Đang tải... (xem toàn văn)
E lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC. I lµ trung ®iÓm cña AE.[r]
(1)Cái hay của
một toán
Phan nghÜa
(P HiƯu trëngTrêng tiĨu häc Sơn Long, Hơng Sơn, Hà Tĩnh)
RONG nhiu cun sách tham khảo tốn tiểu học có đề cập đến tốn sau: "Cho hình tam giác ABC. Trên AB, BC lần lợt lấy điểm D, E sao cho AB = 3AD; BC = 4BE Nối A với E, C với D AE cắt CD M Tính tỉ số
ME MA
"
T
Nghiên cứu kĩ toán bạn thấy có nhiều điều thú vị sau:
Thứ nhất, tốn có nhiều cách giải Sau xin trình bày cách giải đó: Cách
Nèi B víi M V× AB = 3AD nªn AD =
2
BD Hai tam giác ACD DCB có đáy AD DB, chung chiều cao hạ từ C tới AB nên SACD = 21 SDCB Mặt khác, hai tam giác
có chung đáy CD nên từ tỉ số diện tích trên, ta suy tỉ số chiều cao tơng ứng AH =
2
BI (1) V× BC = 4BE nªn BC =
3
EC Hai tam giác BMC EMC có đáy BC EC, chung chiều cao hạ từ M tới BC nên SBMC =
3
SEMC Mặt khác, hai tam giác có
chung ỏy MC nờn từ tỉ số diện tích suy tỉ số chiều cao tơng ứng là: BI =
3
EK (2) Tõ (1)vµ (2), ta cã: AH =
2
BI =
2
x
3
EK =
3
EK Hai tam giác MAC MEC có chung cạnh đáy MC, từ tỉ số chiều cao AH =
3
EK suy SMAC =
3
SMEC Hai tam gi¸c nµy cã chung chiỊu cao
hạ từ C tới AE nên đáy MA =
3
ME VËy ME
MA =
3
C¸ch
Nối B với M ta có: Hai tam giác MBC MEC có đáy BC =
3
EC vµ cã chung chiỊu cao h¹ tõ M xuèng BC, suy ra: SMBC
=
3
SMEC Hai tam gi¸c ACD vµ CBD cã
đáy AD =
2
BD có chung chiều cao hạ từ C xuèng AB, suy ra: SACD = 12 SBCD
Hai tam giác ACD BCD có chung đáy CD nên chiều cao hạ từ A xuống CD
2
chiều cao hạ từ B xuống CD Hai tam giác BMC AMC có chung cạnh MC có chiều cao gấp đơi nhau, suy ra: SAMC =
2
SBMC Mặt khác, hai tam giác ACM
MCE có chung chiều cao hạ tõ C xuèng AE, suy ra:
MA SAMC SAMC x SBMC
ME SMEC SMEC x SBMC
ME MA
=
2
x
3
=
3
VËy: ME MA
=
3
C¸ch
Nèi B víi M (nh h×nh vÏ) Ta cã: SACE =
SABE x Vì đáy EC = 3BE Mà hai hình
(2)chiỊu cao h¹ tõ B xng AE SABM = SADM x
3 (1) V× chóng chung chiều cao hạ từ M xuống AB có AB = 3AD
SACM = SABM x (2) Vì chung đáy AM
cã chiÒu cao gÊp lần Từ (1)và (2), ta có: SACM = SADM x Coi SADM phần
SACD 10 phần Hay: SACD = SADM x 10
Mà: SACD = 13 SABC Vì đáy AD = 31 AB
cã chung chiỊu cao h¹ tõ C tíi AB Nªn: SABC = SADM x 10 x = SADM x 30 Mặt
khác, ta cã: SABM + SACM = SADM x +
SADM x = SADM x 12 Suy ra: SBCM = SADM
x (30 - 12 ) = SADM x 18 vµ SBME = SBCM :
= SADM x 18 : = SADM x 4,5
SABM MA SADM x
SBME ME SADM x 4,5
VËy: ME MA
=
3
C¸ch
Nèi B víi M LËp ln nh c¸ch 3, ta cã: SABM = (phÇn); SABC = 30 (phÇn) Suy ra:
SABE = 41 SABC = 152 (phÇn) VËy: SBME =
2 15
- =
2
(phần) Hai tam giác ABM BME có chung chiều cao hạ từ B xuống AE, nên suy tỉ số hai cạnh đáy là:
ME MA
= :
2
=
3
C¸ch
Nèi B víi M LËp ln nh cách 3, ta có: SABC
= 30 (phần) SACM = (phÇn)
SAEC = 43 SABC = 452 (phÇn)
Suy ra: SCME = 452 - = 272 (phần)
Hai tam giác CMA CME có chung chiều cao hạ từ C xuèng AE, nªn suy ra:
ME MA
= :
2 27
=
3
C¸ch 6.
Nèi E với D Hai tam giác ACD ABC có AD =
3
AB vµ cã chung chiỊu cao hạ từ C tới AB nên SACD = 3
1
SABC (1) T¬ng tù víi
hai tam giác AED AEB, ta có: SAED =
3
SAEB (2) Hai tam giác AEB ABC cã
BE =
4
BC có chung chiều cao hạ từ A tới BC nªn SABE = 4
1
SABC (3) Tõ ®©y ta
cã: SABE = 31 SAEC(4) Tõ (2) vµ (3), ta cã:
SAED = 121 SABC (5) Tõ (2) vµ (4), ta cã:
SAED = 91 SAEC Hai tam giác AED
AEC cú chung đáy AE suy tỉ số chiều cao DP =
9
CQ Hai tam giác AMD ACM có chung cạnh đáy AM, từ tỉ số chiều cao trên, suy ra: SAMD = 91
SACM Tổng diện tích hai tam giác
diện tích tam giác ACD
3
SABC
theo (1) Nªn SAMD = 301 SABC (6) Tõ (5)
vµ (6), ta cã: SAMD = 30
12
SAED = 5
2
SAED
Hai tam giác có chung chiều cao DP, suy tỉ số hai cạnh đáy MA =
5
AE VËy:
ME MA
=
3
(3)Nèi E víi D Hai tam gi¸c CBD CAB có chung chiều cao hạ từ C xuống AB vµ cã BD =
3
AB, nªn suy ra: SCBD =
3
SCAB (1) Hai
tam giác DBC DEC có chung chiều cao hạ từ D xuống BC có EC =
4
BC, nªn suy ra: SDEC = 43 SDBC (2) Tõ (1) vµ (2), ta
cã: SDEC = 43 SDBC = 43 x32 SCAB = 12 SCAB
(3) Mặt khác, ta có: Hai tam giác CAD CAB có chung chiều cao hạ từ C xuèng AB vµ cã AD =
3
AB, nªn suy ra: SCAD =
3
SCAB (4) Tõ (3) vµ (4), ta cã: SDEC = 23
SCAD Hai tam giác DEC CAD có chung
cạnh CD nên từ tỉ số diƯn tÝch trªn ta suy tØ sè hai chiỊu cao lµ: EH =
2
AI Hai tam giác AMC EMC có chung cạnh MC cã tØ sè chiÒu cao EH =
2
AI , nªn suy ra: SEMC = 23SAMC Hai tam giác có chung
chiu cao h t C xuống AE nên từ tỉ số diện tích ta suy tỉ số hai cạnh đáy là:
MA ME =
2
Hay: ME MA
=
3
C¸ch
Nèi E víi D LËp luËn nh c¸ch 6, ta cã: SAEC
=
4
SABC (1) SACM =
30
SABC (2) Tõ (1)
vµ (2), ta cã: SAEC = 43 x309 SACM = 25
SACM Hai tam giác CAE CAM có
chung chiu cao h từ C xuống AE nên từ tỉ số diện tích ta suy tỉ số hai cạnh đáy là:
AM AE
=
2
VËy: ME MA
=
3
C¸ch
Nèi E víi D LËp ln nh c¸ch 6, ta cã: SAEC = 43 SABC (1)
SDEC = 43 SBCD = 43 x32 SCAB = 21 SCAB
(2) Tõ (1) vµ (2), ta cã: SAEC = 23 SDEC
Mặt khác, ta có: SEDM = 91SEMC Suy ra:
SDEC = 9
10
SEMC Ta cã:
AE SCAE SCAE x SEDC
ME SEMC SEMC x SEDC
=
2
x
9 10
=
3
VËy: ME MA
=
3
C¸ch 10
Nèi E víi D LËp luËn nh c¸ch 6, ta cã: SAEC = 43 SABC SACD = 31 SABC Suy ra:
SAEC = 4
9
SACD Mặt khác, ta cã: SCAM =
9SDAM Suy ra: SACD = 109 SCAM Ta cã:
AE SAEC SAEC x SACD
(4)=
4
x
9 10
=
2
VËy: ME MA
=
3
C¸ch 11.
Nèi E víi D LËp ln nh c¸ch 6, ta cã: SAMD = 91SACM Suy ra: SAMD = 101 SCAD
SCAD = 3
1
SABC ; SEAD = 12
1
SABC Suy ra:
SCAD = SEAD Ta cã:
MA SAMD SAMD x SCAD
AE SEAD SEAD x SCAD
=
10
x =
5
VËy: ME MA
=
3
C¸ch 12.
Nèi E víi D LËp ln nh c¸ch 6, ta cã: SEDM
=
9
SEMC Suy ra: SEDM =
10
SDEC
SDEC = 2
1
SCAB; SDAE = 12
1
SABC Suy ra:
SDEC = 6SDAE Ta cã:
ME SEDM SEDM x SDEC
AE SDAE SDAE x SDEC
=
10
x =
5
VËy: ME MA
=
3
C¸ch 13
Kẻ ER song song với DC Nối R với C, nối E với D Hai tam giác RCE RDE có chung cạnh đáy RE, chiều cao hạ từ D C (do RE song song với DC) nên SRCE = SRDE (1) Hai tam giác BRE
BRC cã BE =
4
BC vµ cã chung chiỊu cao hạ từ R tới BC nên SBRE = 41 SBRC Do (1)
nên SBRC = SBED SBRE = 41 SBED Hai
tam giác có đáy nằm cạnh AB chung chiều cao hạ từ E tới AB, suy BR =
4
BD Mặt khác: AB = 3AD nên chia AB phần AD phần BD phần Vậy BR phần RD phần, AR phần Hai tam giác MAD MAR có chung chiều cao hạ từ M tới AR có AD =
5
AR nªn SMDA =
5
SMAR Nèi R víi M, DM song song
víi RE nªn SMDR = SDME Suy ra: SMAR =
SADE VËy: SMDA = 52 SADE
LËp luËn nh trªn ta cã: ME MA
=
3
C¸ch 14.
Nèi B víi M, D víi E (nh hình vẽ) Lập luận nh cách 3, ta có: SABC = 30 (phÇn)
SABE = 14 SABC = 152 (phần) Hai tam giác
EAD EAB có chung chiều cao hạ từ E xuống AB có AD =
3
AB, nªn suy ra: SEAD = 31SEAB = 25 (phÇn)
VËy: SDME = 25 - = 23 (phÇn) Hai tam
giác DAM DME có chung chiều cao hạ từ D xuống AE nên ta suy tỉ số hai cạnh đáy là:
ME MA
= :
2
=
3
(5)Thứ hai, toán vừa giải một trờng hợp toán tổng quát sau: "Trên các cạnh AC AB hình tam giác ABC lấy điểm M N Nối B với M, C với N. BM CN cắt t¹i O.
H·y tÝnh
OM OB
nÕu biÕt
AN BN
= m vµ
AM CM
=n ".
Gi¶i:
Nèi A víi O ta cã: Hai tam giác AOC MOC có chung chiều cao hạ tõ C xuèng AC nªn suy ra:
SAOC AC AM + MC
SMOC MC MC
= + MC AM
= + n
1
Hai tam gi¸c BNC ANC có chung chiều cao hạ từ C xuèng AB vµ cã
AN BN
= m nªn suy : SBNC = m x SANC Hai tam gi¸c BNC
và ANC có chung đáy NC nên từ tỉ số diện tích suy chiều cao hạ từ B tới NC m lần chiều cao hạ từ A tới NC Hai tam giác BOC AOC có chung cạnh OC có tỉ số chiều cao m nên suy ra: SBOC =
m x SAOC Hai tam giác BOC MOC cã
chung chiỊu cao h¹ tõ C xng BM nªn suy ra:
OB SBOC SBOC x SAOC
OM SMOC SMOC x SAOC
OB SBOC SAOC
OM SAOC SMOC
VËy: OM
OB
= m x (1 + n
1
)
- Nh toán giải tr-ờng hợp toán tổng quát m = 12 n =
- Đặc biệt m = n = th× OM
OB
= Đây tính chất ba ®-êng trung tuyÕn tam gi¸c
Thứ ba, qua toán tổng quát ta thấy đợc mối quan hệ tỉ số
AN BN , AM
CM
víi tØ sè OM
OB
Sâu sắc biết tỉ số này, ta tính c t s cũn li
Chẳng hạn xét toán sau: " Cho hình tam giác ABC E trung điểm cạnh BC Nối AE I trung điểm AE Kẻ CI kéo dài cắt AB M, kẻ BI kéo dài cắt AC N.
TÝnh c¸c tØ sè:
MB AM
;
IC IM
;
NC AN
;
IB IN
". Giải:
Hai tam giác ABE AEC có chung chiều cao hạ từ A xuống BC có BE = EC nªn suy ra: SABE = SAEC = 21 SABC Hai tam
giác CAI CIE có chung chiều cao hạ từ C xuống AE cã AI = IE nªn suy ra: SCAI
= SCIE = 12 SAEC = 14 SABC T¬ng tù, ta cã:
SIBE = SIEC; SBAI = SBIE Coi SIBE = (đvdt)
thì SIBE = SIEC = SCAI = SBAI = (đvdt)
SBIC = (đvdt) Vì SBIC = (đvdt); SCAI =
(đvdt) nên suy ra: chiều cao hạ từ B xuống CM gấp lần chiều cao hạ từ A xuống CM hay SBIM = SIAM x
Suy ra: SIAM = : (1 + 2) = 31(®vdt); SBIM
=
3
(đvdt) Tơng tự ta tính đợc: SIAN =
3
(®vdt); SINC = 32(®vdt) VËy:
MB AM
= SIAM : SBIM =
3
:
3
=
2
IC IM
= SIAM : SCAI =
3
: =
3
NC AN
= SIAN : SINC =
3
:
3
=
2
(6)IB IN
= SIAN : SBAI =
3
: =
3
Thứ t, thay đổi cách phát biểu tốn đã cho ta có toỏn mi sau:
"Cho hình tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm M cho AB = 3AM trên cạnh AC lấy điểm N cho NA =
3
NC. Đờng thẳng MN cắt cạnh BC kéo dài tại điểm K Tính tỉ sè:
CK BC
".
Các bạn tự giải toán
Chắc chắn nhiều điều thú vị xung quanh bi toỏn ó nờu
Các bạn hÃy tiÕp tôc suy nghÜ nhÐ
Phan nghÜa