Đang tải... (xem toàn văn)
Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau trong đó chữ số đàu tiên là số lẻ?. 3.5[r]
(1)Bài tập đại số tổ hợp
Quy tắc cộng Quy tắc nhân:
1 Một trường phổ thơng có 12 học sinh chun tin 18 học sinh chun tốn Thành lập đồn gồm hai người cho có học sinh chuyên tốn học sinh chun tin Hỏi có cách lập đoàn trên?
2 Từ số 1,2,3,4,5,6,7,8
a Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau?
b Có số gồm chữ số đơi khác chia hết cho 5? Có thể lập số chẵn gồm chữ số khác lấy từ 0,2,3,6,9? Có số chẵn có chữ số đơi khác nhau?
5 Từ số 0,1,2,3,4,5
a Có số có ba chữ số khác chia hết cho ? b có số có chữ số khác chia hết cho ? Hoán vị
1 Cho chữ số 1,2,3,4,5
a Có số có chữ số khác nhau?
b Có số có chữ số đơi khác bắt đầu số3?
c Có số có chữ số đơi khác không bắt đầu số d Có số có chữ số khác bắt đầu la chữ số lẻ?
2 Có xếp bạn A,B,C,D, E vào ghế dài cho: a Bạn C ngồi
b, Hai bạn A, E ngồi hai đầu ghế?
3 Một học sinh có 12 sách đơi khác có Văn, Tốn, Anh Văn Hỏi có cách sách lên kệ dài cho mơn nằm kề nhau? Có hai bàn dài, bàn có ghế Người ta muốn xếp chổ ngồi cho 10 học sinh gồm nam nữ Hỏi có cách xếp nếu:
a Các học sinh ngồi tuỳ ý?
b Các học sinh nam ngồi bàn, học sinh nữ ngồi bàn?
5 Xét số gồm chữ số có chữ số chữ số cịn lại 2,3,4,5 Hỏi có cách
a Năm chữ số xếp kề b Năm chữ số xếp tuỳ ý? Chỉnh hợp
1 Từ số 1,2,3,4,5,6 lập số có chữ số đơi khác nhau? Có số tự nhiên có chữ số đôi khác nhau??
3 Từ số 0,1,3,5,7 lập số gồm chữ số khác a Chia hết cho
b Không chia hết cho 5?
4 Từ số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập số có chữ số khác a Số tạo thành số chẳn?
b Một chữ số phải có mặt số 1? c thiết phải có mặt chữ số 5??
d Phải có mặt hai số 1?
5 Từ số 1,2,3,4,5,6,7 lập đựoc số có chữ số khác nhỏ 276?? 6, Giải phương trình bất phương trình sau:
a 2
·
72 6( )
x x x x
P A A P b Ax35Ax2 21x
c 10 9
x x x
(2)Tổ hợp
1 Đề thi trắc nghiệm có 10câu hỏi Học sinh cần chọn trả lời câu a Hỏi có cách chọn tuỳ ý?
b Hỏi có cách chọn câu đầu bắt buộc?
c Hỏi có cách chọn câu đầu câu sau??
2 Một tổ có 12 học sinh Thầy giáo có đề kiểm tra khác Cần chọn học sinh cho đề kiểm tra Hỏi có cách chọn?
3 Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn từ tem thư bì thư dán tem thư lên bì thư chọn Mỗi bì thư dán tem Hỏi có cách làm thế?
4 Một lớp có 20 học sinh có cán lớp Hỏi có cách chọn người dự Hội nghị cho có cán lớp?
5 Có nhà Tốn học nam, nhà Toán học nữ nhà Vật lý Muốn lập đồn cơng tác có nguời gồm nam lẫn nữ, cần có nhà Tốn hoc lẫn Vật lý Hỏi có cách chọn?
6 Một đội Văn Nghệ gồm 10 nguời có nữ, nam Có cách chia đội văn nghệ: a Thành hai nhóm có số nguời nhóm có số nữ nhau?
b Có cách chọn người khơng q nam?
7 Có hai đường thẳng song song d1 d2 Trên d1 lấy 15 điểm phân biệt, d2 lấy điểm phân biệt Hỏi
có tam giác mà có đỉnh điểm lấy?
8 Trong hộp có cầu xanh, cầu đỏ cầu vàng, cầu khác Chọn ngẫu nhiên cầu hộp Hỏi có cách chọn:
a cho cầu chọn có đủ ba màu? b Khơng có đủ ba màu?
9 Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ ba tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ??
10 Trong mơn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu trung bình 15 câu dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi số câu hỏi dễ khơng 2??
11 Đội TNXK trường có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B, học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn vậy??
12 Đội tuyển học sinh giỏi gồm 18 em, gồm 7học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Cử em dự trại hè cho khối có em chọn Hỏi có cách cử vậy? 13 (ĐH Y-2000)
Có nhà tốn học nam,3 nhà tốn học nữ nhà vật lý nam Lập đồn cơng tác có người cần có nam nữ,có tốn lý.Hỏi có cách
14 Một tiệc có 10 nam nữ biết khiêu vũ.Hỏi có cách chọn 3nam nữ để ghép thành cặp nhảy
15 Bill Gate có người bạn thân Ơng muốn mời số họ chơi xa Trong 11 người có người khơng muốn gặp mặt Hỏi ngài tỷ phú có cách mời
16 ĐH-CĐ khối B/2004
Có 30 câu hỏi khác gồm cau khó(K) 10 câu trung bình(TB)và 15 câu dễ(D).Từ 30 câu có lập đề kiểm tra đề gồm câu khác cho đề fải có loại(K-D-TB)và số câu dễ khơng 2?
17 ĐH-CĐ khối B/2005
Một đội nien tình nguyện có 15 người,gồm 12 nam nữ.Hỏi có cách phân cơng đội tình nguyện miền núi cho tỉnh có nam nữ
18 ***ĐH-CĐ khối B/2002
Cho đa giác A1,A2, A2n (nN n 2) nội tiếp đường trịn (O) Biết số tam giác có đỉnh
là ba 2n đỉnh A1,A2, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh bốn 2n đỉnh
A1,A2, A2n Tìm n
(3)1/ Rút gọn biểu thức sau: a A=
10
P P P P
P P P P P
b B=
6
n n
4 n
A +A
A c C =
2
5
5
4
5 5
3
P P P P
A
A A A A
P 2P
d D= n+1 n n-k
P
A P +
5
15 15 15
7 17
C +2C C
C
e E=
2 3
6 15
3
1 1
C - C C
3 28 65
P A f F= 5
A - A P +
5
P P 2/ Chứng minh :
a
n
n P = n-1
1 P + n-2
1
P b
n+2 n+1 n
n+k n+k n+k
A A k A
c 2
k n+1 n+3 n+5 n+5
P A A A n.k!A d k n-k
n n
C C Phương trình chứa ký hiệu , k, k
n n n P A C Giải PT BPT sau:
1 6 6 9 14
x x x
C C C x x P2x2-P3.x=8 2A +50=A , x N2x 22x
4 14 x
x x x
A C C
x x x
7 C +C +C = x
2
3 2
x-1 x-1 x-2
2
C C = A
3
7
x x+1 x+4
1
=
C C 6C
3 n-2
n n
A +C =14n An3 2Cn4 3An2 10
2
1
2Cx 3Ax 30
11
2
1
10
x
x x x
A A C
x
12 Giải phương trình ! ( 1)!
( 1)!
x x
x
với x số tự nhiên khác 13 Giải bất phươngtrình
2
15
n
n n n
P
P P P
14 Giải hệ: 90
5 80
y y x x y y x x A C A C 15 1
5 y y
x x y y x x C C C C
16
2n 20 n
C C
Các tốn tổng hợp:
1 Có thể lập số có chữ số từ số 1,2,3,4,5,6 có mặt hai lần, số cịn lại lần
2 Có số chẵn gồm chữ số khác chữ số đàu tiên số lẻ
3 Có số gồm chữ số khác có chữ số chẵn chữ số lẻ
4, Có baonhiêu số tự nhiên gồm chữ số đơi khác có mặt số khơng có mặt số
5 Có số tự nhiên gồm chữ số biết số có mặt lần, số có mặt lần, chữ số cịn lại không lần?
6.Cho hai đường thẳng song song d1 d2 Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, đường thẳng
d2 có n điểm phân biệt (n>1) Biết có 2800 tam giác có đỉnh điểm cho Tìm n
7.Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6, lâp số chẳn, số có chữ số khác đo có chữ số lẻ hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau?
8 Từ số 0,1,2,3,4 lập baonhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau? Tính tổng tất số tự nhiên
9.Có số tự nhiên gồm chữ số cho: Chữ số có mặt hai lần, số có mặt lần, số cịn lại phân biệt
10 Có số tự nhiên có bốn chữ số cho khơng có chữ số lặp lại lần
11 Có số tự nhiên có chữ số cho: Số có mặt 2lần, số có mặt lần, số cịn lại khơng lần
12 Cho đa giác A1, A2, A2n nội tiếp đường tròn tâm O, biết số tam giác có đỉnh
(4)13 Từ số 1,2, ,6 Lập số có chữ số khác chia hết cho 14 Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác không bắt đầu 123 Nhị thức Newton
I Áp dụng cơng thức khai triển
1 Tìm hệ số số hạng thứ tư khai triển
10
1
x x
2 Tìm hệ số số hạng thứ 31 khai triển
40
1
x x
3 Tìm hạng tử chứa x2 khai triển: 3 x2 x7
4 Tìm hạng tử khơng chứa x khai triển sau: a
12
3
x x
b
7
4
1
x x
5 Tìm hệ số x12y13 khai triển (2x-3y)25
6 Tìm hạng tử đứng khai triển
10
1
x x
7 khai triển
21
3
a b
b a
tìm hệ số số hạng chứa a b có số mũ nhau?? II Khai triển với giả thiết có điều kiện
1/ Biết khai triển
n
x x
Tổng hệ số số hạng thứ nhất, hai, ba 46 Tìm số hạng khơng chứa x?
2/Cho biết tổng ba hệ số ba số hạng khai triển 2
n
x x
97 Tìm hạng tử khai triển chứa x4
3/ Cho khai triển 1 1 ( 1)
3 3
n
n n n n
n n n n
x C x C x C
Biết hệ số số hạng thứ ba khai
triểnlà Tìm số hạng giữa?? 4/ Cho khai triển 3
2
2
( )n ( )n n( )n
n n
x C x C
x x
Biết tổng ba hệ số đầu 33.Tìm hệ số x2 5/ Tìm số hạng chứa x8 khai triển
3
1 n
x x
Biết
1
4 7( 3)
n n
n n
C C n
6/ Tìm hệ số x7 khai triển (2-3x)n n thoả mãn hệ thức sau
1
2 1024
n
n n n
C C C
7/ Giải phương trình sau
2 2007
2 2
n
n n n
C C C
8/ Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển
1 n
x x
biết n thoả mãn hệ thức
1 20
2 2 2
n
n n n n
C C C C
(5)0 1 2
3n 3n 3n ( 1)n n 2048
n n n n
C C C C
10/Cho n n n 79
n n n
C C C
Trong khai triển nhị thức
28
3 15
n
x x x
hãy tìm số hạng khơng phụ thuộc vào x
11/Tìm hệ số số hạng chứa x26trong khai triển nhị thức Niutơn
1 n
x x
, biết
1 20
2 2
n
n n n
C C C
12/.Tìm hệ số x4trong khai triển biểu thức
1 3 2n
A x x thành đa thức Trong n số nguyên
dương thỏa mãn:2C22C32 C42 Cn2 3An21
13/ Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển nhị Niu tơn (2+x)n biết:
0 1 2 3
3n 3n 3n 3n n n 2048
n n n n n
C C C C C
14.Quy tắc tổng quát : Tổng hệ số biểu diễn tắc đa thức f(x) f(1) Chox 2100 a0a x1 1a x2 2 a x100 100
a)Tính a97
b)S a 0a1a2 a100
c)M=1.a12.a2 100. a100
III Chứng minh tính tổng biểu thức tổ hợp:
1/ Khai triển (3x-1)16 Từ chứng minh
16 15 16 16
16 16 16
3 C C C 2 2/ Chứng minh:
a n 2n
n n n n
C C C C
b 21 23 22 20 22 22
n n
n n n n n n
C C C C C C
3/ Chứng minh rằng:
0
3
1 1
3
3 3
n n n
n n n n n
C C C C
4/ Tính tổng
a S= 20 22 22
n
n n n
C C C
b S =
2
n
n n n
C C C
5/ Chứng minh rằng:
a 2004 1002
2004 2004 2004
C C C b
2004
0 2 4 2004 2004
2004 2004 2004 2004
3
2 2
2
C C C C
6/Chứng minh : 1000 1001
2001 2001 2001 2001 , k 2000
k k
C C C C
7/Chứng minh rằng: 2, 0,
n n n
n k n k n
C C C k n 8/Chứng minh :
1
0 1
2 1
n
n n
C C
n n
9/Chứng minh rằng: 2 1n n 0
n n n
C C nC
(6)11/ CMR: 20 32 12 33 22 32 22 22 122 1
n n n n
n n n n
C C C C
12/ CMR: C20010 32C20012 34C20012 3 2000C20012000 22000220011
13/ Chứng minh rằng:
1
k k k k
k k k m k m
C C C C
Từ suy đẳng thức sau:
0 1
1
m m
k k k k m k m
C C C C C
IV Khai triển nhiều hạng tử:
1/ Tìm hệ số x6 khai triển (1+x2(1+x))7 thành đa thức.
2/ Tìm hệ số số hạng chứa x4 khai triển (1+2x+3x2)10.
3/ Tìm hệ số chứa x10 khai triển
P(x) = (1+x) + 2(1+x)2+3(1+x)3+ +15(1+x)15.
4/ Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức x(1-2x)5 + x2(1+3x)10
5/.Tìm số hạng khơng chứa x khai triển P(x) =
9
1 2x
x
6/.Tìm hệ số số hạng chứa 31
x khai triển P(x) =
7
3
1 x
x
V Sử dụng đạo hàm tích phân
1/ Chúng minh hệ thức sau
a 2 3 n 2n
n n n n
C C C nC n
b
1 1
2 1
n n
n n n n
C C C C
n n
2/ Tính tổng
a S = 14
14 14 14 14 14
C C C C
b S = C20080 2C120083C20082 2009 C20082008
3/ Chứng minh
2
1
2 2
1 1
2 2
n n
n n n n
C C C C
n n
4/ Tìm n nguyên dương cho:
1 2 3 2
2 2.2 3.2 4.2 (2 1).2 2007
n n
n n n n n
C C C C n C
5/ Tính tổng: S =
2
0 1 2
2
n
n
n n n n
C C C C
n
6/ Chứng minh rằng: 2000 2000
2000 2000 2000 2001 2000 1001.2
C C C C
7/ Chứng minh rằng:
0
1 1
2 2
n n
n n n n
C C C C
n n
8/ Xác định số lớn số: 0, 1, 2, , k, , n
n n n n n
C C C C C
9/ CMR: 2n 1 2n 2 3.2n 3 4.2n n .3n
n n n n
C C C nC n
10 CMR: .4n 1 4 n 1 n n 1 4 2n n
n n n n n n
n C n C C C C n C
Ta CM toán tổng quát sau :
0 1 1
1 *2
n n k n k n n
n n n n n n k n
C C C C C C C C n
Ta có, ( )! ( )
( )!
n k n k
n k
C n k
n k
(7)0 ( 1) ( ). k 1. n
n n n n
VT nC n C n k C C
Xét 1
( ) ( 1)n n n n k k n
n n n n
f x x x C x C x C x C
Lấy đạo hàm hai vế cho x = ta được
0 ( 1) ( ). k 1. n .2n
n n n n
VT nC n C n k C C n
Áp dụng cho n =2002 ta VT 2002.22001 1001.2.22001 1001.22002