Trong phaàn naøy toâi xin giôùi thieäu cuøng baïn ñoïc moät soá phöông trình thöôøng gaëp trong caùc kì thi nhö : phöông trình chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái , phöông trình voâ tyû, ph[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH A CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Phần đề cập đến phương pháp giải phương trình có bậc nhỏ I Phương trình bậc
Dạng tổng quát : ax b+ =c
Biện luận :
• a≠0: phương trình có nghiệm x b a
= − • a=0: phương trình có dạng 0x= −b
0
b≠ : phương trình vô nghiệm
0
b= : phương trình có vô số nghiệm
II Phương trình bậc hai
Dạng tổng quát : ( )
0
ax + + =bx c a≠ (1)
Biện luận : Ta xét
b ac
∆ = −
• ∆ <0: phương trình vô nghiệm
• ∆ =0 : phương trình có nghiệm kép : 2
b
x x
a
= = − • ∆ >0: phương trình có hai nghiệm phân biệt : 1
2
b x
a
− + ∆
= , 2
2
b x
a
− − ∆ =
Ví dụ Chứng minh phương trình x2+ + +(a b c x) +ab bc ca+ + =0 vô nghiệm với , ,
a b c cạnh tam giác
Giải
Ta có ( )2 ( ) 2 2 2 ( )
4
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
∆ = + + − + + = + + − + +
Mà ∆ <0 a b c, , ba cạnh tam giác ( xem phần bất đẳng thức hình học)
Định lý Viet số ứng dụng
Giả sử ∆ ≥0 Gọi x x1, hai nghiệm phương trình (1) :
1.
b S
a c P
a
x x
x x −
= =
= =
+
Bằng định lý Viet xét dấu nghiệm sau
- Phương trình có hai nghiệm dương ⇔ ∆ ≥0 P>0 S>0 - Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ ≥0 P<0
(2)Thí duï Tìm m cho phương trình ( )
2
x − m+ x+ m+ = (*) có hai nghiệm không
nhỏ
Giải
Đặt t= −x phương trình cho trở thành
2
t − mt+ m− = (**)
Phương trình (*) có hai nghiệm lớn ⇔ phương trình (**) có hai nghiệm khơng âm
'
0
S P
∆ ≥
⇔ ≥
≥
2
2
2
m m
m m
− + ≥
⇔ ≥
− ≥
2
m
⇔ ≥ Vaäy
2
m≥ phương trình (*) có hai nghiệm lớn
III Phương trình bậc ba
Dạng tổûng quát : ( )
0
ax +bx + + =cx d a≠
Ta đưa dạng :
0
x +ax + + =bx c (2)
Đặt
3
a
x= −y phương trình (2) viết lại dạng
0
y −py− =q (2’)
2
a
p= −b
3
27
ab a
q=− + −c Cơng thức nghiệm phương trình (2’) :
y=
3
3
27 27
4
p q q p
q q
+ − − + + +
− gọi cơng thức Cardano , lấy tên nhà tốn học Italia Cardan theo học trưịng đai học Pavie, đại học Padoue nhận tốt nghiệp Y khoa năm 1526
Cardan viết nhiều Toán, số ngành khác Ông đặt vấn đề giải phương trình bậc ba cụ thể
6 20
x + x= Bây ta nói tổng quát
x +px=q Phương pháp Cardan sau: thay x= −u v vaøđặt ,u v để tích
3
uv= ( hệ số x phương trình bậc ba khảo sát ) Nghĩa 2=uv Từ phương trình
6 20
x + x= ta có
( )
3 3
(u v− ) +3uv u v− = − =u v 20 Khử v từ 2=uv từ u3− =v3 20 ta có
6 3
20 108 10
u = u + ⇒ u = + Từ x= −u v u3− =v3 20, ta có
3
108 10 108 10
x= + − −
Cardan cho công thức tương đương phương trình x3+px=q là:
2 3
3
2 27 27
q q p q q p
(3)Các dạng phương trình bậc ba thường gặp phương pháp giải 1 Giải phương trình biết nghiệm phương trình
Giả sử ta biết nghiệm x0 phương trình (2) cách đoán nghiệm ( thường
các nghiệm nguyên đơn giản từ –3 đến +3 ) tức
0 0
ax +bx +cx + =d Khi phương
trình (2) 3
0 0
ax bx cx d ax bx cx d
⇔ + + + = + + +
( )( ( ) )
( )
2
0 0
0
2
0 0
0
x x ax ax b x ax bx c
x x
ax ax b x ax bx c
⇔ − + + + + + =
=
⇔ + + + + + =
Xeùt ( )2 ( 2 )
0 0
ax b a ax bx c
∆ = + − + +
i) Nếu ∆ <0 phương trình (2) có nghiệm x=x0
ii) Nếu ∆ ≥0 phương trình (2) có nghiệm
0
( )
2
x x
ax b
x
a
=
− + ± ∆
=
Thí dụ Giải phương trình
3 10
x − +x x− =
Giải
Nhận thấy x=2 nghiệm phương trình
Phương trình ( )( )
2
x− x + + = ⇔ =x x
Vậy phương trình cho có nghiệm x=2
2 Phương trình bậc ba đối xứng
Dạng tổng quát ( )
ax +bx + + =bx a a≠
Phương trình bậc ba đối xứng ln nhận x= −1 làm nghiệm
Thật vậy, ta có phương trình ( )( ( ) )
1
x ax b a x a
⇔ + + − + =
( )
2
0
x
ax b a x a
= −
⇔ + − + =
Mở rộng
Một số tính chất phương trình hệ số đối xứng (PT HSĐX)
Dạng tổng quát PT HSĐX ( )
1 0 0, 1,
n n
n n n n
a x +a −x − + +a x+ =a a =a a− =a
Tính chất PT HSĐX có nghiệm x0 x0 ≠0
x nghiệm
Tính chất PT HSĐX bậc lẻ ( n=2k+1) nhận x= −1 nghiệm
Tính chất Nếu f x( ) đa thức bậc lẻ có hệ số đối xứng f x( ) (= +x 1) ( )g x ,
( )
g x đa thức bậc chẵn có hệ số đối xứng
Thật vậy, ta xét đa thứ c bậc làm thí dụ
( )( ( ) ( ) ( ) )
5 4
1
(4)Vậy việc giải phương trình có hệ số đối xứng bậc n lẻ tương ứng với việc giải
phương trình có hệ số đối xứng bậc n−1 chẵn
3 Phương trình bậc ba hồi quy
Dạng tổng quát ( 3)
0 , 0,
ax +bx + + =cx d a d ≠ ac =db
q Từ điều kiện ta thấy c=0 b=0⇒ phương trình (2b) có nghiệm x d
a
− = q Nếu c≠0thì b≠0, điều kieän
3
d c
a b
⇔ = Đặt c t
b= − c= −bt
3
d = −at
khi phương trình trở thành 3
ax +bx −btx at− =
( ) ( )
( )
2
2
0
x t ax at b x at
x t
ax at b x at
⇔ − + + + =
=
⇔ + + + =
Vaäy x c b
= − nghiệm phương trình Nếu ( )2 2
4
at b a
∆ = + − ≥ phương trình có thêm nghiệm ( )
2
at b
x
a
− + ± ∆
=
Thí dụ Giải phương trình
8x −2x − + =x
Đáp số
2
x= −
IV Phương trình bậc bốn
Dạng tổng quát ( )
at +bt +ct + + =dt e a≠
Ta đưa dạng
0
t +at +bt + + =ct d (3)
Đặt
4
a
t= −x phương trình (3) đưa dạng x4 = px2+qx+r (3’)
( )
2
3
4
3
1
8
1
3 16 64 256
256
a
p b
a
q ab c
r a a b ac d
= −
= − + −
= − + −
Phương trình (3’) 2 ( ) ( 2) ( )
2
x + αx +α = p+ α x +qx+ +r α α∈R
( 2 )2 ( ) 2 ( 2)
2
x α p α x qx r α
⇔ + = + + + + (3*) Ta tìm α thỏa hệ thức ( )( 2)
4
q = p+ α r+α để viết vế phải thành
(p+2α)
2
2( )
q x
p α
+
+
(5)Khi ta ( ) ( )
( )
2
2
2
2
q
x p x
p
α α
α
+ = + +
+
(3**)
§ Nếu p+2α =0 phương trình (3*) ⇔(x2+α)2 = +r α2 (Bạn đọc tự biện luận tiếp) § Nếu p+2α <0 phương trình (3**) vơ nghiệm ( VT ≥ VP < 0)
§ Nếu p+2α >0thì phương trình (3**)
( )
2
2
2
q
x p x
p
α α
α
⇔ = ± + + −
+
Đây phương trình bậc theo x, bạn tự biện luận
Thí dụ Giải phương trình
2
x − x − x− = (*)
Giải
Phương trình (*)
2
x x x
⇔ = + +
Ta choïn α thoûa ( )( 2)
64=4 2+ α 3+α Dễ dàng nhận thấy α = thoả
Phương trình (*) 2
2
x x x x
⇔ + + = + + ( cộng vế lượng 2x +1)
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
1
1
1
x x
x x
x x
⇔ + = +
+ = +
⇔
+ = − +
Vậy nghiệm phương trình cho x= ±1
Các dạng phương trình bậc bốn thường gặp phương pháp giải 1 Phương trình bậc bốn trùng phương:
Dạng tổng quát ( )
ax +bx + =c a≠
Phương pháp giải đơn giản cách đặt
y=x ≥ để đưa phương trình dạng
phương trình bậc hai
0
ay +by+ =c biện luận
2 Phương trình bậc bốn đối xứng
Dạng tổng quát ( )
ax +bx +cx + + =bx a a≠
Do a≠0 neân x=0 không nghiệm phương trình, ta chia vế phương
trình cho
x ≠
2
b a
ax bx c
x x
+ + + + =
2
1
0
a x b x c
x x
⇔ + + + + =
(*)
Đặt y x x
= + ( điều kiện : y ≥2 ) y2 x2 12 x2 12 y2
x x
⇒ = + + ⇒ + = −
Khi phương trình (*) trở thành
2
(6)Lưu ý
Ngồi kiểu phương tình bậc bốn đối xứng cịn có phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng lệch
0
ax +bx +cx − + =bx a ( a≠0)
Phương pháp giải tương tự trên, xin giành cho bạn đọc Thí dụ: Cho phương trình : 8x4 – 5x3 + mx2 + 5x + =
a) Giải phương trình m = -16 b) Tìm m để phương trình vơ nghiệm Đáp số: a) x1 = 1, x2 = -1, x3 =
16 281 5+ , x4 =
16 281 5−
b) m ≤
32 487
−
3.Phương trình bậc bốn hồi quy :
Dạng tổng quát : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = , (a ≠0) ad2 = eb2 (*) q Nếu b = d = phương trình trở thành phương trình trùng phương :
ax4 + cx2 + e = ta giải theo phương pháp q Nếu b ≠ d ≠0 , điều kiện ĩ
a
e = d b
Đặt
b
d = t e = at2 d = bt phương trình (*) trở thành: ax4 + bx3 + cx2 + btx + at2 = (**)
Do x = khơng nghiệm phương trình (**) nên ta chia vế phương trình (**) cho x2 ≠0 ta ax2 + bx + c +
x bt +
x t a
2
= ó a(x2 +
x t 2
) + b(x +
x
t ) + c = (***)
Đặt x +
x
t = y (điều kieän : y2 ≥ 4t) ⇒ x2 +
x t
2
+ 2t = y2 ⇒ x2 +
x t 2
= y2 – 2t
Phương trình (***) trở thành : ay2 + by + c – 2at = phương trình bậc hai theo y , ta tìm nghiệm y ⇒ tìm x
Thí dụ : giải phương trình 2x4 – 21x3 + 34x2 + 105 x + 50 = Hứơng dẫn: Đặt x -
x
5 = y ta thu phương trình : 2y2 –21y + 54 = có nghiệm y1 = 6, y2 =
2
o Với y1 = ta thu nghiệm : x1 = 3+ 14, x2 = 3− 14
o Với y2 =
2
9 ta thu : x
3 =
4 161
9+ , x
4 =
4 161
(7)4.Phương trình bậc bốn daïng (x + a)4 + (x + b)4 = c , (c > 0) : (3d)
Phương pháp giải phương trình loại đặt x = y -
2 b
a+ Khi phương trình (3d) trở
thành:
4
2
a b a b
y − y − c
+ + − =
Đặt α=
b
a− để phương trình gọn :
( ) (4 )4 ( ) (2 )2 ( ) (2 )2
y+α + y−α = ⇔c y+α + y−α − y+α y−α =c
( ) ( )
2
2 2
4 2
2 2
2 12 (*)
y y c
y y c
α α
α α
⇔ + − − =
⇔ + + − =
(*) phương trình trùng phương theo y
Ta giải tiếp tốn theo phương pháp
Thí dụ : Giải phương trình (x – 2004)4 + (x – 2006)4 = Đáp số: x = 2005
5 Phương pháp hệ phương trình đối xứng
Khi ta gặp phương trình daïng ( 2 ) (2 2 ) ( )
a ax + +bx c +b ax + + + =bx c c x a≠ (4e)
thì ta chuyển hệ phương trình cách đặt
y=ax + +bx c Lúc ta có hệ đối xứng
²
²
ax bx c y
ay by c x
+ + =
+ + =
Ta trừ vế theo vế hai phương trình hệ thu
( )( ) ( ) ( )( 1)
a x−y x+y +b x−y = − ⇔y x x−y ax+ay+ + =b
( ) ( ) (( ))
2
2
1
1 1
1
x y x ax bx c ax b x c
b b b ac
x y x ax bx c ax b x
a a a
= = + +
+ − + =
⇔ − + ⇔ − + ⇔ + +
+ = + + + = + + + =
Giải phương trình bậc hai ta thu nghiệm phương trình Thí dụ Giải phương trình ( 2 )2 2
2
x + −x +x =
Giải
Phương trình ( 2 ) (2 2 )
2 2
x x x x x
⇔ + − + + − − =
Đặt
2
y=x + −x ta có hệ : ² -
² -
x x y
y y x
+ =
+ =
Trừ vế theo vế ta (x−y)(x+ + =y 2)
2
2
2 2 0
x y x x x x
x y x x x x x
= = + −
= ±
⇔ + + = ⇔ ⇔
= ∨ = − + + − + =
Vậy phương trình cho có nghiệm x∈ − −{ 2, 2, 0, 2}
6 Phương trình bậc bốn dạng (x+a)(x b+ )(x+c)(x+d)=m (a b c+ + + =d β)
Phương trình ( )( )
x βx ab x βx cd m
(8)Đặt
x +βx= y ta phương trình (y+ab)(y+cd)=m
( )
2
0
y ab cd y abcd m
⇔ + + + − =
Giải ta tìm y thay vào phương trình ban đầu để tìm x
Thí dụ Giải phương trình (x−1)(x−3)(x+5)(x+ =7) 297
Giải
Để ý thấy (-1) + = (-3) + tabiến đổi lại sau: Phương trình ⇔ −(x 1)(x+5)(x−3)(x+ =7) 297
( )( )
( )( ) ( )
2
2
1
4 21 297
5 21 297
26 192
32,
x x x x
y y y x x
y y
y y
⇔ + − + − =
⇔ − − = = +
⇔ − − =
⇔ = = −
7 Phương trình bậc bốn dạng ( )( )( )( ) ( )
x+a x b+ x c+ x+d =mx ad=bc=β
Phương trình ( )( )( )( )
x a x d x b x c mx
⇔ + + + + =
( ) ( )
2 2
x a d x β x b c x β mx
⇔ + + + + + + =
Ta quan tâm đến trường hợp β ≠0 Khi x=0 khơng nghiệm phương trình
Chia vế phương trình cho
x ≠ ta
x a b x c d m
x x
β β
+ + + + + + =
Đặt y x x
β
= + ta thu phương trình
( )( ) ( ) ( )( )
0
y+ +a b y+ +c d = ⇔m y + + + +a b c d y+ +a b c+d − =m
Giải phương trình ta thu y từ tìm x
Thí dụ Giải phương trình ( )( )
3 18 168
x + x+ x + x+ = x
Hướng dẫn
Phương trình x x 168
x x
⇔ + + + + =
( )( )
2
1
6 168
7
12 133
19
7 1,
6 19 337
19
2
y y y x
x y
y y
y
x x x
x
x x
x
⇔ + + = = +
=
⇔ + − = ⇔ = −
+ = ⇔ = =
⇔
− ± + = − ⇔ =
Vậy nghiệm phương trình laø 1, 6, 19 337, 19 337
2
x∈ − + − −
(9)B CÁC PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC
Trong phần xin giới thiệu bạn đọc số phương trình thường gặp kì thi : phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối , phương trình vơ tỷ, phương trình chứa ẩn mẫu
I.Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối : Một số tính chất A : A =
< ≥
0 A neáu A
-0 A neáu A
A
∀ ∈R 1) A B+ ≤ A+ B Dấu “=” xảy ⇔ AB ≥
Chứng minh : Bình phương vế : A2 + 2AB + B2 ≤ A2 + 2AB + B2 ĩ AB ≤ AB :
2) A−B≥ A −B Dấu “=” xảy ⇔B(A – B) ≥
Chứng minh: Áp dụng tính chất ta có : A = (A-B)+B ≤ A−B + B ⇔ A−B≥ A −B : đpcm
Lưu ý: A2=
A
Thí dụ :giải phương trình 2−2 +1+ 2−4 +4 =1
x x x
x
Giải: phương trình ⇔ (x−1)2+ (x−2)2 =1
⇔ x−1+2−x = (Để ý x−2 = 2−x)
Áp dụng tính chất ta coù x−1+ 2−x ≥ (x−1)+(2−x)
⇔ x−1+ 2−x ≥ Dấu “=” ⇔ (x – 1)(2 – x) ≥ ⇔ 1≤ x ≤ v Một số dạng thường gặp:
1.Phương trình dạng A = B (5a)
Phương trình (5a) A B
A B
= ⇔ = −
2.Phương trình dạng A =B (5b)
Phương trình (5b) ⇔
= =
≥
B - A hay B A
0 B
Phương trình (5b) ⇔
= ≥
B A
0 A
hay
= <
B - A
0 A
3.Phương trình nhiều dấu giá trị tuyệt đối :
Phương pháp thừơng dùng xét nghiệm phương trình khoảng giá trị TXĐ
Thí dụ :giải phương trình 3x+3+ x−5 =2x−4 (5c)
Giải: Nghiệm phương trình (3x + 3) , (x – 5), (2x – 4) –1, 5,
oKhi x ≥ phương trình (5c) trở thành :(3x + 3) + (x – 5) = (2x – 4) ⇔ x = -1 (loại
không thuộc khoảng xét )
(10)oKhi –1≤ x < phương trình (5c) trở thành (3x + 3) + (5 – x) = (4 – 2x) ⇔ x = -1
(thoûa)
oKhi x < -1 phương trình (5c) trở thành (-3x – 3) + (5 – x) = (4 – 2x) ⇔ x = -1 (loại
không thuộc khoảng xét ) Vậy phương trình có nghiệm : x= -1 2.Phương trình vơ tỷ:
Đây phần quan trọng loại phương trình đa dạng phức tạp Phương trình vơ tỷ thường xuất nhiều kỳ thi, đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên Trong mục trọng đến phương trình chứa bậc hai ba phương pháp giải chúng
v Một số tính chất bản:
• 2nf(x) = g(x) ⇔
= ≥
[g(x)] f(x)
0 g(x)
2n
• 2n+ 1f(x) = g(x) ⇔ f(x) = [g(x)]2n+1 • [f(x)]2n = [g(x)]2n ⇔ f(x)= g(x) • [f(x)]2n+1= [g(x)]2n+1 ⇔ f(x) = g(x)
Lưu ý : Phép nâng lũy thừa với số mũ chẵn phép biến đổi tương đương vế dấu
v Một số dạng phương trình vơ tỷ thường gặp phương pháp giải:
1.Phương pháp giản ước :
Khi ta chia vế phương trình cho f(x) phải ý điều kiện f(x) ≥ Thí dụ : giải phương trình x(x -2)+ x(x−5)= x(x+3) (6a)
Giải: Điều kiện : x ≥ x ≤ -3
Xét x ≥ 5: ta chia vế phương trình (6a) cho x > thu :
x x
-x + − = + Bình phương vế không âm cho ta phương trình : 2x – + x-2 x−5= x+3 ⇔ x-2 x−5 = 10 – x
⇔
− = − −
≥ −
x) (10 5) 2)(x 4(x
0 x 10
2 ⇔
= − − ≥
0 60 8x x
3x 10
2 ⇔ x1 = (thoả), x2 = 3
10
− (loại) Xét x ≤ -3⇒ -x > : phương trình (6a) ⇔ (−x)(2−x)+ (−x)(5−x)= (−x)(−x−3)
(6a1)
Chia vế phương trình (6a1) cho (−x) ta : 2−x+ 5−x = −3−x
Roõ ràng VT > VP ⇒ vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm :x =
2.Phương pháp trị tuyệt đối hóa:
Trong vài trường hợp ta có thểđưa biểu thức chứa ẩn thức dạng bình phương
Khi ta biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nhờ tính chất : A2=
A
(11)Hướng dẫn: (6b) ⇔ (x+1)+2 x+1+1+ (x+1)−6 x+1+9 =2 (x+1)−2 x+1+1
⇔ ( x+1+1)2+ ( x+1−3)2 =2 ( x+1−1)2 ⇔ x+1+1+ x+1−3=2 x+1−1
Đặt x+1 = y ta phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối quen thuộc:
2
1+ − = −
+ y y
y
3.Phương pháp hữu tỷ hoá:
Đây phương pháp chuyển phương trình chứa thức dạng phương trình hữu tỷ (có bậc ngun) cách đặt ẩn phụ
Thí dụ 1) giải phương trình : x2 + 8x + 12 - 2
8 2+ +
x
x = (6c1)
Giải: Đặt 2+8 +8
x
x = y (y > 0) x2 + 8x + 12 = (x2 + 8x + 8) + = y2 + Phương trình
(6c1) trở thành: y2 + - 2y = ⇔ y = (thỏa điều kiện ) ⇒ x2 + 8x + = ⇒ x1 = -1, x2 = -7
Vậy phương trình có nghiệm :x1 = -1, x2 = -7 Thí dụ 2) Giải phương trình 5− +4 −1=
x
x (6c2)
Giải:
Điều kiện :1 ≤ x ≤ Ta đặt
1
−
x = y + m ( m soá) ⇒ x = (y + m)4 +
Do ≤ x ≤ neân -m ≤ y ≤ -m +
Khi
5−x= 4−(y+m)4, phương trình (6c2) trở thành:
y + m + 4−(y+m)4= 2 (6c3) ⇔ 4−(y+m)4= 2 - y – m
Do y ≤ -m + neân - y – m ≥
Phương trình (6c3) ⇔ – (y + m) = (
2 - y – m)4
⇔ ( - y – m)4 + (y + m) =
⇔ [ ( - y – m)2 + (y + m) ]2 - 2( - y – m)2 (y + m) = (6c4)
Đến ta chọn m tốt cho phương trình (6c4) trở thành phương trình bậc bốn trùng phương, nghĩa - y – m y + m phải lượng liên hợp
⇔ - m = m ⇔ m =
2 ⇒ -2
2 ≤ y ≤
2
Phương trình (6c4) trở thành [ (
2
2- y )2 + (
2
2 + y ) 2]2 - 2(
2
2- y )2 (
2
2 + y) 2 = ⇔ (1 + 2y2)2 – 2(
2
1- y2)2 = ⇔ 2y4 + 6y2 -
2 7 =
⇔ y1 =
-2 , y
2 =
2 2
• y1 =
-2
2 thì x1 = ( -2
2 +
(12)• y2 =
2 2 x
2 = (
2 2+
2
2)4 + =
Vậy phương trình cho có nghiệm : x1 = 5, x2 =
Điều cần lưu ý toán dạng chọn m thích hợp để làm tốn gọn hơn, đơn giản
Một số dạng phương trình thường gặp :
i) a+cx+ b−cx+d (a+cx)(b−cx)=n (c > 0, d≠0) (6c) Phương pháp giải:
Điều kiện : a + cx ≥ vaø b – cx ≥ ⇒ c
a − ≤ x ≤
c
b vaø a + b ≥
Đặt y = a+cx+ b−cx y ≥ y2≤ 2(a + b) (bạn đọc tự chứng minh !) ⇒2 (a+cx)(b−cx) = y2 – a – b (6c1)⇒ y2 ≥ a + b
Phương trình (6c) trở thành
2y + d(y2 – a – b) = n ó dy2 + 2y – (a + b + n) (6c2) Điều kiện y là: a+b ≤ y ≤ a+b
Giải phương trình (6c2) ta có y , thay y vào phương trình (6c1) bình phương vế ta tìm x
Thí dụ : giải phương trình x+4+ 1-x- (x+4)(1−x)=1 Đáp số: x =
ii)
2
x+a − +b a x b− +
2
x+ − +c b c x b− = dx + m (a ≠0) (6d)
Phương pháp giải: Điều kiện : x ≥ b
Phương trình (6d) ⇔ ( x−b+a)2
+ ( x−b+c)2
= dx + m ⇔ x−b+a + x−b+c = dx + m
Đặt x−b = y (y ≥0) giải phương trình a dấu giá trị tuyệt đối theo y
Từ suy x
Thí dụ : giải phương trình x+3−4 x−1+ x+8−6 x−1=2x−1
Đáp số : x =
4.Phương pháp hệ phương trình hóa:
Trong phần tơi xin trình bày cách chuyển phương trình vơ tỷ hệ phương trình hữu tỷ cách đặt ẩn phụ
i) Phương trình bậc hai chứa :
Dạng tổng quát : ax+b=r(ux+v)2+dx+e (a, u , r ≠ 0) (6e) Phương pháp giải:
Điều kiện :ax + b ≥
Đặt ax+b = uy + v (uy + v ≥ 0) ó ax + b = (uy + v)2 (6e1)
(13)r(ux + v)2 = uy + v – dx – e (6e2) Neáu + = + = e br v d ar u
từ (6e1) (6e2) ta có hệ sau + − + = + + = + br u)x (ar uy v) (ux r br arx v) (uy r 2 Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta :
r(uy+v)2 – r(ux+v)2 = ux – uy ⇔ u(y – x)(ruy + rux + 2rv +1) =
( )2
1 1
2
ux v ax b
x y ux v uy v
uy ux v ax b v ux v ax b ux v
r r r
+ = + = + = + ⇔ ⇔ ⇔ = − − − + − = − − − + = − + +
Giải phương trình ta tìm nghiệm phương trình Thí dụ : giải phương trình 2x+5 = 32x2+ 32x (6e3) Giải :
Điều kiện : x ≥
5 -
Phương trình (6e3) ⇔ 2x+5 = 2(4x + 2)2 – Đặt 2x+5 = 4y + ( y ≥
2
- ) ta có hệ + = + + = + 2y 4x 2x 2) 4y ) ( ( 2 Trừ vế theo vế ta
2(y – x)(4y + 4x + 5) = ( )
( )
2
4 2 5 2 4 5 5
x x e
y x
y x x x e
+ = + = ⇔ ⇔ = − − + − = − −
o Giải (6e4) : phương trình (6e4) ⇔
+ + = + ≥ 16x 16x 2x -x
⇔ x =
16 65 7+
−
o Giải (6e5) : phương trình (6e5) ⇔
+ = + ≤ ≤ ) (
2x x
4 -x
⇔ x =
16 57 11−
−
Vậy phương trình cho có nghiệm : x1 =
16 65 7+
− , x2 =
16 57 11−
− Lưu ý
Cách giải hồn tồn tương tự ta xét phương trình bậc ba có chứa bậc ba : e dx v) (ux r b ax
3 + = + + + với điều kiện + = + = e br v d ar u
(Xin giành cho bạn đọc !) Thí dụ :giải phương trình
5
3x− = 8x3 – 36x2 + 53x – 25
Hướng dẫn : Biến đổi phương trình thành
3x− = (2x – 3)3 – x + giải
ii) Phương trình dạng a-f(x)+ b+f(x)=c
Trong f(x) hàm số chứa biến x, f(x) thường kx, kx2, k x-d
(14)Ta ñaët
+ =
− =
f(x) b v
f(x) a u
(I) ⇒
+ = +
= +
b a v u
c v u
2
2 ⇔
− − =
= +
2 b a c uv
c v u
2
Theo định lý Viet đảo ta có u, v nghiệm phương trình : X2 – cX +
2 b a c2− −
=
Giải ta tìm u, v ⇒ tìm f(x) ⇒ tìm x Lưu ý: f(x) nghiệm chung hệ (I)
Các dạng thường gặp loại phương trình là: • a+f(x)− b−f(x)=c
• a+f(x)±3 b−f(x)=c • a+f(x)±4 b−f(x)=c • a+f(x)±5 b−f(x)=c
Thí dụ :giải phương trình -1+ x +3 3− x =2
Đáp số : x =
Ngồi cịn có dạng sau: ma−f(x)+n b+f(x)=c (m ≠ n, max{m, n} = 4) Sau đặt ẩn phụ ta thu phương trình có bậc nhỏ
5.Phương pháp lượng liên hợp:
Việc nhân lượng liên hợp vào biểu thức làm cho việc giải phương trình trở nên dễ dàng Phương pháp sử dụng nhiều mục đích khác nhau, tơi xin đưa lợi ích sử dụng phương pháp :
v Nhằm tạo nhân tử chung với vế cịn lại
Thí dụ : giải phương trình 2x+1− x−2 =x+3 (7a) Giải:
Điều kiện : x ≥
Để ý thấy (2x + 1) – (x – 2) = x + = VP Do ta nhân lượng liên hợp vào vế phương trình :
( 2x+1− x−2) ( 2x+1+ x−2) = (x + 3)( 2x+1+ x−2) ⇔x + = (x + 3)( 2x+1+ x−2)
3
2x x
x= −
⇔ + + −
= ⇒phương trình vô nghiệm
v Nhằm tạo vế nhân tử chung
(15)Giải :
Điều kieän : x ≤
2
− x ≥
2 17 3+
(7b) ⇔ 2x2−1− 2x2+2x+3= x2−x+2− x2-3x−2
2 2
2
2 2
2
( 2x 2x 2x 3)( 2x 2x 2x 3) 2x 2x 2x
( x x x -3x 2)( x x x -3x 2) x -3x
x x
− − + + − + + +
⇔
− + + +
− + − − − + + −
=
− + + −
2 2
-(2x 4) 2x
2x 2x 2x x x x -3x
+ +
⇔ =
− + + + − + + −
⇔ x = -2 ( thỏa điều kiện )
Vậy phương trình có nghiệm :x = -2
v Nhằm chứng minh phương trình có nghiệm
Thí dụ : giải phương trình
2 9 x x
3 x
x+ + − = + 2− − + (7c)
Giải :
Điều kiện :x ≥
Phương trình (7c) x 2 2
(x-5) ( x 4)
2
x
+ − − −
⇔ + = + − −
2
2
( x 2)( x 2) ( x 2)( x 2)
2( x 2) 2( x 2)
9 4)( 4)
x x
( 5)
9
x
x
+ − + + − − − +
⇔ +
+ + − +
− − − +
= − +
− +
2
5 ( 5)(x 5)
( 5)
2( x 2) 2( x 2) x
x x x
x
− − − +
⇔ + = − +
+ + − + − +
2
1 x
1
2( x 2) 2( x 2) x
x=
⇔ + = + +
+ + − + − +
(7c1) Xét phương trình (7c1) Ta coù VT <
2 ) 2 2(
1
1 +
+ < < VP suy (7c1) vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm : x =
III.Phương trình chứa ẩn mẫu :
Đối với phương trình loại cần lưu ý tìm điều kiện x để mẫu khác Sau số phương pháp giải phương trình chứa ẩn mẫu
1 Phương pháp khử phân thức
Mục đích phương pháp dùng để triệt tiêu rút gọn phân thức mẫu để làm toán trở nên đơn giản
(16)2 2
1 1
9 20 11 30 13 42 18
x + x+ +x + x+ +x + x+ =
Giải
Điều kiện x∈R\{− − − −4, 5, 6, 7} Phương trình tương đương
2
1 1 1 1
4 5 6 18
1 1
4 18
2
11 26
13
x x x x x x
x x
x
x x
x
− + − + − =
+ + + + + +
⇔ − =
+ +
=
⇔ + − = ⇔ = −
2 Phương pháp nhân tử hóa
Phương pháp dùng để biến đổi phân thức phương trình cho phân thức có chứa nhân tử chung cách thêm bớt lượng thích hợp
Thí dụ Giải phương trình
305 307 309 401
4
1700 1698 1696 1694
x− x− x− x−
+ + + =
Giải
Phương trình tương đương
305 307 309 401
1 1
1700 1698 1696 1694
2005 2005 2005 2005
0
1700 1698 1696 1694
2005
x x x x
x x x x
x
− − − −
− + − + − + − =
− − − −
⇔ + + + =
⇔ =
Thí dụ
2 2
4 18
7
x
x x x x
+ − = +
+ + + +
Giải
Phương trình tương đương
2 2
2 2
2 2
4 18
3 1
7
3 3
3
7
x
x x x x
x x x x
x
x x x x
+ − = − + − + −
+ + + +
− − − −
⇔ = + + ⇔ = ±
+ + + +
3 Phương pháp lượng liên hợp
Phương pháp đề cập đến kĩở phần phương trình vô tỉ Ở
ứng dụng khác phương pháp lượng liên hợp phương trình chứa ẩn mẫu Thí dụ
1 1
1
3 2 1
x+ + x+ + x+ + x+ + x+ + x =
Giải
(17)Phương trình tương đương
( )( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )
3 2
3 2
1
1
1
3 2 1
3
1
x x x x
x x x x x x x x
x x
x x x x
x x x x x x
x x
x
+ − + + + − +
+ + + + − + + − + + + +
+ −
+ =
+ − + +
⇔ + − + + + − + + + − =
⇔ + − =
⇔ =
4 Phương pháp chia xuống
Ý tưởng phương pháp áp dụng tính chất việc chia tử mẫu cho lượng khác khơng khơng đổi
Thí dụ:
Giải phương trình:
2
2
1
3
x x
x + x+ + x + x+ = −
Giải:
Điều kiện
2
3
2
3
x x
x
x x
+ + ≠ ⇔ ≠ − ±
+ + ≠
Nhận thấy x=0 nghiệm phương trình Ta chia tử mẫu phân thức 2 , 2
3
x x
x + x+ x + x+ cho x ≠0 phương trình trở thành :
1
1
1
3
x x
x x
+ = −
+ + + +
Đặt y x 1(y 2)
x
= + ≥ , ta thu được:
2
1
1
3
3 19 26
2 13
y y
y y
y
y
+ = −
+ +
⇔ + + =
= − ⇔ =−
Với y= −2 x= −1 Với 13
3
y= − 13 133
6
x=− ±
Các nghiệm thoảđiều kiện phương trình 5.Phương pháp đánh giá
(18)( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
f x g x
f x a f x g x a
g x a
=
≥ ⇒ = =
≤
Thí dụ: Gỉai phương trình:
2 2
3x +6x+ +7 5x +10x+14 = −4 2x−x
Giải:
Phương trình tương đương với:
2
3(x+1) + +4 5(x+1) + = − +9 (x 1) Nhận xét :
2
2
3( 1) 5( 1) 9
( 1)
5 ( 1)
x x
x x
x
+ + + + + ≥ + =
⇒ + = ⇔ = −
− + ≤
Ngồi ta cịn biến đổi phương trình thành dạng tổng bình phuơng:
2 2
1 ( ) ( ) n ( )
f x + f x + + f x =
Khi f1 ( )x = f2( )x = = fn ( )x =0
Nghiệm phương trình nghiệm chung f xi( )=0,i=1,n Thí dụ: Giải phương trình:
4
3 2
x − +x x+ − x+ =
Giải:
Điều kiện x≥ −2 Phương trình cho tương đương
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2
2 2 2
( 1) ( 1)
1
x x x x x x
x x x
x
+ + + − + + + − + + =
⇔ + + − + + − =
⇒ = −
Thật đẹp phải không bạn J
Phương trình sử dụng phương pháp thường có nghiệm x0 nghiệm thường dễ
đoán
Cách đánh giá dựa việc xét x>x0 x<x0 để suy phương trình có nghiệm
x=x
Thí dụ: Giải phương trình
6
5−x − 3x − =2 Giải:
Điều kiện: 6
5 x
− ≤ ≤
Phương trình tương đương với 5−x6 =33x4− +2 Ta dễ thấy phương trình có nghiệm x =1, nghĩa x= ±1 Khi x >1
6
3
5
3 1
x x
− < =
− + > + =
Suy phương trình vơ nghiệm
(19)6
3
5
3 1
x x
− > =
− + < + =
Suy phương trình vơ nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm x= ±1 Một số tính chất thường dùng
0≤ ≤ ⇒x xn≤ ∀ ∈x, n N
1 n ,
x x x n N
≤ ⇒ ≥ ∀ ∈
Thí dụ: Giải phương trình
2
1−x + x + − +x 1− =x Giải:
Điều kiện đơn giản, bạn có thễ dễ dàng xác định
Đặt
1 , 1,
a= −x b= x + −x c= −x ta có hệ:
2
6
2
6
1 , ,
, ,
1
a b c a a
a b c a b c b b
a b c c c
a a
a b c a b c b b
c c
+ + = ≤
+ + = ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤
≥ ≤
=
⇒ = + + ≤ + + = ⇒ =
=
Giải ta nghiệm x=1
Bài tập tổng hợp
Bài 1: Giải phương trình:
(x+3 x+2)(x+9 x+18)=168x
Bài 2: Giải phương trình:
2 2
8 20 14
3
4 16 10
x + +x + = −x +
Bài 3: Giải phương trình:
6
3
x + x + x + x + x + x+ =
Bài 4: Giải phương trình:
(x−1)(x−5)(x−3)(x− =7) 20 Bài 5: Giải phương trình:
2
2
2 20
2
x x
x− + x − −x =
Bài 6: Giải phương trình:
( ) (8 )10
1
x− + −x =
Bài 7: Giải phương trình:
8
x− − =
Bài 8: Giải phương trình:
3 15
(20)Bài 9: Giải phương trình:
5
x − x+ =
Bài 10: Giải phương trình:
3
8x −2x − + =x Bài 11: Giải phương trình:
4
4
x = x −
Bài 12: Giải phương trình:
2x −6x− =1 4x+5 Bài 13: Giải phương trình:
4
(x+3) + +(x 5) =4 Bài 14: Giải phương trình:
2 2
1
2 12 35 10 24
x x x x
x x x x x x x x
+ + + = + + +
+ + + + + + +
Bài 15: Giải phương trình:
3 3
x + x+ = x+
Bài 16: Giải phương trình:
6
3
5
x x
x x
− + + =
− +
I.Các hệ phương trình A Hệ phương trình đối xứng :
Dạng ( )
( )
,
,
f x y g x y
=
=
mà ởđó vai trò ,x y
Tức ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
f x y f y x
g x y g y x
=
=
Cách giải:
• Thơng thường người ta đặt ẩn phụ:
S= +x y hay S= −x y P=xy
⇒ ( )
( )
,
,
f S P g S P
=
=
sau tìm ,S P tìm nghiệm ( , )x y
Ví dụ: Giải hệ
2
6
x y xy
xy x y
+ =
+ + =
Nhưđã nói trên, ta đặt S= +x y P; =xy hệđã cho trở thành
6 S=3
hay
5 P=2
SP S
S P P
= =
⇒
+ = =
(21)• Nhưng để phương pháp áp dụng hữu hiệu ta nên biến đổi chút ẩn sốđể sau đặt ẩn phụ, ta phương trình nhẹ nhàng
Ví dụ 1:
( ) (3 )3
5
1 35
xy x y
x y
+ + =
+ + + =
Đặt S= + + +(x 1) (y ;) P= +(x 1)(y+1) ta có hệ phương trình sau
( )
6 5 3 x=2
hay
3 35 y=3
P S x
S S P P y
=
= =
⇒ ⇒
− = = =
Ví dụ 2:
2
8
( 1)( 1) 12
x y x y
xy x y
+ + + =
+ + =
Ởđây theo thông lệ thửđặt S x y
P xy
= + =
, ta thu hệ sau:
2
S
( 1) 12
S P
P P S
+ − =
+ + =
Rõ ràng chuyện không đơn giản chút Tuy nhiên có lẽ bạn nhận tinh tế tóan, bậc phương trình Phương trình bậc có lẽ chứa P Thể khơng dạng tích thuận tiện nào,trong phương trình thứ hai lại dạng tích bậc 4,gấp đơi bậc Nếu bạn nhìn biểu thức S P,bậc P gấp đôi bậc S,như phải phương trình thư S,thứ hai P Nếu giá trị x y P Quan sát phương trình thứ hai bạn dễ dàng nhận tinh tế này, (x x+1)và (y y+1)
Từ ý tưởng ta đặt: ( 1)
( 1)
a x x
b y y
= +
= +
Hệđã cho tương đương với:
8 a=2
hay
12 b=6
a b a
ab b
+ = =
⇒
= =
Như ( , )x y nghiệm phương trình sau:
1
2
3
) 2
)
i t t t t
ii t t t t
+ = ⇒ = ∨ = −
+ = ⇒ = ∨ = −
Tóm lại nghiệm hệđã cho là: ( , )x y = −(1, 2); ( 2,1); (2, 3); ( 3, 2)− − −
B Phương trình đối xứng lọai 2:
( , ) ( , )
f x y f y x
=
=
Đối với dạng hệ phương trình này, ta có thểđưa dạng hệ tương đương sau: ( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y f y x
f x y f y x
− =
+ =
(22)Hệ phương trình mà bạn thu hệđối xứng hay nửa đối xứng mà ta xét phần Thật đặt ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
h x y f x y f y x
g x y f x y f y x
= −
= +
Ta sẽđưa hệ dạng:
( , ) ( , )
h x y g x y
=
=
Ởđó
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
h x y h y x
g x y g y x
= −
=
Có thể bạn thấy ( , )h x y khơng đối xứng hịan tịan (nửa đối xứng) Tuy nhiên
đây chấp nhận lẽ hệ ta dạng ( , )h x y =0.(Nếu bạn thấy ray rứt
điều bạn viết dạng
( , )
h x y = ,chẳng phải ( , )
h x y đối xứng Chú ý thêm tác giả muốn bạn nắm bắt mối quan hệ sựđối xứng nửa đối xứng cách rõ ràng hơn, lúc giải tập bạn bình phương lên J)
C Phương trình đẳng cấp ( , ) (1)
( , ) (2)
f x y a
g x y b
=
=
mà ởđó :
( , ) ( , )
( , ) ( , )
k k
f tx ty t f x y
g tx ty t g x y
=
=
Ởđây điều kiện thứ hai bạn hiểu cách đơn giản đơn thức hàm f g đồng bậc (bậc đơn thức hai biến x,y tổng bậc x y) Nhận xét giúp cho bạn nhận biết phương trình đẳng cấp cách dễ dàng Cách giải tổng quát ởđây đưa phương trình:
( , ) ( , )
bf x y −ag x y = ,ở dó ,a b khơng đồng thời
Nếu a,b đồng thời Ta giải riêng phương trình ( , )f x y =0; ( , )g x y =0 so sánh nghiệm
Cách giải tương tự phương trình bf x y( , )−ag x y( , )=0nên bạn tham khảo bên
Ta xét trường hợp
)
i x= nghiệm hệ phương trình Điều bạn cần x=0và giải phương trình biến theo y
Trường hợp ta thu nghiệm ( , )x y =(0,y1)
)ii Trường hợp ta tìm nghiệm khác (0,y1) Chia hai vế cho k
x k bậc f Đặt t x
y
= Ta đưa phương trình theo ẩn t Giải phương trình ta tìm
được tỉ số x
y Sau thay x thành ty (1) Giải phương trình theo ẩn y, ta rút
ra nghiệm toán (ty y0, o) Ví dụ:
2
2
3 2
6
x xy y
x xy y
− + =
+ − = −
Giải:
Hệđã cho tương đương với:
2
2
24 16 16 56
7 42 21 56
x xy y
x xy y
− + =
+ − = −
(23)2
2
24 16 16 56
31 26 0(*)
x xy y
x xy y
− + =
⇔ + − =
Ta giải (*)
2
31 26
(31 )( ) 0(**)
31 0(1)
0(2)
x xy y
x y x y
x y
x y
+ − =
⇔ − + =
− =
⇔ + =
Từđây ta dễ dàng giải cách vào hệ phương trình ban đầu
II.Các phương pháp giải hệ không mẫu mực: A.Dùng bất đẳng thức :
Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp ta thấy số phương trình hệ sốẩn
Ví dụ1 Giải hệ phương trình nghiệm dương :
( )( )( ) ( )3
3
1 1
x y z
x y z xyz
+ + =
+ + + = +
Giải:
( )
VT = + + + +x y z xy+yz+zx +xyz≥ ( ) ( )
3
3
3
1 3+ xyz +3 xyz +xyz= +1 xyz
Suy dấu xảy x= =y z=1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :
2
1 5
80
x x x y y y
x y x y
+ + + + + = − + − + −
+ + + =
Giải: Đk:x≥ −1;y≥5 Giả sử
6
6
x y VT VP
x y VT VP
> − ⇒ > < − ⇒ <
Suy x= −y
Đến bạn đọc tự giải Ví dụ 3: Giải hệ :
9
3
1
1 1
8
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + +
=
Giải:
-Bài tóan có sốẩn nhiều số phương trình ta dụng bất đẳng thức -Nhận xét : bậc x,y,z khác nên ta sử dụng Cauchy cho xuất bậc giống hệ Ta có:
1
1 1
x y z
(24)Áp dụng Cauchy số:
1
x+ = ( ) ( ) ( )
2
8 2 4 2
8
1 1 1 1 1 1 1
x x y y y y z z x y z
x+ +x+ + y+ + y+ + y+ + y+ +z+ +z+ ≥ x+ y+ z+
Hòan tòan tương tự :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
8 3 3 2
3
8 3 4 1
1
1 1 1 1
1
1 1
x y z
y x y z
x y z
z x y z
≥
+ + + +
≥
+ + + +
Từ bất đẳng thức thu ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
24 32 16
8
3 24 32 16
9
1 1
8
1 1 1
8
x y z
x y z x y z
x y z
≥
+ + + + + +
⇒ ≤
dấu xảy ⇔ 1
1 1
x y z
x y z
x+ = y+ = z+ = ⇔ = = =
Ví dụ 4: giải hệ:
4
2
697 81
3 4
x y
x y xy x y
+ =
+ + − − + =
Giải:
-Ví dụ chúng tơi muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị x,y nhờ
điều kiện có nghiệm tam thức bậc hai -Xét phương trình bậc hai theo x:
( )
( ) ( ) ( )( )
2
2
3 4
7
3
3
x x y y y
y y y y y
+ − + − + =
= − − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤
Tương tự xét phương trình bậc hai theo y ta có
x
≤ ≤
Suy ra:
4
4 697
3 81
x +y ≤ + =
4
x
⇒ =
3
y= Tuy nhiên vào hệ nghiệm khơng thỏa Vì hệ phương trình vô nghiệm
(25)5
5
5
2
2
2
x x x y
y y y z
z z z x
− + =
− + =
− + =
Ý tưởng tóan ta phải đóan nghiệm hệ x= = =y z 1,sau chứng minh x>1 hayx<1đều vơ nghiệm
Nếu x>1⇒ = − +2 z5 z4 2z x2 > − +z5 z4 2z2 ⇒ > −0 (z 1)(z4+2z+2) Do
2
z + z+ dương nên 1>z
Tương tự ⇒ > ⇒ < ⇒y x Vơ lí
Tương tự x< ⇒1 vơ lí.Vậy x= ⇒ = ⇒ =1 y z
Bài tập luyện tập
Giải hệ:
1) 2
2
x y z
xy z
+ + =
− =
2)
( )( )
( )( )
( )( )
2 2
1
1
1
x y z
y z x
z x y
= − +
= − +
= − +
3)
2
2
21 1988
21 1988
21 1988
y y x
z z y
x x z
+ =
+ =
+ =
4)
2 2
2 2
2
1
x y x y
z y
z x z
=
+
=
+
=
+
5)
2 2
2 2
3
x y z
x y z
y z x
+ + =
+ + =
B.Đặt ẩn phụ:
Đôi tóan phức tạp ta giải hệ với ẩn (x,y,z,…) sau phép đặt ( ), ( ), ( ),
a= f x b= f y c= f z
Ví dụ 1:Giải hệ 12
5 18
5 36 13
xy
x y
yz
y z
xz
x z
=
+
=
+
= +
Hướng dẫn: Đặt a 1,b 1,c
x y z
(26)Ví dụ 2: Giải hệ:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
( ) (3 1)
( ) (4 1)
( ) (5 1)
x y z x x y z
y x z y y x z
z x y z z x y
+ = + +
+ = + +
+ = + +
Nếu x=0 dễ dàng suy được: y= =z 0.Như ( , , )x y z =(0, 0, 0) nghiệm hệ
Ta tìm nghiệm khác (0, 0, ) Chia hai vế cho 2
x y z ta thu hệ tương đương:
2
2
2
1
3
1
4
1
5
y z
yz x x
x z
xz y y
x y
xy z z
+ = + +
+
= + +
+
= + +
Ta lại đặt a 1;b 1;c
x y z
= = = ta nhận được: 2
2
2
( ) 5(1)
( ) 3(2)
( ) 4(3)
a b c c
b c a a
a c b b
+ = + +
+ = + +
+ = + +
Lấy (2) (3) ( ) 2(( ) 1)
(1) (2) ( )(2( ) 1)
a b a b c
b c a b c
− ⇒ − + + + =
− ⇒ − + + + =
Từđây suy a b− = −b c⇒ + =a c 2b
Thay vào (2) ta 3b2− + =b
Từđây bạn dễ dàng giải tiếp tốn Ví dụ 3: Giải hệ
3
(6 21 )
( 6) 21
x y
x y
+ =
− =
Nếu giải hệ với ẩn ( , )x y ởđây ta thật khó để thấy đwocj hướng giải Nhưng chuyện rõ ràng ta đặt x
z
=
3
21
21
z y
y z
= +
= +
Đây hệđối xứng mà ta dễ dàng tìm đước hướng giải J Sau tập áp dụng dành cho bạn đọc:
Bài tập luyện tập
Bài 1: Giải hệ:
2
2 2
( 1)
x x y
xy xy x y
+ + + =
+ + + =
(27)3
3
3
3
( ) 12
( ) 12
( ) 12
( ) 12
x y z t
y z t x
z t x y
t x y z
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
C.Tính đại lượng chung
Ý tưởng phương pháp tính đại lượng Ví dụ 1:Giải hệ:
2
2 (*)
3
xy y x
yz z y
xz z x
+ + + =
+ + =
+ + =
( 1)( 2)
(*) ( 2)( 3) 12 ( 1)( 2)( 3) 24
( 3)( 1)
x y
y z x y z
z x
+ + =
⇔ + + = ⇒ + + + = ±
+ + =
Từđây bạn có thể giải tiếp cách dễ dàng Ví dụ 2:Giải hệ:
2
3
2(1) 3(2)
5(3) 9(4)
u v
ux vy
ux vy
ux vy
+ =
+ =
+ =
+ =
Giải:
Nhân x+y vào (3)
3 2
5( )
9 5( )
ux vy ux y vxy x y
xy x y
⇒ + + + = +
⇒ + = +
Nhân x+y vào (2)
2( )
uy vx x y
⇒ + = + −
Nhân 2
x +y vào (2)
[ ]
2
3(x +y )= +9 xy uy( +vx)= +9 xy 2(x+ −y)
Đặt a= +x y b; =xy
Đến bạn có thễ dễ dàng giải tiếp J
Bài tập luyện tập
Bài 1: Giải hệ
2 2
2 2
50 24
x y z t
x y z t
xz yt
x y z t
+ + + =
− + − = −
=
− + + =
Bài 2:Giải hệ 2
y xz b
z xy c
x yz a
− = − =
− =
(28)Bài 3:Giải hệ
2 2
( )
( )
( )
ax by x y
by cz y z
cz ax z x
+ = −
+ = −
+ = −
( , ,a b c số) Bài 4:Giải hệ
3
3
3
( )
( ) 30
( ) 16
x x y z
y y z x
z z x y
+ − =
+ − =
+ − =
D.Nhân liên hợp
Phương pháp chủ yếu bỏ dâu thức đễ dễ tính tốn hay để xuất đại lượng có thểđặt ẩn phụ
Ví dụ 1:Giải hệ:
(1)
5
x y
x y
+ =
+ + + =
Giải: Ta có:
5 13
(1)
5
5 13
5
2
5
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
+ + + + + =
⇔
+ − + + − =
+ + + + + =
⇔ + =
+ + + +
Đặt
5
u x x
v y y
= + +
= + +
Ta suy ra: 10
1
5 10 25
5
u v
u v
u v
uv
u v x y
+ =
+ =
+ =
⇒ =
⇒ = = ⇒ = =
Ví dụ 2: Giải hệ:
3
42
3
42
y
y x
x
y x
− =
+
+ =
+
Giải:
Từ hệ ta suy điều kiện:
,
x y>
(29)2
4
6
10
42
15
42
15 ( )( 42 )
25 84
(3 )( 28 )
3
28
y x
y x x y
y x x y
xy y x y x
y xy x
x y y x
x y
y x
+ =
= −
+
⇒ = −
+
⇒ = − +
⇒ + − =
⇒ − + =
=
⇒ + =
Trường hợp thứ hai ta loại không thỏa điều kiện ,x y>0 Thay vào hệ ban đầu ta thu nghiệm sau:
5 6
( , ) ,
27
x y = + +
Bài tập luyện tập
Bài 1: Giải hệ
6
1
x y
x y
+ + + =
+ + + =
Bài 2: Giải hệ
1
( 1)( 1)
x y xy
x y
− + + + = −
− − =
Bài 3: Giải hệ
1
2
2 ( 1)( 1)
x y
x x y y
y x x y
+ + − = + + −
+ + + + =
Kết thúc viết phần tập tổng hợp mục hệ phương trình mà ta xem xét:
III)Bài tập tổng hợp
Bài 1: Giải hệ phương trình sau: a)
2
6
x y xy
xy x y
+ =
+ + =
b)
4 2
2
21
x x y y
x xy y
+ + =
− + =
(30)2
( 1) ( 1) 12
x y x y
x x y y
+ + + =
+ + + =
Bài 3:Giải hệ phương trình sau:
3 2
2
2
x y x x y xy y
x y
+ + + + + =
= −
Bài 4:Giải hệ phương trình sau: 3
6 126
x y
x y
− =
− =
Bài 5:Giải hệ phương trình sau:
2
2
2
x y a
xy a
+ =
+ =