Chứng minh rằng:... mx sin nxdx[r]
(1)Các tốn chọn lọc tích phân luyện thi đại học :
BT1:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường
y = x
y vµ
x
2 4
4
BT2: Tính tích phân: I =
2
5 x x2 dx
BT3 :Tính tích phân: I =
2
2
2
dx x sin
x sin
BT4 :Tính tích phân I = e
xdx ln x
x ln
1
3
BT5 :Tính tích phân I =
3
2
dx x x ln
BT6 :Tính tích phân I =
0
sin sin 3cos
x x
dx x
BT7 :Tính tích phân: I =
0
sin cos cos
x x
dx x
BT8 :Tính tích phân: I = 2 sin
cos cos
x
e x xdx
BT9 : Tính tích phân: I =
2
0
sin cos 4sin
x
dx
x x
BT10 :Tính tích phân: I =
ln
ln 3
x x
dx e e
BT11 :Tính tích phân: I =
1
2
2 x
x e dx
BT12 :Tính tích phân: I =
1 ln
e
x xdx
BT13 :Tính tích phân: I =
1
3
1 x
(2)BT14 :Tính tích phân: I =
3 ln
0 x 13 x
e dx e
BT15 :Tính tích phân: I =
0
3
2 x 1dx
e x x
BT16:Tính tích phân: I = 2
0
5 61 cos3 sin cos
xdx x
x
BT17 :Tính tích phân: I =
01 cos2
dx x x
BT18 :Tính tích phân: I =
1
2 1 x dx
x
BT19 :Tính tích phân: I =
5
2
1
ln
ln x x
e dx e
BT20 :Cho hàm số f(x) = bxex x
a
13 Tìm a b biết
f'(0) = -22
1
f x dx BT21 :Tính tích phân: I =
1
3
dx e
x x
BT22 :Tính tích phân: I = e
xdx ln x x
1
2 1
BT23 :Tính tích phân: I =
1
2
1 x dx x
x
BT24:Cho In =
1
2 21
dx x
x n J n =
1
2
1 x dx
x n
với n nguyên dương
1) Tính Jn chứng minh bất đẳng thức: 2 1
1
n In
2) Tính In + theo In tìm
n n
x I
I lim 1
BT25 :Tính tích phân: I =
3 2xsin xdx sin
x sin
BT26 :Tính tích phân sau: I1 =
0
4
2xsin x cos xdx cos
(3)BT 27 :Tính tích phân: I =
3
2
7
2 x x dx
x
BT28 : Cho D miền giới hạn đường y = tg2x; y = 0; x = x
= 4
1) Tính diện tích miền D
2) Cho D quay quanh Ox, tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành BT29 : Tính tích phân:
e
xdx ln x
1 2
BT30 :Tính tích phân: e
dx x
x ln
1
BT31 :Tính:
2
3
1
x x
dx x
BT32 : Tính tích phân: I =
2
04sin 3cos
1 sin cos
dx x x
x x
BT33 :Tính tích phân:
9
31 xdx
x
BT34 : Tính tích phân: I =
2
033
1
dx x
x
BT35 : 1) I =
1
2 2
dx e x
x x 2) J =
0
2dx
x sin
BT36 :Tính tích phân: I =
2
0 x x
xdx
BT37 : Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định, liên tục nhận giá trị đoạn [0; 1] Chứng minh rằng:
0
0
0
dx x g dx x f dx
x g x f
BT38 :Tính tích phân: I =
2
1x 2x
dx
BT39 :Cho số nguyên dương m, n số lẻ Tính theo m, n tích phân: I =
xdx cos x
sinn m
(4)
2
0
dx x cos f dx x sin f
2) Tính tích phân: I =
0 2003 2003
2003
x cos x sin
xdx
sin J =
0 2003 2003
2003
x cos x sin
xdx cos
BT41 :Tính tích phân: I =
0
2 1
dx x x
BT42 :Tính tích phân:
2
3
1 2x dx x
x
BT43 : Tính tích phân: I =
1
0
1
x dx x ln
BT44: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = - x2 y = x
x2
BT45 : Bằng cách đặt x = t
2 , tính tích phân: I =
0
dx x cos x sin
x sin
BT46 :1) Tính tích phân: I =
e
dx x ln cos
2) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số F(t) xác định bởi: F(t) =
t
dx x cos x
0
2
BT47 :Tính tích phân sau đây: 1) I =
0
xdx sin
x 2) J =
3
xdx cos x sin
BT48 : Chứng minh nếu: y = ln
24
x
x đạo hàm y' =
4
2
x
Sử dụng kết tính tích phân: I =
2
2 4
dx x
BT49 :Tính tích phân: I =
4
0 2
2
dx x cos x sin
x cos
BT50 :Tính tích phân: I =
(5)BT51 : Tính: I =
1 tgx dx ln
BT52 : Chứng minh bất đẳng thức:
4
2
1
1
0 2000
x dx
BT53 : Tính tích phân: I =
4
4
dx x cos x sin
x cos x sin
BT54 :Tính tích phân:
01
1
dx x cos
x sin
BT55 :Tính: I =
1
01
3
x dx
BT56 :
Chứng minh với số tự nhiên m, n khác nhau:
0
nxdx cos mx sin nxdx
sin mx cos
BT57 : 1) Tìm số A, B để hàm số: h(x) = 2 2
2
x sin
x sin
biểu
diễn dạng: h(x) =
sinx
x cos B x sin
x cos A
2 , từ tính tích phân J =
0
2
dx x h
2) Tìm họ nguyên hàm hàm số g(x) = sinx.sin2x.cos5x BT58 :Tính tích phân:
1
0 x2 3x 22
dx
BT59 : 1) Tính tích phân:
1
0ex dx
2) Tính họ nguyên hàm của: f(x) = x(1 - x)20
BT60 :Cho n N 1) Tính tích phân:
1
2
1 x dx
(6)2) Chứng minh rằng:
1 1
1
1
n C n C C C
n n n n
n n
BT61 : Tính tích phân: I =
1
3 21
dx x
x n (n N)
BT62 :1) Tìm họ nguyên hàm hàm số: f(x) = tg4x
2) Tìm họ nguyên hàm hàm số: f(x) =
x x x
3 2
BT62 : 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol (P) có phương trình:
y = x2 - 4x + hai tiếp tuyến (P) kẻ hai điểm A(1; 2) và
B(4; 5)
2) Tính tích phân: I =
0
4
2xsin x cos xdx
cos J =
0
dx x sin x cos
BT63 : 1) Cho hai hàm số: f(x) = 4cosx + 3sinx; g(x) = cosx + 2sinx a) Tìm số A, B thoả mãn: g(x) = A.f(x) + B.f'(x)
b) Tính tích phân:
dx x f
x g
2) Tìm thể tích vật thể tạo elíp: 16
4 2
y
x quay quanh trục Oy
Bt64 :Tính tích phân sau:
0
3
1 cos xdx x sin
BT65 :Tính tích phân:
1
6 51
dx x x
BT66 : 1) Tính tích phân: J =
1
2
1 x dx
x n
2) Chứng minh rằng:
1
2
2
1
1 1
n C
C C C
C nn
n n
n n n
BT67 :1) Tính: I =
0
1dx
x x
2) Đặt I(t) = t
dx x cos
x tg
0
2 (0 < t < 4
) Tính I(t) chứng minh bất đẳng thức
tg
4
t > tg t tgt
e
3 3
với < t < 4
(7)BT69 :Đặt J(t) =
t
dx x
x ln
1
2
với t >
Tính J(t) theo t, từ suy rằng: J(t) < 2, t > BT70 :Tính tích phân I =
3
2 1
dx x x
BT71 :Tính tích phân:
1
2 1
dx x x
Bt72 :Chứng minh bất đẳng thức:
1
ln dx
x sin x
x sin x
BT73 :Tính: I =
0 2 2
dx x sin b x cos a
x cos x
sin (a,b 0)
BT74 : Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) =
4
x cos x cos
BT75 : 1) Tính tích phân: I = sin xdx
4
2) Tính tích phân: J =
1
2
dx x sin ex
BT76 : Tính: I(a) =
1
dx a x x
với a tham số Sau vẽ đồ thị hàm I(a) đối số a BT77 :Tính tích phân: I =
1
0 x x2 x
dx
BT78 :Tìm họ nguyên hàm: I =
dx x x x x
x
1
5
1
2
2
BT79 :Tính tích phân: I =
2 sin xdx
BT80 :Tính tích phân:
1
1
dx x cos x sin ln
x cos
BT81 : Tính tích phân:
3
3
2 dx x cos
(8)BT82 :Tính tích phân: I =
0
4
dx x sin x cos
x sin x
cos
BT83 :Tính tích phân: I =
4
6
1
6 dx
x cos x sin
x
BT84 :Tính tích phân sau: 1) I =
1
11 x2 dx
2)
0
dx x cos x
sin x cos
BT85 :Tính tích phân sau: 1) I =
2
1
2
1
dx x
x
x 2) J =
10
2
xdx lg x
BT86 :Tính tích phân:
0 6
4
dx x cos x sin
x sin
BT87 :Cho In =
1
2
1 e dx e
x nx
với n = 0, 1, 2, 1) Tính I0
2) Tính In + In +
BT88 :Tìm họ nguyên hàm: I =
3 1
x xdx
BT89 : 2) Tính tích phân sau: I =
3
2 1
dx x
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x2, y =
8
2
x y
=
x
27
BT90 :Tính tích phân: I =
1
0
1
dx x x
x
BT91 :Cho tích phân: In =
xdx
cosn n N*
(9)BT92 :Tính tích phân: I =
1
3 1
dx x x
Bt93 :Tìm họ nguyên hàm hàm số: f(x) =
x sin
gx cot
9
1
BT94 :Đặt I =
0
2
cos sin
sin
x x
xdx J =
0
2
cos sin
cos
x x
xdx
1) Tính I - 3J I + J
BT94 :) Cho hàm số: f(x) = ax + b với a2 + b2 > Chứng minh rằng:
2
0 2
0
xdx cos x f xdx
sin x f
BT95 :Tính tích phân: I =
0 2
dx x cos x sin
x cos x sin
BT96 :Tính tích phân: I =
2
1xx4
dx
BT97 :Tính diện tích phần mặt phẳng hữu hạn giới hạn đường thẳng: x = 0, x =
2
, trục Ox đường cong y = 4
1 x x
BT98 :Tính tích phân sau: I =
1
0
2
1
dx x
e
x x
BT99 :Tính nguyên hàm:
4
2
1
1
x x
dx x
BT100 : Tìm họ nguyên hàm hàm số: y = 3x2 3x1
Bt101 : Tính tích phân sau: I =
1
2
1 2 2
1
dx x
x x x
x
BT102 : Chứng minh bất đẳng thức:
2
4 cosx
dx
BT103 :Chứng minh:
2 0
0
dx x sin f dx x sin f dx
x sin f x
Áp dụng tính tích phân: I =
01
dx x cos
(10)BT104 :Cho In =
x n dx
2
1 Chứng minh rằng: In =
2 1
3
1
2
n
n x
n x
n In -
BT105 :Tính tích phân: I(m) =
1
2 2
dx m x x
BT106 :Tính: I =
0
xdx sin x
BT107 :Cho hàm số: g(x) = sinxsin2xcos5x 1) Tìm họ nguyên hàm hàm số g(x) 2) Tính tích phân: I =
2
2
1dx
e x g
x
BT108 : 1) Tìm số A, B để hàm số: h(x) =
2 2
2
x sin
x sin
biểu
diễn dạng: h(x) =
sinx
x cos B x sin A
2 , Từ tính tích phân I =
0
2
dx ) x ( h
BT109 :Tính tích phân: I =
e
dx x
x ln x
ln
1
3 2
BT110 :1) Cho hàm số f liên tục (0; 1) Chứng minh:
dx x sin
f =
dx x cos f
2) Sử dụng kết để tính: I =
0
3
dx x cos x sin
x
cos J =
2