Nội dung bài viết này trình bày chi tiết một số dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức chứa hai biến mà điều kiện ràng buộc của hai biến hoặc biểu thức thể hiện tính đối xứng hoặc tính đẳng cấp, trình bày một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức chứa ba biến mà bằng cách đánh giá chúng ta thế được hai biến qua biến còn lại.
www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Chương 1.Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số 1.1.Một số kiến thức sở đạo hàm 1.2.Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số 1.3.Một số ví dụ tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Chương 2.Kỹ thuật giảm biến tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức 2.1.Bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức phương pháp 2.2.Bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức đối xứng 12 2.3.Bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức thể tính đẳng cấp 24 2.4.Bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa ba biến 30 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An LỜI NÓI ĐẦU Trong sách giáo khoa lớp 12 Giải tích trình bày cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Vì số dạng tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa biến trở nên đơn giản Bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn toán bất đẳng thức dạng tốn khó chương trình trung học phổ thơng Trong tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức dành cho học sinh khá, giỏi biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn thường chứa khơng hai biến Khơng thế, tốn khó thường có giả thiết ràng buộc biến Việc chuyển tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức khơng hai biến sang tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số chứa biến giúp giải tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức Vấn đề đặt dạng tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn chuyển dạng tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị nhỏ hàm số chứa ẩn Vì chúng tơi chọn đề tài "Ứng dụng đạo hàm để tìm giá nhỏ nhất, giá trị nhỏ biểu thức" Trong trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi đại học, cao đẳng thân đúc rút số kinh nghiệm Vì viết chúng tơi trình bày chi tiết số dạng tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa hai biến mà điều kiện ràng buộc hai biến biểu thức thể tính đối xứng tính đẳng cấp, trình bày số tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa ba biến mà cách đánh giá hai biến qua biến lại Với mục đích vậy, ngồi lời mở đầu, mục lục phần tài liệu tham khảo, viết trình bày hai chương www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An Chương Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sở cần thiết để giải toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Ở cuối chương, đưa số ví dụ minh hoạ Chương Kỹ thuật giảm biến tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức Trong chương này, chúng tơi trình bày chi tiết dạng tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa hai biến mà điều kiện ràng buộc hai biến biểu thức thể tính đối xứng tính đẳng cấp, trình bày số dạng tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa ba biến cách đặt ẩn phụ hai biến qua biến lại Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo tổ Toán, em học sinh lớp 12A-K30, 10C1-K33 trường THPT Đặng Thúc Hứa cộng tác, giúp đỡ tác giả suốt trình nghiên cứu hồn thiện biết Trong q trình thực viết này, cố gắng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q thầy cơ, bạn em học sinh để viết hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Thanh Chương, tháng 05 năm 2011 Tác giả www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An CHƯƠNG GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ 1.1 Một số kiến thức sở đạo hàm Trong mục chúng tơi trình bày lại số kiến thức đạo hàm số công thức đạo hàm 1.1.1 Định lý Nếu hai hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm J (u + v) = u + v ; (u − v) = u − v ; (uv) = u v + uv ; (ku) = ku ; ( uv ) = u v−uv v2 , với v(x) = 1.1.2 Định lý Đạo hàm số hàm số thường gặp (c) = 0(c số) (x) = (xn ) = nxn−1 (n ∈ R) (un ) = nun−1 u ( x1 ) = − x12 ( u1 ) = − uu2 √ u ( u) = 2√ u √ ( x) = √ (x x > 0) (ex ) = ex (eu ) = eu u (ln x) = x1 (x > 0) (ln u) = u u (sin x) = cos x (sin u) = u cos u (cos x) = − sin x (cos u) = −u sin u (tan x) = + tan2 x(x = π + kπ) (tan u) = u (1 + tan2 u) (cot x) = −(1 + cot2 x)(x = kπ) (cot u) = −u (1 + cot2 u) www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An 1.1.3 Nhận xét Đạo hàm số hàm phân thức hữu tỉ thường gặp Cho hàm số y = ax+b cx+d Cho hàm số y = ax2 +bx+c mx+n Cho hàm số y = ax2 +bx+c mx2 +nx+p 1.2 với a.c = 0, ad − cb = Ta có y = với a.m = Ta có y = ad−cb (cx+d)2 amx2 +2anx+bn−mc (mx+n)2 với a.m = Ta có y = (an−mb)x2 +2(ap−mc)x+(bp−nc) (mx2 +nx+p)2 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Trong mục chúng tơi trình bày lại số kiến thức tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số 1.2.1 Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định tập hợp D ⊂ R a) Nếu tồn điểm x0 ∈ D cho f (x) ≤ f (x0 ) với x ∈ D số M = f (x0 ) gọi giá trị lớn hàm số f D, ký hiệu M = maxf (x) x∈D b) Nếu tồn điểm x0 ∈ D cho f (x) ≥ f (x0 ) với x ∈ D số m = f (x0 ) gọi giá trị nhỏ hàm số f D, ký hiệu m = minf (x) x∈D 1.2.2 Nhận xét Như vậy, muốn chứng tỏ số M (hoặc m) giá trị lớn (hoặc giá trị nhỏ nhất) hàm số f tập hợp D cần rõ: a) f (x) ≤ M (hoặc f (x) ≥ m) với x ∈ D b) Tồn điểm x0 ∈ D cho f (x0 ) = M (hoặc f (x0 ) = m) 1.2.3 Nhận xét Người ta chứng minh hàm số liên tục đoạn đạt giá trị nhỏ giá trị lớn đoạn Trong nhiều trường hợp, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn mà không cần lập bảng biến thiên Quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm f đoạn [a; b] sau: Tìm điểm x1 , x2 , , xn thuộc khoảng (a; b) mà f có đạo hàm khơng có đạo hàm www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An Tính f (x1 ), f (x2 ), , f (xn ), f (a) f (b) So sánh giá trị tìm Số lớn giá trị giá trị lớn f đoạn [a; b], số nhỏ giá trị giá trị nhỏ f đoạn [a; b] 1.3 Một số ví dụ tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Trong mục chúng tơi trình bày số ví dụ tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số √ 1.3.1 Ví dụ Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f (x) = x+ − x2 Bài làm Tập xác định D = [−2; 2], f (x) = − biến thiên √ x , 4−x2 √ t −2 f (t) + f (t) ✒ √ 2 √ Bảng − ❅ ❅ ❘ ❅ −2 f (x) = ⇔ x = √ √ Từ bảng biến thiên ta có f (x) = f (−2) = −2 max f (x) = f ( 2) = 2 x∈[−2;2] x∈[−2;2] 1.3.2 Bài tập Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f (x) = − x2 + (1 − x2 )2 Bạn đọc tự giải 1.3.3 Bài tập Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f (x) = cos x − cos 5x với − Bạn đọc tự giải π π ≤x≤ 4 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An 1.3.4 Bài tập Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số √ √ √ − x4 + + x2 + − x2 + √ √ f (x) = + x + − x2 + √ √ √ Hướng dẫn Đặt t = + x2 + − x2 , ≤ t ≤ 1.3.5 Bài tập Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f (x) = (x + 1) − x2 Bạn đọc tự giải 1.3.6 Bài tập Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f (x) = x6 + 4(1 − x2 )3 , với x ∈ [−1; 1] Bạn đọc tự giải 1.3.7 Bài tập Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số π π f (x) = sin 2x − x, với x ∈ [− ; ] 2 Bạn đọc tự giải 1.3.8 Bài tập Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số 2x + f (x) = √ x2 + Bạn đọc tự giải 1.3.9 Bài tập Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f (x) = x( − x2 + x) Bạn đọc tự giải www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An CHƯƠNG KỸ THUẬT GIẢM BIẾN TRONG BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC Từ kết Chương thấy việc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số đơn giản.Việc chuyển tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức khơng hai biến sang tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số chứa biến giúp giải tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức 2.1 Bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức phương pháp Trong phần chúng tơi trình bày số dạng tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa hai biến cách biến qua biến cịn lại Từ xét hàm số tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số 2.1.1 Ví dụ Cho x, y > thoả mãn x + y = 54 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Bài làm Từ giả thiết x + y = số f (x) = x + 5−4x , x 4 + x 4y ta có y = − x Khi P = ∈ (0; 54 ) Ta có f (x) = − x42 + (5−4x)2 (loại) Ta có bảng biến thiên x f (x) − + +∞ f (x) +∞ ❅ ❅ ❘ ❅ ✒ x + 5−4x Xét hàm f (x) = ⇔ x = v x = www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An Từ bảng biến thiên ta có min5 f (x) = f (1) = Do P = đạt x∈(0; ) x = 1, y = Nhận xét Bài toán giải cách biến qua biến lại xét hàm số chứa biến 2.1.2 Ví dụ Cho x, y ∈ R thoả mãn y ≤ 0, x2 + x = y + 12 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P = xy + x + 2y + 17 Bài làm Từ giả thiết y ≤ 0, x2 +x = y+12 ta có y = x2 +x−12 x2 +x−12 ≤ hay −4 ≤ x ≤ Khi P = x3 +3x2 −9x−7 Xét hàm số f (x) = x3 +3x2 −9x−7, x ∈ [−4; 3] Ta có f (x) = 3(x2 + 2x − 3), f (x) = ⇔ x = −3 v x = Ta có bảng biến thiên x −4 f (x) + f (x) −3 20 ✒ −13 − + 20 ❅ ❅ ❘ ❅ −12 ✒ Từ bảng biến thiên ta có f (x) = f (1) = −12, max f (x) = f (−3) = f (3) = 20 x∈[−4;3] x∈[−4;3] Do P = −12 đạt x = 1, y = −10 max P = 20 đạt x = −3, y = −6 x = 3, y = Nhận xét Bài toán giải cách biến qua biến lại phải đánh giá biến lại Từ tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số chứa biến bị chặn 2.1.3 Ví dụ Cho x, y > thoả mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =√ x y +√ 1−y 1−x Bài làm Từ giả thiết x, y > 0, x + y = ta có y = − x, < x < Khi ta có P = √x 1−x + 1−x √ x Xét hàm số f (x) = √x 1−x + 1−x √ , x f (x) = 2−x √ 2(1−x) 1−x − x+1 √ , 2x x www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An f (x) = ⇔ x = 21 Bảng biến thiên x f (x) − + +∞ f (x) +∞ ❅ ✒ ❅ ❘ ❅ √ Từ bảng biến thiên suy P = f (x) = f ( 21 ) = x∈(0;1) √ đạt x = y = 12 Nhận xét Bài toán giải cách biến qua biến lại sử dụng giả thiết để đánh giá biến cịn lại Từ tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số chứa biến bị chặn 2.1.4 Ví dụ Cho x, y > thoả mãn x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Bài làm Ta có P = y y y 3x2 +4 4x +( y + + )+ Do P = ≥ 3x2 +4 4x + y2 3x2 +4 4x +3 3x2 + + y + 4x y2 + y Áp dụng bất đẳng thức AM -GM ta có P = 2.y.y y y 4.4 + = 12 (x+y)+( x4 + x1 )+ 32 ≥ 2+2 x.1 4.x + = 92 đạt x = y = Nhận xét Bài toán giải cách đánh giá biểu thức P cố gắng chuyển biến 2.1.5 Bài tập Cho x, y ∈ [−3; 2] thoả mãn x3 + y = Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P = x2 + y Bạn đọc tự giải 2.1.6 Bài tập Cho x, y ≥ thoả mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P = x y+1 + y x+1 Bạn đọc tự giải 10 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An 2.3.6 Ví dụ Cho x, y > Chứng minh (x+ √4xy2 x +4y )3 ≤ 18 Bài làm Đặt t = xy Từ giả thiết x, y > suy t > Khi bất đẳng thức √4t (t+ t2 +4)3 cần chứng minh tương đương với ≤ √ hay t( t2 + − t)3 ≤ Xét hàm √ √ số f (t) = t( t2 + − t)3 , f (t) = ( t2 + − t)3 − f (t) = ⇔ t = √ 2 √ 3t( t2 +4−t)3 √ t2 +4 √ √ ( t2 +4−t)3 ( t2 +4−3t) √ , t2 +4 = Ta có bảng biến thiên √ 2 t f (t) f (t) + +∞ − ✒ ❅ ❅ ❘ ❅ Từ bảng biến thiên ta có xảu t = √ 2 max f (t) = f ( t∈(0;+∞) √ hay y = 2x √ = hay t( t2 + − t)3 ≤ dấu √ 2 ) 2.3.7 Ví dụ Cho x > y > Chứng minh x+y > x−y ln x−ln y > Bài làm Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Ta chứng minh ln xy > minh ln t > 2(t−1) t+1 2(x−y) x+y √ x y xy < x −1 y ln( xy ) < x +1 y Đặt t = xy Từ giả thiết x > y > suy t > Chứng Xét hàm số f (t) = 2(t−1) t+1 − ln t, f (t) = (t+1)2 − t = −(t−1)2 t(t+1)2 ≤0 ∀t > Ta có bảng biến thiên t f (t) || f (t) +∞ − ❅ ❅ ❘ ❅ −∞ Từ bảng biến thiên ta có f (t) < ∀t > hay Ta chứng minh x y < x −1 y ln( xy ) Đặt t = x y 2(t−1) t+1 < ln t ∀t > Bất đẳng thức trở thành t2 −2tlnt−1 > Xét hàm số g(t) = t2 − 2tlnt − 1, g (t) = 2(t − lnt − 1), g (t) = 2(1 − 1t ) ≥ 0, ∀t > Suy đpcm 28 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An 2.3.8 Ví dụ Cho x, y > thoả mãn xy ≤ y − Tìm giá trị nhỏ biểu thức y3 x2 + y2 x3 P = Bài làm Đặt x = ty Từ giả thiết x, y > xy ≤ y − ta có ty + = y hay = t2 y + y f (t) = 2t − ≥ 2t suy < t ≤ 12 Khi P = t2 + 27 t4 , f (t) = ⇔ t = 27 (loại) t f (t) t3 Xét hàm số f (t) = t2 + t3 , Bảng biến thiên || +∞ f (t) − ❅ ❅ ❘ ❅289 Từ bảng biến thiên ta có P = min1 f (t) = f ( 21 ) = t∈(0; ] 289 đạt (x; y) = (1; 2) Nhận xét Bài tốn giả thiết có số hạng khơng bậc Để giải toán ta đánh giá giả thiết ràng buộc hai biến x, y 2.3.9 Bài tập Cho x, y ≥ Chứng minh 3x3 + 7y ≥ 9xy Bạn đọc tự giải 2.3.10 Bài tập Cho x, y ≥ Chứng minh x4 + y ≥ x3 y + xy Bạn đọc tự giải 2.3.11 Bài tập Cho x, y > Chứng minh x3 + x3 y3 + y3 ≤ x + x y + y Bạn đọc tự giải 2.3.12 Bài tập Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3( xy2 + y2 x2 ) − 8( xy + xy ) với x, y = Hướng dẫn Đặt t = x y + xy , |t| ≥ 2.3.13 Bài tập Cho < x < y < Chứng minh x2 ln y − y ln x > ln x − lny 29 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An Hướng dẫn Xét hàm số f (t) = ln t 1+t2 2.3.14 Bài tập Cho x, y > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x3 +y +7xy(x+y) √ xy x2 +y Bạn đọc tự giải 2.3.15 Ví dụ Cho a, b > x > y > Chứng minh (ax + bx )y < (ay + by )x Bạn đọc tự giải 2.4 Bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa ba biến Trong phần chúng tơi trình bày số dạng tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa ba biến cách đặt ẩn phụ hai biến qua biến lại Từ đó, chuyển tốn tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số 2.4.1 Ví dụ Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = Chứng minh xz + yz ≥ 16 Bài làm Đặt t = x+y Từ giả thiết ta có z = 1−(x+y) hay z = 1−t < t < Áp dụng bất đẳng thức (x + y)2 ≥ 4xy hay xy ≤ Xét hàm số f (t) = −t2 +t , f (t) = t f (t) 4(2t−1) , (−t2 +t)2 t2 Khi P = + yz = t xy(1−t) ≥ −t2 +t f (t) = ⇔ t = 12 Ta có bảng biến thiên − + +∞ f (t) xz +∞ ❅ ❅ ❘ ❅ ✒ 16 Từ bảng biến thiên ta có f (t) = f ( 21 ) = 16 đạt x = y = 14 , z = 12 Vì t∈(0;1) xz + yz ≥ 16 Nhận xét Bài toán đơn giản, cần biến z theo biến x, y đổi biến t = x + y chuyển tốn biến 30 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An 2.4.2 Ví dụ Cho x2 + y + z = Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P = x + y + z + xy + yz + zx Bài làm Đặt t = x + y + z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy -Schwarz ta có √ √ (x + y + z)2 ≤ 3(x2 + y + z ) suy − ≤ t ≤ Khi 1 P = (x + y + z) + [(x + y + z)2 − (x2 + y + z )] = (t2 + 2t − 1) 2 Xét hàm số f (t) = 12 (t2 + 2t − 1), f (t) = 2t + 2, f (t) = ⇔ t = −1 Ta có bảng biến thiên t f (t) √ − 1− √ f (t) Từ bảng biến thiên ta có P = − √ −1 + 1+ ❅ ❅ ❘ ❅ √ ✒ −1 √ √ f (t) t∈[− 3; 3] = f (−1) = −1 đạt t = −1 hay (x; y; z) = (−1; 0; 0) hốn vị nó; max P = √ √ √ max đạt t = hay (x; y; z) = √ √ f (t) = f ( 3) = + t∈[− 3; 3] 1 ( √3 ; √3 ; √3 ) Nhận xét Bài toán đối xứng với ba biến, cách đặt t = x + y + z chuyển biến Sau số toán với định hướng tương tự 2.4.3 Ví dụ Cho x, y, z ≥ Tìm giá trị lớn biểu thức P = 1 − x + y + z + (1 + x)(1 + y)(1 + z) Bài làm Đặt t = x + y + z Áp dụng bất đẳng thức xy + yz + zx ≤ xyz ≤ P = (x+y+z)3 27 (x+y+z)2 Ta có 1 − ≤ − (x + y + z) + xyz + (xy + yz + zx) + (x + y + z) + t+1 31 t3 27 + t2 +t+1 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An 27 − t + (t + 3)3 = Xét hàm số f (t) = 27 t+1 − (t+3)3 , 81 f (t) = − (t+1) + (t+3)4 , f (t) = ⇔ (t + 3) = [9(t + 1)] hay t = v t = Ta có bảng biến thiên t f (t) + +∞ − f (t) ✒ ❅ ❅ ❘ ❅ Từ bảng biến thiên ta có max f (t) = f (3) = t∈[0;+∞) suy max P = đạt x = y = z = 2.4.4 Ví dụ Cho x, y, z ≥ thoả mãn x + y + z = Chứng minh ≤ xy + yz + zx − 2xyz ≤ 27 Bài làm Từ giả thiết x, y, z ≥ 0, x + y + z = ta có xy + yz + zx − 2xyz = xy(1 − z) + yz(1 − x) + zx ≥ Dấu xảy (x; y; z) = (1; 0; 0) hoán vị Do vai trị x, y, z bình đẳng nên ta giả sử x = min{x, y, z} Từ giả thiết x, y, z ≥ 0, x + y + z = ta có ≤ x ≤ thức yz ≤ (y+z)2 y + z = − x Áp dụng bất đẳng − 2x > Khi biểu thức P = xy + yz + zx − 2xyz = x(y + z) + yz(1 − 2x) ≥ x(1 − x) + (1 − 2x) = x(1 − x) + (1 − 2x) (y + z)2 (1 − x)2 = (−2x3 + x2 + 1) 4 Xét hàm số f (x) = −2x3 + x2 + với x ∈ [0; 31 ] Ta có f (x) = −6x2 + 2x, f (x) = ⇔ x = v x = 13 Ta có bảng biến thiên 32 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An x f (x) + 28 27 f (x) ✒ Từ bảng biến thiên ta có max1 f (x) = f ( 13 ) = x∈[0; ] 28 27 Do max P = max f (x) = x∈[0; 13 ] 27 đạt x = y = z = 13 Nhận xét Bài toán đối xứng với ba biến, để chuyển theo biến phải chọn phần tử đại diện, tìm cách đánh giá phần tử biến đổi biểu thức theo phần tử đại diện Sau số tốn với định hướng tương tự 2.4.5 Ví dụ Cho x, y, z ≥ thoả mãn x + y + z = Chứng minh x3 + y + z + 15 xyz ≥ 4 Bài làm Do vai trò x, y, z bình đẳng nên ta ln giả sử x = min{x, y, z} Từ giả thiết x, y, z ≥ 0, x + y + z = ta có ≤ x ≤ đẳng thức yz ≤ (y+z)2 27x y + z = − x Áp dụng bất − < Khi biểu thức P = x3 + y + z + 15 xyz 15xyz 15x = x3 + (y + z)3 + yz[ − 3(y + z)] 4 27x (y + z)2 27 = x3 + (1 − x)3 + yz( − 3) ≥ x3 + (1 − x)3 + ( x − 3) 4 = (27x3 − 18x2 + 3x + 4) 16 = x3 + (y + z)3 − 3yz(y + z) + Xét hàm số f (x) = 16 (27x −18x +3x+4), f (x) = v x = 31 Bảng biến thiên 33 16 (81x −36x+3), f (x) = ⇔ x = www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An x f (x) + − 27 f (x) ✒ ❅ ❅ ❘ ❅1 4 Từ bảng biến thiên ta có max1 f (x) = f (0) = f ( 31 ) = 14 Do P ≥ x∈[0; ] dấu xảy (x; y; z) = ( 13 ; 13 ; 13 ) (x; y; z) = (0; 12 ; 12 ) hốn vị 2.4.6 Ví dụ Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = √x 1−x + √y 1−y + √z 1−z √x , 1−x 2−x √ Phương trình tiếp tuyến 2(1−x) 1−x √ số y = f (x) điểm M ( 31 ; √16 ) y = 12√32 (15x − 1) √ √ √x (15x − 1) Nếu < x < 15 bất đẳng thức ≥ 1−x 12 Bài làm Xét hàm số f (x) = đồ thị hàm Chứng minh Nếu 15 f (x) = ≤ x < bất đẳng thức tương đương với (3x − 1)2 (25x − 1) ≥ đúng, đẳng thức xảy x = 13 Tương tự ta có √y 1−y √ √ 3 √ √z √ (15y − 1) , ≥ (15z − 1) 1−z 12 12 √ √ ≥ 12√32 [15(x + y + z) − 3] = 26 Do P ≥ Cộng theo vế ta có P = √ đạt x = y = z = 31 Nhận xét Bài toán đối xứng với ba biến Biểu thức chứa số hạng mà số hạng chứa biến Để giải toán thường nghĩ đến phương pháp tiếp tuyến Sau tốn với định hướng tương tự 2.4.7 Ví dụ Cho x, y, z ∈ (0; 1) thoả mãn xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x 1−x2 + Bài làm Ta có P = < x < 1, f (x) = y 1−y + x2 x(1−x2 ) 3x2 −1 , x2 (1−x2 )2 z 1−z + y2 y(1−y ) + z2 z(1−z ) f (x) = ⇔ x = thiên 34 √1 Xét hàm số f (x) = x(1−x2 ) với v x = − √13 (loại) Ta có bảng biến www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An x f (x) √1 − + +∞ +∞ f (x) ✒ ❅ ❅ ❘ ❅ x(1−x2 ) √ 3 ∀x ∈ (0; 1) Vì √ √ √ 3 3 3 P ≥ (x + y + z ) ≥ (xy + yz + zx) = 2 Từ bảng biến thiên ta có √ 3 Do P = ≥ √ 3 đạt x = y = z = √1 2.4.8 Ví dụ Cho x, y, z > thoả mãn x2 + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 y +z + Bài làm Ta có P = f (x) = 3x2 −1 x2 (1−x2 )2 y2 z +x2 + z2 x2 +y x2 1−x2 + y2 1−y , f (x) = ⇔ x = x f (x) + √1 z2 1−z Xét hàm số f (x) = √1 − + +∞ +∞ ❅ ❘ ❅ Từ bảng biến thiên ta có √ Vì P ≥ 3 (x ✒ ❅ x(1−x2 ) ≥ với < x < 1, v x = − √13 (loại) Ta có bảng biến thiên f (x) x(1−x2 ) √ 3 √ 3 ∀x ∈ (0; 1) + y + z ) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có x6 + x3 y + x3 y ≥ 3x4 y ; x6 + x3 z + x3 z ≥ 3x4 z ; ; x3 y + y z + x3 z ≥ 3x2 y z Khi 3(x6 + y + z + 2x3 y + 2y z + 2x3 z ) ≥ x6 + y + z + 3x4 y + 3x4 z + 3x2 y + 3y z + 3x2 z + 3y z + 6x2 y z Vì ta chứng minh bất đẳng thức 3(x3 + y + z )2 ≥ (x2 + y + z )3 hay √1 √ 3 (x x3 + y + z ≥ Do P ≥ + y3 + z3) ≥ suy P = 35 đạt x = y = z = √1 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An 2.4.9 Bài tập Cho x, y, z ≥ thoả mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh xy + yz + zx ≤ Hướng dẫn Nếu Nếu ≤ x < 9 + xyz 7 ≤ x ≤ yz ≤ 97 xyz y + z ≤ 29 Suy xy + yz < < 72 bất đẳng thức cần chứng minh trở thành (x + 1)(3x − 1)2 ≥ 2.4.10 Bài tập Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh 13 27 ≤ a2 + b2 + c2 + 4abc < 12 Bạn đọc tự giải 2.4.11 Bài tập Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = Chứng minh 2(x3 + y + z ) + 3(x2 + y + z ) + 12xyz ≥ Bạn đọc tự giải 2.4.12 Bài tập Cho ≤ x, y, z ≤ thoả mãn x + y + z = Chứng minh x2 + y + z ≤ 14 Hướng dẫn Giả sử x = max{x, y, z} Khi ≤ x ≤ P = x2 + y + z ≤ x2 + y + z + 2(y − 1)(z − 1) Xét hàm số theo ẩn x 2.4.13 Bài tập Cho ≤ x, y, z ≤ thoả mãn x + y + z = Chứng minh x3 + y + z ≤ Hướng dẫn Giả sử x = max{x, y, z} Khi ≤ x ≤ P = x3 + y + z ≤ x3 + y + z + 3yz(y + z) Xét hàm số theo ẩn x 2.4.14 Bài tập Cho x, y, z ∈ R thoả mãn x2 + y + z = Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P = x3 + y + z − 3xyz Hướng dẫn Đặt t = x + y + z 36 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An 2.4.15 Bài tập Cho x, y, z ≥ thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy + yz + zx2 − xyz Bạn đọc tự giải 2.4.16 Bài tập Cho x, y, z ≥ thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = 9xy + 10xz + 22yz Hướng dẫn P = 9xy + 10(x + y)z + 12yz = −10(x + y)2 + 30(x + y − 12y + 36y − 3xy) Xét hàm số f (t) = −t2 + 3t với t ∈ [0; 3] Suy P = 10f (x + y) + 12f (y) − 2xy ≤ 22 max f (t) t∈[0;3] 2.4.17 Bài tập Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 4+2ln(1+x)−y + 4+2ln(1+y)−z + 4+2ln(1+z)−x Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Cauchy -Schwarz xét hàm số f (t) = ln(1 + t) − t 2.4.18 Bài tập Cho a, b, c > thoả mãn 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + b + 3c Hướng dẫn Đặt x = a1 , y = 2b , z = 3c Bài toán trở thành: cho x, y, z > thoả mãn 2x + 4y + 7z ≤ 2xyz Tìm giá trị nhỏ P = x + y + z Áp dụng z ≥ 2x+4y 2xy−7 ta có P ≥x+y+ 14 14 x + x − x7 ) 2x + 4y − x(2y 2x + 14 11 2xy − 2x + 14 x x ≥x+y+ + =x+ + + x 2xy − 2x 2x 2xy − 11 Áp dụng bất đẳng thức AG-MG xét hàm số f (x) = x + 2x +2 1+ x2 2.4.19 Bài tập Cho x, y, z ∈ R thoả mãn x2 + y + z = Chứng minh 2(x + y + z) ≤ xyz + 10 37 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có [2(x + y + z) − xyz]2 = [x(2 − yz) + 2(y + z)]2 ≤ [x2 + (y + z)2 ][(2 − yz)2 + 22 ] hay [2(x + y + z) − xyz]2 ≤ (9 + 2yz)(y z − 4yz + 8) Đặt t = yz ta có [2(x + y + z) − xyz]2 ≤ 2t3 + t2 − 20t + 72 Giả sử |x| ≥ |y| ≥ |z| từ giả thiết x2 + y + z = suy |x|2 ≥ Vì |t| = |yz| ≤ − x2 y2 + z2 = ≤ 2 2.4.20 Bài tập Cho x, y, z ∈ [0; 1] Chứng minh 2(x3 +y +z )−(x2 y +y z +z x) ≤ Hướng dẫn Xét hàm số g(x) = f (x, y, z) với ẩn x y, z tham số Hàm số g(x) đạt giá trị lớn x = x = f (0) ≤ f (1) nên ta chứng minh f (1) ≤ Tiếp tục xét hàm số h(y) 2.4.21 Bài tập Cho a, b, c > Chứng minh (2a + b + c)2 (2b + c + a)2 (2c + a + b)2 + + ≤ 2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + (a + b)2 Hướng dẫn Do bất đẳng thức với a, b, c với ta, tb, tc Vì giả sử a + b + c = Áp dụng phương pháp tiếp tuyến 2.4.22 Bài tập Cho x, y, z ∈ [1006; 2012] Tìm giá trị lớn biểu thức P = x3 + y + z xyz Hướng dẫn Giả sử 1006 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 2012 Đặt y = kx, z = tx, ≤ k ≤ t ≤ P = 1+k3 +t3 kt Chứng minh P ≤ 1+k3 +23 2k Xét hàm số f (k) = k3 +9 2k với k ∈ [1; 2] 2.4.23 Bài tập Cho số thực a, b, c không đồng thời thoả mãn a2 +b2 +c2 = 2(ab + bc + ca) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = a3 + b3 + c3 (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) 38 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An 4a a+b+c , Hướng dẫn Đặt x = y= 4b a+b+c , 4c a+b+c z= Khi ta có x + y + z = xy + yz + zx = Áp dụng bất đẳng thức (y + z)2 ≥ 4yz suy ≤ x ≤ 38 Khi P = 32 (x + y3 + z3) = 32 (3x − 12x2 + 12x + 16) 2.4.24 Bài tập Cho x, y, z ∈ [1; 2] Tìm giá trị lớn biểu thức 1 P = (x + y + z)( + + ) x y z Hướng dẫn Giả sử ≤ x ≤ y ≤ z ≤ suy (1− xy )(1− yz ) ≥ (1− xy )(1− yz ) ≥ Nhân cộng theo vế ta có y z x z x z x y P = ( + ) + ( + ) + ( + ) + ≤ + 2( + ) y x z y z x z x Đặt t = xz , với t ∈ [ 21 ; 1] Ta có (2 − t)( 12 − t) ≤ hay t + 1t ≤ 52 2.4.25 Bài tập Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + y + ( − xy xy − 12 ) Q = 4x2 + 13y + ( ) x+y x+y 1−xy x+y Hướng dẫn Đặt z = 2.4.26 Bài tập Cho x, y, z ≥ thoả mãn x2 + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = 6(y + z − x) + 27xyz Hướng dẫn P ≤ 6[ 2(y + z ) − x] + 27x y +z 2 2.4.27 Bài tập Cho a, b, c > Chứng minh Hướng dẫn Đặt x = ab , y = cb , z = a c 2(1 − x2 ) − x] + = 6[ a3 (a+b)3 + b3 (b+c)3 + Ta cần chứng minh bất đẳng thức Áp dụng bất đẳng thức (1+x)2 + (1+x)3 (1+x)2 (1+y)2 c3 (c+a)3 ≥ 38 suy xyz = Bất đẳng thức trở thành 1 + + ≥ 3 (1 + x) (1 + y) (1 + z) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 27x(1−x2 ) ≥ + (1+x)3 (1+y)2 1+xy 39 + + + (1+z)2 ∀x, y > ≥ 2(1+x)2 ≥ 34 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An Ta có P = (1+x)2 + Xét hàm số f (z) = (1+y)2 + z 1+z (1+z)2 + (1+z)2 ≥ 1+xy (1+z)2 + = z 1+z + (1+z)2 2.4.28 Bài tập Cho x, y, z > thoả mãn x2 + y + z = Chứng minh √ x y z 3 + + ≥ y + z z + x2 x2 + y 2 Bạn đọc tự giải 2.4.29 Bài tập Cho x, y, z ∈ [0; 1] thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = x2 +1 + y +1 + z +1 Hướng dẫn Áp dụng phương pháp tiếp tuyến bất đẳng thức x2 1 + ≥1+ ∀x, y > 0; x + y ≤ +1 y +1 (x + y)2 + 2.4.30 Bài tập Cho x, y, z ≥ thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ 1−x 1+x giá trị lớn biểu thức P = 1−x 1+x Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức 1−x + 1+x 1−y 1+y + 1−y ≤1+ 1+y + ≥ − x bất đẳng thức − (x + y) ∀x + y ≤ + (x + y) 2.4.31 Bài tập Cho a, b, c > Chứng minh Hướng dẫn Đặt x = a b, y= b c, z= 1−z 1+z c a 2a a+b + 2b b+c + 2c c+a ≤ suy xyz = bất đẳng thức 1 + ≤ ∀xy ≤ 2 1+x 1+y + xy 2.4.32 Bài tập Cho x, y, z > thoả mãn (x + y + z)3 = 32xyz Chứng minh √ 383 − 165 x4 + y + z ≤ ≤ (x + y + z) 128 Hướng dẫn Giả sử x + y + z = Đặt t = xy + yz + zx 40 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An 2.4.33 Bài tập Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z ≤ Chứng minh 1 3(x + y + z) + 2( + + ) ≥ 21 x y z Hướng dẫn Đặt t = x + y + z 2.4.34 Bài tập Cho x, y, z > thoả mãn x2 + y + z = Chứng minh √ 1 ( + + ) − (x + y + z) ≥ x y z Hướng dẫn Đặt t = x + y + z 2.4.35 Bài tập Cho x, y, z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2(x + y + z)3 + 9xyz (x + y + z)(xy + yz + zx) Hướng dẫn Giả sử x + y + z = z = min{x, y, z} suy < z ≤ 31 2.4.36 Bài tập Cho thức P = xy+yz+zx x2 +y +z = 71 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu x4 +y +z (x+y+z)4 Hướng dẫn Giả sử x + y + z = z = min{x, y, z} suy < z ≤ 13 2.4.37 Bài tập Cho a, b, c, d > thoả mãn a2 + b2 = c − d = Chứng minh P = ac + bd − cd ≤ √ 9+6 Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có P ≤ (a2 + b2 )(c2 + d2 ) − cd = 41 2d2 + 6d + − d2 − 3d www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An KẾT LUẬN Bài viết thu kết sau Trình bày cụ thể cách tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Hệ thống số dạng tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa hai biến cách biến qua biến cịn lại Hệ thống số dạng tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa hai biến cách đặt ẩn phụ theo tính đối xứng t = x + y , t = x2 + y t = xy Hệ thống số dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa hai biến cách đặt ẩn phụ theo tính đẳng cấp t = xy Hệ thống số dạng tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa ba biến cách đặt ẩn phụ hai biến qua biến lại 42 ... dạng tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn chuyển dạng tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị nhỏ hàm số chứa ẩn Vì chúng tơi chọn đề tài "Ứng dụng đạo hàm để tìm giá nhỏ nhất, giá trị nhỏ biểu thức" ... TỐN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC Từ kết Chương thấy việc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số đơn giản.Việc chuyển tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức. .. chuyển tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức không hai biến sang tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số chứa biến giúp giải toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức Vấn