ThËt vËy: Chóng lµ cÆp c¹nh t¬ng øng cña hai tam b»ng nhau KAB vµ AMC theo trêng hîp c-g-c... Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC..[r]
(1)Đề tài:
phỏt huy kh nng t sáng tạo học sinh khá giỏi vic v cỏc ng ph chng minh
bài toán hình
p dụng dạy : Đối với học sinh giỏi lớp, ôn học sinh giỏi.
-* -A- Đặt vấn đề: I/ lời mở đầu:
Trong q trình giảng dạy tốn trờng trung học sở, việc phát huy cho học sinh khả t sáng tạo, thói quen suy nghĩ sâu sắc trớc vấn đề cơng việc địi hỏi ngời dạy ln phải thực thật tốt Nó giúp phát huy lực t cho đối tợng học sinh Gây hứng thú học tập cho học sinh , giúp học sinh có lực tự học tốt
Trong trình giảng dạy hình học tơi phát thấy ch-ơng trình hình học THCS có số tốn bắt buộc học sinh phải vẽ thêm đờng phụ chứng minh kết Qua suy nghĩ tìm tịi tơi phát tốn khơng dừng lại cách mà chứng minh theo nhiều cách khác ứng với việc vẽ đờng phụ vị trí khác Vì tốn giúp học sinh nhìn tốn dới góc độ sâu sắc, bao quát phát triển toán theo hớng khác nhau, rèn luyện cho em kĩ t duy, sáng tạo, kĩ vẽ thêm đờng phụ học hình học Tạo hứng thú khám phá toán học giúp học sinh học tập mơn hình học tốt
II/ Thực trạng vấn đề : 1) Thực trạng:
Qua công tác giảng dạy toán nói chung môn hình học lớp 7, trờng THCS Định Long nói riêng Trong năm qua thấy đa sè häc sinh:
- Không chịu đề cập tốn theo nhiều cách khác nhau, khơng sử dụng hết kiện tốn
- Khơng biết vận dụng vận dụng cha thành thạo phơng pháp suy luận giải tốn, khơng biết sử dụng toán giải áp dụng phơng pháp giải cách thụ động
- Không chịu suy nghĩ tìm cách giải khác cho tốn hay mở rộng lời giải tìm đợc cho tốn khác, hạn chế việc rèn luyện lực giải tốn
2) KÕt qu¶ thực trạng trên:
(2)phỏp đợc thử nghiệm có kết tốt, để đồng nghiệp tham khảo góp ý thêm cho tơi
Tríc t«i cha áp dụng sáng kiến vào giảng dạy bồi dỡng học sinh giỏi, thực tế điều tra học sinh lớp năm trớc nhận thấy nh sau:
Lớp Sĩ số Số HS khá - giỏi Số HS tự học( có phát huy đợc tính t sáng tạo)
Số HS tự học( cha phát huy đợc tính t sáng tạo)
8A 32 10
Tơi đem vấn đề mà tìm tịi phát trao đổi với số đồng nghiệp Họ trí cho vấn đề mà phát vấn đề nhỏ , song giúp cho học sinh lớn mặt t sáng tạo hình thành cho học sinh thói quen ln tự đặt câu hỏi tìm cách giải vấn đề giải tập hình nh học tốn Hình thành cho học sinh thói quen nghiên cứu khoa học, tơi đem vấn đề dạy cho số học sinh giỏi giảng dạy đạt đ-ợc số kết định
B - giải vấn đề: I/ Các giải pháp thực hiện:
Để phát triển " T học sinh " thông qua việc dạy học sinh vẽ đờng phụ số toán Quán triệt quan điểm dạy học theo h-ớng " Phát huy tính tích cực, tự giác, thói quen nghiên cứu khoa học cho học sinh " việc hớng dẫn học sinh có thói quen khai thác, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh khác có tác dụng tốt việc phát triển t lô gic, độc lập sáng tạo cho học sinh Rèn luyện cho học sinh số phơng pháp luận giải bi toỏn hỡnh hc nh:
- Phơng pháp phân tích tổng hợp - Phơng pháp so sánh
- Phơng pháp tổng quát hoá
II/ biện ph¸p tỉ chøc thùc hiƯn:
Do điều kiện khơng cho phép sau xin đa số tốn hình học chứng minh cần phải vẽ đờng phụ mà tơi thấy vận dụng vào q trình bồi dỡng, giảng dạy hình lớp 7, phù hợp
(3)Bài toán nhìn đơn giản Song khơng vẽ thêm đờng phụ khó chứng minh đợc tốn này, với tốn tơi gợi mở cho học sinh nh sau:
1 H ớng thứ nhất: Tạo đoạn thẳng CK từ đỉnh B tam giác
Cách 1: Xuất phát từ đỉnh B
Nèi KC Gäi I lµ trung ®iĨm cđa KC
Vậy BI đờng trung bình tam giác KAC BI=1/2 AC = 1/2 AB = BD Xét hai tam giác BDC BIC có :
BD = BI ( c/m trªn ) BC cạnh chung
Lại có IBC = ACB ( so le trong, BI//AC )
Mµ ABC = ACB, suy IBC = ABC = DBC VËy BDC = BIC ( c-g-c)
Suy ra: DC = IC = 1/2 KC ( ®pcm )
Cách 2: Xuất phát từ đỉnh B ta có cách vẽ khác
L
ợc giải: Gọi E trung điểm cđa AC
Vậy BE đờng trung bình tam giác KAC BE=1/2 KC
Tam giác ABC cân A
do ú hai ng trung tuyến DC BE xuất phát từ hai đỉnh B, C DC = BE = 1/2 KC ( đpcm )
2 H ớng thứ hai: Tạo đoạn thẳng gấp đôi CD từ đỉnh C D
Cách 3: Tạo đờng phụ từ đỉnh C
Trên tia đối tia CB lấy điểm M cho CB = CM Dễ thấy DC đờng trung bình tam giác ABM suy ra: DC = 1/2 AM
(4)XÐt hai tam giác ACM tam giác KBC có: AC = BK ( cïng = AB )
ACM = KBC ( c/m trªn ) => ACM = KBC (c-g-c)
CM = CB ( theo c¸ch dùng )
(5)Cách 4: Cũng xuất phát từ đỉnh C ta có cách vẽ khác
L
ợc giải: Trên tia đối tia CA lấy điểm N cho CA = CN CD đờng trung bình tam giác ABN đó: CD = 1/2 BN (1)
Ta lại có: BCN = CKB (c-g-c) BN =
CK (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã: CD = 1/2 CK
Cách 5: Tạo đờng phụ từ đỉnh D
L
ợc giải: Trên tia đối tia DC lấy điểm E
sao cho DC = DE, tø giác AEBC hình bình hành Vậy EB = AC = AB = BK
Do AC//EB nªn: EBC = KBC ( cïng bï víi gãc B vµ gãc C )
VËy CBE = CBK (c-g-c)
do EC = KC CD = 1/2 KC (đpcm)
Bài toán 2: Cho tam giác ABC có BC = 2
AB, M trung điểm BC; D trung điểm BM Chứng minh rằng: AD = 1/2 AC
Với tốn tơi gợi ý cho học sinh vẽ đờng phụ nh hớng sau:
(6)Cách 1: Xuất phát từ đỉnh M gọi F trung điểm AC Vậy MF đờng trung bình tam giác ABC
do FM = 1/2 AB; FM // AB Mà AB = 1/2 BC nên AB = BM D trung điểm BM
=> BD = 1/2 BM = 1/2 AB Do FM = BD ( 1/2 AB )
XÐt hai tam giác BAD BCF có:
FM = BD ( c/m trªn )
ABD = FMC ( so le trong, FM // AB ) AB = MC ( cïng b»ng 1/2 BC )
Do đó: BAD = BCF (c-g-c)
Suy ra: FC = AD = 1/2 AC (đpcm)
Cách 2:
Cng xut phỏt từ điểm M kẻ MF // AC Suy ra: F trung điểm AB Vậy MF đờng trung bình tam giác ABC Do đó: FM = 1/2 AC (1)
Xét hai tam giác ABD MBF cã: B chung
AB = AM ( 1/2 BC ) BD = BF ( 1/2 AB ) Do đó: ABD = MBF (c-g-c)
=> AD = FM (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã: AD = 1/2 AC (®pcm)
1) H ớng thứ hai: Làm xuất đoạn thẳng gấp đôi AD
Cách 3: Xuất phát từ điểm D Trên tia đối tia DA lấy điểm K cho: DA = DK AD = 1/2 AK (3) tứ
giác ABKM hình bình hành nên BK = AM, BK // AM §Ĩ chøng minh: AK = AC ta xét AK cạnh tam giác ABK AC ?
Ta chọn CMA Hai tam giác cã
AB = CM (cïng b»ng 1/2 BC);
KB = AM Cần chứng minh cặp góc xen góc ABK góc AMC ThËt vËy:
ABK + BAM = 1800 ( v× BK // AM )
CAM + ABM = 1800, mà BAM = AMB ( tam giác ABM cân ) nªn ABK = CAM
Do đó: ABK = CMA (c-g-c) Suy ra: AK = AC (4)
Tõ (3) (4) => AD = 1/2 AC (đpcm)
(7)Giải: Trên tia đối tia AB lấy điểm K cho AB = AK Ta có:
AD = 1/2 KM ( AD đờng trung bình tam giác BKM) Xét cặp tam giác: BKM
BCA cã: B chung
BK = BC (cùng 2AB) AM = BA (cùng 1/ AB) Do đó: BKM = BCA (c-g-c)
Suy ra: AC = KM => AD = 1/2 AK = 1/2 AC (đpcm)
Cách 5: Ta xuất phát từ điểm A
Giải: Vì D trung điểm BM nên ta lấy K cho A trung điểm MK
Khi AD đờng trung bình tam giác MBK nên BK = 2AD Ta chứng minh BK = AC Thật vậy: Chúng cặp cạnh tơng ứng hai tam KAB AMC theo trờng hợp c-g-c
(8)Bài toán 3: Cho tam giác ABC, đờng cao AD, BE cắt H, các đờng trung trực BC AC cắt O Gọi M trung điểm của BC CMR OM = 1/2 AH
Bài tốn ta thấy khơng phải dễ dàng có nhiều kiện xuất nh trung trực, đờng cao, trực tâm vv…Thực toán xuất phát từ tốn khó sau:
Cho tam giác ABC, trọng tâm G, trực tâm H, giao điểm ba đờng trung trực O Chứng minh rằng: H, G, O thẳng hàng
Để giải đợc tốn khó bắt buộc ta phải giải đợc tốn Ta giải đợc tốn theo nhiều cách
1) H ớng thứ nhất: Vẽ đờng phụ xuất phát từ điểm O
Cách 1: Vẽ đờng phụ xuất phát từ điểm O
Gọi trung điểm BC M AC N, tia đối tia OB lấy điểm I cho OB = OI Do OM đờng trung bình tam giác BCI, suy OM = 1/2 IC (1); OM//IC
Ta sÏ chøng minh AH = IC ThËt vËy ta cã:
AO BC => AH//OM
OM BC vµ OM//IC
=>AH//IC (2)
Xét tâm giác BAI có AO = OB ( tính chất đờng trung trực tam giác ) Do AO = 1/2 BI => BAI vuông
A ( tính chất đờng trung tuyến tam giác vng )
=> AB AI AI // FC hay AI // HC (3)
(9)C¸ch 2: Cũng xuất phát từ điểm O
Lc gii: Cũng tơng tự nh cách tia đối tia OC lấy điểm I cho OC = OI
Chøng minh t¬ng tù ta cã OM = 1/2 BI (5) tứ giác AIBH hình bình hành suy ra: BI = AH (6)
Tõ (5), (6) => OM = 1/2 AH (®pcm)
Cách 3: Ta vẽ đờng phụ từ đỉnh O
Giải: Trên tia đối tia OA lấy điểm I cho OA = OI nối IC Xét tam giác CAI có: OC = OA ( tính chất đờng trung trực tam giác ) OC = 1/2 AI Vậy tam giác CAI vuông C
=> IC // BH (*) ( cïng vu«ng gãc víi AC)
chøng minh t¬ng tù ta cịng cã ABI
vng B IB // BH (**) ( vng góc với AB )
Tõ (*) vµ (**) ta có tứ giác BICH hình
bỡnh hnh v M trung điểm BC nên M trung điểm HI Xét tam giác HIA có O trung điểm AI , M trung điểm HI Vậy OM đờng trung bình tam giác HIA => OM = 1/2 AH (đpcm)
2) H íng thø hai:
Sử dụng tính chất đờng trung bình tam giác Vẽ đờng phụ xuất phát từ trung điểm N, M cạnh AC, BC.
Cách 4: Kẻ NR // AH ( R CH ) => NR đờng trung bình tam giác CAH Vậy NR = 1/2 AH (*),
NR // AH => NR // OM (7) Tơng tự MR đờng trung bình tam giác CBH MR // BE, mà ON // BE ( vng góc với AC ) ON // MR (8)
(10)1/2 AB Mặt khác NM đờng trung bình tam giác ABC nên NM = 1/2 AB NM = IK (9)
Mà IH // OM ( vuông góc víi BC ) KH // ON ( cïng vu«ng gãc víi AC ) VËy IKH = ONM
KIH = OMN (10)
VËy HIK = OMN (g-c-g) => IH = OM hay OM = 1/2 AH
(®pcm)
Các bạn thấy tốn có nhiều cách giải hay giúp cho học sinh nâng cao lực t sáng tạo học tập, dựa sở toán ta chứng minh đợc tốn khó nêu đầu cách dễ dàng
ThËy vậy: Gọi P trọng tâm tam giác ABC Ta cã:
2
PA PM
vµ
2
AH OM
( theo c/m trên) HAP = PMO ( so le trong, AH // OM) HAP đồng dạng OMP
(c-g-c) VËy HPA = OPM hay ba điểm H, P, O thẳng hàng.(đpcm)
Qua ba toán lu ý học sinh chøng minh h×nh häc
(11)Qua toán học sinh rút đợc mục đích, phơng pháp vẽ đờng phụ Tơi tổng hợp ý kiến học sinh đúc rút thành ghi nhớ cho học nh sau:
Mục đích việc vẽ đờng phụ là:
Tạo tam giác nhau, nhờ mà chứng minh đợc đoạn thẳng nhau, góc Cách tạo tam giác mới tuỳ thuộc vào đầu bài, ý tạo tam giác vuông. Tạo đoạn thẳng góc trung gian vị trí thuận lợi hơn, làm xuất thêm quan hệ có liên quan đến yếu tố có trong nh: Làm xuất hình bình hành, tam giác cân, đờng thẳng song song, đờng trung bình tam giác…
Cần lu ý đến quan hệ đợc nêu giả thiết hay kết luận, vẽ thêm trung điểm đoạn thẳng, nối hai điểm cho đoạn thẳng, dựng đoạn thẳng đoạ thẳng cho trớc hay vẽ thêm đờng thẳng song song, đờng thẳng vng góc với đờng thẳng cho
Một số tập yêu cầu học sinh phải vẽ đờng phụ Tôi hy vọng với gợi ý em hoàn thiện kĩ vẽ đờng phụ để chứng minh tốn hình học
Bài tập 1: Trên cạnh AB tam giác cân ABC ( AB = AC ), lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Gọi M giao điểm BC DE Chứng minh rằng: DM = ME
H
íng dÉn:
C¸ch 1: VÏ DK // AC ( K thuéc BC ) DKM = ECM
Cách 2: Kẻ DH' ; EH" vng góc với BC ( H'H" thuộc đ-ờng thẳng BC ) Khi DH'M = EH"M
Cách 3: Trên cạnh AC lấy CH = BD Khi ADH cân DH //
BC DHE cã EC = CH, CM // HD nên DM = ME
Bài tập 2: Vẽ phía tam giác ABC tam giác ABD, ACE vuông cân A Vẽ AH BC Đờng thẳng AH c¾t DE ë K Chøng minh r»ng DK = KE
H
íng dÉn:
Cách 1: Vẽ AI DE, đờng thẳng AI cắt BC M AKE=CAM => KE = AM
(12)Cách 2: Trên tia đối tia AD lấy AN = AD
BAC = NAE ( c-g-c) vµ BCA = EAK
DNE cã DA = AN; AK // NE, nên DK = KE
Cách 3: Vẽ DM, EN AH Ta cã HAC = E; AC = AE =>HAC
= NEA => AH = EN
Chứng minh tơng tự ta có: HAB = MBA nên AH = DN
Vậy DM = EN DK = KE
Bài tốn 3: Ta có định lý quen thuộc sau
Chứng minh tam giác có trung tuyến phân giác tam giác tam giác cân
Hớng dẫn giải:
Xét ABC có AM trung tuyễn phân giác
Cỏch 1: Trờn tia đối tia MA lấy MD = MA chứng minh ACD
c©n
Cách 2: Trên tia đối tia AB lấy AK = AB chứng minh tam giỏc ACK cõn
Cách 3: ( phản chứng )
Giả sử AB > AC Trên cạnh AB lấy AD = AC ADC cân
Gi I giao điểm DC AM ADC cân có AI đờng
phân giác ứng với cạnh đáy nên DI = IC; IM đờng trung bình CBD => BD // IM Điều trái với giả thiết BD cắt MI A
Giả sử AB < AC chứng minh tơng tự dẫn đến mâu thuẫn Vậy AB = AC
C¸ch 4: VÏ HMAB, MK AC råi chøng minh AH = AK; BH = CK
C¸ch 5: ( cịng chøng minh b»ng ph¶n chøng )
Gi¶ sư AB > AC Trên cạnh AB lấy D cho AD = AC ta cã
AMD = AMC (c-g-c) => ADM = C (1)
MD = MC; MB = MC nên MB = MD Do MBD cân
=>B = BDM (2)
(13)C- kÕt luËn:
Qua giảng thân thấy với cách chủ động tự nêu vấn đề giải vấn đề có giúp đỡ giáo viên làm cho học sinh có hứng thú học giúp học sinh có thói quen " suy nghĩ ", giải tốn nhiều góc độ khác thơng qua kĩ vẽ đờng phụ, từ em học sinh hình thành t biết tìm cách vẽ đờng phụ từ giả thiết Vấn đề giúp học sinh giỏi giải tốn hình chắn hơn, sáng tạo
Kết nghiên cứu:
Sau vận dụng sáng kiến vào giảng dạy bồi dỡng cho học sinh giỏi, điều tra cho kÕt qu¶ nh sau:
Lớp Sĩ số Số HS khá - giỏi Số HS tự học( có phát huy đợc tính t sáng tạo)
Số HS tự học( cha phát huy đợc tính t sáng tạo)
8A 32 10
2 Kiến nghị đề xuất:
Đây vấn đề nhỏ mà đa vào dạy bồi dỡng, nhằm phát huy giúp học sinh giỏi nâng cao khả tự học, tự giải vấn đề Bài học cho kết tốt Mong đồng nghiệp góp ý bổ sung, cho đề tài đợc hồn thin hn
Tôi xin chân thành cảm ơn
Định long, tháng năm 2007
Ngời thùc hiÖn
(14)