chuyende khao sat ham so

Trong chöông naøy chuùng ta öùng duïng ñaïo haøm vaø giôùi haïn ñeå xem moät soá tính chaát quan troïng cuûa haøm soá vaø ñoà thò nhö: tính ñôn ñieäu, cöïc trò, giaù trò lôùn nhaát, [r]

HỆ THỐNG HỐ KIẾN THỨC ƠN THI HỌC KÌ II, TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG MƠN TỐN



LỜI NÓI ĐẦU 

Để giúp bạn có nhìn tổng quan, hiểu chất mỗi vấn đề đặt ra, nắm vững kiến thức trọng tâm, từ đưa phương pháp giải mạch lạc làm quen với dạng câu hỏi đề thi Học kì II, Tốt nghiệp Trung học phổ thông, Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, Ban Cán Sự Bộ Môn Khoa Học Tự Nhiên – Tổ – Lớp 12A1 – Trường THPT Lưu Văn Liệt biên soạn tập tài liệu Hệ thống hóa kiến thức Khảo sát hàm số ôn thi Học kì II, Tốt nghiệp THPT - Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng - mơn Tốn.

 Nội dung tập tài liệu gồm:

A Kiến thức trọng tâm: Trình bày cách ngắn gọn, đầy đủ kiến thức theo chủ đề, nhằm giúp bạn hệ thống lại kiến thức cách lôgic.

B Các dạng toán thường gặp: Gồm dạng toán hướng dẫn phương pháp giải nhằm giúp bạn làm quen rèn luyện kỹ giải toán.

Chúng hi vọng tài liệu giúp cho bạn phân loại tốt dạng bài tập, nắm vững phương pháp giải, nâng cao kĩ làm bài, bám sát theo nội dung chương trình học.

Mặc dù có nhiều cố gắng biên soạn, khó tránh khỏi những sai sót ngồi ý muốn, chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp xây dựng quý báo thầy cô giáo bạn để tập tài liệu hoàn thiện hơn.

Mọi ý kiến đóng góp xin vui lịng gửi địa chỉ: Ban Cán Sự Bộ Môn Khoa Học Tự Nhiên, Tổ 1, Lớp 12A1, Trường THPT Lưu Văn Liệt – 92A Phạm Thái Bường, Phường 4, Thành phố Vĩnh Long, Tỉnh Vĩnh Long.

Điện thoại: 0949698796 – 0703831179 (gặp Hưng). Hoặc qua Email:

duongthehung2403@yahoo.com, duongthehung2403@gmail.com. Xin trân trọng cảm ơn.

CHƯƠNG I

ỨNG DỤNG ĐẠO HAØM ĐỂ KHẢO SÁT VAØ VẼ ĐỒ THỊ HAØM SỐ

Trong chương ứng dụng đạo hàm giới hạn để xem số tính chất quan trọng hàm số đồ thị như: tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đường tiệm cận đồ thị; từ khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số.

CHỦ ĐỀ KHẢO SÁT HAØM SỐ

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

I SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HAØM SỐ (CƠ BẢN)

Giả sử f(x) có đạo hàm khoảng (a;b) Thế thì:

a) f’(x) > 0; x  (a;b)  f(x) đồng biến khoảng (a;b).

f’(x) < 0, x  (a;b)  f(x) nghịch biến khoảng (a;b).

b f(x) đồng biến khoảng (x;b)  f’(x)  0, x  (a;b).

f(x) nghịch biến khoảng (a;b)  f’(x)  0, x  (a;b).

khoảng (a;b) gọi chung khoảng đơn điệu hàm số.

II TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ (NAÂNG CAO)

Hàm số đơn điệu Cho hàm số f xác định K, K khoảng, đoạn nửa khoảng.

 f đồng biến K với x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2).  f nghịch biến K với x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2).

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số f có đạo hàm khoản I Khi đó:

 Nếu hàm số f nghịch biến I f’x)  với x  I.

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

1) Giả sử hàm số f có đạm hàm khoảng I.

 Nếu f’(x)  với x  I f’(x) = số hữu hạn điểm I

thì hàm số đồng biến I.

 Nếu f’(x)  với x  I f’(x) = số hữu hạn điểm I

thì hàm số nghịch biến I.

 Nếu f’(x) = với x  I hàm số f không đổi I.

2) Giả sử hàm số f liên tục nửa khoản [a;b) có đạo hàm khoảng (a;b).

 Nếu f’(x) > (hoặc f’(x) < 0) với x  (a;b) hàm số f đồng biến (hoặc

nghịch biến) nửa khoảng [a;b).

 Nếu f’(x) = với x  (a;b) hàm số f không đổi nửa khoảng

[a;b).

III CỰC TRỊ CỦA HAØM SỐ (CƠ BẢN)

Giả sử hàm số f(x) xác định khoảng (a;b) x0  (a;b).

1 Định lý 1

a 0

0

'( ) 0, ( ; )

'( ) 0, ( ; )

f x x x h x

f x x x x h

   

 

   

  x0 điểm cực đại f(x).

b 0

0

'( ) 0, ( ; )

'( ) 0, ( ; )

f x x x h x f x x x x h

   

 

   

  x0 điểm cực đại f(x).

2 Định lý 2 a

0

'( ) "( )

f x f x    

  x0 điểm cực tiểu f(x).

b 0

'( ) "( )

f x f x    

  x0 điểm cực đại f(x).

IV CỰC TRỊ CỦA HAØM SỐ (NÂNG CAO)

Điểm cực trị Giả sử hàm số f xác định tập hợp D (D  R) x0 được

gọi điểm cực đại hàm số f tồn khoản (a;b) cho x0  (a;b)  D

f(x) < f(x0) với x  (a;b) \ {x0}.

Điểm cực tiểu hàm số định nghĩa tương tự. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị.

Nếu hàm số f đạt cực trị điểm x0 hàm số f có đạo hàm điểm x0 thì f’(x0) = 0.

(Hàm số f đạt cực trị điểm mà khơng có đạo hàm). Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị.

1) Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a;b) chứa điểm x0 có đạo hàm

trên khoảng (a;x0)và (x0;b) Khi đó:

 Nếu f’(x) < với x  (a;x0) f’(x) > với x  (x0;b) hàm số f

đạt cực tiểu điểm x0.

 Nếu f’(x) > với x  (a;x0) f’(x) < với x  (x0;b) hàm số f

đạt cực tiểu điểm x0.

Chú ý Không cần xét hàm số f có hay khơng có đạo hàm điểm x = x0. 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng (a;b) chứa điểm x0,

f’(x0) = f có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Khi đó:  Nếu f”(x0) < hàm số f đạt cực đại điểm x0.  Nếu f”(x0) > hàm số f đạt cực tiểu điểm x0.

V GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VAØ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HAØM SỐ (CƠ BẢN)

1 Cách tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) đoạn. Định lý:

Y = f(x) liên tục đoạn [a;b]  tồn max

[ ; ]a b f(x),

min

[ ; ]a b f(x). Cách tìm

 Tìm xi  [a;b] (i = ; ; ; n) có đạo hàm khơng xác

định.

 Tính f(a), f(b), f(xi), (i = 1; ; ; n).

 Tìm GTLN = max {f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b)};

GTNN = min{f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b)}.

2 Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng

x a x0 b x a x0 b y' - + y' +

-y

GTNN

y GTLN

(trong f’(x0) o f’(x) không xác định x0).

VI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VAØ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HAØM SỐ (NÂNG CAO)

0

, ( ) ( )

, ( ), ( )

maxx D x D f x M

M f x

x D f x f x M             0 , ( ) ( ) , ( ), ( )

minx D x D f x m

m f x

x D f x f x m            

VII PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ (NÂNG CAO)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(x0;y0)

 Công thức chuyển hệ tọa độ phép tịnh tiến theo vectơ OI là

0

0 x X x y Y y

 

 

  

 Nếu () đồ thị hàm số y = f(x) hệ tọa độ (O; i, j



) phương trình () hệ tọa độ (O; i, j



) laø Y = f(X + x0) - y0

VIII ĐƯỜNG TIỆM CẬN (CƠ BẢN) Kí hiệu (C) đồ thị hàm số y = f(x)

1 Đường tiệm cận đứng Nếu điều kiện

lim f(x) = +  lim f(x) = - 

x x0+ x x0+

lim f(x) = +  lim f(x) = - 

x x0- x x0

Nếu lim f(x) = y0 lim f(x) = y0 đường thẳng y = y0 x  + x - 

tiệm cận ngang (C).

IX ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HAØM SỐ (NÂNG CAO)

 Đường thẳng x = x0 gọi tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f(x)

nếu bốn điều kiện sau thỏa mãn:

0 lim ( )

xx f x  ;

0 lim ( )

xx f x  ;

0 lim ( )

xx f x  ;

0 lim ( )

xx f x  

 Đường thẳng x = x0 gọi tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f(x)

neáu xlim ( )f x y0

   xlim ( )   f x y0

 Đường thẳng y = ax + b (a  0) gọi tiệm cận xiên đồ thị hàm

số y = f(x) nếu

lim [ ( ) ( )]

x  f x  ax b  xlim [ ( ) (   f x  ax b )] 0

Cách tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (a  0) tiệm cận xiêng

của đồ thị hàm số y = f(x) khi a = lim ( )

x

f x x

  vaø b =

lim [ ( ) ]

x  f x  ax Hoặc a = lim ( )

x

f x x

   vaø b =

lim [ ( ) ]

x   f x  ax

X KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VAØ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ (CƠ BẢN)

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HAØM SỐ y = f(x)

1 Tìm tập xác định hàm số 2 Sự biến thiên

a Chiều biến thiên

 Tính y’.

 Tìm nghiệm phương trình y’ = điểm y’ khơng xác

định.

 Xét dấu y’ suy chiều biến thiên hàm số.

b Tìm cực trị.

c Tìm giới hạn vơ cực; giới hạn + , - điểm mà hàm

d Lập bảng biến thiên. 3 Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên yếu tố xác định để vẽ đồ thị.  Chú ý

1) Nếu hàm số tuần hồn với chu kỳ T cần vẽ đồ thị chu kỳ tịnh tiến đồ thị song song với Ox.

2) Để vẽ đồ thị thêm xác, ta cần:

 Tính thêm tọa độ số điểm, đặc biệt nên tính giao điểm đồ thị

với trục tọa độ.

 Lưu ý tính chất đối xứng (qua trục, qua tâm, ) đồ thị.

KHẢO SÁT MỘT SỐ HAØM SỐ ĐA THỨC VAØ PHÂN THỨC

Dạng đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a

 0)

Dạng đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c (a

Dạng đồ thị hàm số y = ax b cx d



 (c  0, ad - bc  0)

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

1 Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị

Giả sử (C1) đồ thị hàm số y = f(x) (C2) đồ thị hàm số y = g(x) Số nghiệm phương trình f(x) = g(x) số giao điểm (C1) (C2).

2 Viết phương trình tiếp tuyến

Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị (C) M0 (x0 ; f(x0))  (C) ; f(x) có đạo

Phương trình tiếp tuyến (C) M0 là y - y0 = f’(x0)(x - x0).

XI SỰ GIAO NHAU VAØ SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONG (NÂNG CAO)

1) Hoành độ giao điểm hai đường cong y = f(x) y = g(x) nghiệm của phương trình.

F(x) = g(x).

Do đó, số nghiệm phân biệt phương trình số giao điểm của hai đường cong.

2  Hai đường y = f(x) y = g(x) gọi tiếp xúc với điểm M(x0;

y0) chúng có tiếp tuyến chung điểm M Khi đó, M gọi tiếp điểm.  Hai đường cong y = f(x) y = g(x) tiếp xúc với hệ

phương trình

( ) ( )

'( ) '( )

f x g x f x g x

 



 

Có nghiệm Nghiệm hệ phương trình hoành độ tiếp điểm.

 Đường thẳng y = px + q tiếp tuyến parabol y = ax2 + bx + c và

chỉ phương trình

ax2 + bx + c = px + q hay

CÁC DẠNG ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HAØM SỐ (NÂNG CAO)

Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a

Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c (a

 0) có dạng sau đây.

Đồ thị hàm số y = cx dax b

Đồ thị hàm số y =

' '

ax bx c a x c

 

 = px + q + ' '

r

a x c (a  0, a’  0, r  0) có một

trong dạng sau đây.

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

1 Các hàm số thường gặp

(1) y = ax3 + bx2 + cx + d (a

 0)

(2) y = ax4 + bx2 + c (a

 0)

(3) y = cx dax b

 (c  0, ad - bc  0)

(4) y = ax2 bx c dx e

 

 = px + q +

r

dx e (ad  0, t  0).

2 Các bước để khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

 Tìm tập xác định;

 Lấy đạo hàm cấp một, tìm nghiệm (nếu có);

 Tìm giới hạn hàm số (1), (2); tìm tiệm cận hàm số

(3), (4);

 Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biên thiên kết luận khoảng tăng,

giảm, điểm cực trị giá trị cực trị;

 Tìm điểm đặc biệt;  Vẽ đồ thị.

3.1 Định nghĩa Hàm số f xác định K Với x1, x2 thuộc K: x1 > x2

Nếu f(x1) > f(x2) f tăng K; f(x1) < f(x2) f giảm K.

Chú ý

 Hàm số tăng giảm K gọi chung hàm số đơn điệu K.  K khoảng, đoạn nửa khoảng.

3.2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Hàm số f có đạo hàm khoản K:

 Nếu f tăng K f’(x)  0, x  K.  Nếu f giảm K f’(x)  0, x  K.

3.3 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Hàm số f có đạo hàm khoảng K:

 Nếu f’(x) > 0, x  K f tăng K.  Nếu f’(x) < 0, x  K f giảm K.

Chú ý Nếu f’(x)  0, x  K (hoặc f’(x)  0, x  K) f’(x) = một

số hữu hạn điểm thuộc K hàm số f tăng (hoặc giảm) K.

4 Cực trị hàm số

4.1 Định nghĩa Hàm số f xác định lân cận V x0 Khi đó:  f đạt cực tại x0 x  V, x  x0 ta có f(x) < f(x0).

 f đạt cực tiểu x0  x  V, x  x0 ta có f(x) > f(x0).

Chú ý

 f gọi đạt cực trị x0 có đạt cực đại cực tiểu x0.  x0 gọi điểm cực trị hàm số.

 f(x0) gọi giá trị cực trị hàm số.

 (x0, f(x0)) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số.  Khái niệm cực trị có tính chất địa phương.

Hàm số f có đạo hàm x0 Nếu f đạt cực trị x0 f’(x0) = 0

Chú ý Hàm số f không đạt cực trị x0 f’(x0)  0, đạt

cực trị x0 mà đạo hàm khơng xác định. 4.3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị.



Điều kiện đủ thứ Hàm số f có đạo hàm (a ; b) x0  (a ; b) Nếu

f’(x0) = f’(x) đổi dấu x qua x0 f đạt cực trị x0.

x x0 x x0

f'(x) + - f'(x) - 0 +

f(x) CÑ

(cực đại)

f(x) (cực tiểu) CT

 Điều kiện đủ thứ hai Hàm số f có đạo hàm cấp hai liên tục khoảng

(a ; b), x0  (a ; b) f’(x0) = 0; f”(x0) < f đạt cực đại x0; f”(x0) > 0

thì f đạt cực tiểu x0.

5 Đường tiệm cận đồ thị hàm số.

5.1 Tiệm cận đứng Đường thẳng x = x0 gọi tiệm cận đứng đồ

thị hàm số lim ( )

xx f x ;

0 lim ( )

xx f x  ;

0 lim ( )

xx f x ;

0 lim ( )

xx f x  

5.2 Tiệm cận ngang Đường thẳng y = y0 gọi tiệm cận ngang đồ

thị hàm số y = f(x) điều kiện sau thỏa mãn:

lim ( )

x  f x y ; xlim ( )   f x y0

5.3 Tiệm cận xiêng Đường thẳng y = ax + b (a  0) gọi tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = f(x) điều kiện sau thỏa mãn:

lim [ ( ) ( )]

x   f x  ax b  ; xlim [ ( ) (  f x  ax b )] 0

Cách tìm tiệm cận xiên: y = ax + b (a  0)

a = lim ( ) x

f x x

   , b =

lim [ ( ) ]

x   f x  ax a =

( ) lim x

f x x

  , b =

lim [ ( ) ]

Đặc biệt Đối với hàm số y = Q xP x( )( ) với P(x), Q(x) đa thức bậc của P(x) lớn bậc Q(x) đơn vị, ta lấy P(x) chia cho Q(x) viết dạng y =

( ) ( )

P x

Q x = ax + b + (x) x 



y = ax + b tiệm cận xiên đồ thị hàm số.

6 Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số.

 Phương pháp chung

 Lập bảng biến thiên hàm số;

 Dựa vào bảng biến thiên ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của

hàm số.

 Trường hợp đặc biệt Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số f liên

tục đoạn [a;b] ta làm sau:

 Tìm f’ tìm nghiệm f’ khoảng (a;b) Giả sử nghiệm x1,

x2, ,xn;

 Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), , f(xn);

 Số lớn giá trị giá trị lớn hàm số, số nhỏ

nhất giá trị giá trị nhỏ hàm soá.

7 Sự tương giao tiếp xúc hai đường

Cho hai đường (C1) : y = f(x) : y = g(x).

 Lập phương trình hồnh độ giao điểm f(x) = g(x) Số nghiệm phương

trình cho biết số giao điểm (C1) (C2).

 (C1) tiếp xúc (C2) hệ phương trình ( ) ( )

'( ) '( )

f x g x f x g x

 





 có nghiệm.

Nghiệm hệ hoành độ tiếp điển.

8 Các tồn tiếp tuyến.

8.1 Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = f(x).

 Loại Tại điểm M(x0 ; y0) thuộc (C) Phương trình tiếp tuyến: y = y’(x0)(x

 Loại Biết tiếp tuyến qua điểm M(x0 ; y0)

Cách Gọi d đường thẳng qua M có hệ số góc k. Phương trình d y = k(x - x0) + y0

Vì d tiếp xúc với (C) nên hệ sau có nghiệm f xf x( )'( )k x xk( (2) 0)y0 (1) 



Lấy (2) vào (1) ta f(x) = f’(x)(x - x0 + y0. Giải tìm x, suy k, suy phương trình tiếp tuyến. Cách Gọi N1(x1; f(x1)) tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến có dạng y = f’(x1) (x - x1) + f(x1) Vì tiếp tuyến qua M nên y0 = f’(x1)(x0 - x1) + f(x1). Giải x1, suy phương trình tiếp tuyến.

 Loại Biết hệ số góc tiếp tuyến k cho trước

Gọi (x0 ; y0) tọa độ tiếp điểm.

Theo ý nghĩa hình học đạo hàm, ta có f’(x0) = k Giải tìm x0, suy phương trình tiếp tuyến.

8.2 Tìm tập hợp điểm M cho từ M kẻ tới (C) : y = f(x) khơng, một, hai, tiếp tuyến; tiếp tuyến; tiếp tuyến; hai tiếp tuyến vng góc nhau;

Các giải Xác định tọa độ điểm M(xM; yM).

Gọi d đường thẳng qua M có hệ số góc k, suy d : y = (x - xM) + yM d tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm f xf x( )'( )k x xk( (2) M)yM (1)

 

Thế (2) vào (1) ta f(x) = f’(x)(x-xM) + yM (3) Vậy (C1) suy từ (C) cách:

 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải Oy bỏ phần đồ thị

 Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) vừa giữ.

 Từ (C) suy (C2) : y = |f(x)| Ta có y = |f(x)| =   

f(x) f(x) -f(x) f(x) < Vậy (C2) suy từ (C) cách:

 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía Ox.

 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía Ox bỏ phần đồ thị

(C) phía Ox.

 Từ (C) suy (C3) : y = f(x) Ta có |y| = f(x) 

  

 

f(x) y = f(x) Vậy (C3) suy từ (C) cách:

 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía Ox bỏ phần đồ thị (C) nằm

phía Ox;

 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) vừa giữ.

 Từ (C) : y = f(x) suy (C4) : y = |f(|x|)| Từ (C)  (C1)  (C4)

Dạng Cho (H): y = Q xP x( )( ) với Q xP x( )( ) = cx dax b

 ( ) ( )

P x Q x =

2

ax bx c d

cx e

 



 Từ (H) suy (H1) : y = | ( ) |Q xP x( ) Ta có y = | ( ) |Q xP x( ) =       

P(x) neáu Q(x)> |Q(x)|

P(x) neáu Q(x)< |Q(x)|

Vậy (H1) suy từ (H) cách:

 Giữ nguyên phần đồ thị (H) miền Q(x) > 0;

 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (H) miền Q(x) < bỏ phần đồ thị (H)

ở miền Q(x) < 0.

Ta coù y = | ( ) |Q xP x( ) =          

P(x) neáu P(x) 0, Q(x) Q(x)

P(x) neáu P(x) < 0, Q(x) Q(x)

Vậy (H2) suy từ (H) cách:

 Giữ nguyên phần đồ thị (H) miền P(x)  0;

 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (H) miền P(x) < bỏ phần đồ thị (H)

ở miền P(x) < 0.

11 Tính chất đối xứng

Dạng Chứng minh điểm I(x0 ; y0) tâm đối xứng (C): y = f(x)

Thay 0 x x X y y Y

 

 

 

 chứng minh Y = f(X) hàm số lẻ.

Dạng Chứng minh đường thẳng x = x0 trục đối xứng (C) : y = f(x)

Thay x x0 X y Y

 

 



 chứng minh y = f(X) hàm số chẵn.

Dạng Định m để (Cm): y = f(x,m) có cặp điểm đối xứng qua O(0 ; 0).  Giả sử (Cm) có cặp điểm (x0 ; y0), (-x0 ; y0) với x0  đối xứng nhau

qua gốc tọa độ.

 Ta coù 0

0

( , )

( , )

y f x m y f x m

  

  

  f(x0, m) + f(-x0, m) = 0

 x = x0 nghiệm phương trình f(x, m) + f(-x, m) = Yêu cầu toán

trở thành định m để phương trình f(x, m) + f(-x, m) = có nghiệm x  0.

Dạng Tìm (C): y = f(x) cặp điểm đối xứng qua điểm I(x0 ; y0).  Gọi ((x1 ; f(x1)), (x2 ; f(x2)) hai điểm cần tìm.

 Ta có

1

2

( ) ( )

x x x

f x f x y

 

 

 

 Giaûi x1, x2, suy điểm cần tìm.

 Giả sử A, B hai điểm cần tìm, suy AB : y = -1

k x + b.

 Phương trình hồnh độ giao điểm (C) AB

f(x) = -1k x + b (8*)

 Gọi I trung điểm AB, ta có 2 A B I A B I x x x y y y           

với xA, xB nghiệm (*).

 Do I thuộc d nên y1 = kx1 + c Giải tìm b, suy tọa độ A, B.

12 Điểm uốn đồ thị hàm số.

Hàm số f có đạo hàm cấp hai khoảng (a ; b), x0  (a ; b) f”(x0) = 0

và f”(x) đổi dấu x qua x0 U(x0; f(x0)) điểm uốn đồ thị hàm số.

13 Điểm đặc biệt họ đường cong (Cm) : y = f(x,m)

Dạng Tìm điểm cố định mà họ (Cm) qua với m.

Dạng Tìm điểm thuộc mặt phẳng mà họ (Cm) khơng qua với m.

Dạng Tìm điểm thuộc mặt phẳng mà có hai đường cong của họ (Cm) qua.

Cách giải Biến đổi y = f(x, m) thành phương trình ẩn m: Am + B = Am2 + Bm + C = 0

 Đối với dạng Tọa độ điểm cố định nghiệm hệ: 0 A B    



0 0 A B C        

 Đối với dạng Tìm điều kiện để phương trình theo ẩn m vô nghiệm.  Đối với dạng Tìm điều kiện để phương trình ẩn m có nghiệm m

hoặc có hai nghiệm m.

NHÓM TÁC GIẢ

Chịu trách nhiệm xuất baûn:

Tổ trưởng Tố kiêm Cán mơn Sinh Học: DƯƠNG THẾ HƯNG Bí thư kiêm Lớp phó lao động, Cán mơn Vật Lí: NGUYỄN HẢI ĐĂNG

Lớp phó học tập kiêm Cán mơn Hố Học: DƯƠNG THÁI SƠN Cán mơn Tốn 2: NGUYỄN HUY VIỆT

Hướng dẫn thực chuyên đề: Thầy Trần Chí Thanh

Tổ chức thảo chịu trách nhiệm nội dung:

DƯƠNG THẾ HƯNG - NGUYỄN HẢI ĐĂNG

Biên tập nội dung:

DƯƠNG THẾ HƯNG

Biên tập kó – mó thuật:

DƯƠNG THẾ HƯNG

Trình bày bìa:

DƯƠNG THẾ HƯNG

Sửa in:

DƯƠNG THẾ HƯNG NGUYỄN HẢI ĐĂNG



THE END