Xây dựng phương pháp số cân bằng cho hệ các phương trình nước nông với nhiệt độ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG NGUYỄN XUÂN THANH XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ CÂN BẰNG CHO HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NƠNG VỚI NHIỆT ĐỘ Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG NGUYỄN XUÂN THANH XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ CÂN BẰNG CHO HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NƠNG VỚI NHIỆT ĐỘ LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN PGS TS Mai Đức Thành Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2017 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM Cán hướng dẫn khoa học: PGS TS Mai Đức Thành Cán chấm nhận xét 1: TS Nguyễn Bá Thi Cán chấm nhận xét 2: PGS TS Nguyễn Văn Kính Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 11 tháng 01 năm 2018 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: Chủ tịch: PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY Thư ký: TS HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM Phản biện 1: TS NGUYỄN BÁ THI Phản biện 2: PGS TS NGUYỄN VĂN KÍNH Ủy viên: TS LÊ XUÂN ĐẠI Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY PGS TS HUỲNH QUANG LINH ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh Phúc TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Mã số học viên: 1670243 Họ tên học viên: NGUYỄN XUÂN THANH Ngày, tháng, năm sinh: 01/11/1991 Chuyên ngành: Toán ứng dụng Nơi sinh: Quảng Ngãi Mã số: 60460112 I TÊN ĐỀ TÀI: XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ CÂN BẰNG CHO HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NƠNG VỚI NHIỆT ĐỘ II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: - Kiến thức sở - Xây dựng ma trận Roe phương pháp số cân bằng, hiệu chỉnh số - Kiểm định số III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 10/07/2017 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 03/12/2017 V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS MAI ĐỨC THÀNH Tp HCM, Ngày tháng năm CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Họ tên chữ ký) CHỦ NHIỆM NGÀNH TOÁN ỨNG DỤNG (Họ tên chữ ký) PGS TS MAI ĐỨC THÀNH PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY TRƯỞNG KHOA (Họ tên chữ ký) PGS TS HUỲNH QUANG LINH LỜI CẢM ƠN Lời xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn PGS TS Mai Đức Thành – Trường Đại học Quốc Tế Tp Hồ Chí Minh, Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, người ln tận tụy, nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy, quan tâm giúp đỡ, truyền đạt kiến thức tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn Thầy, Cơ Bộ mơn Tốn Ứng Dụng, khoa Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh hết lịng giảng dạy, truyền thụ kiến thức tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn anh chị, bạn lớp Cao học ngành Tốn Ứng Dụng khóa 2016 động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học q trình thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè mình, người ln bên cạnh động viên, tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian học tập Cuối cùng, trình thực luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý q Thầy, Cơ bạn đọc để bổ sung hoàn thiện đề tài tốt Tp Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2017 Tác giả Nguyễn Xuân Thanh i TÓM TẮT LUẬN VĂN Trong luận văn này, nghiên cứu vấn đề sau: Hệ phương trình nước nơng chiều với nhiệt độ Xây dựng ma trận Roe Xây dựng lược đồ số dựa sóng tĩnh Lược đồ xây dựng cho ln trì trạng thái cân Hiệu chỉnh số lược đồ miền cộng hưởng Kiểm định số Cách tiếp cận luận văn dựa lược đồ cân so sánh nghiệm Kết thu nghiệm số xấp xỉ nghiệm xác hệ phương trình nước nông với nhiệt độ chiều với nhiệt độ ABSTRACT In this thesis, we research these following subjects: One-dimensional shallow equations with temperature Constructing Roe’s matrix Constructing numerical scheme base on stationary waves This scheme is constructed so that it maintains equilibrium states Computing corrector in resonant regime Test cases The approach utilized in this thesis is based on Well-balanced numerical scheme and the comparison solution After all, we get numerical solution approximate exactly solution of one-dimensional shallow water equations with temperature ii LỜI CAM ĐOAN Tôi tên Nguyễn Xuân Thanh, mã học viên: 1670243, học viên cao học chuyên ngành Toán Ứng Dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh khóa 2016 - 2018 Tơi xin cam đoan ngoại trừ kết tham khảo từ cơng trình khác ghi rõ luận văn, công việc trình bày luận văn thực hướng dẫn PGS TS Mai Đức Thành tơi hồn tồn chịu trách nhiệm tính trung thực đề tài nghiên cứu Tp Hồ Chí Minh, ngày 03 tháng 12 năm 2017 Học viên thực Nguyễn Xuân Thanh iii DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa IVP Initial value problem MC Monotonicity Criterion CFL Courant, Friedrichs, and Lewy LF Lax-Friedrichs LW Lax-Wendroff R Trường số thực Rp Không gian véc-tơ thực p-chiều C2 Tập hàm có đạo hàm cấp liên tục Tốn tử nabla L1 Khơng gian hàm có lũy thừa bậc khả tích I Ma trận đơn vị R+ Số thực dương Z Tập hợp số nguyên N Tập hợp số nguyên không âm || · ||L1 Chuẩn không gian L1 iv LỜI MỞ ĐẦU Ngày nay, nóng lên trái đất biến đổi khí hậu tồn cầu vấn đề nóng nhiều nhà khoa học từ lĩnh vực quan tâm Nó ảnh hưởng trực tiếp đến đời sống người tương lai nhân loại tượng thiên tai lũ lụt, sóng thần, bão, lốc xốy, động đất nhiễm mơi trường ngày trầm trọng Do nhà khoa học phải tìm giải pháp để thích ứng với biến đổi khí hậu phát triển bền vững, đồng thời họ cố gắng tìm giải pháp để cải thiện mơi trường sống người Trong đó, nhà tốn học xây dựng mơ hình cách giải mơ hình để dự báo vấn đề liên quan đến lũ lụt, sạt lỡ đất, sóng thần, vỡ đập Một mơ hình nhà tốn học quan tâm hệ phương trình nước nơng Để dẫn chứng cho điều này, xin đưa số báo khoa học quốc tế gần liên quan đến vấn đề này: • A Chertock, A Kurganov, Y Liu, Central–upwind schemes for the system of shallow water equations with horizontal temperature gradients, Numer Math (2014) 127:595-639 • M.D Thanh, Md Fazlul Karim, Ahmad Izani Md Ismail, Well–balanced scheme for shallow water equations with arbitrary topography, Int J Dynamical Systems and Differential Equations, Vol 1, No 3, 2008 • D Krăoner, M.D Thanh, Numerical solutions to compressible flows in a nozzle with variable cross – section*, SIAM J Numer Anal, Vol 43 (2005), No 2, pp 769 - 824 Vì thấy vấn đề thời có ý nghĩa thực tiễn, chọn đề tài nghiên cứu "XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ CÂN BẰNG CHO v HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NƠNG VỚI NHIỆT ĐỘ" cho luận văn Mục đích nghiên cứu: Trong luận văn này, tập trung nghiên cứu xây dựng lược đồ số cân để tìm nghiệm số so sánh với nghiệm xác hệ phương trình nước nơng chiều với nhiệt độ Qua đó, đánh giá hiệu lược đồ Đối tượng nghiên cứu: Chúng nghiên cứu đối tượng: • Hệ phương trình nước nơng chiều • Sóng giãn, sóng sốc, gián đoạn tiếp xúc • Các trạng thái tĩnh Phương pháp nghiên cứu: Chúng kế thừa phát triển kỹ thuật có tác giả trước Nội dung phạm vi vấn đề nghiên cứu: Ngoài phần lời mở đầu kết luận, chia luận văn thành ba chương Chương 1: Chúng tơi trình bày kiến thức sở gồm có: tính chất hệ luật bảo tồn, sóng sở hệ hyperbolic phi tuyến không gian chiều, phương pháp sai phân hữu hạn cho hệ hyperbolic luật bảo tồn Chương 2: Chúng tơi xây dựng ma trận Roe cho hệ phương trình nước nông chiều với nhiệt độ, xây dựng phương pháp số cân dựa trạng thái tĩnh, hiệu chỉnh số miền cộng hưởng Chương 3: Chúng thực kiểm định số nghiệm số nghiệm xác thơng qua hai phần: sóng tĩnh nghiệm khơng tĩnh vi Tốn ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Hình 3.24: Trường hợp 5: Nhiệt độ nghiệm xác với liệu Riemann (3.7) xấp xỉ lược đồ cân hiệu chỉnh với hàm thông lượng số Lax-Friedrichs FORCE Nguyễn Xuân Thanh 68 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Hình 3.25: Trường hợp 6: Chiều cao nghiệm xác với liệu Riemann (3.8) xấp xỉ lược đồ cân hiệu chỉnh với hàm thông lượng số Lax-Friedrichs FORCE Nguyễn Xuân Thanh 69 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Hình 3.26: Trường hợp 6: Vận tốc nghiệm xác với liệu Riemann (3.8) xấp xỉ lược đồ cân hiệu chỉnh với hàm thông lượng số Lax-Friedrichs FORCE Nguyễn Xuân Thanh 70 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Hình 3.27: Trường hợp 6: Nhiệt độ nghiệm xác với liệu Riemann (3.8) xấp xỉ lược đồ cân hiệu chỉnh với hàm thông lượng số Lax-Friedrichs FORCE Nguyễn Xuân Thanh 71 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ KẾT LUẬN Qua luận văn này, thấy nghiệm số xây dựng từ lược đồ cân (2.48) xấp xỉ tốt với nghiệm xác hệ phương trình nước nơng chiều với nhiệt độ (2.1), sai số nghiệm số giảm tăng số điểm lưới Bên cạnh đó, hiệu chỉnh số cho kết tốt trường hợp sóng giãn kèm theo sóng tĩnh Điều chứng tỏ chương Như vậy, lược đồ cân (2.48) xây dựng có tính ổn định, áp dụng tính nghiệm số cho hệ phương trình nước nơng chiều với nhiệt độ (2.1), nhằm giúp đánh giá thay đổi vận tốc nước, chiều cao nước nhiệt độ nước biết điều kiện đầu   (hl , ul , θl , al ), x < 0, (h, u, θ, a)(x, 0) =  (hr , ur , θr , ar ), x > Nguyễn Xuân Thanh 72 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Tài liệu tham khảo [1] A Chertock, A Kurganov, Y Liu, Central–upwind schemes for the system of shallow water equations with horizontal temperature gradients, Numer Math (2014) 127:595-639 [2] E Godlewski, P.A Raviart, Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws, Applied Mathematical Sciences Volume 118, 1996 [3] D Krăoner, M.D Thanh, Numerical solutions to compressible flows in a nozzle with variable cross – section*, SIAM J Numer Anal, Vol 43 (2005), No 2, pp 769 - 824 [4] P.G LeFloch, M.D Thanh, The Riemann problem for the shallow water equations with discontinuous topography*, Commun Math Sci, Vol (2007), No 4, pp 865-885 [5] R.J LEVEQUE, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge Texts in Applied Mathematics, 2002 [6] M.D Thanh, Numerical treatment in resonant regime for shallow water equations with discontinuous topography, Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 18 (2013) 427 - 433 [7] M.D Thanh, The Riemann problem for the shallow water equations with horizontal temperature gradients, Applied Mathematics and Computation, Vol 325, (2018) 159 - 178 Nguyễn Xuân Thanh 73 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ [8] M.D Thanh, Md Fazlul Karim, Ahmad Izani Md Ismail, Well–balanced scheme for shallow water equations with arbitrary topography, Int J Dynamical Systems and Differential Equations, Vol 1, No 3, 2008 Nguyễn Xuân Thanh 74 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ PHỤ LỤC Code MATLAB lược đồ cân với hàm thông lượng số Lax-Friedrichs: f u n c t i o n [ x , u , w] = wellbalanced_LF global g ; dotime = cputime ; g = 9.8; % D e s c r i p t i o n : one−d i m e n s i o n a l s h a l l o w water cfl = 0.5; N = 250; UE = dlmread ( ’ Rie1_250 out ’ , ’ ; ’ ) ; h = 2/N; x = − 1.: h : ; h l = UE( , ) ; v l =UE( , ) ; t l =UE( , ) ; a l = UE( , ) ; hr = UE( ,N+1); vr = UE( ,N+1); t r = UE( ,N+1); a r = UE( ,N+1); f o r i = :N/2 w( i , ) = h l ; w( i , ) = v l ; w( i , ) = t l ; ax ( i ) = a l ; end ; Nguyễn Xuân Thanh 75 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ f o r i = N/2+1:N+1 w( i , ) = t r ; w( i , ) = hr ; w( i , ) = vr ; ax ( i ) = a r ; end ; u = wtou (w ) ; f = wtof (w ) ; [ ustandm , fstandm ] = standm (w, ax ) ; [ ustandp , f s t a n d p ] = standp (w, ax ) ; t = 0.; tmax = ; while t amin a = amin ; end ; %Choose one o f t h e two r o o t s , depending on %t h e s t a r t i n g p o i n t i f hyp >= % U0 i n G1\ cup G3 ==> c h o o s e t he s m a l l e r r o o t h_1 h1 = hmin / ; else % U0 i n G2 ==> c h o o s e t he b i g g e r r o o t h_2 h1 = ∗ hmin ; end ; hx = h1 ; p hi = a−a0+(u0 ^2/(2 ∗ g ∗ t ) ) ∗ ( h0^2/hx^2−1)+hx−h0 ; w h i l e abs ( ph i ) > 1e −12 p hi = a−a0+(u0 ^2/(2 ∗ g ∗ t ) ) ∗ ( h0^2/hx^2−1)+hx−h0 ; phiprime = −u0^2 ∗ h0 ^2/( g ∗ t ∗ hx ^3)+1; hx = hx−p hi / phiprime ; end ; Nguyễn Xuân Thanh 81 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ LÝ LỊCH TRÍCH NGANG I Sơ lược cá nhân: Họ tên: NGUYỄN XUÂN THANH Ngày, tháng, năm sinh: 01/11/1991 Nơi sinh: Quảng Ngãi Địa liên lạc: Thôn 1, Xã Đức Nhuận, Huyện Mộ Đức, Tỉnh Quảng Ngãi II Quá trình đào tạo: Thời gian Tên trường Chuyên ngành Hình thức đào tạo Giảng dạy môn Đại Học Bách Khoa 2016 - 2018 Tốn Ứng Dụng học luận văn Tp Hồ Chí Minh thạc sĩ Đại Học Khoa Học 2009 - 2013 Tự Nhiên Tp Hồ Tốn - Tin Chính Quy Chí Minh III Q trình cơng tác: Thời gian Cơ quan Chức vụ Công Ty Bảo Hiểm Nhân Thọ Phú 30/03/2015 - 26/01/2017 Nhân viên Hưng Nguyễn Xuân Thanh 82 ... Mã số: 60460112 I TÊN ĐỀ TÀI: XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ CÂN BẰNG CHO HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NƠNG VỚI NHIỆT ĐỘ II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: - Kiến thức sở - Xây dựng ma trận Roe phương pháp số cân bằng, ... nghiên cứu "XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ CÂN BẰNG CHO v HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NƠNG VỚI NHIỆT ĐỘ" cho luận văn Mục đích nghiên cứu: Trong luận văn này, tập trung nghiên cứu xây dựng lược đồ số cân để... hệ số CFL √ , maxh,u {|u| + ghθ} < hệ số CFL ≤ Trước trình bày lược đồ cân cho hệ phương trình nước nơng, chúng tơi trình bày phần xây dựng ma trận Roe cho hệ 2.2.1 Xây dựng ma trận Roe cho hệ