1,0 điểm: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.. Tính theo a thể tính của khối chóp S.ABCD và [r]
(1)ĐỀ TOÁN ÔN THPT QUỐC GIA 2015 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ TỰ LUYỆN 01 Câu (2,0 điểm): Cho hàm số y x 3x (1) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b Lập phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có hoành độ Câu (1,0 điểm): a Giải phương trình: sinx cos x 2 b Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: z (1 i) 3 i Câu (0,5 điểm): Giải phương trình sau: 32x – 4.3x +3 = x xy y 19 x y x xy y 7 x y Câu (1,0 điểm): Giải hệ phương trình sau: x x dx Câu (1,0 điểm): Tính tích phân Câu (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tính khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Câu (1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có A(4; 6), phương trình đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C là x − y +13=0 và x − 13 y +29=0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Câu (1,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho điểm M(5; ;-3) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M và chứa đường thẳng d: x −1 y − z −5 = = −6 Câu (0,5 điểm): Hai hộp chứa các cầu Hộp thứ chứa cầu đỏ và cầu xanh, hộp thứ hai chứa cầu đỏ và cầu xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp cầu Tính xác suất cho chọn cầu khác màu Câu 10 (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = Tìm giá trị nhỏ 1 P 3 3 3 a 3b b 3c c 3a biểu thức : HẾT (2) ĐÁP ÁN– THANG ĐIỂM Nội dung Câu Điểm a) (1,0 điểm) 1, TXĐ: D 2, Sự biến thiên: y ' 3x x 0,25 x 0 y ' 0 3x x 0 x 2 ;0 ; 2; 0; Hàm số nghịch biến trên khoảng Hàm số đồng biến trên khoảng + Cực trị : Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT = -3 0,25 lim y lim y + Giới hạn: x Bảng biến thiên x y + ; x 0 - + Câu (2,0 điểm) 0,25 y -3 3, Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm (0;1) Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm 0,25 b) (1,0 điểm) Tung độ yo tiếp điểm là: yo= y(1)= -1 Suy hệ số góc k tiếp tuyến là: Câu (1,0 điểm) , k y 1 y x 1 Do đó phương trình tiếp tuyến là : hay phương trình tiếp tuyến là : y = -3x+2 a) (0,5điểm) Ta có : s inx (1 2sin x) 2 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) 2sin x sinx 0 s inx 1 x k2, k s inx (vn) x k 2 ; k Z Phương trình có nghiệm là : 0,25 0,25 b) (0,5 điểm) Ta có z 3 i 1 i 0,25 (3 i )(1 i ) 1 2i Vây z=1-2i 0,25 x Câu (0,5 điểm) Phương trình đã cho tương đương với: x 0 x 1 [33x 3 [ 0,25 0,25 x xy y 19 x y 2 x xy y 7 x y Câu (1,0 điểm) x y xy 19 x y x y xy 7 x y xy 6 x y x y ( x y ) x y 0 (1) xy x y 1 (2) xy 6 0,25 0,25 Giải hệ (1): x=y=0 Có cặp nghiệm (0;0) Giải hệ (2): Rút y=6/x thay vào pt trên 6/y – y=1 hay y2-y-6=0 Suy y=-2 hay y=3 Nên y=-2 => x=-3 Có cặp nghiệm (-3;-2) hay (-2;-3) hay y=3=> x=2Có cặp nghiệm (2;3) hay (3;2) Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm (0;0), (-3;-2), (2;3),(-2;-3), (3;2) Câu (1,0 điểm) Đặt t x t 2 x 1; xdx tdt 0,25 0,25 0,25 (4) x 0 t 1 Đổi cận: x 2 t 3 t dt t 3 13 I Ta có 0,25 0,25 13 I Vậy 0,25 Gọi H là trung điểm AB, tam giác SAB nên SH AB mà (SAB) ( ABCD) ⇒ SH ⊥(ABCD) ⇒SH là đường cao hình chóp ⇒ SH a S A K D H I B Câu (1,0 điểm) 0,25 C Ta có S ❑ABCD=a a a3 ⇒ V a2 3 0,25 Gọi I là trung điểm CD Trong tam giác vuông SHI kẻ HK SI ta có : HK a 3 a HK a = a √ 21 0,25 Ta có AB HI , CD ⊥SH ⇒CD ⊥(SHI)⇒ CD⊥ HK ⇒HK ⊥ (SCD) Vì AB// CD nên d(A,(SCD))= HK = a √ 21 0,25 Câu (1,0 điểm) - Gọi đường cao và trung tuyến kẻ từ C là CH và CM Khi đó CH có phương trình x − y +13=0 , CM có phương trình x − 13 y +29=0 0,25 (5) ¿ x − y +13=0 x − 13 y +29=0 - Từ hệ ⇒C (−7 ;− 1) ¿{ ¿ n❑ =⃗ u❑ =(1 , 2) - AB ⊥ CH ⇒ ⃗ ⇒ pt AB : x+ y −16=0 ¿ x+ y −16=0 x − 13 y +29=0 Tõ hÖ ⇒ B(8 ; ) ⇒ M (6 ; 5) ¿{ ¿ AB CH 0,25 - Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp Δ ABC: x + y 2+ mx+ny + p=0 ¿ 52+4 m+6 n+ p=0 80+8 m+4 n+ p=0 Vì A, B, C thuộc đường tròn nên 50 −7 m− n+ p=0 ¿{{ ¿ 2 Suy pt ®ưêng trßn: x + y − x+ y − 72=0 hay Câu (1,0 điểm) Đường thẳng d có véc tơ phương MN ( 4; 1;8) ; ⃗ u 2;1; , ⃗ ⃗ n u , MN (2;8; 2) ⇔ m=−4 n=6 p=− 72 ¿{{ y +3 ¿2=85 x −2 ¿2 +¿ ¿ qua điểm N(1;1;5) ⃗ n Phương trình mặt phẳng (Q) qua M và có VTPT (2;8; 2) Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: x+4y+z-10=0 Câu (0,5 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 0,25 Gọi Ω là không gian mẫu ta có : 1 n(Ω)=C C 10=50 Gọi A là biến cố chọn cầu khác màu ta có: n(A)= C13 C 16 +C 12 C14=26 Xác suất biến cố A là P(A)= n( A) 26 = n(Ω) 50 0,25 0,25 Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có Câu 10 (1,0 điểm) 1 1 1 (x y z) 33 xyz 9 xyz x y z xyz x y z (*) 1 P 3 3 3 3 a 3b b 3c c 3a a 3b b 3c c 3a Áp dụng (*) ta có Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có 0,25 (6) a 3b 1 a 3b 3 b 3c 1 b 3c 1.1 b 3c 3 c 3a 1 c 3a 1.1 c 3a 3 a 3b 1.1 1 a 3b b 3c c 3a a b c 3 3 Suy Do đó P 3 a b c a b c 4 a 3b b 3c c 3a 1 Dấu ”=” xảy Vậy P đạt giá trị nhỏ a b c 1 / 0,25 0,25 0,25 (7)