song với ba đường phân giác đó, ba đường này cắt đường tròn ở ba điểm A,B,C phải tìm. Cho đường tròn tâm O và tứ giác ABCD nội tiếp trong đó.Chứng minh rằng các đường thẳng kẻ qua trung [r]
(1)BÀI TẬP HÌNH HỌC 11 GIẢI BẰNG PHÉP BIẾN HÌNH
Các phép biến đổi hình học lớp 11(đối xứng tâm, đối xứng trục, phép quay, phép tĩnh tiến, phép vị tự) giúp học sinh giải nhiều tốn hình học phẳng cách thuận lợi gây hứng thú cho học sinh Sau sỗ thí dụ
Bài toán Chứng minh trọng tâm G, trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O tam giác thẳng hàng, đồng thời GH = 2OG
Giải: (xem hình 1)
B
C2 C1
O G H
A B1 B2 C G
Hình
Bài toán Cho hai đường trịn bán kính khác cắt điểm A
a) Chứng minh tồn hai điểm phân biệt M N cho hai đường tròn cho hình vị tự với phép vị tự tâm M tâm N
b) Chứng tỏ góc < MAN = 900.
Giải: (xem hình 2)
b) Trong hai phép vị tự hai đường Hình
trịn với tâm M N nói O1 ảnh
O2 Điểm A biến thành A1 phép tâm M, biến thành A2 phép tâm N Theo tính
chất phép vị tự O1A1// O2A, O1A2//O2A, A1,O1,A2 thẳng hàng Bởi góc < A1AA2 = 900, góc < MAN = 900
1
Xét phép vị tự tâm G tỉ số k = -2.Các
điểm B1 C1 có ảnh tương
ứng B C Vì phép vị tự bảo tồn độ lớn góc nên đoạn thẳng B1O biến thành đoạn thẳng nằm đường
thẳng BB2, đoạn thẳng C1O biến thành
đoạn thẳng nằm đường thẳng CC2 ,
do giao điểm O B1O C1O biến thành giao điểm H đường cao BB2 CC2 Từ suy ba điểm O, G H thẳng hàng Vì k=-2 nên dễ thấy GH = 2OG
a) Gọi O1 O2 tâm hai đường tròn cho, PQ RS hai đường kính
(O1) (O2) vng góc với đường thẳng
O1O2 Phép vị tự cần tìm phải biến PQ thành RS, nghĩa P thành R, Q thành S P thành S, Q thành R Trong trường hợp đầu tâm vị tự giao điểm hai đường thẳng PR QS (điểm M); trường hợp sau tâm vị tự giao
điểm hai đường thẳng PS QR
(2)Bài toán Cho ba điểm M,N K đường tròn Dựng tam giác ABC nội tiếp đường trịn cho AM,BN VÀ CK đường phân giác góc tương ứng <A,<B <C
Hình
Giải: ( xem hình 3)
Gọi ABC tam giác phải dựng Vẽ qua M,N,K tiếp tuyến với đường tròn cho
rồi xét tam giác A1B1C1 (A1,B1,C1 giao điểm ba tiếp tuyến đó) Vì cặp cung
bằng AK KB, BM MC, AN NC nên A1B1 // AB, B1C1 // BC, A1C1 // AC
Như hai tam giác ABC A1B1C1 hai hình vị tự, đường phân giác tương
ứng song song Từ suy dựng tam giác ABC: Qua M,N,K dựng ba tiếp
tuyến với đường tròn, ta có tam giác A1B1C1 Dựng ba đường phân giác tam giác
này A1M1, B1N1 C1K1 Qua điểm M,N,K dựng đường thẳng tương ứng song
song với ba đường phân giác đó, ba đường cắt đường tròn ba điểm A,B,C phải tìm Bài tốn Cho đường trịn tâm O tứ giác ABCD nội tiếp đó.Chứng minh đường thẳng kẻ qua trung điểm cạnh tứ giác vng góc với cạnh đối diện đồng quy điểm
OM ON Hình
biến thành đường thẳng song song với nó)
Do suy đường thẳng a,b,c d đồng quy điểm E ảnh điểm O phép đối xứng tâm P
2
Giải: (xem hình 4)
(3)Bài tốn Cho hình thang cân ABCD (AD = BC) Kéo dài cạnh bên AD BC cắt L Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ACL BDL cắt tâm đường trịn ngoại tiếp hình thang cho
AK đối xứng với cung BK Thêm vào Hình
cung AK cung KC ( góc < ALK = <CLK), bốn cung KC, KD, AK,BK nên dây trương bốn cung (AK=BK=KC=KD), tức K tâm đường trịn ngoại tiếp hình thang ABCD
Bài toán Cho tam giác ABC Tìm điểm P mặt phẳng cho tổng khoảng cách: l = AP+BP+CP nhỏ
B1
P1 B
P
A C
Rõ ràng l nhỏ điểm P1 Hình
P nằm đường thẳng B1C Dễ dàng tính
được trường hợp góc <APC = < APB = <BPC = 1200 Như điểm phải tìm
là điểm mà từ nhìn cạnh tam giác góc 1200.
Bài tốn Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác tam giác
ABC1, BCA1 ACB1 Chứng minh đường thẳng AA1, BB1 CC1 cắt
một điểm
C1
B A1 O
A C
O1 B1
Hình
3 Giải: (Xem hình 5)
Tam giác ABL tam giác cân với đường cao LM trục đối xứng Đường trịn ACL ảnh đối xứng qua trục LM đường tròn BDL, giao điểm K đường tròn BDL với trục đối xứng LM biến thành - giao điểm đường tròn ACL với LM Với phép đối xứng trục LM cung KC đối xứng với cung KD, cung AK đối
Giải: (Xem hình6)
Gọi ABC tam giác cho, P điểm tuỳ ý mặt phẳng Quay tam giác ABC quanh điểm A góc 600
theo chiều ngược kim đồng hồ Gọi B1
P1 ảnh điểm B P phép
quay Khi B1P1 = BP, AP1 = AP,
do đó: l = AP+BP+CP = AP1+B1P1+CP=
=B1P1+P1P+CP
Giải: (Xem hình 7)
Gọi O giao điểm AA1 BB1 Quay
hình xung quanh điểm C góc 600 ngược
chiều kim đồng hồ Với phép quay tam
giác CBB1 ảnh tam giác CA1A Bởi
góc <A1AC = <BB1C, <AOB1 = <ACB1, nghĩa < AOB1 = 600 Đặt đường thẳng
BB1 từ điểm O đoạn thẳng OO1 = AO thực
hiện phép quay quanh điểm A góc 600 ngược
kim đồng hồ để điểm B,B1, O1 biến thành
các điểm C1,C O tương ứng, nghĩa
(4)Nhận xét: Điểm O nằm đường trịn ngoại tiếp tam giác AB1C, góc <AOC = 1200 Tương tự góc <AOB = < BOC = 1200.
Bài tập tự luyện:
1) Dưng tam giác có ba đỉnh nằm ba đường song song không cách cho trước
2) Cho đường thẳng xy hai điểm M,N khơng nằm đường thẳng Dựng điểm X đường thẳng xy cho < NXx = < MXy
3) Cho góc nhọn < xoy = A B hai điểm phân biệt bên góc Dựng tam
giác cân MPQ có đáy PQ nằm cạnh Ox , đỉnh M nằm cạnh Oy, cạnh bên qua điểm Avà cạnh bên lại qua điểm B
4) Cho tam giác thường ABC Dựng đoạn thẳng DE cho D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh BC AD = DE = EC
12 - - 2010 Nguyễn Văn