PT Luong giac

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác A... HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC[r]

(1)

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1 Phương trình lượng giác bản:sinx = a (1) a) Nếu |a|>1 phương trình (1) vơ nghiệm

b) Nếu | | 1a 

i/ Nếu a giá trị góc đặc biệt đặt a =sin ta có : sin sin

2

x k

x k Z

x k

 



  

  

   

  

 Chú ý :

2 sin sin

2 u v k

u v k Z

u v k



 

  

   

   

ii/ Nếu a giá trị khơng có góc đặc biệt sin arcsin

arcsin

x a k

x a

x a k



 

 



     



c) Các công thức nghiệm đặc biệt

1) sin ; sin 900 3600

2

x  x k  x  x k

2) sin 1 2 ; sin 1 900 3600

2

x  x  k  x  x k 3) sinx 0 x k ; sinx 0 x k1800



     

BÀI TẬP Giải phương trình :

1) sin 7) sin sin

2

2) 2sin 8) sin sin

3) 2sin( ) 9) sin cos

3

4) 2sin(2 ) 10) sin cos

6

5) 3sin(3 ) 11) sin(2 ) sin( )

4

6) 2sin( ) 12) sin(3 ) cos(2 )

3

x x x

 

  

  

   

    

    

      

      

2 Phương trình lượng giác bản: cosx=a (2) a) Nếu |a|>1 phương trình (2) vơ nghiệm

b) Nếu | | 1a 

i/ Nếu a giá trị góc đặc biệt đặt a=cos ta có :

cos cos 2

x k

x k Z

x k

 



 

  

   

 

 Chú ý:

2 cos cos

2 u v k

u v k Z

u v k

 

  

   

  

ii/ Nếu a khơng phải giá trị góc bặc biệt cos arccos

arccos

x a k

x a

x sa k

 

 



    



c) Công thức nghiệm đặc biệt:

a) cosx 1 x k2 ; cosx 1 x k3600



     

b) cosx 1 x k2 ; cosx 1 x 1800 k3600

 

       

c) cos ; cos 900 1800

2

(2)

BÀI TẬP: Giải phương trình :

1

1) cos 7) cos cos

2) cos 8) cos cos 3) cos( ) 9) cos sin

3

4) cos(2 ) 10) cos sin

5) 3cos(3 ) 11) cos(2 ) cos( )

4

6) cos( ) 12) cos(3 ) sin(2 )

3

x x x

 

  

  

   

    

    

      

      

3 Phương trình lương giác bảntanx=a (3)

a) Nếu a giá trị góc đặc biệt

Đặt a=tan ta có: tanx=tan  x  k Chú ý: tanutanvu v k  

b) Nếu a khơng giá trị góc đặc biệt tanx a  xarctana k 

4 Phương trình lượng giác cotx=a (4)) a) Nếu a giá trị góc đặc biệt

Đặt atan ta có : co x cot  t  x  k Chú ý: co u co vt  t u v k  

b) Nếu a không giá trị góc đặc biệt : cotx a xarcco a kt  

BÀI TẬP: Giải phương trình :

1) tan 5)cot

2

2) tan 6) cot(3 )

3

3) tan(3 ) 7)3cot(2 )

4

2

4) tan(2 ) 8) 4cot(2 )

3

x x



 

  

    

     

     

9) tan(3 ) tan 13) cot(2 ) cot( )

4 4

2

10) tan(2 ) tan( ) 14) cot( ) cot( )

3

5

11) tan( ) cot(2 ) 15) cot( ) tan(2 )

3 3

4

12) tan(3 ) cot( ) 16) cot(2 ) tan( )

3 6

x x x x

  

   

      

       

       

       0

BÀI TẬP NÂNG CAO

1) Giải phương trình sau:

1)2sin sin 8)sin cos

4

2)sin(2 ) 2cos( ) 9) cos cos

3

x x x x

x  x  x x

    

(3)

2

3)2sin( ) sin( ) 10)sin( ) cos( )

3

4) cos( ) sin(3 ) 11) cos( ) cos( )

2 3

2

5)sin (5 ) cos ( ) 12) tan tan

5

2

6) cot(3 ).tan( ) 13) tan tan(2 )

3

7) tan

x x x x

x

x x x

x

x x x

x x x x

x

   

  

 



  

       

       

    

     

2

.tan 3x1

2) Giải phương trình sau: a) sin(2x + )

4

π

= b) 2sinxcosx –3sinx = c)

1

cos cos sin

2 3

x x

sin    

d) cos(3x – 450) = - 1 e) sin4 x- cos4 x =

2 2 g) tan

x 

 

 

 

 

h) 2tanx2 =

1- tan x k) cos30

0cos3x – sin300sin3x =

4

l) 1- tanx = 1+ tanx HD: b) Viết lại pt: sinx(2cosx – 3) = sin

2cos

x

x k

x VN 

 

   

 

c) Áp dụng công thức cộng cho vế trái pt ta có pt là:

2π π

1 x = + 2arcsin + k4π

x

sin - =

4π

2

x = - 2arcsin + k4π

3

 

 

 

 

  



d) pt sin2 x+ cos2 x sin2 x- cos2 x cos 2

2 2 x x k

 

   

         

   

1

h) Áp dụng công thức cộng cho vế trái pt ta có pt là: t arctan

2

an x  x k

k) Áp dụng công thức cộng cho vế trái pt ta có pt là: cos(3x + 300) =

4

l) Áp dụng công thức cộng cho vế trái pt ta có pt là: t

an  x

 

3) Giải phương trình sau: a) sin(2x – 1) =

2

 với < x <



c) cos(x – 5) =

2

với -



ĐS: a) ;

2 12 12

x   x   ; b) x = 1170; c) 5 ;

3

x   x   ; d) x = 600; x = 300

4) Tìm giá trị tham số a cho phương trình:

3 cos

2 a x

a

 



có nghiệm

(4)

- Phương trình có nghiệm khi: 2a - 1 - a     a

II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1) Phương trình bậc

a) asin x + b = 0; b) acosx + b = 0; c) atanx + b = 0; d) acotx + b =

Cách giải:

- Chia hai vế cho a chuyển phương trình lượng giác

BÀI TẬP: Giải phương trình lượng giác sau :

1) 3sinx + = 0; 2) 2sinx – = 0; 3) cosx 1 4) 3cosx + = 5) tanx 3 6) 3cotx 0

2 Phương trình bậc hai hàm số lượng giác A Phương trình bậc hai hàm số sin

a) Dạng: asin2x + bsinx + c =

b) Cách giải: Đặt sinx = t đk | | 1t  ta có: at2 + bt + c =

BÀI TẬP: Giải phương trình sau :

1) 2sin2x + 3sinx + 1=0 2) sin2x + sinx – = 3) 2sin2x (2 3) sinx 3 0

   

4) 6- 4cos2x - 9sinx = 5) 4sin2x 2( 1)sinx 3 0

    6) sin23x - 2sin3x – =

7) sin2x + cos2x + sinx + = 8) 2sin2x + cos2 + sinx – = 9) cos2x + sinx + = 0

10) cos2x + 5sinx + = 11)cos2x + cos2x + sinx + = 12)

sin cos

6 x x

 

   

    

   

   

B Phương trình bậc hai hàm số cos

a) acos2x + bcosx + c =

b) Cách giải: Đặt cosx = t đk | | 1t  ta có : at2 + bt + c = 0

BÀI TẬP: Giải phương trình sau :

1) 3cos2x + 2cosx – = 2) 2sin2x + 5cosx + = 3)cos2 - 4cosx + 2,5 = 0

4) cos2 + cosx – = 5) 16 - 15sin2x - 8cosx = 6) 4sin22x + 8cos2x – = 0

7)5 4sin2 8cos2 4

2 x x

   8) 2cos2x + cosx – = 9)sin2x - 2cos2x + cos2x = 0

10)sin2x+cos2x+cosx=0 11)cos( ) cos(2 ) 0

3

x  x   

12>(1+tan2x)(cosx+2)-sin2x=cos2x

C Phương trình bậc hai đối hàm tan cot

a) Dạng: atan2x + btanx + c = acot2x + bcotx + c =

Đặt tanx = t; (cotx = )t ta có : at2 + bt + c = 0

BÀI TẬP:

1) Giải phương trình:

a) tan2x – tanx – = 0 b)

cot x (1 3) cotx 0 c) cot2 x 4cotx 0

d)

3

4 tan

cos x x 

a) cos2x – 5sinx – = b) 2tan4x – 3tan2x + = 0 c) 2sin3x – cos2x – sinx = 0

d) tanx + cotx = e) 2sin2x – (2 + 3)sinx + 3= g) 2sin2 2x

+ 4sin2x3 = 3cos2 2x

h) 2tan2x + = cosx

3

k) (3 + cotx)2 = 5(3 + cotx) l) sin4x = – cos4x

Hướng dẫn:

a) Áp dụng công thức: cos2x = – 2sin2x Viết lại phương trình: -2sin2x – 5sinx – = 0

(5)

c) Viết lại phương trình: 2sin3x + 2sin2x – sinx – = 0

d) Ta có tanx.cotx = tan t x

co x

 

h) Aùp dụng công thức tan x 12

cos x Lúc phương trình:   1

2

cos x cosx

Đặt t

cosx, điều kiện | | 1t  Phương trình viết lại: 2t2 – 3t + =

l) sin4x = – cos4x  sin4x = (1 – cos2x)(1 + cos2x)  sin2x(sin2x – – cos2x) = 0 sin

cos

x x

 

  



3 Phương trình bậc sin cos

(Nhắc lại công thức cộng: cosacosb + sinasinb = cos(a - b); sinacosb + sinbcosa = sin(a + b) a) Dạng phương trình: asinx + bcosx = c Điều kiện phương trình có nghiệm a2 + b2 c2

b) Cách giải:

- Chia hai vế cho a2b2 Đặt

2 2

a cosα

a b

b sinα

a b



 

 



 

 



- Lúc phương trình viết lại: 2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

a b  a b  a b

Bài tập:

1/ sinx cosx 2 / cosx sinx2 / sin 7x cos 7x / cosxsinx / 5cos 2x12sin 2x13 / 2sinx 5cosx4 / 3sinx5cosx4

a) sinx + 3cosx = b) cos3x – 3sin3x = c) 3sinx - 4cosx = -5

d) sin2x + sin2x =

2

e) 2sin17x – 3cos5x + sin5x =

Hướng dẫn:

d) Sử dụng công thức hạ bậc: sin2 cos

2 x x 

Ta phương trình: sin cos 2sin cos

2

x

x    x x

e) Viết lại phương trình: sin5x – 3cos5x = -2sin17x

Chia hai vế cho ta phương trình: 1sin 3cos5 sin17

2 x x x sin 5x sin( 17 )x



 

    

 

3) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

a) mcosx + (m – 1)sinx = m + b) sin

2 x

+ (m + 2) cos

2 x

= - m + cos

2 x

Hướng dẫn:

a) Điều kiện phương trình có nghiệm: m2 + (m – 1)2  (m + 1)2

4 m m

 

  



b) - Viết lại phương trình: sin

2 x

+ (m + 1) cos

2 x

(6)

- Điều kiện phương trình có nghiệm: + (m + 1)2  (3 – m)2

8 m

 

4 Phương trình bậc hai sin cos (hay phương trình đẳng cấp sin cos)

Dạng: asin2x + bcosxsinx + ccos2x = 0.

Cách giải: - Thử cosx = xem có phải nghiệm hay không - Với cosx



- Phương trình viết lại: atan2x + btanx + c = 0

Chú ý: asin2x + bcosxsinx + ccos2x = d chia hai vế cho cos2x đại lượng





2 tan

cos d

d x

x 

BÀI TẬP:

2 2

1 2sin (1 3)sin cos (1 3) cos 3cos sin cos 5sin

3 2sin 4sin cos 4cos cos 6sin cos 3

5 2sin sin cos cos 4sin 3 sin 2cos

x x x x x x x x

x x x x x x x

         

        

        





2 2

7 2sin 3cos 5sin cos sin 8sin cos cos

9 sin 2sin cos cos 10 sin sin cos cos

x x x x x x x x

      

        

2

11 3sin x5cos x 2cos 2x 4sin 2x0

2

12 2sin x6sin cosx x2(1 3) cos x 5 30

a) sin2x – 2sinxcosx – 3cos2x = 0 b) cos2x – sinxcosx – 6sin2x + = 0

c) 3sin2

2 3x

+ 4sin3x + 4cos2

2 3x

= d) 4cos2x + 3 3sin2x – 2sin2x = 4

Hướng dẫn:

b) -Viết lại phương trình: cos2x – sinxcosx – 6sin2x + 2(sin2x + cos2x) = 0

- Phương trình là: 3cos2x – sinxcosx – 4sin2x = 0

d) -Viết lại phương trình: 4cos2x + 6 3sinxcosx – 2sin2x = 4(sin2x + cos2x)

- Phương trình là: 6sin2x – 6 3sinxcosx = 0

a) 2sin3x +2sin2xcosx – sinxcos2x - cos3x = 0 b) sin2x + cotgx = 3

HD:a) - Thử với cosx = phương trình vô nghiệm

- Với cosx 0 Chia hai vế cho cos3x ta phương trình là: 2tan3x + 2tan2x – tanx – =

b) - Viết lại phương trình: 2sinxcosx + cos sin x

x - = - Điều kiện sinx0ta có phương trình là:

- 2sin2xcosx + cosx – 3sinx = 0

- Thử với cosx = phương trình vơ nghiệm

- Với cosx 0 Chia hai vế pt cho cos3x ta pt là: 2tan2x + (1 + tan2x) – 3tanx(1 + tan2) =

III MỘT SỐ DẠNG KHÁC 1) Giải phương trình:

a) cos7xsin6x = cos5xsin8x b) sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x

c) sinx = 2sin5x – cosx d) sin7x + cos4x =

Hướng dẫn:

a) Áp cơng thức biến đổi tích thành tổng ta được:

1









2 x x x x x x x x

(7)

3 sin sin( )

3 2

x x k

x x x k

x x k

 

 



      

  



b) (sin3x + sinx) + sin2x = (cos3x + cosx) + cos2x c) sinx + cosx = 2sin5x

d) sin7x = - cos4x = sin2x(1 + cos2x)

a) cos4 sin23 2sin25 cos2

3

x x x x

   b) cos2x + 4sin4x = 8cos6x

c) + 2sinxsin3x = 3cos2x d) (2sinx – 1)(2sin2x +1) = – 4cos2x

HD:

a) Hạ bậc: cos4 sin2 1 cos5 cos2 0

3

x x x x

    

b) pt viết lại: cos2x + 4(sin2x)2 = 8(cos2x)3 áp dụng công thức hạ bậc

c) pt viết lại: + 2sinxsin3x = 3(1 – 2sin2x)

d) Vế phải: – 4cos2x = – 4(1 – sin2x) = (2sinx -1)(2sinx + 1)

3) Giải phương trình: a) sin cos cos

1 sin x

x x

x

 

 b)

3

sin 10sin

2 x  x

c) sin5x + sinx + 2sin2x = 1 d) sin2x + sin22x = cos23x + cos24x

e) sinxsin2x + cos2 x= sin4xsin5x + cos24x g) sinx + sin2x + sin3x = + cosx + cos2x

HD:

a) Điều kiện: - sin2x 0 PT



x

 

x



x

b) Đặt t = sin2x   1 t Đưa phương trình theo ẩn t

c) pt viết lại: sin5x + sinx = - 2sin2x

d) Hạ bậc, sử dụng công thức cộng

e) Hạ bậc áp dụng cơng thức biến tích thành tổng g) sin2x + (sin3x + sinx) = cosx + (cos2x + 1)

a) 3(cosx + sinx) + 2sin2x + = b) 2(sin5x4 + cos5x4 ) + sin5x2 + = c) sin7x + cos7x = - sin14x d) sinx – cosx + 4sinxcosx + =

e) cosx – sinx –2sin2x = g) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 =

HD: a) Đặt t = sinx + cosx

2 1

sin cos , 2

2 t

x x  t

    

e) Đặt t = sinx – cosx sin cos 2, 2

t

x x  t

    

5) Giải phương trình: a) sin3x + cos3x =

2

b) sin3x + cos3x = 2(sinx + cosx) – 1

6) Chứng minh phương trình: (sinx + 3cosx)sin4x = vô nghiệm

HD: (sinx + 3cosx)sin4x = 2 1sin 3cos sin

2 x x x

 

    

(8)

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1 Hàm số sin

sin :

sin

x y x

 

 



2 Hàm số cos

cos :

cos

x y x

 

 



3 Hàm số tan

tan :

tan D

x y x

   

4 Hàm số cot

t :

t co D

x y co x

   

Một số tính chất của hàm số y = sinx

a) Tập xác định D

b) Tập giá trị:





d) Hàm số tuần hoàn vớichu kỳ 2

Một số tính chất của hàm số y = cosx

a) Tập xác định D

b Tập giá trị:





Một số tính chất của hàm số y = tanx

a) Tập xác định

\ ,

2

D  k k  

 

 

b) Tập giá trị hàm số R c) Là hàm số lẻ

d) Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 

Một số tính chất của hàm số y = cotx

a) Tập xác định





\ , D k k 

b) Tập giá trị hàm số R c) Là hàm số lẻ

d) Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 

BÀI TẬP

1) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau:

1/ cot(2 )

4

y x  / tan(3 )

3

y x  3/ cot

cos x y x   sin / cos x y x  

 / tan3

x

y / sin 21

1 y

x





7 /y cos x / 2 2

sin cos y x x  

9 / cot( ) tan(2 )

3

y x   x 

1 10 / 2sin y x   11/ cot y x   sin 12 /

4 5cos 2sin

x y

x x



 

1/y 2 3cosx /y 3 4sin2xcos2 x

2

1 cos 3/

3 x y 

2

4 /y2sin x cos 2x /y 3 | sin |x 6 /y3 sin x1

a) y = sin2x – 3cos2x + b) y =

2 cosx sinx sinx    Hướng dẫn:

a) - Viết lại hàm số: sin2x – 3cos2x = y – (1)

- Nếu hàm số đạt GTLN, GTNN x0 x0 nghiệm phương trình (1)

- Phương trình (1) có nghiệm khi: + (y – 5)25 10  y 10

- GTLN maxy = 5 10 ; GTNN miny = 5 10

b) - Viết lại hàm số y(sinx cosx 2) sinx 2     (1 - y)sinx - ycosx = 2(y - 1)(2) - Nếu hàm số đạt GTLN, GTNN x0 x0 nghiệm phương trình (2)

- Phương trình (1) có nghiệm khi: (1 – y)2 + y2 [2(y – 1)]2 3 3

2 y

 

  

- GTLN maxy = 3



; GTNN miny = 3