The tich khoi da dien

Các nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía đối với mặt phẳng đó.. Tính thể tích hình.[r]

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo 

Lời giải:

Do (SCI)(ABCD) ; (SBI)(ABCD)  SI(ABCD) Kẻ IKBC SKBC (định lý ba đường vng góc)

Ta có 1  1 .(2 )2

3

SABCD ABCD

V  S SI  a a a SI a SI (1)

Mà SI = IK.tg(600) = 3IK ; BC = BI = a 5 ; IC = a 2 BH2 = BC2 – HC2 = 5a2 –

2 2 a

 

 

 

 

= 2

a  BH = 3 2 a

2  

3

2

2 3 5

5

BIC

a a

a

S KI BC IC BH KI

a

 

 

 

    

Vậy SI = 3 15

5

a a

 



 

 

 

 . 3 15 S ABCD a

V  (đvtt)

Bài 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng (SBD) mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Lời giải:

Ta có : BD AC; BD  SA Þ BD  (SAC) Þ BD  SO

Þ SOA· =é(¼SBD) (, ABCD)ù=600

ê ú

ë û

0

tan 60

2

a a

SA=OA = =

3

13 13 26 6

S ABCD ABCD a a

V  SA S  a  (đvdt)

a D

A B

C I

K

2a 600

S D

A B

C K 2a I

H a

O S

A B

C D

Bài 3: Cho hình chóp SABC có góc (·SBC) (, ABC)=600, ABC SBC tam giác cạnh a. Tính thể tích hình chóp S.ABC

Lời giải:

Gọi M trung điểm BC SM  BC, AM  BC SAM SBC ABC,  600

 

Suy SMA có cạnh a Do 600

2 SMA

S  SM AM Sin

16 a

3 a

1 2

 

Ta có SABC SBAM SAM

1

V 2V .BM.S

3

 

16 a 16

3 a a

1

 



M C

B

A S

M S

A

B

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA=a SA vng góc với mặt phẳng đáy.Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD

Lời giải:

Thể tích khối tứ diện SACD là: 3

3 6

SACD ACD

a

V = SA S = SA DA DC= (đvdt)

O

B C

A

D S

Bài 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AD=a 2 , CD = 2a Cạnh SA vng góc với đáy SA=3 ,a a( >0) Gọi K trung điểm cạnh DC Chứng minh mặt phẳng (SBK) vuông góc với mặt phẳng (SAC) tính thể tích khối chóp SBCK theo a

Lời giải:

Gọi H giao AC BK

2

3

a

BH = BK =

3

a

CH = CA= Þ BH2+CH2=2a2=BC2Þ BK^AC.

Từ BK^AC BK^SAÞ BK ^(SAC)Þ (SBK) (^ SAC)

3

1

.3

3

S BCK BCK

a

V = SA S = a =a (đvdt)

A

H S

B C

D

K

Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD (tức SA = SB = SC = SD) ABCD hình vng), cạnh đáy a, cạnh bên làm với mặt đáy góc a (

4

p

a> ) Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a a

Lời giải: S.ABCD hình chóp tứ giác Þ SH^(ABCD) với H tâm hình vng ABCD

2

.tan tan

2 a

SH AH a a

Þ = =

Vậy thể tích hình chóp S.ABCD bằng:

2

1

.tan tan

3 ABCD

a

V = SH S = a a= a a

H

A B

C D

S

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với diện tích Q Các mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với đáy, cịn mặt bên (SBC) (SCD) tạo với đáy góc ,a b Tính thể tích hình chóp theo Q, ,a b

Lời giải:

Ta có: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

SAB SAD ABCD

SA ABCD

SAB SAD SA

ì Ù ^

ïï Þ ^

ớù ầ =

ùợ

T AB^BCị SB^BC (định lý ba đường vng góc) Þ SBAˆ =a Tương tự ˆSDA=b

Gọi cạnh hình chữ nhật đáy AB = a; AD = b; h = SA Ta có: Q = a.b

a tan tan

a tan tan

tan tan

h

b b a

h b

a a a a

b b

ü = ïï Þ

= Þ =

( )

tan

tan

Q ab a a a

b

Þ = =

.tan tan Q

a a

b

Þ = ; a tan tan tan tan tan ( )2

tan

h a Q a a Q a b

b

= = =

Từ (1) (2) cho ta:

3

1 1

.tan tan tan tan

3 3

V = Q h= Q Q a b= Q a b

b

l a

A B

C D

S

Bài 8: Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm I (A đối diện với C) Các nửa đường thẳng Ax, Cy vng góc với mặt phẳng (ABCD) phía mặt phẳng Cho điểm M khơng trùng với A Ax, cho điểm N không trùng với C Cy Đặt AM = m, CN = n Tính thể tích hình chóp B.AMNC (đỉnh B, đáy AMNC)

Lời giải:

Từ ( ) :

: MI

AM ABC

AI ìïï

^ Þ í

ïïỵ

Mà AI ^BI (định lý ba đường vng góc) Þ BI^(AMNC)

Do h = BI đường cao hình chóp B.AMNC

Diện tích đáy B hình chóp B.AMNC hình thang vng AMNC

 = 1( ) 1( ) 2 AM +CN AC=2 m n a+

Thể tích hình chóp B.AMNC là:

( ) ( + )

= = + =

2

1 1

3 2

m n a a

V B h m n a (ycbt)

D C

B A

x

y

I M

N

Bài 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a góc SAB  Tính thể tích hình

chóp S.ABCD theo a,  Lời giải:

đường xiên hình chiếu

M

O

B C

A s

D

Gọi M trung điểm AB O tâm hình vng (đáy hình chóp A.ABCD) Ta có: SO đường cao hình chóp

OM AB SM AB

  (định lý ba đường vng góc) tan tan

2 a

SM AM  

  

Định lý pitago SOM O 900 , cho ta:

2

2 tan tan2 1 . os2

2 2 2cos

a a a a

SO SM MO   c 



   

           

   

, với cos2 0

Thể tích hình chóp:

3

1 os2

os2

3 ABCD 2cos 6cos

a a c

V SO S a c  

 



    (đvdt)

Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA = SB = SC = SD a Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a

Lời giải:

O D

A

C B

S

M

Gọi O tâm hình vng ABCD  SO đường cao hình chóp

Gọi M trung điểm AB Ta có: OM AB SM AB (định lý ba đường vng góc)

2

2

4

a a a

h SO  SM  MO   

2 ABCD S a

2

2

1 2

3

a a

V  a  (đvdt)

Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc A = 600 Các mặt bên hợp

với đáy góc 600 Tính thể tích hình chóp S.ABCD.

O

C

B

A

D

S

I

Gọi I chân đường cao kẻ từ S SAD

Ta có: mặt bên hợp với đáy góc 600, nên hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng đáy cách đều

các cạnh đáy Suy ra: SO đường cao hình chóp

SOI vng c SIOos IO

SI

 

2 os

3 IO

SI IO

c 

  

(1)

AOI vuông



sin

sin

IO OI

OAI OA OI

OA 

    

(2)

Từ (1) (2):

2 a

SI OA  (đường cao tam giác đều)

2 2 2

2 2

3

2

3

2 4 16

a

SI SI a

h SO SI OI SI a

 

 

   

          

  3

2 ABCD

a

S BD AC

2

1 3 3

3 24

a a a

V   (đvdt)

Bài 12: Cho tứ diện ABCD, AD vng góc với mặt phẳng ABC, AD = 4a, AB = 3a, AC = 4a, BC = 5a, a số dương cho trước Chứng minh tam giác ABC tam giác vng, tính thể tích tứ diện

Lời giải:

Ta có: BC2=25a2=16a2+9a2=AC2+AB2Þ DABC tam giác vuông A.

1

.3

2

ABC

S = AB AC= a a= a

Thể tích tứ diện: 1.6 42

3

ABCD ABC

A

C D

B

Bài 13: Cho hình tứ diện SABC với SAB, SBC, SCA vng góc với đơi có diện tích tương ứng 24cm2, 30cm2, 40cm2 Tính thể tích hình tứ diện

Lời giải:

z x

y

30cm

40cm

24cm

S

C A

B

Đặt: SA = x, SB = y, SC = z 2.24 48

2.30 60 2.40 80 xy

yz zx

ì = =

ïï ïï

Þ íï = =

ï = =

ïïỵ

Ta lại có: 1 48.60.80 1.6.10.8 80( 3)

6 6

V = xyz= xy yz zx= = = cm

Bài 14: Cho tứ diện SABC có cạnh SA^(ABC) Nhị diện cạnh SB nhị diện vuông, cho biết:

· · ( 0)

2, 45 , AS 90

SB=a BSC= B=a < <a

S

A

B

C

Ta có : BC = SB = a

sin sin

AB=SB a=a a

cos os

SA=SB a=a c a

Thể tích tứ diện: sin

3 6

SABC SAB

a

V = BC SD = BC SA AB= a (đvdt)

( ) 2

1 SABC

a V

Þ £

Đẳng thức (1), xảy sin

4

p

a a

Û = Û = (nhọn)

3 max

6 SABC

a V

Þ = , tương ứng

4

p

a= (ycbt)

Bài 15: Cho tam diện ba mặt vuông Oxyz Trên Ox, Oy, Oz chọn điểm A, B, C Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo:

OA = a, OB = b, OC = c Lời giải:

c a

b

O

C A

B

K

H

Dựng OH ^AKÞ OH ^(ABC) H (do: Þ( )1 BC^OH ) Khi ta có: d O ABCéë;( )ù=û OH

Xét:

2 2

2 2

1 1

ô i O

1 1

ô i O

AOK vu ng ta

OH OA OK

BOC vu ng ta

OK OB OC

ìïï D Þ = +

ïïï íï

ï D Þ = +

ïïïỵ

2 2

1 1

OH OA OB OC

Þ = + +

2 2

abc OH

a b c

Þ =

+ + (ycbt)

Bài 16: Cho tứ diện SABC có cạnh SA^(ABC), nhị diện cạnh SB nhị diện vuông Cho biết cạnh

2

SB=a , góc BSC· =450, góc ASÃ

2

C=aổỗỗỗố < < ữa pửữữứ Tính thể tích tứ diện SABC Lời giải:

S

A

B

C

Ta có :

( ) ( )

2 2

AS os

2 2cos os2 ;

4

c

SC

AB SB SA a a c

a

p p

a a a

ìïï = ïïï

íï

ï = - = - = - < <

ïïïỵ

Thể tích tứ diện là:

( )

3

1

os os2 ;

3

SABC ABC

V = BC S = BC SA AB= a c a - c a p< <a p (ycbt)

Bài 17: Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích tứ diện OO’AB

Kẻ đường sinh AA’ Gọi D điểm đối xứng với A’ qua O’ H hình chiếu B đường thẳng A’D

Do BH ^A D v BH' à ^AA '

nên BH ^(AOO A' ')

Suy : OO' '

1

AB AOO

V = BH S

Ta có:

2 2

' ' ' '

A B= AB - A A =a Þ BD= A D - A B =a

'

BO D

Þ D

2 a BH

Þ =

Vì AOO’ tam giác vuông cân cạnh bên a nên:

' AOO

S = a

Vậy thể tích tứ diện OO’AB là:

2

1 3

3 2 12

a a a

V = = (ycbt)

Câu 18: Cho hình chóp SABC có đáy hình chữ nhật với AB = a, AD=a 2,SA=a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N trung điểm AD SC ; I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB

Lời giải:

a a

I

M N

B C

A

D

S

H

A’

A

B

O

O’ H

Xét DABM DBCA vng có

AM BA

ABC

AB = =BC Þ D đồng dạng DBCA

·ABM BCA· ABM· BAC· BCA BAC· · 900 AIB· 900

Þ = Þ + = + = Þ =

( )1

MB AC

Þ ^

( ) ( )2

SA^ ABCD Þ SA^MB

Từ (1) (2) Þ MB^(SAC)Þ (SMB) (^ SAC)

Gọi H trung điểm AC Þ NH đường trung bình DSAC

/ /

2

NH SA

SA a

NH ỡùù ù ị ớù

= =

ùùợ nên NH đường cao khối tứ diện ANIB Do đó:

3

ANIB ABI

V = NH SD

Ta có:

2

2 2

2 2

1 1

,

2 ABI

a a a

AI BI AB AI BI S

AI = AB +AM Þ = = - Þ = Þ D =

2

1 2

3 36

ANIB ABI

a a a

V NH SD

Þ = = = (đvdt)

Bài 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA = 2a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCMN

Lời giải:

M H S

A

B

C N

K

Gọi K trung điểm BC, H hình chiếu vng góc A SK Do BC^AK BC, ^SAÞ BC^AH

Do AH ^SK AH, ^BCÞ AH ^(SBC)

Xét tam giác vng SAK:

2 2

1 1

19 a AH

AH =SA +AK Þ =

Xét tam giác SAB:

2

2

5

SM SA

SA SM SB

SB SB

= Þ = =

Xét tam giác SAC:

2

2

5

SN SA

SA SN SC

SC SC

Suy

2

16 9 19

25 25 100

SMN

BCNM SBC

SBC

S a

S S

S = Þ = =

Vậy, thể tích khối chóp A.BCNM là: 3

3 BCNM 50

a

V = AH S = (đvdt)

Bài 20: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy

(00 900)

j < <j Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a, j Lời giải:

O

A B

C D

S

Gọi O giao điểm AC BD SO đường cao hình chóp S.ABCD Suy góc SAO· =j

Ta có: 2tan

2

a a

OA= Þ SO= j

2. ABCD S =a

Thể tích hình chóp S.ABCD là:

2

1 2

tan tan

3 ABCD

a

V = SO S = j a = a j (đvdt)