Một số mô hình được mô tả bởi phương trình vi phân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— VŨ VĂN KẾ MỘT SỐ MƠ HÌNH ĐƯỢC MƠ TẢ BỞI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Giáo viên hướng dẫn: Lê Hải Trung Đà Nẵng, 01/2019 Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Kiến thức sở 1.1 Một số khái niệm 6 1.1.1 1.1.2 1.2 Phương trình vi phân thường Cấp phương trình vi phân 6 Phân loại phương trình vi phân 1.2.1 Phương trình tuyến tính 7 1.2.2 1.2.3 Phương trình vi phân cấp Phương trình cấp 1.2.4 Phương trình vi phân tồn phần 1.2.5 1.2.6 Phương trình tuyết tính cấp mơt Phương trình tuyến tính với hệ số 12 14 1.2.7 Phương trình khơng nhất.Phương pháp hệ số bất định 15 Một số mơ hình đươc mơ tả phương trình vi phân 18 2.1 Một số mơ hình kinh tế cổ điển 18 2.2 2.1.1 Mô hình tăng trưởng Solow Một số mơ hình vật lý ,cơ học ,kỹ thuật 18 21 2.2.1 2.2.2 Định luật thứ Newton chuyển động Phương trình dao động lắc 21 23 2.2.3 Mô hình chuyển động lị xo 24 2.3 2.2.4 Phương trình chuyển động hành tinh hệ mặt 2.2.5 trời Phương trình vi phân cho mạch điện 27 27 2.2.6 Phương trình phóng xạ Một số mơ hình sinh thái học quần thể 30 30 2.3.1 2.3.2 30 33 Mơ hình gia tăng dân số Mơ hình thú-mồi Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Lời cảm ơn Lời em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy Lê Hải Trung, người định hướng nghiên cứu, hướng dẫn em tận tình, giúp đỡ e tài liệu nghiên cứu động viên em có nghị lực hồn thành đề tài Trong trình làm đề tài em nhận giúp đỡ thầy cô khoa Tốn, đặc biệt thầy tổ mơn giải tích, thư viện trường đại học sư phạm - ĐHĐN, bạn sinh viên lớp 15ST khoa Tốn Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên quý thầy cô, bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành đề tài Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn giúp đỡ quý báu nói Lời nói đầu Sự phát triển tốn học có bước thăng trầm thời điểm lịch sử, song kết mà đạt rực rỡ vào kỷ XX, phát triển ngành Giải tích tốn học Với đời ngành Giải tích tốn học, đăc biệt giải tích hàm tốn thực tế sống, vật lý, khoa học, kĩ thuật, giải nhanh gọn xác Ngành Giải tích toán học nghiên cứu nhiều lĩnh vực như: lớp hàm liên tục, khả vi, khả tích, phương trình vi phân Mỗi lĩnh vực có quan trọng riêng nghiên cứu ứng dụng Trong phương trình vi phân phần giải tích Có thể nghiên cứu phần để thấy hay môn học thực tế mơn khoa học khác phương trình vi phân có nhiều mơ hình ứng dụng : giải toán dao động, lắc đơn, định lý Newton Xuất phát từ nhận thức lòng ham mê môn học, em mạnh dạn chọn đề tài "Một số mơ hình mơ tả phương trình vi phân" để thực khóa luận Chương Kiến thức sở 1.1 1.1.1 Một số khái niệm Phương trình vi phân thường Định ngĩa 1.1.1.1 Một phương trình vi phân thường có dạng tổng qt: F (x, y, y , , y (n) ) = y = y(x), y , y , , y (n) đạo hàm cấp 1, 2, , n tương ứng Ví dụ 1.1.1.1 Phương trình: y + (2x + 1)y = x2 phương trình vi phân thường 1.1.2 Cấp phương trình vi phân Định ngĩa 1.1.2.1 Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm xuất phương trình Ví dụ 1.1.2.1 Xét phương trình y + 2y + y = phương trình vi phân cấp 1.2 1.2.1 Phân loại phương trình vi phân Phương trình tuyến tính Định nghĩa 1.2.1.1 Một phương trình vi phân thường cấp n gọi tuyến tính viết dạng dn (y) dy dn−1 (y) b0 (x) + b (x) + + b (x) + bn (x)y = R(x) n−1 d(xn ) dxn−1 dx Ví dụ 1.2.1.1 Phương trình: y + 3xy = x phương trình tuyến tính 1.2.2 Phương trình vi phân cấp Định nghĩa 1.2.2.1 Phương trình vi phân cấp có dạng tổng quát: F (x, y, y ) = (1.1) Trong hàm F xác định miền D⊂ R3 Hoăc từ (1.1) ta giải y = f (x, y) ta phương trình vi phân cấp giải đạo hàm Ta viết phương trình vi phân giải đạo hàm dạng đối xứng M (x, y)dx + N (x, y)dy = Để giải phương trình (1.1) ta dùng phương pháp tách biến để đưa phương trình dạng: A(x)dx + B(y)dy = (1.2) A(x) B(y) hàm phụ thuộc vào x y -Tích phân hai vế phương trình (1.2) ta tích phân tổng qt phương trình (1.1) A(x)dx+ B(y)dx=C Ví dụ 1.2.2.2 Giải phương trình 2y 2x dx + dy = x2 + y2 + Ta có tích phân tổng qt 2x dx + x2 + 2y dy = C y2 + hay ln(x2 + 1) + ln(y + 1) = C (C>0) (x2 + 1)(y + 1) = eC nghiệm tổng quát phương trình cho 1.2.3 Phương trình cấp Định nghĩa 1.2.3.1 Hàm f (x, y) gọi bậc k ∈ Z+ ∀t > f (tx, ty) = tk f (x, y) Định nghĩa 1.2.3.2 Phương trình M (x, y)dx + N (x, y)dy = (1.3) gọi phương trình vi phân M (x, y) N (x, y) hàm bậc Để giải phương trình (1.3) ta đưa phương trình dạng: dy y + g( ) = dx x (1.4) -Đặt y = ux, phương trình (1.4) trở thành x du + u + g(u) = dx (1.5) - Giải (1.5) phương pháp tách biến Ví dụ 1.2.3.1 Giải phương trình: (x2 + y )dx + xydy = Ta viết lại phương trình cho dạng: x2 + y x y dy =− =− − dx xy y x dễ thấy vế phải phương trình nhận nhất, đặt y = xu ta nhận đucợ phương trình: dx udu =− x 2u + Tích phân hai vế phương trình cho ta: ln Thay u = x = − ln(2u2 + 1) C y nhận nghiệm phương trình đầu là: x x4 = 1.2.4 C x2 ,C = x2 + 2y Phương trình vi phân tồn phần Định nghĩa 1.2.4.1 Phương trình P (x, y)dx + Q(x, y)dy = (1.6) gọi phương trình vi phân toàn phần tồn hàm F (x, y) khả vi cho: dF (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy Để giải phương trình (1.6) ta tiến hành ∂f ∂f Xác định = P =Q ∂x ∂y Từ hai phương trình ta tìm F cho F thỏa mãn phương trình cịn lại ta tìm nghiệm tổng quát phương trình (1.6) F (x, y) = C Định lý 1.2.4.1 (Dấu hiệu nhận biết phương trình vi phân tồn phần) Để cho phương trình (1.6) điều kiện cần đủ là: ∂Q ∂P = ∂y ∂x Chứng minh Điều kiện cần Giả sử phương trình (1.6) hàm P (x, y), Q(x, y) cho hình chữ nhật J1 ⊗ J2 , J1 , J2 đoạn R ∂P ∂Q liên tục với đạo hàm riêng Vì (1.6) toàn phần nên: ∂y ∂x ∂F ∂F = P (x, y); = Q(x, y) ∂x ∂y Mặt khác: ∂P ∂ F ∂Q ∂ 2F = ; = ∂y ∂y∂x ∂y ∂x∂y Đến áp dụng định lý Schwarz đạo hàm hỗn hợp ∂P ∂Q cho hai biến ta có = ((x, y) ∈ J1 ⊗ J2 ) ∂y ∂x Điều kiện đủ y Từ Q(x, y) = Fy ta có: F (x, y) = Q(x, ξ)dξ + C(x) Lấy đạo hàm theo y0 x biểu thức nhận cho ta: y ∂ ∂F = ∂x ∂x Q(x, ξ)dξ + C (x) = P (x, y) y0 Từ đâu ta có: 10 Với nghiệm λ = 0, λ = −1 Hệ nghiệm (2.6) 1, e−t Nghiệm riêng (2.5): y(t) = A, y = 0, y = thay vào (2.5) ta A=1 Vậy nghiệm tổng quát (2.5) là: y(t) = C1 + C2 e−x + 2.2.2 Phương trình dao động lắc Xét dao động lắc đơn Giả sử lắc có độ dài L khối lượng trục bỏ qua khối lượng lắc m Gọi θ góc tạo lắc phương thẳng đứng Khi lắc Wt = mgL(1 − cos θ) Nếu trục đứng đặt gốc tọa độ góc θ, tọa độ trọng tâm lắc X = (x, y) = [L sin θ, L(cos θ − 1)] Khi dx dy dθ dθ dX = ( , ) = (L cos θ , −L sin θ ) dt dt dt dt dt động lắc là: dX dx dy Wd = m| | = m[( )2 + ( )2 ] = dt dt dt dθ dθ dθ m[L2 cos2 θ( )2 + L2 sin2 θ( )2 ] = mL2 ( )2 dt dt dt Do định luật bảo toàn lắc nên ta có dθ E = mL2 ( )2 + mgL(1 − cos θ) dt E số nên lấy đạo hàm hai vế ta thu dθ d2 θ dθ = mL ( )( ) + mgL sin θ dt dt dt 23 Chia hai vế phương trình cho L ta nhận phương trình dao động lắc d2 θ mg m =− sin θ dt L Khi dao động dao động nhỏ, tức θ nhỏ, ta xấp xỉ sin θ θ nhận phương trình tuyến tính mg d2 θ θ m =− dt L Đặt ω = g ta viết lại phương trình dạng L d2 θ = −ω θ dt Đây phương trình dao động vật dao động điều hịa Nếu tính lực cản khơng khí từ định luật thứ hai Newton, ta suy phương trình dao động tắt dần lắc d2 θ dθ = −k − ω sin θ dt dt 2.2.3 Mơ hình chuyển động lò xo Xét hệ lò xo gồm vật nặng có khối lượng m treo cân lị xo nằm ngang có độ cứng k Định luật Hooke cho biết lò xo bị kéo dãn (hoặc nén) độ dài x so với trạng thái tự nhiên sinh lực tỉ lệ thuận với x F = −kx Dấu trừ biểu thức thể hướng lực sinh ngược chiều với độ dãn Nếu bỏ qua ngoại lực (ma sát lực cản khơng khí) theo định luật II Newton, gia tốc vật tỉ lệ thuận với lực tác dụng lên vật tỉ lệ nghịch với khối lượng, hay F = ma Biết gia tốc đạo hàm vận tốc, hay đạo hàm bậc hai độ dời: d2 x m = −kx dt 24 Đây ví dụ phương trình vi phân bậc hai có tồn đạo hàm cấp hai Phương trình viết lại thành: d2 x k = − x = −ω x, ω = dt m k m Phương trình cho thấy đạo hàm cấp hai x tỉ lệ thuận với x trái dấu Có thể nghĩ đến hai hàm có tính chất hàm sin cos Thực tế, nghiệm phương trình kết hợp hai hàm chuyển động vật hệ lị xo dao động điều hịa xung quanh vị trí cân Tương tự trên, phương trình điều kiện lý tưởng khơng có lực cản hay ngoại lực Một số lực tác động kể đến là: a/ Trọng lực P : Trong trường hợp lò xo nằm ngang, trọng lực tác dụng vng góc với mặt sàn cân với lực nâng mặt sàn, ta khơng để ý tới trọng lực Tuy nhiên, treo vật lò xo thẳng đứng (vật trên), hay mặt sàn nghiêng, trọng lực tác động nhiều đến chuyển động lị xo P = mg g gia tốc trọng trường Gia tốc trọng trường khác biệt nơi khác Trái Đất, thông dụng g = 9.8m/s2 g = 10m/s2 b/ Lực cản Fd : Lực cản tiếng kể đến lực ma sát lực cản gió Nhìn chung, lực cản có cơng thức: Fd = −µx Trong µ hệ số cản (µ > 0) Dấu trừ cho thấy lực cản ngược chiều với x hay vận tốc vật, nói cách khác ngược chiều chuyển động vật c/ Ngoại lực F (t): lực tác dụng lên vật gọi chung ngoại lực Xét hệ lò xo thẳng đứng, chiều dương hướng xuống Lúc treo vật, không tác dụng lực vật nặng chịu tác dụng trọng lực hướng xuống dưới, lị xo có biến dạng ban đầu k∆l = mg Tại thời điểm t từ lúc lị xo bắt đầu dao động, độ dời vật nặng so với vị trí cân x Vật nặng lúc chịu lực đàn hồi: Fk = −k(∆l + x) 25 Xét vật nặng chịu tác dụng P, Fk , Fd , F (t) có gia tốc x , ta có: mx = P + Fk + Fd + F (t) = mg − k(∆l + x) − µx + F (t) Từ ta rút phương trình vi phân mơ tả chuyển động hệ lị xo này: m d2 x dx + µ + kx = F (t) dt2 dt Cùng với đó, ta có điều kiện đầu: x(0) = x0 , x (0) = v0 độ dời vận tốc ban đầu Ví dụ 2.2.3.1 Một lắc lị xo có khối lượng 2kg có độ dài tự nhiên 0,5m Một lực 25,6N cần thết để trì kéo dài lị xo đến độ dài 0,7m Nếu lò xo kéo dài đến độ dài 0,7m sau thả với vận tốc ban đầu 0, tìm vị trí vật thời điểm t Lời giải Từ định luật Hooke lực cần thiết để kéo lò xo k(0, 2) = 25, nên k = 128 Sử dụng giá trị k với m = 0, ta có phương trình vi phân sau: d2 x 2 + 128x = dt Như trình bày chung gần nghiệm phương trình là: x(t) = C1 cos 8t + C2 sin8t (2.7) Chúng ta có điều kiện đầu x(0) = 0, Nhưng từ phương trình (2.7) , x(0) = C1 Vì C1 = 0, Đạo hàm vế phương trình (2.7) ta x (t) = −8C1 sin 8t + 8C2 cos 8t Bởi vận tốc ban đầu x (0) = nên C2 = x(t) = 26 cos 8t 2.2.4 Phương trình chuyển động hành tinh hệ mặt trời Xét chuyển động hành tinh xung quanh mặt trời Giả sử mặt trời cố định gốc tọa độ R3 hành tinh tương đối nhỏ cho lực tác động lên mặt trời không đáng kể Mặt trời gây lực tác động lên hành tinh tuân theo định luật hấp dẫn Newton, tức mặt trời gây Gms mp , lực lên hành tinh vị trí x ∈ R3 theo hướng mặt trời, có độ lớn r2 ms khối lượng mặt trời, mp khối lượng hành tinh, G số hấp dẫn, r khoảng cách mặt trời hành tinh Áp dụng định luật thứ hai Newton ta có d2 x x mp = −Gms mp dt r Để đơn giản, ta đổi đơn vị cho số nhận phương trình vi phân x d2 x = F (x) = − (2.8) dt2 r3 hay viết dạng hệ cấp tương đương  dx   =v dt   dv = − x dt r3 Hệ gọi hệ lực xuyên tâm Newton 2.2.5 Phương trình vi phân cho mạch điện Xét mạch điện điện trở R,một cuộn cảm L, tụ điện C mắc nối tiếp Trong mạch ta cho dòng điện chạy qua Nếu điện dung tụ điện thời điểm t Q = Q(t) dịng điện tốc độ thay đổi Q theo t: I = dQ/dt Khi hiệu điện tương ứng điện trở , cuộn cảm tụ điện tương ứng : RI, LdI/dt, Q/C Định luật kirchhoff nói tổng hiệu điện điện áp cung cấp dI Q L + RI + = E(t) (2.9) dt C 27 Vì I = dQ/dt nên phương trình trở thành: d2 Q dQ L +R + Q = E(t) dt dt C phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số số Nếu điện dung Q0 dòng điện I0 giá trị t = có điều kiện đầu Q(0) = Q0 , Q (0) = I(0) = I0 Phương trình vi phân dịng điện nhận cách đạo hàm phương trình (2.9) theo t: L dI d2 I + R + I = E (t) dt2 dt C Ví dụ Tính điện dung dịng điện thời điểm t mạch điện R-L-C nối tiếp R = 40Ω, L = 1H, C = 16.10−4 F, E(t) = 100 cos 10t điện dung với dòng điện ban đầu Lời giải Với giá trij cho R, L, C, E(t) ta có phương trình sau: dQ d2 Q + 625Q = 100 cos 10t L + 40 dt dt Phương trình đặc trưng phương trình là: r2 + 40r + 625 = có nghiệm r1 = −20 + 15i, r2 = −20 − 15i Vì nghiệm phương trình là: Qc (t) = e−20t (C1 cos 15t + C2 sin 15t) Chúng ta tìm nghiệm riêng dạng: Qr (t) = A cos 15t + B sin 15t 28 (2.10) Khi Qr (t) = −15A sin 15t + 15B cos 15t Qr (t) = −225A cos 15t − 225B sin 15t  A=84/697 Thay vào phương trình (5.2) ta tìm được: B=64/697 Vì nghiệm riêng là: Qr (t) = (84 cos 15t + 64 sin 15t) 697 Và nghiệm tổng quát là: (84 cos 15t + 64 sin 15t) + e−20t (C1 cos 15t + C2 sin 15t) Q(t) = 697 Áp dụng điều kiện Q(0) = 0, ta nhận Q(0) = C1 + 84 =0 697 nên 84 697 Để áp dụng điều kiện khác ta đạo hàm để tìm dòng điện dQ 15 I= = (−84 sin 15t + 64 cos 15t) + e−20t [(−20C1 + 15C2 ) cos 15t + dt 697 (−15C1 − 20C2 ) sin 15t] C1 = − Vì I0 = nên ta có: I(0) = −20C1 + 15C2 + 960 =0 697 nên C2 = − 464 2091 Vì cơng thức điện dung là: Q(t) = [(21 cos 15t + 16 sin 15t) − e−20t (63 cos 15t + 116 sin 15t)] 697 biểu thức cho dòng điện I(t) = 1306 [120(−21 sin 15t + 16 cos 15t) + e−20t (−1920 cos 15t + sin 15t)] 2091 100 29 2.2.6 Phương trình phóng xạ Thực nghiệm chất phóng xạ, chẳng hạn uranium, tốc độ phóng xạ tỉ lệ với khối lượng y(t) thời điểm xét Ta viết cơng thức để tính khối lượng thời điểm cách giải phương trình sau: y (t) = ky(t) Giải phương trình vi phân ta được: y(t) = Cekt Ví dụ Chu kì bán rã radium 1600 năm, điều có nghĩa 1600 năm khối lượng radium giảm nửa Nếu ban đầu mẫu radium có khối lượng 50 gram sau khối lượng 45 gram? Lời giải Gọi y(t) khối lượng radium sau khoảng thời gian t (năm) Ta biết y (t) = ky(t) (k số) Giải phương trình ta được: y(t) = Cekt Ta có y(0) = 50 y(1600) = 25 ta tìm c = 50, k = Vậy sau t = 2.3 ln(y/50) ln(45/50) = ≈ 243.2 (năm) k k −ln2 1600 Một số mơ hình sinh thái học quần thể 2.3.1 Mơ hình gia tăng dân số Một mơ hình gia tăng dân số xây dựng dựa giả thiết tốc độ gia tăng dân số quần thể (người, động vật, vi khuẩn, ) tỉ lệ thuận 30 với kích thước quần thể Giả thiết chấp nhận điều kiện lý tưởng (mơi trường thuận lợi, đầy đủ dinh dưỡng, khơng có loài nguy hiểm, miễn nhiễm với dịch bệnh, ) Tại thời điểm t, số lượng cá thể (hay dân số) quần thể P (t) Tốc độ gia tăng dân số theo thời gian đo P (t) hay dP/dt Giả thiết biểu diễn dạng: P (t) = kP (t) hay dP = kP dt Trong đó, k số Nếu k > 0, dân số tăng theo thời gian Nếu k < 0, dân số giảm theo thời gian Phương trình mơ hình cho tăng trưởng dân số quần thể, phương trình vi phân có chứa hàm chưa biết P (t) đạo hàm dP/dt Nghiệm phương trình cho sau (cách giải bàn phía sau): P (t) = Cekt Với C số Ta kiểm nghiệm điều này: P (t) = (Cekt ) = Ckekt = kP (t) Có thể thấy nghiệm phương trình vi phân họ phương trình Trong trường hợp này, ta quan tâm tới phương trình có P (t) > 0, ∀t tức C > Ngoài ra, ta quan tâm khoảng thời gian sau thời điểm ban đầu, tức miền t ≥ Tại thời điểm ban đầu t = 0, số lượng cá thể P (0) = C Vậy C kích thước ban đầu quần thể Như nói, phương trình phù hợp điều kiện lý tưởng Tuy nhiên, xây dựng số phương trình khác phù hợp với thực tế a/ Nếu tính đến yếu tố di trú, giả sử tốc độ di trú số m, mơ hình hiệu chỉnh thành: dP = kP − m dt b/ Ngoài ra, nguồn tài ngun mơi trường sống có hạn, đồng nghĩa với việc môi trường đủ nuôi dưỡng quần thể có dân số tối đa M , 31 hay gọi mức bão hòa dân số Để mơ hình thể xu hướng tăng trưởng giảm dần gần tới M , ta đặt hai giả thiết: (1) dP/dt ≈ kP với P đủ nhỏ (ban đầu, tốc độ tăng trưởng tỉ lệ với P ) (2) dP/dt < P > M (dân số giảm dần vượt mức bão hòa) Một cách biểu diễn kết hợp hai giả thiết là: P dP = kP (1 − ) dt M Có thể thấy, P nhỏ (so với M ) ta bỏ qua P/M nên dP/dt ≈ kP Nếu P > M − P/M cho giá trị âm dP/dt < Phương trình gọi phương trình vi phân logistic, hay mơ hình logistic Để ý thấy P (t) = P (t) = M nghiệm phương trình Điều hợp với thực tế dân số ln mức bão hịa giữ ngun trạng thái Hai nghiệm gọi nghiệm cân c/ Ngược lại, số lồi có mức dân tối thiểu m để trì nịi giống Nếu tụt xuống mức giống lồi đến bờ diệt chủng Tương tự trên, ta có mơ hình: P m dP = kP (1 − )(1 − ) dt M P Ví dụ Giả sử lượng cá sấu ban đầu 100 con.Tỉ lệ chết δ = 0(khơng có cá sấu chết) Nếu tỉ lệ sinh β = 0, 0005P (tức lượng cá sấu tăng) Hỏi sau năm lượng cá sấu bao nhiêu? Lời giải: Ta có phương trình: dP = 0, 0005P , P (0) = 100 (với t tính theo năm ) dt Theo phương pháp tích phân tách biến ta có: dP = 0, 0005dt P2 ⇒ − = 0, 0005t + C P 32 Thế t = 0, P = 100 ta c = −1/100 ta nhận được: P (t) = 2000 20 − t 2000 cá thể Ta thấy năm sau số lượng cá sấu 19 Ta nhận thấy P → ∞ t → 20 xảy vấn đề "bùng nổ dân số" xuất 20 năm 2.3.2 Mơ hình thú-mồi Trong mục xem xét mơ hình thực tế xem xét tương tác hai lồi mơi trường sống Chúng ta thấy mơ hình tạo cặp phương trình vi phân có mối liên kết Trước tiên xem xét tình lồi, gọi mồi (prey), có nguồn cung cấp thực phẩm dồi loài thứ hai, gọi kẻ săn mồi (predators), ăn mồi Ví dụ mồi kẻ thù bao gồm thỏ sói khu rừng hẻo lánh, cá thực phẩm cá mập, rệp bọ rùa, vi khuẩn amip Mơ hình có hai biến phụ thuộc hai hàm thời gian Chúng ta giả sử R(t) số mồi (Rabbits: thỏ) W(t) số lượng động vật ăn thịt (Wolves: sói) thời điểm t Trong vắng mặt kẻ săn mồi, nguồn cung lương thực dồi hỗ trợ tăng trưởng theo số mũ mồi, dR/dt = kR, k số dương Trong vắng mặt mồi, giả thiết quần thể săn mồi giảm theo tỷ lệ thuận với số lượng chúng, tức dW/dt = -rW, r số dương Tuy nhiên, với diện hai loài, giả thiết nguyên nhân gây tử vong mồi bị kẻ săn mồi ăn thịt, tốc độ sinh tồn kẻ săn mồi phụ thuộc vào nguồn thức ăn sẵn có mình, cụ thể mồi Chúng ta giả định khả hai loài chạm trán tỷ lệ thuận với hai quần thể tỷ lệ thuận với tích RW (Số lượng hai quần thể nhiều tăng khả chạm trán.) Một hệ hai phương trình vi phân kết hợp giả thiết 33 có dạng sau: dR dW = kR − aW R, = −rW + bRW dt dt (2.11) k, r, a b số dương Chú ý hạng thức - aRW làm giảm tăng trưởng tự nhiên mồi hạng thức bRW làm tăng tăng trưởng tự nhiên kẻ săn mồi Hai phương trình (2.11) biết hệ săn mồi, hệ Lotka-Volterra Nghiệm hệ cặp hàm R(t) W(t) mô tả quần thể mồi kẻ săn mồi hàm thời gian Bởi hệ cặp hai phương trình xảy đồng thời nên giải đến mà phải giải chúng đồng thời Thật không may, thường khơng thể tìm thấy cơng thức tường minh cho R W hàm t Tuy nhiên, sử dụng phương pháp đồ họa để phân tích phương trình Ví dụ Giả sử quần thể thỏ sói mơ tả theo phương trình LotkaVolterra với k = 0.08, a = 0.001, r = 0.02 b = 0.00002 Thời gian t đo theo tháng (a) Tìm nghiệm số (được gọi nghiệm cân bằng) giải thích kết (b) Sử dụng hệ thống phương trình vi phân để tìm biểu thức dW/dR Lời giải: (a) Với giá trị cho, phương trình Lotka-Volterra trở thành: dR = 0, 08R − 0, 001RW dt dW = −0, 02W + 0, 00002RW dt Cả R W số hai đạo hàm 0, tức là: dR = R(0, 08 − 0, 001W ) = dt dW = W (−0, 02 + 0, 00002R) = dt Một nghiệm R = W = (Nghĩa là, thỏ sói quần thể khơng tăng) Một nghiệm số khác là: 34 W = 0, 08 0, 02 = 80 R = = 1000 0, 001 0, 00002 Vì quần thể cân gồm 80 sói 1000 thỏ Nghĩa 1000 thỏ đủ để trì cân với 80 sói Khơng q nhiều sói (làm thỏ đi) khơng q sói (làm thỏ nhiều lên) (b) Chúng ta sử dụng quy tắc dây chuyền để khử t: dW dR dW = dt dR dt nên dW dW/dt W (−0, 02 + 0, 00002R) = = dR dR/dt R(0, 08 − 0, 001W ) 35 Kết luận Phương trình vi phân kiến thức giải tích tốn học Có nhiều mơ hình ứng dụng kinh tế, vật lý, sinh học , coi cầu nối lý thuyết thực tế Trong khả điều kiện cho phép, bước đầu đề tài giải vấn đề đặt ra, trình bày số kí hiệu kiến thức liên quan từ nêu tốn dẫn đến phương trình vi phân Em hi vọng vấn đề trình bày đề tài nhận quan tâm từ phía thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Đồng thời em mong đề tài nhỏ giúp ích phần cho bạn sinh viên khoa Toán trường đại học sư phạm -ĐHĐN Cuối cùng, có nhiều cố gắng cịn nhiều hạn chế chủ quan khó khăn khách quan nên đề tài chắn không tránh khỏi khuyết điểm nội dung cách trình bày Em mong nhận cảm thơng, đóng góp thầy bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện đầy đủ 36 Tài liệu tham khảo 1/ Cung Thế Anh (2014), Cơ sở lý thuyết phương trình vi phân NXB Đại Học Sư Phạm 2/ Nguyễn Văn Minh (2002), Phương trình vi phân thường NXB ĐHKHTN HN 3/ Lâm Hữu Minh (2013) Bài tập phương trình vi phân NXB ĐHBK HN 4/ Nguyễn Thừa Hợp (2001) Giáo trình phương trình vi phân NXB ĐHQG HN 5/ Vũ Trọng Lưỡng (2013) Giáo trình phương trình vi phân NXB Đại Học Sư Phạm 6/ Ravi P Agarwal, Donal O’Regan.(2008) An Introduction to Ordinary Differential Equations NXB Springer 8/ William E Boyce, Richard C.DiPrima (2000) Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems NXB John Wiley Sons 37 ... đề tài "Một số mơ hình mơ tả phương trình vi phân" để thực khóa luận Chương Kiến thức sở 1.1 1.1.1 Một số khái niệm Phương trình vi phân thường Định ngĩa 1.1.1.1 Một phương trình vi phân thường... phương trình y + 2y + y = phương trình vi phân cấp 1.2 1.2.1 Phân loại phương trình vi phân Phương trình tuyến tính Định nghĩa 1.2.1.1 Một phương trình vi phân thường cấp n gọi tuyến tính vi? ??t... 1.1.1.1 Phương trình: y + (2x + 1)y = x2 phương trình vi phân thường 1.1.2 Cấp phương trình vi phân Định ngĩa 1.1.2.1 Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm xuất phương trình Ví dụ 1.1.2.1 Xét phương