Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết này trình bày một thuật toán giải bài toán dầm siêu tĩnh chịu uốn có số bậc siêu tĩnh lớn. Các kết quả tính toán và mô phỏng được lập trình trên phần mềm Maple 2016 và so sánh với các công bố của Hội Cơ học Việt Nam [4] cho kết quả chính xác và tin cậy.
ISSN 2354-0575 VỀ MỘT THUẬT TỐN LẬP TRÌNH TRONG PHÂN TÍCH BÀI TỐN SIÊU TĨNH DẦM CHỊU UỐN Khổng Dỗn Điền, Nguyễn Văn Huyến, Nguyễn Duy Chinh Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên Ngày nhận: 10/12/2016 Ngày sửa chữa: 20/01/2017 Ngày xét duyệt: 05/03/2017 Tóm tắt: Trong sức bền vật liệu, toán kết cấu siêu tĩnh tốn khó, đặc biệt phức tạp bậc siêu tĩnh kết cấu lớn Trong bối cảnh từ lần thi thứ XXIX năm 2017, ban tổ chức Olympic Cơ học Tồn quốc thức đưa vào môn thi Ứng dụng tin học Sức bền vật liệu, lập trình phần mềm Maple, việc nghiên cứu thuật tốn giải tốn sức bền vật liệu nói chung lớp toán kết cấu siêu tĩnh nói riêng vấn đề quan trọng ý nghĩa Bài báo trình bày thuật tốn giải tốn dầm siêu tĩnh chịu uốn có số bậc siêu tĩnh lớn Các kết tính tốn mơ lập trình phần mềm Maple 2016 so sánh với công bố Hội Cơ học Việt Nam [4] cho kết xác tin cậy Từ khóa: Sức bền vật liệu, dầm, kết cấu siêu tĩnh, bậc siêu tĩnh Đặt vấn đề Kết cấu siêu tĩnh [1,2] thực tế sử dụng rộng rãi tính ưu việt độ cứng vững kết cấu cao Hầu hết kết cấu thực tế kết cấu siêu tĩnh, có bậc siêu tĩnh lớn [5], chẳng hạn cầu, mái vòm sân vận động, kết cấu khung nhà thép, giàn khoan, nhà giàn biển,… Tuy có tính ưu việt thực tế kỹ thuật, tính tốn đặc biệt tính tốn tối ưu, việc giải tốn siêu tĩnh khơng phải đơn giản, khơng khả thi trường hợp kết cấu có bậc siêu tĩnh lớn Ngày nay, với phát triển công nghệ thơng tin, nhiều phần mềm tốn học, học đời để hỗ trợ nhà kỹ thuật tính tốn kết cấu Với việc sử dụng phương pháp mạnh phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp dội sóng ngược (RAY), việc giải kết cấu siêu tĩnh trở nên đơn giản Một số phần mềm kinh điển kể đến phần mềm phân tích kết cấu SAP2000, INVENTOR, CATIA, ABAQUS … Tuy nhiên, xét mặt học thuật việc sử dụng phần mềm mang lại nhiều hiệu quả, với sinh viên, người nghiên cứu làm tính tư duy, kiến thức tảng người học, đơn người sử dụng cần biết vào/ra liệu đủ, mà khơng hình dung q trình tính tốn diễn Từ khơng thể có can thiệp, cải tiến sâu mặt thuật toán để giải kết cấu mới, lớp toán mà phần mềm kể chưa cập nhật Trong bối cảnh, từ năm 2017, Ban Tổ chức Olympic Cơ học Tồn quốc thức đưa vào môn thi thứ 11 Lấy ý tưởng từ việc sinh viên học Khoa học & Công nghệ - Số 13/Tháng - 2017 học phần Sức bền vật liệu truyền thống cung cấp kiến thức lập trình, tư tốn học, xử lý thuật tốn Với mục đích ứng dụng cơng nghệ thơng tin tính tốn, để đơn giản hóa tốn phức tạp, kết cấu siêu tĩnh bậc cao, mà không làm hồn thuật toán (cái hồn phương pháp giải [3]), Ban tổ chức thức chọn phần mềm toán học Maple để xây dựng người sinh viên kỹ thuật hoàn thiện đầy đủ mặt Tốn, Tin, Cơ Bài báo trình bày thuật toán giải toán dầm siêu tĩnh chịu uốn có số bậc siêu tĩnh lớn Các kết tính tốn mơ lập trình phần mềm Maple 2016 so sánh với công bố Hội Cơ học Việt Nam [4] cho kết xác tin cậy Cơ sở lý thuyết [2,5] Để giải kết cấu siêu tĩnh nói chung đặc biệt kết cấu siêu tĩnh có bậc siêu tĩnh lớn lớp toán dầm chịu uốn việc xây dựng hàm độ võng, góc xoay, hàm mơ tả mơ men uốn lực cắt dầm phụ thuộc vào vị trí mặt cắt việc làm yếu Bài báo trình bày thuật toán cải tiến dựa phương pháp kinh điển thông số ban đầu Dạng biểu diễn tổng hàm độ võng, góc xoay, mơ men uốn lực cắt dầm chịu uốn biểu diễn sau: N JK * U2 KKDy0i U + Dz 0i U1 + M 0i EJ +OOO K OO n K U U OO (1) y (z) = / KKK+ P0i EJ3 + Dq0i EJ4 + OO i=1 K KK , U5 O U OO K + q 0i + q 0,,i EJ6 + EJ L P Journal of Science and Technology ISSN 2354-0575 { (z) = dy (z) dz M (z) = / e M0i U0 + P0i U1 + Dq0i U2 + o (3) dM (z) dz (4) Q (z ) = n i=1 (2) * + q 0, i U3 + q 0,,i U + hàm vị trí biểu diễn (z - - ) k z $ - (5) U k ^ z - - 1h = * k! 0# z # - i tên đoạn dầm khảo sát oi đầu trái đoạn i có tọa độ ai-1 ai-1 khoảng cách từ đầu trái dầm đến mặt cắt phân chia đoạn (i-1) đoạn i EJ độ cứng mặt cắt ngang dầm Dy0i , D{ 0i bước nhảy độ võng góc xoay đầu trái đoạn i M 0*i , P0i mô men ngoại lực lực tập trung đầu trái đoạn i Dq0i , q 0, i , q 0,,i bước nhảy hàm đạo hàm cấp q đầu trái đoạn i Thuật giải lập trình kết Để minh chứng cho sức mạnh thuật toán, tác giả khảo sát nghiên cứu dầm siêu tĩnh bậc có sơ đồ Hình [4] Dầm có độ cứng EJ khơng đổi, bỏ qua trọng lượng thân dầm Cho a = 1m, q = 50N/cm, EJ = 32.107 Ncm2 Thực công việc sau : Tính phản lực liên kết ? Vẽ biểu đồ chuyển vị mặt cắt ngang dầm ? Xác định giá trị lớn chuyển vị vị trí mặt cắt ngang tương ứng ? Vẽ biểu đồ nội lực dầm ? Tính ứng suất tương đương vị trí mặt cắt ngang tương ứng có ứng suất tương đương lớn (mặt cắt nguy hiểm nhất) ? Hình Kết cấu dầm bậc siêu tĩnh Số bậc siêu tĩnh hệ 4, với số bậc siêu tĩnh lớn việc giải phương pháp truyền thống chẳng hạn phương pháp lực, phương pháp lượng, phương pháp nhân biểu đồ Vêrêshagin khơng khả thi q phức tạp Bằng chương trình máy tính lập trình phần mềm Maple 2016 ta thu kết sau: Các hàm vị trí : 1 U1 = z - 3a; U2 = ^ z - 3ah ; U3 = ^ z - 3ah 1 U = 24 ^ z - 3ah ; U5 = 120 ^ z - 3ah Hàm lực cắt đoạn dầm: Z] RA # z and z # l ]] ]] RA + RB - q ^ z - l h l # z and z # 2l [] 2l # z and z # 3l ]] RA + RB q ^ z l h + RC + q ^ z 2l h ]] ] RA + RB - q ^ z - l h + RC + q ^ z - 2l h - P otherwise \ Hàm mô men uốn đoạn dầm: Z] RA z + MA ]] ]] ]] RA z + MA + RB ^ z - l h - q ^ z - l h ] [] 2 1 ]] RA z + MA + RB ^ z - l h - q ^ z - l h - Ms + RC ^ z - 2l h + q ^ z - 2l h ]] ]] 2 1 ] RA z + MA + RB ^ z - l h - q ^ z - l h - Ms + RC ^ z - 2l h + q ^ z - 2l h - P ^ z - 3l h \ 10 Khoa học & Công nghệ - Số 13/Tháng - 2017 # z and z # l l # z and z # 2l 2l # z and z # 3l otherwise Journal of Science and Technology ISSN 2354-0575 Z] ]] ]] ]] ]] ]2 [] ]] ]] ]] ]] ]] \ Hàm độ võng đoạn dầm: MAz RAz + EJ EJ # z and z # l MAz RAz RB ^ z - l h - q ^ z - l h + + EJ EJ EJ EJ 24 3 RAz RB ^ z - l h - q ^ z - l h - Ms ^ z - 2l h RC ^ z - 2l h q ^ z - 2l h MAz + + + + EJ 24 24 EJ EJ EJ EJ EJ EJ l # z and z # 2l 2l # z and z # 3l 3 3 MAz RAz RB ^ z - l h - q ^ z - l h - Ms ^ z - 2l h RC ^ z - 2l h q ^ z - 2l h - P ^ z - l h + + + + otherwise EJ EJ EJ 24 EJ EJ EJ 24 EJ EJ 4 Hàm góc xoay đoạn dầm: Z] MAz ]] ]] EJ ]] ]] MAz ] EJ [] ]] MAz ]] EJ ]] ]] MAz ]] EJ \ + + RAz EJ 2 RAz RB ^ z - l h - q ^ z - l h - Ms ^ z - 2l h RC ^ z - 2l h q ^ z - 2l h + + + EJ EJ EJ EJ EJ EJ + # z and z # l RAz RB ^ z - l h - q ^ z - l h + EJ EJ EJ 2 2 RAz RB ^ z - l h - q ^ z - l h - Ms ^ z - 2l h RC ^ z - 2l h q ^ z - l h - P ^ z - 3l h + + + EJ EJ EJ EJ EJ EJ EJ + pt2 := subs(z = $ l , y[2]) = 0; pt3 := subs(z = $ l , y[4]) = 0; 2l # z and z # 3l Sau thiết lập hàm nội lực hàm chuyển vị dầm siêu tĩnh trên, để xác định phản lực liên kết, ta sử dụng điều kiện pt1 := subs(z = 1, y[1]) = 0; l # z and z # 2l otherwise biên chuyển vị vị trí liên kết kết hợp với phương trình cân bằng: MA l2 RA l3 EJ + EJ = MA l2 RA l3 RB l3 q l EJ + EJ + EJ - 24 EJ = MA l2 32 RA l3 RB l3 65 q l Ms l2 RC l3 P l3 + + EJ EJ + EJ - EJ = EJ EJ 24 EJ pt4 := subs(z = $ l , { [4] ) = 0; MA l RA l2 RB l2 19 q l Ms l RC l2 P l2 EJ + EJ + EJ - EJ - EJ + EJ - EJ = ptcb1 := RA + RB + RC + RE = P + q $ l; RA + RB + RC + RE = l q + P 3$l ptcb2: = MA - RB $ l + q $ l $ - RC $ $ l - Ms + P $ $ l - RE $ $ l + ME = 0; MA - RBl + q l2 - 2RC l - Ms + P l - RE l + ME = 0; Sau giải hệ phương trình ta thu kết quả: 1 l: = 100: q: = 50: EJ: = 32 $ 107: Ms: = $ q $ l2: P: = $ q $ l: evalf(solve({pt1, pt2, pt3, pt4, ptcb1, ptcb2}, {MA, RA, RB, RC, RE, ME})); {MA = 17045.45455, ME = 49242.42424, RA = -511.3636364, RB = 3295.454545, RC = 3664.772727, RE = 1051.136364} assign(%); Từ hàm nội lực chuyển vị dầm hoàn toàn xác định Biểu đồ nội lực chuyển Khoa học & Công nghệ - Số 13/Tháng - 2017 vị dầm siêu tĩnh thu sau: Journal of Science and Technology 11 ISSN 2354-0575 Hình Biểu đồ lực cắt Hình Biểu đồ mơ men uốn Hình Biểu đồ độ võng 12 Khoa học & Công nghệ - Số 13/Tháng - 2017 Journal of Science and Technology ISSN 2354-0575 Hình Biểu đồ góc xoay Để xác định độ võng lớn vị trí mặt cắt có độ võng lớn mặt cắt có ứng suất tương đương lớn (mặt cắt nguy hiểm nhất), tác giả sử dụng code sau đây: maximize(abs(yz), z = $ l , location) 0.2251432432, {[{z = 306.3063063}, 0.2251432432]} Qy Mx vtd: = sqrt db Wx l + $ b F l n: Wx: = 456: F: = 12: vmax: = maximize _vtd, z = $ l, location i; # Kết thu sau: mặt cắt có tọa độ z = 306.306 cm, dầm có độ võng cực đại 0.225143 cm Tại mặt cắt có tọa độ z = 100 cm, dầm có ứng suất tương đương cực đại 408.744 Ncm-2, mặt cắt nguy hiểm kết cấu dầm siêu tĩnh Các kết thu hoàn tồn xác với cơng bố [4] Điều chứng tỏ độ tin cậy tính linh hoạt thuật toán N cm2 408.7440736, %8# z = 100 -, 408.7440736B/ Tài liệu tham khảo [1] Khổng Doãn Điền, Đặng Việt Cương, Vũ Xuân Trường, Vũ Đức Phúc (2014), Giáo trình Cơ học kỹ thuật, NXB Giáo dục Việt Nam [2] Đặng Việt Cương, Khổng Doãn Điền, Nguyễn Văn Huyến, Vũ Xuân Trường, Vũ Đức Phúc (2014), Giáo trình Sức bền vật liệu, NXB Giáo dục Việt Nam [3] Hội Cơ học Việt Nam (2016), 25 năm Olympic Cơ học môn Sức bền vật liệu, NXB Bách khoa Hà Nội [4] Hội Cơ học Việt Nam (2016), Đề thi đáp án mẫu Olympic Cơ học Toàn quốc môn Ứng dụng tin học Sức bền vật liệu [5] Den Hartog J.P (1987), Advance Strength of Materials, John Wiley &Sons, NewYork ON AN ALGORITHM FOR ANALYSIS OF STATICALLY INDETERMINATE BEAMS Abstract: In the strength of materials subject, the structural problem of redundancy is a difficult problem, especially for high degree of redundancy Especially, since 2017, National Olympic of Mechanics Organizers that formally incorporated into the exam: “IT applications in Strength of Materials” based programming software Maple, so the study of algorithms solving problems relating to material resistance in general and the problem of statically indeterminate beams in particular is an issue of utmost importance and significance This paper presents an algorithm solving statically indeterminate beams for high degree of redundancy The results of calculation and simulation are programmed in Maple 2016 and compared with the publications of the Vietnam Mechanics Association that gives accurate and reliable results Keywords: strength of materials, statically indeterminate beams, degree of redundancy Khoa học & Công nghệ - Số 13/Tháng - 2017 Journal of Science and Technology 13 ... đoạn i Thuật giải lập trình kết Để minh chứng cho sức mạnh thuật toán, tác giả khảo sát nghiên cứu dầm siêu tĩnh bậc có sơ đồ Hình [4] Dầm có độ cứng EJ khơng đổi, bỏ qua trọng lượng thân dầm Cho... có ứng suất tương đương lớn (mặt cắt nguy hiểm nhất) ? Hình Kết cấu dầm bậc siêu tĩnh Số bậc siêu tĩnh hệ 4, với số bậc siêu tĩnh lớn việc giải phương pháp truyền thống chẳng hạn phương pháp lực,... độ z = 306.306 cm, dầm có độ võng cực đại 0.225143 cm Tại mặt cắt có tọa độ z = 100 cm, dầm có ứng suất tương đương cực đại 408.744 Ncm-2, mặt cắt nguy hiểm kết cấu dầm siêu tĩnh Các kết thu hồn