Bài soạn BDHSG Toán 9

Bài Giảng về Phương trình bậc hai Bài 1. Phương trình bậc hai I. Tóm tắt lý thuyết: 1. Định nghĩa: Là phương trình có dạng: , trong đó là các số thực cho trước và . 2. Cách giải: Đặt . Ta có: nên: * Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: . * Nếu thì phương trình có nghiệm kép . * Nếu thì phương trình vô nghiệm. Chú ý : Nếu thì ta dùng công thức thu gọn. . . 3. Định lí Viét: Định lí: Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm thì ta có: . Chú ý : * Định lí Viet chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ, do đó trước khi sử dụng định lí Viet ta phải tìm điều kiện cho phương trình bậc hai có nghiệm . * Đảo lại ta có: “ Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì hai số đó (nếu có) là nghiệm của phương trình : . II. Các ví dụ Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình : (1) Giải: * , khi đó . * , khi đó (1) là phương trình bậc hai có: . i) vô nghiệm ii) có nghiệm kép: . iii) có hai nghiệm phân biệt 1 . Kết luận: * phương trình có một nghiệm * phương trình vô nghiệm. * phương trình có nghiệm kép . * phương trình có hai nghiệm phân biệt: . Chú ý : 1) Giải và biện luận phương trình chứa tham số nghĩa là xem xét với giá trị nào của tham số thì phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó. 2) Các bạn thử đặt câu hỏi vì sao chúng ta lại đi xét các trường hợp như trên ? Nhiều bạn vào bài là tính ngay biệt thức rồi xét dấu nó! Các bạn lưu ý: chỉ sử dụng khi đó là phương trình bậc hai, mà phương trình ban đầu ở trên chưa phải là phương trình bậc hai ( Vì hệ số chưa khác 0). Ví dụ 2: Cho phương trình : (1), m là tham số. 1) Giải phương trình khi . 2) Giải và biện luận phương trình (1) theo m. Giải: 1) Với thì (1) trở thành: . Phương trình này có hai nghiệm: . 2) Ta xét hai trường hợp sau: TH 1: , khi đó (1) trở thành: phương trình vô nghiệm. TH 2: khi đó (1) là phương trình bậc hai có * Nếu có hai nghiệm phân biệt * Nếu vô nghiệm. KL: * vô nghiệm * có hai nghiệm phân biệt: . Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình theo a,b. 2 Giải: Điều kiện: (*) PT (**) • Nếu phương trình vô nghiệm. • Nếu [IMG]http://latex.codecogs.com/gif.latex?ab%20=%200%20%5CRightarrow %20%28**%29%20 %5CLeftrightarrow%20x%20=%200[/IMG] nghiệm này không thỏa mãn (*) phương trình vô nghiệm. • [IMG]http://latex.codecogs.com/gif.latex?ab%20%3E%200%20%5CRightarrow %20%28**%29% 20%5CLeftrightarrow%20x%20=%20%5Cpm%20%5Csqrt%20%7 Bab%7D[/IMG] Nghiệm thỏa mãn (*). Nghiệm thỏa mãn (*). Tóm lại: * Nếu thì phương trình vô nghiệm. * Nếu phương trình có một nghiệm . * Nếu phương trình có hai nghiệm . Chú ý : 1) Với những dạng phương trình dạng này cái khó đối với các em HS là: sau khi biến đổi đưa về phương trình bậc hai và giải phương trình này thì ta phải đối chiếu với điều kiện để loại trong những trường hợp nghiệm không thỏa điều kiện bài toán. 2) Ở trên ta đã đi giải và biện luận phương trình, tức là phải xét các khả năng về nghiệm của phương trình. Tiếp theo ta xét một số bài toán mà chỉ đề cập đến một trường hợp về nghiệm của phương trình . Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu là độ dài các cạnh của một tam giác thì phương trình sau vô nghiệm: . Giải: Phương trình đã cho là một phương trình bậc hai ( Vì ) nên để chứng minh phương trình vô nghiệm ta chỉ cần chứng minh biệt thức . Hơn nữa giả thiết bài toán cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác, do đó trước lúc giải bài này các em cần nhớ lại: độ dài ba cạnh tam giác có những tính chất gì ? Ta sẽ dựa vào những tính chất đó để chứng minh bài toán. Ta có: Vì là độ dài ba cạnh tam giác nên : còn dẫn đến phương trình đã cho vô nghiệm. Chú ý : Để chứng minh ngoài cách đã nêu trên còn có cách khác là sử dụng định lí hàm 3 số côsin. Cụ thể: . Ví dụ 5: Cho phương trình: (1) vô nghiệm. Chứng minh rằng trong hai phương trình sau có một phương trình vô nghiệm và một phương trình có nghiệm: (2) và (3). Giải: Vì (1) vô nghiệm nên ta có: (*) Phương trình (2) có: ; PT (3) có: Nên (*) trong hai số luôn có một số dương và một số âm dẫn đến trong hai phương trình (2) và (3) luôn có một phương trình có nghiệm và một phương trình vô nghiệm. Ví dụ 6: Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhất một phương trình có nghiệm: . Giải: Nếu trong ba số a,b,c có một số bằng 0, chẳng hạn có nghiệm . Ta xét là các số thực khác 0, khi đó ba phương trình đã cho là ba phương trình bậc hai lần lượt có biệt thức . Để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh trong ba biệt thức trên tồn tại ít nhất một biệt thức không âm. Để làm điều này ta đi xét tổng của ba biệt thức đó. Ta có: . Suy ra trong ba số có ít nhất một số không âm hay ba phương trình đã cho có ít nhất một phương trình có nghiệm. Vậy ta có điều phải chứng minh. Chú ý : 1) Để chứng minh trong n số có ít nhất một số không âm (hoặc một số không dương) ta chỉ cần chứng minh tổng , trong đó . 2) Để chứng minh một phương trình bậc hai có nghiệm ngoài cách chứng minh ta còn có cách khác như sau : “ Chỉ ra số thực hoặc hai số thực sao cho: ”. Chứng minh: Vì phương trình có nghiệm. trong hai số và có một số không dương, tức là hoặc phương trình có nghiệm. Ví dụ 7: Cho là các số thực có tổng khác 0. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có 4 nghệm: (1). Giải: Cách 1: (1) (2). Vì nên (2) là phương trình bậc hai, do đó để chứng minh phương trình có nghiệm ta chỉ cần chứng minh . Ta có: Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm. Cách 2: Gọi là vế trái của phương trình (1). Ta có: ; trong bốn số luôn tồn tại hai số có tích không dương. Dẫn đến phương trình đã cho luôn có nghiệm. Ví dụ 8: Cho a,b,c thỏa mãn: . Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: . Giải: Cách 1: * Nếu có nghiệm. * Nếu , ta có: có nghiệm. Cách 2: Ta có: có nghiệm. Nhận xét: Với cách giải thứ 2 thì việc khó nhất là phải chứng minh được đẳng thức : . Vấn đề là làm sao biết cách xét và nhân thêm các hệ số 2 và 4. Liệu ngoài hai giá trị ta còn có những giá trị nào khác hay không? Câu trả lời là có, chẳng hạn ta xét . Ta cần xác định các hệ số sao cho: 5 . Đồng nhất các hệ số ta có hệ phương trình : . Vậy ta có: trong ba số tồn tại một số không âm và một số không dương, dẫn đến tích hai số đó không dương hay phương trình có nghiệm. 2) Vậy bài toán tổng quát đặt ra là m, n, p thỏa mãn điều kiện gì để nếu có thì phương trình có nghiệm? Để giải bài toán này ta dùng cách giải thứ nhất. Lời giải bài toán này xin dành cho bạn đọc. Ví dụ 9: Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn: và . Chứng minh rằng phương trình : (1) có nghiệm . Giải: Để chứng minh (1) có nghiệm , ta sẽ chỉ ra có các số thực sao cho . Vì và có giả thiết nên dẫn đến ta xét . Mặt khác từ : * Xét Nếu là đa thức không, do đó f(x) sẽ có nghiệm trong (0;1) Nếu , từ giả thiết và * Xét , ta có: có nghiệm . Chú ý : 1) Nhiều bạn gặp sai lầm khi suy ra ngay : mà không chú ý đến có khác 0 hay không ? Từ bài toán trên, ta có thể thay đổi hình thức của m,n,p để thu được những bài toán khác. Một trường hợp riêng của bài toán trên mà ta thường gặp là : Cho các số thực a,b,c và số tự nhiên thỏa mãn: . Chứng minh phương trình : có nghiệm . 2) Ở trên ta đã giải quyết bài toán chứng minh một phương trình bậc hai có nghiệm bằng cách chứng minh . Tức là nếu có thì phương trình bậc hai có nghiệm. Vậy điều ngược lại thì sao? Tức là nếu phương trình bậc hai có nghiệm thì , điều này có giúp ích gì cho chúng ta hay không ? 6 Ví dụ 10: Cho các số thực a, b, c, d, p, q thỏa mãn: . Chứng minh rằng: . Giải: BĐT cần chứng minh : Nhìn vào VT của BĐT gợi cho ta nhớ đến biệt thức , tức là phương trình : có nghiệm. Dĩ nhiên là cách chứng minh không thể dùng . Do vậy ta nghĩ đến sẽ chỉ ra có một số thực nào đó sao cho : (*). Vấn đề là là số nào ? Trước hết ta viết phương trình lại như sau: . Điều này gợi ý cho chúng ta và khi đó , do vậy để có (*) thì ta phải có : ? điều này ta chưa có ! Tuy nhiên từ đầu tới giờ có một giả thiết mà ta chưa sử dụng tới đó là : , ta sẽ viết giả thiết này dưới một dạng khác (làm sao có lợi nhất): từ đây ta suy ra được trong hai số có ít nhất một số dương, không mất tính tổng quát, ta giả sử số đó là ( Nếu thì trong phương trình trên ta đổi vị trị của hai số đó cho nhau). Dẫn đến ta có lời giải như sau: Ta có: trong hai số và có ít nhất một số dương, ta giả sử . Xét tam thức: . Ta có: luôn có nghiệm hay : (đpcm). Nhận xét: Từ ví dụ trên ta rút ra nhận xét: Nếu BĐT cần chứng minh có dạng (hoặc ) thì ta có thể chứng minh tam thức (hoặc ) luôn có nghiệm với lưu ý là: nếu có một số thực m sao cho ( Hoặc tồn tại hai số thực sao cho ) thì tam thức luôn có nghiệm. Khi đó ta có: . Tiếp theo chúng ta đi xét một số ứng dụng của định lí viet 7 Ví dụ 11: Giả sử là hai nghiệm của phương trình : . Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau: ; ; ; . Giải: Trước hết phải kiểm tra xem phương trình đã cho có nghiệm hay không? Ta có: PT đã cho luôn có hai nghệm phân biệt. Bài toán yêu cầu tính giá trị của các biểu thức chứa hai nghiệm mà không bắt buộc chúng ta xác định hai nghiệm này ? Có vẻ đây là điều phi lí ?! Nhưng các bạn bình tĩnh xem lại có định lí hay công thức nào mà không cần tìm hai nghiệm nhưng ta vẫn tính được biểu thức chứa hai nghiệm ? Chắc không mấy khó khắn các bạn sẽ trả lời được, đó chính là hệ thức Viét: . Do vậy để tính giá trị các biểu thức trên ta cần phân tích các biểu thức trên qua tổng và tích hai nghiệm . Ta có: . (vì ) Chú ý : 1) Ta thấy các biểu thức ở trong bài toán trên có một tính chất là khi ta đổi vị trị của hai nghiệm thì biểu thức không thay đổi và các biểu thức đó được gọi là biểu thức đối xứng của hai nghiệm. Cụ thể ta có định nghĩa sau: “Biểu thức F(x1,x2) gọi là biểu thức đối xứng nếu ”. Một tính chất quan trọng của biểu thức đối xứng là: “Mọi biểu thức đối xứng luôn biểu diễn được qua S (tổng hai nghiệm) và P (tích hai nghiệm)”. Ta xét một số biểu diễn cơ bản sau: * * * 2) Đặt , khi đó ta có : Hay: . Dựa vào đẳng thức này ta sẽ tính được … Từ sự phân tích qua tổng và tích hai nghiệm ở trên giúp ta giải một số bài toán liên quan đến biểu thức các nghiệm của phương trình bậc hai. Ví dụ 13: Gọi là hai nghiệm của phương trình : 1) Tính theo a. 8 2) Tìm đa thức bậc 5 hệ số nguyên nhận số là nghiệm. Giải: 1) Ta có: . 2) Đặt là hai nghiệm của phương trình : . . Vậy đa thức cần tìm là: . Ví dụ 14: Tìm m để PT : 1) Có hai nghiệm, khi đó hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. 2) Có hai nghiệm không âm. Giải: 1) Phương trình có hai nghiệm Khi đó theo định lí Viet ta có: đây là hệ thức cần tìm. 2) Phương trình có hai nghiệm không âm . Vậy là những giá trị cần tìm. Chú ý : 1) Để xét dấu của hai nghiệm ta đi xét dấu tổng và tích của chúng * Hai nghiệm trái dấu * Hai nghiệm cùng dấu * Hai nghiệm cùng dương * Hai nghiệm cùng âm . 2) Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số là hệ thức mà trong đó chỉ có mặt và hằng số mà không có tham số. Để tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m ta sử dụng định lí Viet, rồi khử m trong hệ ta được hệ thức cần tìm. Ví dụ 15: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm và biểu thức: đạt giá trị lớn nhất . Giải: 9 Phương trình có nghiệm (*) . Khi đó theo định lí Viet: . Ta có: (do (*)) đạt được khi . Vậy là giá trị cần tìm. Ví dụ này nhắc nhở chúng ta khi sử dụng định lí Viet, đó là ta phải tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Nếu bài toán trên không hạn chế miền xác định của m (bất đẳng thức (*)) thì ta sẽ không tìm được max của Q. Ví dụ 16: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt . thỏa mãn: Giải: Trước hết phương trình phải có hai nghiệm khác 0 nên: [IMG]http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D %20% 5CDelta%20%27%20=%20%7Bm%5E2%7D%20+%204m%20+%201%2 0%3E %200%20%5C%5C%20%20%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D=%20%5 Cfrac%7B%7B%7Bm %5E2%7D%20-%204m%20+%201%7D%7D%7B3%7D%20%5Cne%200%20%5C%5C%20 %20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.%5CLeftrightarrow %20%5Cleft%5C%7B %20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%7Bm%5E2 %7D%20+%204m%20+%201%20%3E %200%20%5C%5C%20%20%7Bm% 5E2%7D%20-4m%20+%201%20%5Cne%200%20%5C %5C%20%20%5Cend%7Bmatr ix%7D%20%5Cright.%7B%5Crm%7B%20%20%20%28* %29%7D%7D[/IMG]. Khi đó theo định lí Viet ta có: Ta có: (Do ) . Thay vào (*) ta thấy không thỏa mãn Vậy là giá trị cần tìm. Ví dụ 17: Chứng minh rằng phương trình : ) lần nghiệm kia khi và chỉ khi . (1) có hai nghiệm và nghiệm này gấp k ( Giải: * Giả sử (1) có hai nghiệm và nghiệm này gấp k lần nghiệm kia thì ta có: 10 [...]... đã cho Vì a,b,c là các số nguyên và là các số nguyên dương (1) Áp dụng BĐT Côsi ta có: (2) (do nên không có đẳng thức) Từ (1) và (2) ( a là số nguyên dương) Xét đa thức: thấy f(x) thỏa mãn điều kiện bài toán Vậy giá trị nhỏ nhất của a bằng 5 , ta 12 ... hoành độ giao điểm: tại hai điểm phân biệt A,B Đồ thị hàm số cắt đường thẳng khác 1 (1) có hai nghiệm phân biệt , trong đó x1, x2 là hai nghiệm của (1) thỏa mãn (*) Vậy là những giá trị cần tìm Ví dụ 19: Gọi là hai nghiệm của phương trình : nhất của biểu thức: Giải: Ta có: Tìm giá trị nhỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Theo định lí Viet thì: Ta có Đẳng thức xảy ra khi Vậy Ví dụ 20: Giả . 0 hay không ? Từ bài toán trên, ta có thể thay đổi hình thức của m,n,p để thu được những bài toán khác. Một trường hợp riêng của bài toán trên mà ta thường. trình có nghiệm. 2) Vậy bài toán tổng quát đặt ra là m, n, p thỏa mãn điều kiện gì để nếu có thì phương trình có nghiệm? Để giải bài toán này ta dùng cách