua điểm A(2 ; 1)

V MỘT SỐ BÀI TÓAN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ. A TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1 Giao điểm hai đồ thị.

Hịanh đợ giao điểm cùa hai đường cong y = f(x) và y = g(x) là nghiệm của phương trình:

f(x) = g(x) (1)

Do đó, số nghiệm phân biệt của (1) số giao điểm của hai đường cong 2 Sự tiếp xúc hai đường cong.

a) Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) gọi là tiếp xúc với tại điểm M(x0 ; y0 ) nếu

chúng có tiếp chung tại M Khi đó, M gọi là tiếp điểm

  

 

) (' ) ('

) ( ) (

x g x f

x g x f

có nghiệm Nghiệm của là hịanh đợ tiếp điểm

B.BÀI TẬP.

1 Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị:

a) y = x3 + 4x2 + 4x + và y = x + 1 b) y = x3 + 3x2 + và y = 2x + 5

c) y = x3 – 3x và y = x2 + x – 4 d) y = x4 + 4x2 – và y = x2 + 1

2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (x – 1) (x2 + mx + m) cắt trục hòanh tại ba điểm phân biệt

3) Tìm m để đồ thị hàm số y = x3  xm

3

cắt trục hòanh tại ba điểm phân biệt 4) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + khơng cắt trục hịanh.

5) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 – (m + 3) cắt trục hòanh tại điểm phân biệt.

6) Tìm m để đường thẳng y = mx + 2m + cắt đồ thị hàm số y =

1

 

x x a) Tại hai điểm phân biệt

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị

7) Tìm m để đường thẳng y = mx + m + cắt đồ thị hàm số y =

1 3 2

  

x x x a) Tại hai điểm phân biệt

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị

8) Tìm m để đường thẳng qua điểm A( -1 ; -1) và có hệ số góc là m cắt đồ thị hàm số y =

1

2

 

x x

a) Tại hai điểm phân biệt

b) Tại hai điểm thuộc cùng một nhánh

9) Chứng minh (P) : y = x2 -3x – tiếp xúc với (C) :

1 2

   

x x x

10) Tìm m cho (Cm) : y =

1

 

x m x

tiếp xúc với đường thẳng y = -x + 11) Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx + m + tiếp xúc với trục hòanh.

12) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 + tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx2 – 3.

VI.KHỎANG CÁCH A TÓM TẮT GIÁO KHOA

1 Khỏang cách hai điểm A(xA ; yA), B(xB ; yB)

AB = ( )2 ( )2

A B A

B x y y

x   

2 Khỏang cách từ một điểm Mo(xo ; yo) đến đường thẳng () : ax + by + c =

d(Mo , ()) = 2 2

0

b a

c by ax

  

+ Trục Ox : y =  d(M0,Ox)y0

+ Trục Oy : x =  d(M0,Oy)x0

B.BÀI TẬP. 1) Cho (C): y =

1

  

x x x

Tìm điểm M (C) cách đều hai trục tọa độ 2) Cho (C) : y =

1 2

  

x x x

Tìm điểm M (C) cho khỏang cách từ M đến Ox hai lần khỏang cách từ M đến Oy

3) Cho (C) : y =

2

  

x x x

Chứng minh tích các khỏang cách từ một điểm tùy ý (C) đến hai tiệm cận của (C) là không đổi

4) Cho (C) : y =

1

  

x x x

Tìm điểm M (C) cho tổng khỏang cách từ đó đến hai tiệm cận của (C) là nhỏ nhất

5) Cho (C) : y =

1 2

  

x x x

Tìm điểm M (C) cho khỏang cách từ đó đến giao điểm hai tiệm cận của (C) là nhỏ nhất

6) Cho (C) : y =

1

  

x x x

Tìm điểm M nhánh phải của (C) cho khỏang cách từ M đến Ox lớn khỏang cách từ M đến Oy

7) Cho (C) : y =

2

  

x x x

Tìm điểm M (C) để khỏang cách từ M đến đường thẳng (): 3x + y + = nhỏ nhất

8) Cho (H) : y =



x x

Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh của (H) cho khỏang cách A và B nhỏ nhất

9) Cho hàm số y = mx + x

1

có đồ thị là (Cm) Tìm m để hàm số có cực trị và khỏang

cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm)

2

10) Cho hàm số y =

1

1 )

1 (



   

x

m x m x

có đồ thị là (Cm) Chứng minh với m,

đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu và khỏang cách hai điểm đó 20

11) Cho (C) : y =

) (

3

   

x x x