Chứng minh rằng trong vành giao hoán có đơn vị, mọi iđêan tối đại đều là iđêan nguyên tố.. Chứng minh rằng trong vành Z n vành các số nguyên modul n , mọi iđêan nguyên tố đều.[r]
(1)ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên chỉnh sửa
TS Trần Huyên Ngày tháng năm 2005
Bài 10 Các Bài Toán Về Iđêan Và Vành Thương
Indêan vành có vai trị tương tự ước chuẩn nhóm, giúp hình thành nên cấu trúc vành thương
Cho vành X, phận I 6= ø X gọi idêan I ⊂v X đồng thời thỏa mãn
điều kiện:∀x∈X, ∀a∈I ax, xa ∈I (*)
Điều kiện sau (*) gọi điều kiện hút hai phía (tức phần tử x ∈ X dù "dính" bên trái (xa) hay "dính" bên phải (ax)) với phần tử a ∈I bị "hút" vào I !)
Khi I idean X (Kí hiệu : I CX) tập thươngXI ={x+I :x∈X} trang bị phép tốn (xác định hợp lí ! ) sau :
• Phép cộng : (x1+I) + (x2+I) = (x1+x2) +I
• Phép nhân : (x1 +I)(x2+I) =x1x2+I,
sẽ trở thành vành, gọi vành thương vành X theo idean I kí hiệu (XI; +, ) hay đơn giản : XI
Nếu X vành giao hốn XI giao hốn
Nếu X vành có đơn vị XI có đơn vị + I Tuy nhiên, X khơng có ước XI nói chung khơng thừa kế vơ điều kiện tính chất nói X (độc giả thử suy nghĩ xem, lí sao?)
Các toán inđêan vành thương thường gặp trước hết toán kiểm tra phận vành cho trước iđêan mơ tả cấu trúc vành thương theo iđêan
Để kiểm tra iđêan ta dùng tiêu chuẩn iđêan phát biểu sau : Cho vành X, tậpI 6= ø X iđêan X :
∀a, b∈I : a−b∈I
(2)1 Ví dụ : Cho tập số phức sau :
Z(
√
−5) =a+b√−5 :a, b∈Z
I =5a+b√−5 :a, b∈Z
(a) Chứng minh Z(√−5)là vành với hai phép cộng nhân thông thường số phức vàI CZ(√−5)
(b) Chứng minh vành thương Z(√−5)/I trường
Giải:
(a) Chúng dành cho độc giả dùng tiêu chuẩn vành để kiểm tra Z(
√
−5)⊂v (C; +;.), đóZ(√−5)là vành.
Để kiểm traICZ(√−5), ta có :
• ∀5a1+b1
√
−5, 5a2+b2
√
−5∈I : (5a1+b1
√
−5)−(5a2+b2
√
−5) = 5(a1−a2) + (b1−b2)
√
−5∈I
• ∀a+b√−5∈Z(√−5), ∀5c+d√−5∈I :
(a+b√−5)(5c+d√−5) = 5(ac−bd) + (5bc+ad)√−5∈I (5c+d√−5)(a+b√−5) = (a+b√−5)(5c+d√−5)∈I
Vậy I iđêan củaZ(√−5) (b) Ta có vành thương :
Z(
√
−5)/I ={(a+b√−5) +I :a, b∈Z}
={a+I :a∈Z} (vì b√−5∈I) ={0 +I; +I; +I; +I; +I}
Dễ thấy Z(√−5)là vành giao hốn, có đơn vị nên vành thương Z(√−5)/I vành giao hốn, có đơn vị Ta cịn phải chứng tỏ phần tửm+I 6= +I vành thương có nghịch đảo Thật đómlà số khơng chia hết cho số nguyên tố nên(m,5) = Tức tồn số nguyênk t mà km+ 5t= 1, tồn phần tử(k+I) mà :
(m+I)(k+I) = km+I
= 1−5t+I
= +I
tức (k+I) = (m+I)−1
Vậy Z(√−5)/I trường
Nhận xét :Để kiểm tra vành thươngZ(√−5)/I trường ta dùng định nghĩa trường để kiểm tra Sau ta cịn khẳng định điều nhờ vào việc I iđêan tối đại Z(√−5) Ta khẳng định điều nhờ việc thiết lập tồn cấu
ϕ : Z(√−5) −→ Z5, với Z5 trường, mà kerϕ = I Để đưa ví dụ tiếp theo, trước
hết ta nhắc lại định nghĩa iđêan nguyên tố, iđêan tối đại
Định nghĩa : Cho X vành giao hốn có đơn vị
Inđêan ICX gọi iđêan nguyên tố xy∈I x∈I y∈I
(3)trong iđêan thật khác I (Nói cách khác có JCX mà J ⊃I
J =X J =I)
Về iđêan nguyên tố iđêan tối đại vành X giao hốn có đơn vị, cho định nghĩa khác tương đương, thể ví dụ sau
2 Ví dụ : Cho X vành giao hốn có đơn vị Chứng minh rằng, nếuICX : (a) I iđêan nguyên tố ⇔ vành thương X/I miền nguyên
(b) I iđêan tối đại ⇔X/I trường
Giải :
(a) Bởi XI vành giao hốn có đơn vị nên điều kiện định rút gọn sau :
I iđêan ngun tố ⇔XI khơng có ước của0
Thật : I iđêan nguyên tố ⇔ xy ∈ X x ∈ I y ∈ I ⇔
(x+I)(y+I) = xy+I = x+I = y+I = 0⇔ XI khơng có ước
(b) Tương tự nhận xét trên, XI vành giao hốn có đơn vị nên điều cần chứng minh rút gọn sau :
I iđêan tối đại⇔ phần tử a+I 6= khả nghịch Thật : I iđêan tối đại ⇔ ∀a /∈I iđêan
J =< I, a >=I+aX =X
⇔ ∀a /∈I :1∈I+aX
⇔ ∀a /∈I,∃b ∈X :1∈ab+I
⇔ ∀a+I 6= 0,∃b+I :(a+I)(b+I) = ab+I = +I
⇔ ∀a+I 6= khả nghịch (đpcm)
Các kết trongví dụ 2cho ta tiêu chuẩn kiểm tra iđêan tối đại hay nguyên tố thông qua việc xem xét vành thương theo chúng trường hay miền nguyên
3 Ví dụ : Cho tập ma trận nguyên cấp hai sau :
X =
m n n m
:m, n∈Z
và :
A=
m −m
−m m
:m ∈Z
Chứng minh rằngX vành giao hốn có đơn vị A iđêan nguyên tố vànhX
(4)Để kiểm tra X vành ta dùng tiêu chuẩn vành để kiểm tra
X ⊂v M2, đóM2 là vành ma trận thực cấp hai Đơn vị củaX làE =
0
∈
X Tính giao hốn phép nhân X kiểm tra trực tiếp Mọi tính tốn chi tiết phần nói xin dành cho độc giả
Ta kiểm traA CX :
• ∀
m −m
−m m
,
n −n
−n n
∈A:
m −m
−m m
−
n −n
−n n
=
(m−n) −(m−n)
−(m−n) (m−n) ∈A • ∀ m n n m
∈X, ∀
k −k
−k k
∈A
m n n m
k −k
−k k
=
k −k
−k k
m n n m
=
k(m−n) −k(m−n)
−k(m−n) k(m−n)
∈A
Vậy A iđêan
Việc kiểm tra A iđêan nguyên tố, ta tiến hành theo định nghĩa theo tiêu chuẩn có từ ví dụ
Nếu theo định nghĩa ta có :
• Cách : Nếu m n n m k l l k =
mk+nl ml+nk ml+nk mk+nl
∈A
thì
mk+nl=−(ml+nk)
⇔ mk+ml+nl+nk=
⇔ (m+m)(k+l) =
⇔ [ m+n =
k+l=
⇔ [ m =−n
k=−l
⇔ m n n m ∈A k l l k ∈A
Tức A iđêan nguyên tố
Nếu theo tiêu chuẩn từví dụ 2, ta cần kiểm tra XA miền ngun :
• Cách :
Hiển nhiênXAlà vành giao hốn có đơn vị Ta cịn phải kiểm traXA khơng có ước Để ý phần tử củaXcó thể viết dạng :
m+k −m
−m m+k
(5)nên phần tử củaXA viết dạng :
k 0 k
+A Vì :
k 0 k
+A l
0 l +A = ⇒ kl 0 kl ∈A
⇒kl =
⇒[ k =
l =
⇒
k 0 k
+A=
l 0 l
+A=
Vậy XA khơng có ước ; Do vậyA iđêan nguyên tố
4 Ví dụ : Cho tập ma trận cấp hai sau :
X =
a b b a
:a, b∈R
A = a a a a
:a∈R
Chứng minhX vành giao hốn có đơn vị (với phép tốn cộng nhân ma trận) A
là iđêan tối đại X
Giải :
Việc kiểm traX ⊂v M2 với M2 là vành ma trận thực cấp hai,X là vành giao hốn có
đơn vị E =
1 0
∈X xin giành cho độc giả Ta kiểm traA CX :
• ∀ a a a a , b b b b
∈A : a a a a − b b b b =
a−b a−b a−b a−b
∈A • ∀ a b b a
∈X, ∀
c c c c
∈A ta có : a b b a c c c c = c c c c a b b a =
c(a+b) c(a+b)
c(a+b) c(a+b)
(6)Vậy A iđêan
Để chứng minhAlà iđêan tối đại ta dùng định nghĩa NếuB CX, B 6=Avà B ⊃A
thì ta phải chứng minh B = X Vì B 6= A, tồn phần tử
c d d c
∈ B mà
c6=d VìB ⊃A nên phần tử
d d d d
∈A⊂B, :
c d d c
−
d d d d
=
c−d 0 c−d
∈B
(với c−d6= 0) VìB iđêan nên
c−d 0 c−d
1
c−d
0
c−d
∈B
hay
1 0
∈B, B =X Tức A tối đại
Nhận xét : Ta chứng minh A tối đại cách kiểm tra XA trường Để ý phần tử khác0 XA có dạng
a 0 a
+A với a6= ;
và có nghịch đảo
1
a
0
a
+A
BÀI TẬP
1 ChoX vành n số nguyên cho trước cho A ={x∈X :nx= 0} Chứng minh
ACX
2 Chứng minh vành giao hốn có đơn vị, iđêan tối đại iđêan nguyên tố
Chứng minh vành Zn vành số nguyên modul n, iđêan nguyên tố
là iđêan tối đại
3 Cho tập ma trận cấp hai sau :
X =
a 0 b
:a, b∈R
và
0
a
:a∈R
(7)
4 Cho vànhX =
m n n m
:m, n∈Z
trong ví dụ
A=
m 5n−m
5n−m m
:m, n∈Z
Chứng minh rằngAlà iđêan tối đại X Tìm tất iđêan tối đại X? Tìm tất iđêan nguyên tố không tối đại
X
5 Cho vành X =
a b b a
:a, b∈R