Hệ số là hai số đối nhau→Nhân lượng liên hợp... Hướng dẫn:[r]
(1)ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 (CB)
HỌC KÌ II
I/ Chương IV:Giới hạn:
1/ Giới hạn dãy số: Bài 1:Tìm giới hạn:
a/lim 4 n27n13 b/lim 5 n37n21 c/
5
lim 2n
n
d/
3
lim 2n n n
e/lim2
3
n n
f/
2
3
lim
4
n n
n
g/
5
4
7
lim
8 10 17
n n
n n
k/
2
lim
3
n
n n
l/lim 4 23
2
n n
n
m/
6
2
3
lim
7
n n
n n
n/
2
3
lim
10
n n n
n
o/
4
10 11
lim
6 20
n n
n n
Hướng dẫn:
a/b/c/d:Đặt n có số mũ cao làm thừa số đưa dạng tích
e/f/k/l/n/o:Chia tử mẫu cho n có số mũ cao
g/m: đưa dạng tích
Ví dụ: a/
4
3
3
lim
5
n n
n n
=
4
4
3
3
4
3 lim
1
5 n
n n n
n n
=
3
4
3 lim
1
5
n n n
n n
= limn,
4
3
4
3 3
lim
1 5
5
n n n n
b/lim
3
n n
n
2
3
1 lim
1 n
n n
n
=
1 lim
1
n n
n
vìlimn,
3
1
1 1
lim
1 3
3 n n
Bài 2 :Tìm giới hạn:
a/lim 2n23n 1 7n3 b/lim 10 n 4 4n2 3n4 c/limn2 n 4n2 n 10
d/lim 9n2 1 n25n 7 e/lim n2 n n f/lim 9n24n 3 n
g/lim 4 n 1 16n22n 3 h/lim 2n23n 2n21 k/lim n43n2 1 n21 Hướng dẫn: a/b/c/d: Đặt thừa số đưa dạng tích.Đáp số theo thứ tự: ; ; ;
e/f/g/h/k: Nhân lượng liên hợp biến đổi đưa giới hạn đặc biệt.ĐS: 2;
2 3;
3 4;
3
4 ;
5
Đặc điểm nhận biết:
Hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp biến đổi đưa giớí hạn đặc biệt Hệ số hai số đối ta đặt thừa số đưa dạng tích.
Ví dụ: a/lim 5n2 n 11 2 n3 Nhận xét:2n có hệ số -2 5n2 5n
có hệ số
Hệ số hai số đối nhau→Đưa dạng tích
Giải: a/lim 5n2 n 11 2 n3=
1 11
limn
n n n
vìlimn
1 11
lim 5
n n n
(2)b/lim n210n 1 n1 Nhận xét:n có hệ số -1; n2 n
có hệ số Hệ số hai số đối nhau→Nhân lượng liên hợp Giải:
b/lim n210n 1 n1=
2
2
10 1 10 1
lim
10 1
n n n n n n
n n n
=lim 2
10 1
n
n n n =
8
lim
10 1
1
n n n
Bài 3:Tìm giới hạn
a/lim2.3 5.4
3.4
n n
n n
b/
3.2
lim
10.7 5.4
n n
n n
c/
2
lim
3
n n
n
n
d/
1
1
6.3
lim
6
n n
n n
Hướng dẫn:Biến đổi đưa số mũ.Trong cơng thức có chứa a b cn, ,n n
chọnmax a b c, ,
Giả sử làa ta chia tử mẫu cho an biến đổi đưa giớí hạn đặt biệt. Đáp số theo thứ tự là:5
3; 10;
7 24
;-6
Bài 4: Tìm giới hạn
a/
2
lim
3 2n
n n
b/
2
2
1 lim
2
3
3
n
n
n n
c/ lim2 1 2 3
n
n n
n
d/
2
3
1
lim
4
2
3
n
n n
n
Hướng dẫn:Biến đổi đưa dạng tích
Đáp số theo thứ tự là:0; ;;0 Ví dụ:
3
3
5
lim
2
4
3
n
n n
n n
=
2
5
1 3
lim
1
4
n
n n
n n
vì
2
5
1 1
lim
1 4
4
n n
n n
vàlim
2
n
2/Giới hạn hàm số:
Bài tốn 1:Tìm giới hạn hàm số x x0(tương tự cho trường hợp x x x0; x0
)
* Dạng 1: Nếu f x xác định x0
0
lim
xx f x f x Áp dụng:
a/lim 2x1 x215x7 b/ 2
4
lim
x
x x
c/
2
lim
x x x d/
2
3
2
lim
3
x
x x
x
* Dạng 2:
lim
x x
f x g x
với f x 0 g x 0 0 Cách giải:
☺Nếu f x g x , đa thức phân tích f x x x f x 0 1 ,g x x x g x 0 1 đó:
lim
x x
f x g x
=
1
1
lim
x x
f x g x
☺Nếu f x g x có chứa bậc hai ta nhân lượng liên hợp để biến đổi đưa giới hạn đặc biệt
Ví dụ: a
3
2
8 lim
4
x
x x
=
2
2
2
lim
2
x
x x x
x x
=
2
2
2
lim
2
x
x x
x
(3)b/ 2
6
4
lim x x x x =
4 5
lim
7
x
x x
x x x
= 6 lim
1
x
x
x x x
= lim 25
1
x x x Áp dụng:
Bài : a/ 25 lim x x x x
b/
3 11 10 lim x x x x
c/
2 lim x x x x
d/
5 1 lim x x x
e/
2
2
2 13 20
lim 16 x x x x f/ 3 lim 10 x x x x x
g/
3 2 lim x x x x x
h/
3 10 lim 12 x x x x x
k/
3 3 lim x x x x
m/
10 1 lim x x x
Đáp số theo thứ tự là:
; -4; 6; 5;
3
; 0; 7; -17; 3; 10
Bài 2 :
a/ 2
0
2 1
lim x x x x
b/
4
lim x x x
c/
2 lim x x x x
d/
1 lim
2 15
x
x
x x
e/
3 4
lim
4
x
x x
f/
3
2
8 lim
6 4
x
x x
g/ 2
3 12
lim x x x x x
h/
6
lim 16 x x x x k/ 2 lim
3
x
x x
x x
l/
1
lim x x x x x Đáp số theo thứ tự là:1
3 ;
;
; 102;
15
16; -16; 25
; 40;
3 22
;1
6 * Dạng 2:
lim x x f x g x
với f x 0 0;g x 0 0 Cách giải:Sử dụng quy tắc b trang 131
Ví dụ:
3 lim x x x
Ta có:xlim 53 x 8 7 0;xlim3x 3 0 vàx 3 0 x lim x x x
Áp dụng: a/ 2 11 lim x x x
b/ 10 lim x x x x
c/
2 2 lim x x x
d/ 4
2
lim 16 x x x
e/ 32
2 lim x x x Bài tốn 2:Tìm giới hạn hàm số x (x )
* Dạng 1:xlim f x Với f x đa thức
Cách giải:Đặt x có số mũ cao làm thừa số, đưa dạng tích ( khix giải tương tự) Ví dụ:xlim 2 x3 x 1= lim 12 13
x x x x
3 lim
x x
1
lim 2
x x x
Áp dụng:
a/xlim 20 x3 3x24 b/ lim 3
x x x
c/
4
lim
4 x x x x
d/
7
lim
x x x
* Dạng 2:
lim
x
f x g x
Với f x ,g x đa thức Cách giải:
(4)Ví dụ:a/
2
2
3
lim
4
x
x x
x
=
2
2
7
3 3
lim
7 4
4
x
x x
x
;(Đã chia tử mẫu cho
x )
b/ lim 52
4
x
x
x x
=
4
4
3
lim
4
x
x x
x x
;(Đã chia tử mẫu cho
x )
Tuy nhiên f x là đa thức bậc cao g x thì ta đưa dạng tích
Ví dụ:
6
10
lim
4
x
x x
x x
=
6
4
3
2
1
10 lim
2
4
x
x
x x
x
x x
=
2
1
10 lim
2
4
x
x x
x
x x
Vì: xlim x3 ,
1
10 5
lim
2 2
4
x
x x
x x
Áp dụng:
a/
5
5
4
lim
2
x
x x
x x
b/
3
3
6
lim
2
x
x x
x x
c/
2
4
2
lim
4
x
x
x x
d/
4
2
7 13
lim
2
x
x x
x x
e/
3
3
lim
4 10
x
x x
x x
f/
10
6
10
lim
3
x
x x
x x
* Dạng 3:
lim
x f x với f x có chứa bậc hai tùy ta đưa dạng tích nhân lượng liên hợp để biến đổi đưa giới hạn đặc biệt.(Tương tự cho trường hợpx ) Đặc điểm nhận biết:
Hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp
Hệ số hai số đối nhau→Đặt thừa số đưa dạng tích
Ví dụ:a/lim
x x x x Nhận xét: x có hệ số là-1;vìx nên
x x xcó hệ số
Hai hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp
Giải: a/ lim
x x x x =
2
1
lim
1
x
x x x x x x
x x x
= lim 2
1
x
x
x x x
=
1 lim
1
1
x
x
x x
x x
=
2
1 lim
1
1
x
x
x x
=1
b/ lim 1
x x x x Nhận xét:3x có hệ số 3;vìx nên
4x 2 x 2x
có hệ số -2 hệ số không hai số đối nhau→Đưa dạng tích
Giải: b/ lim 1
x x x x =
1
lim
x x x x
= lim
x x x x
=
Vì: xlim x ; lim 4 3 1 0
x x x
c/ lim 3 1
x x x Nhận xét:
3x bậc ba; vìx nên 9 3 3
(5)Giải: lim 3 1
x x x
3
4
9
lim
x x x x x
= 3
9
lim
x x x x x
= 3
2
lim
x x x x x
vì: xlim x3 , lim 23 94 16
x x x x
Áp dụng:
a/ lim 2
x x x x b/
2
lim 10
x x x x c/
4
lim 10
x x x x d/
lim
x x x e/
2
lim
x x x x f/
lim
x x x x g/
lim
x x x x h/
2
lim 16
x x x x x k/
2
lim
x x x x Hướng dẫn:
a/b/c/d/k:Nhân lượng liên hợp biến đổi.Đáp số theo thứ tự là:3 ; 6;
5 2; 0;
7
e/f/g/h:Đặt thừa số đưa dạng tích. Đáp số theo thứ tự là: ; ; ; * Các dạng khác:
a)
3
1 1
1 1
lim lim lim lim
1 1
x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x
3
3
2 2
1
3
2
1 3
5 7
) lim lim (1)
1 1
5 (
lim lim lim (2)
8
1 1 5 2 1 5 2
x x
x x x
x x x x
b
x x x
x x x x
x x x x x
3 2
2
1 2 2 3 2
3
7
lim lim
1 1 7 2 7 4
x x
x x
x x x x
=
1 2 3 2
3
1
lim (3)
12
7
x
x x
Thay ( 2) , ( ) vào ( ) có : A = 11
8 12 24
3.Hàm số liên tục:
* Dạng 1:Xét tính liên tục hàm số f x tại x0. Cách giải:
Dùng định nghĩa: Nếu f x xác định tạix0và
0
lim
xx f x f x thì f x liên tục tạix0 Ví dụ:Cho hàm số
2 17 16
16 16
15 16
x x neáu x
f x x
neáu x
(6)
2
16 16
17 16
lim lim
16
x x
x x
f x
x
= 16
lim 15 16
x x f Vậy f x liên tục tạix0=16
Áp dụng:
Xét tính liên tục ham số f x x0trong trường hợp sau:
a/
2
0
2 3
3
5
x x neáu x
f x x Tại x
nếu x
; b/
2
0
2 20 4
4
13
x x neáu x
f x x Tại x
nếu x
c/
5 6 6
6 6
5 6
12
x neáu x
x
f x Tại x
nếu x
; d/
9
0
8 0
2
x neáu x
f x x Tại x
nếu x
e/
2
0
3 1
1 1
1
x x neáu x
x
f x Tại x
x nếu x ; f/
1 0
0
6 0
1
x x neáu x
x
f x Tại x
x nếu x
x
Hướng dẫn:d/e/f để tính được
lim
xx f x cần tính xlimx0 f x và lim xx f x
* Dạng 2:Định tham số để hàm số liên tục x0 Cách giải:Tính f x 0 ,
0
lim
xx f x ,lập phương trình 0
lim
xx f x f x giải tìm tham số Ví dụ: Cho hàm số
2
2
7 6
6
2 10
x x neáu x
f x x
m m nếu x
Tìm m để h/số f x liên tục x0=6 Giải:Ta có hàm số f x xác định tạix0=6
2
6 10
f m m
2
6
7
lim lim
6
x x
x x
f x
x
6
lim x x
Hàm số f x liên tục x0= khi:
6
lim
x f x f
2m 7m 10
2m2 7m 5
1 m m
Áp dụng:
Tìm m để hàm số f x liên tục x0 trường hợp sau:
a/
2
0
4 3
3
7
x x neáu x
f x x Taïi x
m m neáu x
; b/
2
0
2 2
2
3
x x nếu x
f x x Tại x
m neáu x
c/
3
0
1 1
1
2
x nếu x
f x x Tại x
mx neáu x
; d/
3
0
27 1
1
3
3
4
3
x neáu x
x
f x Tại x
m m nếu x
* Dạng 3:Chứng minh phương trình f x 0 có nghiệm thuộc a b; Cách giải:
Xét hàm số yf x ,chứng minh yf x liên tục trêna b; f a f b 0
0 ; : 0
x a b f x
(7)Ví dụ:Cmr phương trình
4x 5x 0 có nghiệm thuộc0; 2 Giải: Xét hàm số f x 4x3 5x liên tục R nên liên tục trên0;2
Ta có: f 0 3 , f 2 19 suy f 0 f 57 0
x0 0;2 : f x 0 0.Vậy 4x3 5x 0 có nghiệm thuộc 0; 2 Áp dụng:
1/Chứng minh phương trình:x7 3x5 2 0
có nghiệm
2/ Chứng minh phương trình:x2sinx xcox 1 0
thuộc 0;
3/ Chứng minh phương trình: x3 3x 1 0
có nghiệm phân biệt
4/ Chứng minh phương trình sau có nghiệm với m: a/m x 1 3 x 22x 0
b/x4 mx2 2mx 2 0
5/ Phương trình sau có nghiệm hay khơng khoảng (– ; ) ?
3 3 4 7 0
x x x
( HD : Xét nghiệm (– ; ) (– ; ) Suy pt có nghiệm (– ; )
II/Chương V: ĐẠO HÀM
Bài 1:Tính đạo hàm hàm số sau :
a/y x3 5x2 3x 1
b/
4 5 3
10
4
x x x
y c/y2x3 x 7 d/y3x 710
e/ y 5x 3 720 f/ y4x1 5 x 312 g/y 7x2 3x 5
h/y 7x2
k/
4
x y
x
l/
7
2 10
x y
x
m/
3
5
x y
x x
n/
2 x y
x
o/ Cho f x( )x3 3x1.Tính f'(5) p/ Cho ( ) '(2)
3
x
f x Tính f
x
(HD: '(5) 72; '(2) 17
64
f f )
q/ Cho h/s f x( ) x Tính f'(7) r/ Cho f x( )3 Tính f '( 2)
x
s/ Cho h/s ( ) 2 '(1)
3
f x Tính f
x x ( HD:
1
'(7) ; '( 2) ; '(1)
4
2
f f f )
t/ Cho y x 3 3x2.Tìm x để a y: ) ' 0 b y) ' 3
Giải
Ta có: a) ' 0 3 3 0 0 2
y x x x hoặc x
b) ' 3 3 6 3 2 1 0 1 2 1 2
y x x x x x
Bài 2:Tính đạo hàm hàm số sau:
a/ysin 2x3cosx1 b/y3sin 5x2 cos(3x28) c/ysin 7 x 33cos 2x14
d/ytan 3 x e/ytan 4 x22 x 5 f/ cot
y x g/y 1 tan 5x20
h/ Cho h/s ( )1 cossin '( ) , '(0) ' 4
x
f x Tính f x f vaø f
x Đsố:
1
'(0) ; '
2 2 1
f f
Bài 3:Tìm vi phân hàm số sau:
a/y 2x2 10x 3
b/y 2x3 c/y5x 27 d/ sin3
2 x
y e/y cos 52 x 6
f/ycot 5 x2 x 2 g/y 1 sin2 x4
h/ 2
2
y
x x
k/
1 3cos y
x
(8)Bài 4: Tính đạo hàm cấp hai hàm số sau : a/
10
1 10
x
y x b/
4
x y
x
c/
6
y x d/y x cos 2x e/ sin
y x x
Bài 5:Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số sau:
a/y x3 3x2 2
điểm M01; 2
b/y 2x2 x 1
điểm có hồnh độ x0 1
c/
2 4 5
2
x x
y x
điểm có hồnh độ x0 0
d/y 2x1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:
3 x
y
e/y 2x2 8x 1
biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d:x 4y16 0
f/
2 3 1
1
x x
y x
biết tiếp tuyến có hệ số góc
Hướng dẫn:
Tiếp tuyến đồ thị hàm số yf x tiếp điểm M x yo o; ocó phương trình
'
o o o
y y f x x x .(1)
*Nếu tiếp tuyến đồ thị song song với đường thẳng y ax b a , 0 f x' o a xo yo áp dụng cơng thức (1) viết phương trình.
*Nếu tiếp tuyến đồ thị vng góc với đường thẳng y ax b a , 0 thì ' o
f x
a
xo yo áp dụng công thức (1) viết phương trình.
*Nếu biết tiếp tuyến có hệ số góc k : f x' o k xo yo áp dụng công thức (1) viết phương trình
*Bài tập tương tự:
Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số sau:
a/
5
y x x điểm M01; 2
b/y x3 3x2 5x 1
điểm có hồnh độ x0 2
c/y 4x2 3x 5
điểm có tung độ y0 2
d/y 2x1 biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d:y2x1
e/
2
x y
x