UBND TỈNH KONTUM KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2018-2019 Mơn: Tốn Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18/8/2018 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MA TRẬN ĐỀ Mức độ nhận thức Câu/ phần (chương trình gì) Câu 1: Hệ phương trình Câu 2: Chứng minh hệ thức lượng giác tam giác Câu 3: Dãy số truy hồi với yêu cầu chứng minh tìm số hạng TQ tính giới hạn… Câu 4: Tổ hợp Câu 5: Hình học phẳng 1) Chứng minh tính chất hình học 2) Vận dụng kiến thức chuyên Câu 6: Số học Câu 7: Bất đẳng thức Tổng Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao 3 3,0 điểm 3,0 điẻm PT PT 2,0 điểm Chuyên 3 3,0 điểm 3,0 điểm PT PT 2,0 điểm Chuyên 2,0 điểm 2,0 điểm 20 điểm Chuyên PT 6,0 điểm Tổng cộng 2 8,0 điểm 6,0 điểm UBND TỈNH KONTUM KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: Tốn Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18/8/2018 (Đề có trang, gồm câu) _ x x y y Câu (3,0 điểm) Giải hệ phương trình x x 12 y 36 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A , đặt BC a, AC b, AB c Cho biết a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tính B , C u1 1, u2 Câu (2,0 điểm ) Cho dãy số un xác định bởi: Tính * un un un 1 1 , n lim n un n2 Câu (3,0 điểm) Có 20 giống có xồi, mít, ổi, bơ, bưởi 10 loại khác loại đồng thời đơi khác loại Hỏi có cách chọn để trồng khu vườn cho khơng có hai thuộc loại Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB AC ) tam giác nhọn nội tiếp đường tròn O , H trực tâm tam giác Gọi J trung điểm BC Gọi D diểm đối xứng với A qua O 1) (3,0 điểm) Gọi M , N , P hình chiếu vng góc D lên BC , CH , BH Chứng minh tứ giác PJMN nội tiếp 600 , gọi I tâm đường tròn nội tiếp Chứng minh 2) (2,0 điểm) Cho biết BAC 2 AHI ABC Câu (2,0 điểm) Tìm tất số nguyên tố a thỏa mãn 8a số nguyên tố Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện 3a 2b c Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P 2( a b c) abc -HẾT UBND TỈNH KONTUM KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2018-2019 Mơn: Tốn Ngày thi: 18/8/2018 (Bản hướng dẫn gồm 05 trang) ĐỀ THI CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI I HƯỚNG DẪN CHUNG - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa phần điểm tương ứng - Điểm toàn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Câu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng cho điểm II ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CÂU Ý NỘI DUNG x x y y (3,0 đ) Giải hệ phương trình x x 12 y 36 Điều kiện: x 1, y ĐIỂM (1) (2) x x y khơng nghiệm hệ phương trình nên xét với y 1 Ta có 1 x y y x x y x 1 y 1 ( x y ) x 1 y 1 x y 1 xy x y x 1 y 1 Thay x y vào phương trình thứ hai (2) , ta phương trình x x 12 x 36 3,0 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 x x x 12 x 36 x 1 x 1 0,5 x x (VN) x x x 1 x3 x 3 (VN) 0,5 Vậy hệ có nghiệm x; y 3;3 0,25 (3,0 đ) b , c theo thứ tự lập 3,0 thành cấp số nhân Tính B , C Cho tam giác ABC vuông A nên ta có b a sin B , c a cos B 0,5 Cho tam giác ABC vuông A a , a, 2 b , c lập thành cấp số nhân ac b 3 0,5 2 a sin B 3cos B 2sin B 3cos B 2cos B 2cos B 3cos B cos B 2 cos B (vì 1 cos B ) cos B B 600 (vì 00 B 1800 ) Vậy B 600 , C 300 a cos B (2,0 đ) Cho dãy số un (1) u1 1, u2 un un un 1 1 (2) Đặt un 1 un n 1 Tính xác 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 định bởi: un n n lim Ta có un un 1 un 1 un 1 suy lập thành cấp số cộng có v1 d 2,0 0,5 Vậy (n 1).2 2n Khi un un un 1 un1 un u2 u1 u1 vn1 v1 u1 (n 1) (n 2) 1 n n 1 un u lim Vậy lim n2 2 n n n n n n Có 20 giống có xồi, mít, ổi, bơ, bưởi 10 loại khác loại đồng thời đôi khác loại Hỏi có cách chọn để trồng khu vườn cho khơng có hai thuộc loại Số cách chọn 20 giống C20 Ta tính số cách chọn cho có hai loại + Trường hợp : Số cách chọn thuộc loại khác C52 C161 + Trường hợp 2: Số cách chọn có loại khác lim (2,0 đ) n(n 1) n n 1 0,5 0,5 0,5 2,0 0,5 0,5 0,5 C51.C183 Vì số cách chọn trường hợp trùng lại lần cách chọn trường hợp nên số cách chọn cho có hai loại C52 C161 C51.C183 2C52 C161 C51.C183 C52 C161 nên số cách chọn thỏa đề C20 C51.C183 C52 C161 11584 (5,0đ) 0,25 0,25 Cho tam giác ABC ( AB AC ) tam giác nhọn nội tiếp đường tròn O , H trực tâm tam giác Gọi J trung điểm BC Gọi D 3,0 diểm đối xứng với A qua O 1) Gọi M , N , P hình chiếu vng góc D lên BC , CH , BH Chứng minh tứ giác PJMN nội tiếp A O H N P M B C J D Ta có BH //CD (vì vng góc với AC ) CH //BD (vì vng góc với AB ) nên BHCD hình bình hành, J 0,5 trung điểm HD Từ giả thiết ta tứ giác HPDN nội tiếp đường tròn tâm J 0,25 PDN 1800 BHC (1) suy PJN 0,5 0,5 Ta có tứ giác BPMD , CNMD nội tiếp nên 3600 PMD NMD HBD HCD PMN BDC 3600 BHC 3600 BHC 0,75 (2) PMN nên tứ giác PJMN nội tiếp Điều phải Từ (1) (2) suy PJN 0,5 chứng minh 600 , gọi I tâm đường tròn nội tiếp Chứng minh Cho biết BAC 2,0 AHI ABC A O I H B J E D L C K N Gọi L giao điểm AH với BC , K giao điểm thứ hai AH với đường tròn ngoại tiếp O tam giác ABC Kẻ đường thẳng qua I vng góc với BC cắt BC cắt cung nhỏ BC E N 0,75 Ta có JL //DK (vì vng góc với AK ) mà J trung điểm HD nên JL đường trung bình tam giác HDK , suy L trung điểm HK Do K đối xứng với H qua đường thẳng BC suy BKC 1200 BHC 1800 B C 1200 nên B, I , H , C đồng viên thuộc đường Mà BIC 0,5 tròn đối xứng với O qua BC , suy N điểm đối xứng với I (2đ) qua BC Suy HINK hình thang cân CBN ABC Ta có ABI IBC Từ 1800 CBN 3 AHI 1800 IHK AKN ABN ABI IBC ABC Điều phải chứng minh suy AHI ABC Tìm tất số nguyên tố a thỏa mãn 8a số nguyên tố 0,5 2,0 Vì a số nguyên tố nên a Ta xét trường hợp 0,25 Trường hợp 1: với a 8a 33 chia hết cho 11 loại trường hợp a 0,5 Trường hợp 2: với a 8a 73 số nguyên tố Trường hợp 3: với a a 3k 2 8a 9k 6k 1 24k 16k 3 chia hết cho (2,0đ) 0,25 0,5 0,5 loại trường hợp a 0,25 Vậy a giá trị cần tìm 2 Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện 3a 2b c Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức 2,0 P 2(a b c ) abc Với bốn số a, b, x, y ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ax by a b x y (1) (Học sinh nêu khơng cần chứng minh bất đẳng thức (1)) Áp dụng bất đẳng thức (1), ta có P a (2 bc ) 2(b c) 0,5 (a 2) (2 bc) 2(b c) (a 2)(b 2)(c 2) Lại áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có (a 2)(b 2)(c 2) 3(a 2).2(b 2).(c 2) 2 3(a 2) 2(b 2) (c 2) 36 6 Từ suy P 36 Suy 6 P Mặt khác với a 0; b 1; c 3a 2b c P ; a 0; b 1; c 2 3a 2b c P 6 Vậy Pmax , Pmin 6 -HẾT - 0,75 0,25 0,5 ...UBND TỈNH KONTUM KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 201 8-2 019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: Tốn Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) ... b c) abc -HẾT UBND TỈNH KONTUM KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 201 8-2 019 Mơn: Tốn Ngày thi: 18/8/2018 (Bản hướng... n Có 20 giống có xồi, mít, ổi, bơ, bưởi 10 loại khác loại đồng thời đôi khác loại Hỏi có cách chọn để trồng khu vườn cho khơng có hai thuộc loại Số cách chọn 20 giống C20 Ta tính số cách chọn