Chøng minh P x¸c ®Þnh.[r]
(1)THCS BINH TRUNG kỳ thi chọn học sinh giỏi toán (đề số 3) năm học : 2008 - 2009
M«n : Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút: ) Bài ( 3,0 điểm)
Cho số dơng: a; b x =
2
b ab
XÐt biÓu thøc P =
b x a x a
x a x a
3
1 Chứng minh P xác định Rút gọn P
2 Khi a b thay đổi, tìm giá trị nhỏ P Bài (3,0 điểm)
T×m x; y; z tho¶ m·n hƯ sau:
x z
z
z y
y
y x
x
3
2
2
3 3
Bµi ( 3,0 ®iĨm)
Với số ngun dơng n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a =
2 3
; b =
2 3
Chøng minh r»ng víi n ≥ 1, ta cã Sn + = (a + b)( an + + bn + 1) – ab(an + bn)
2 Chứng minh với n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn số nguyên
3 Chøng minh Sn – =
2
2
1
n n Tìm tất số n để S
n – lµ sè phơng
Bài (5,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB điểm E nằm điểm A ®iÓm B cho AE < BE VÏ
đ-ờng trịn (O1) đờng kính AE đờng trịn (O2) đờng kính BE Vẽ tiếp tuyến chung ngồi MN
của hai đờng tròn trên, với M tiếp điểm thuộc (O1) N tiếp điểm thuộc (O2)
1 Gọi F giao điểm đờng thẳng AM BN Chứng minh đờng thẳng
EF vuông góc với đờng thẳng AB
2 Với AB = 18 cm AE = cm, vẽ đờng tròn (O) đờng kính AB Đờng thẳng MN cắt
đờng tròn (O) C D, cho điểm C thuộc cung nhỏ AD Tính độ dài đoạn thẳng CD Bài 5: (4đ): Cho ABC đờng thẳng d cắt AB AC trung tuyến AM theo thứ tự Là E , F , N a) Chứng minh :
AN AM AF
AC AE
AB
b) Giả sử đờng thẳng d // BC Trên tia đối tia FB lấy điểm K, đờng thẳng KN cắt AB P đờng thẳng KM cắt AC Q
Chứng minh PQ//BC Bài 6: (2 điểm)
Cho < a, b,c <1 Chøng minh r»ng : 2a3 2b3 2c3 3 a2b b2c c2a
-
HÕt -híng dẫn chấm: Đề số Câu (3,0 điểm)
Tóm tắt lời giải Điểm
1 (2.0 điểm)
Ta cã: a; b; x > a + x > (1)
XÐt a – x = 0
1 ) (
2
b b
a (2)
Ta có a + x > a – x ≥ ax a x0 (3) Từ (1); (2); (3) P xác định
Rót gän: Ta cã: a + x =
1 ) (
2 2
b b a b
ab
a
1 )
1
( 2
b a b
x a
(2)a - x =
1 ) (
2 2
b b a b
ab
a
1 2
b a b
x a
P =
b b
b
b b
b b
a b
b a b
b a b
b a b
3 1
1
1 1
1 )
1 (
1
1 )
1 (
2
2
NÕu < b < P =
b b
b
4
1
2
NÕu b1 P =
b b b b
3 3
1
2 (1.0 điểm) Xét trờng hợp:
Nếu < b < 1, a dơng tuỳ ý P = b
3
P
3
NÕu b1, a d¬ng tuú ý th× P =
3
1 3
1 b
b b b
b
Ta cã:
3
1
3 b
b
, dấu xảy b = Mặt khác:
3
b
, dÊu b»ng x¶y vµ chØ b = VËy P
3 3
, dấu xảy b = KL: Giá trị nhỏ P =
3
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
C©u (3,0 điểm)
Tóm tắt lời giải Điểm
Bin i tơng đơng hệ ta có
) ( ) )( (
) ( ) )( (
2 ) )( (
2
2
x z
z
z y
y
y x
x
Nhân vế phơng trình với ta đợc:
(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)
(x - 2)(y - 2) (z - 2)( 1)2( 1)2( 1)2 6
y z
x =
(x - 2)(y - 2) (z - 2) = x = hc y = hc z =
Với x = y = z = thay vào hệ ta có x = y = z = Vậy với x = y = z = thoả mãn hệ cho
1,00 0,50 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 Câu (3,0 điểm)
Tóm tắt lời giải Điểm
1 (1,0 điểm)
Với n th× Sn + = an+2 + bn+2 (1)
Mặt khác: (a + b)( an + 1 +bn + 1) – ab(an +bn) = an+2 + bn+2 (2)
Từ (1); (2) ta có điều phải chøng minh 2 (1.0 ®iĨm)
Ta cã: S1 = 3; S2 =
Do a + b =3; ab =1 nªn theo ta cã: víi n ≥ th× Sn+2 = 3Sn+1 - Sn
Do S1, S2 Z nªn S3 Z; S2, S3 Z nªn S4 Z
Tiếp tục q trình ta đợc S5; S6; ; S2008 Z
3 (1.0 ®iĨm)
Ta cã Sn – =
2
5
1
5 2
n n
0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
(3)=
n n
n
2
1 2
1
1
2
=
2
2
1
n n đpcm
Đặt a1 =
2 5
; b1 =
2
5
a1 + b1 = 5; a1b1 =
XÐt Un= a1n b1n
Víi n ≥ th× Un+2 = (a1 + b1)(a1n+1 - b1n + 1) – a1b1(a1n - b1n) Un+2 = 5Un+1 – Un
Ta cã U1 = Z; U2 = 5 Z; U3 = 4 Z; U4 = 5 Z;
Tiếp tục trình ta đợc Un nguyên n lẻ
Vậy Sn số phơng n = 2k+1 víi k Z vµ 0k1003
0,25
0,25 0,25
Câu (5,0 điểm)
Tóm tắt lời giải Điểm
1 (2,5 điểm) O1M; O2N MN O1M/ / O2N
Do O1; E; O2 thẳng hàng nên MO1E = NO2B
Các tam giác O1ME; O2NB lần lợt cân O1 O2 nên ta có: MEO1=NBO2 (1)
Mặt khác ta cã: AME = 900 MAE + MEO
1= 900 (2)
MAE + NBO2 = 900 AFB = 900
Tø gi¸c FMEN có góc vuông Tứ giác FMEN hình chữ nhật
NME = FEM (3) Do MNMO1 MNE + EMO1 = 900 (4)
Do tam giác O1ME cân O1 MEO1 = EMO1 (5)
Tõ (3); (4); (5) ta cã: FEM + MEO1= 900 hay FEO1 = 900 (®pcm)
2 (2,5 ®iĨm)
Ta cã EB = 12 cm O1M = cm < O2N = cm
MN cắt AB S với A nằm S B
Gọi I trung ®iÓm CD CDOI OI// O1M //O2N
2
1
SO SO N O
M O
SO2 = 2SO1 SO1+O1O2 = 2SO1 SO1= O1O2
Do O1O2 = + = cm SO1= O1O2 = cm SO =SO1 + O1O = 15cm
MỈt kh¸c:
1
1 SO
SO M
O OI
OI = cm
Xét tam giác COI vuông I ta có: CI2 + OI2= CO2 CI2 + 25 = CO2
Ta cã: CO = cm CI2 + 25 = 81 CI = 56
CD = 14 cm
0,25 0.25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25
Câu (2,0 điểm)
§iĨm
3 F
O
1 E O O2
A B
C M
I
N
D
S
E E
I
S M N
C B
(4)a)
KỴ BI,CS//EF (I,SAM)
Ta cã:
AN AS AF AC AN
AI AE AB
,
) (
AN AS AN
AI AF AC AE AB
Ta cã: BIM CSM (cgc)
IM MS
VËy: AI AS AI AIIM MS 2AM
Thay vào (*) ta đợc (đpcm)
1,0
0,5 Khi d//BC EF//BC N trung điểm EF
+Từ F kẻ đờng thẳng song song với AB cắt KP L
Ta có: NFPNFL(cgc) EPLF Do :
(1)
KB KF PB LF PB EP
+Từ B kẻ đờng thẳng song song với AC cắt KM H
Ta cã BMH CMQ(cgc)
BH QC
Do đó: (2)
KB KF BH FQ QC
FQ
Tõ (1)va(2) FP FQ PQ BC//
PB QC
(®pcm)
0,5 0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 6: điểm)
Do a <1 a2<1 vµ b <1
Nªn 1 a2 1 b 0 a b a2 2 b0 Hay 1a2ba2b (1)
Mặt khác <a,b <1 a2 a3
; bb3
1 a2 a3 b3
VËy a3b3 1a2b T¬ng tù ta cã
a c c
a
c b c
b
2
3
2
3
1
2a3 2b3 2c3 3 a2b b2c c2a
0,5 0,5 0,25 0,25 0,5
4
K
P Q
F L
E N
M C
B