chuyende khảo sát hàm số

Trường THPT Lưu Văn Liệt – Thành phố Vónh Long Trang 1 HỆ THỐNG HOÁ KIẾN THỨC ÔN THI HỌC KÌ II, TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG MÔN TOÁN  PHẦN GIẢI TÍCH Tài Liệu Ôn Thi Học kì II, Tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng Môn Toán Trường THPT Lưu Văn Liệt – Thành phố Vónh Long Trang 2 LỜI NÓI ĐẦU  Để giúp các bạn có được cái nhìn tổng quan, hiểu được bản chất của mỗi vấn đề đặt ra, nắm vững kiến thức trọng tâm, từ đó đưa ra phương pháp giải mạch lạc và làm quen với các dạng câu hỏi trong các đề thi Học kì II, Tốt nghiệp Trung học phổ thông, Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, Ban Cán Sự Bộ Môn Khoa Học Tự Nhiên – Tổ 1 – Lớp 12A1 – Trường THPT Lưu Văn Liệt chúng tôi biên soạn tập tài liệu Hệ thống hóa kiến thức về Khảo sát hàm số ôn thi Học kì II, Tốt nghiệp THPT - Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng - môn Toán.  Nội dung của tập tài liệu gồm: A. Kiến thức trọng tâm: Trình bày một cách ngắn gọn, đầy đủ kiến thức theo chủ đề, nhằm giúp các bạn hệ thống lại kiến thức một cách lôgic. B. Các dạng toán thường gặp: Gồm các dạng toán và hướng dẫn phương pháp giải nhằm giúp các bạn làm quen và rèn luyện kỹ năng giải toán. Chúng tôi hi vọng tài liệu sẽ giúp cho các bạn phân loại tốt các dạng bài tập, nắm vững phương pháp giải, nâng cao kó năng làm bài, bám sát theo nội dung chương trình học. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong biên soạn, nhưng khó tránh khỏi những sai sót ngoài ý muốn, chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp xây dựng quý báo của thầy cô giáo và các bạn để tập tài liệu được hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến đóng góp xin vui lòng gửi về đòa chỉ: Ban Cán Sự Bộ Môn Khoa Học Tự Nhiên, Tổ 1, Lớp 12A1, Trường THPT Lưu Văn Liệt – 92A Phạm Thái Bường, Phường 4, Thành phố Vónh Long, Tỉnh Vónh Long. Điện thoại: 0949698796 – 0703831179 (gặp Hưng). Hoặc qua Email: duongthehung2403@yahoo.com, duongthehung2403@gmail.com. Xin trân trọng cảm ơn. Tổ trưởng Dương Thế Hưng Tài Liệu Ôn Thi Học kì II, Tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng Môn Toán Trường THPT Lưu Văn Liệt – Thành phố Vónh Long Trang 3 Tài Liệu Ôn Thi Học kì II, Tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng Môn Toán Trường THPT Lưu Văn Liệt – Thành phố Vónh Long Trang 4 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Trong chương này chúng ta ứng dụng đạo hàm và giới hạn để xem một số tính chất quan trọng của hàm số và đồ thò như: tính đơn điệu, cực trò, giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thò; từ đó khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số. Các bạn cần có kó năng thành thạo khi xét các tính chất đã nêu của một hàm số cho trước cũng như khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của một số hàm số đơn giản. Tài Liệu Ôn Thi Học kì II, Tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng Môn Toán Trường THPT Lưu Văn Liệt – Thành phố Vónh Long Trang 5 CHỦ ĐỀ. KHẢO SÁT HÀM SỐ A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (CƠ BẢN) Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Thế thì: a) f’(x) > 0; ∀x ∈ (a;b) ⇒ f(x) đồng biến trên khoảng (a;b). f’(x) < 0, ∀x ∈ (a;b) ⇒ f(x) nghòch biến trên khoảng (a;b). b. f(x) đồng biến trên khoảng (x;b) ⇒ f’(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a;b). f(x) nghòch biến trên khoảng (a;b) ⇒ f’(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a;b). khoảng (a;b) được gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số. II. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ (NÂNG CAO) Hàm số đơn điệu. Cho hàm số f xác đònh trên K, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.  f đồng biến trên K nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ).  f nghòch biến trên K nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 ). Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoản I. Khi đó:  Nếu hàm số f đồng biến trên I thì f’x) ≥ 0 với mọi x ∈ I. Tài Liệu Ôn Thi Học kì II, Tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng Môn Toán Trường THPT Lưu Văn Liệt – Thành phố Vónh Long Trang 6  Nếu hàm số f nghòch biến trên I thì f’x) ≤ 0 với mọi x ∈ I. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu 1) Giả sử hàm số f có đạm hàm trên khoảng I.  Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x ∈ I và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I.  Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x ∈ I và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số nghòch biến trên I.  Nếu f’(x) = 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f không đổi trên I. 2) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoản [a;b) và có đạo hàm trên khoảng (a;b).  Nếu f’(x) > 0 (hoặc f’(x) < 0) với mọi x ∈ (a;b) thì hàm số f đồng biến (hoặc nghòch biến) trên nửa khoảng [a;b).  Nếu f’(x) = 0 với mọi x ∈ (a;b) thì hàm số f không đổi trên nửa khoảng [a;b). III. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (CƠ BẢN) Giả sử hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a;b) và x 0 ∈ (a;b). 1. Đònh lý 1 a. 0 0 0 0 '( ) 0, ( ; ) '( ) 0, ( ; ) f x x x h x f x x x x h > ∀ ∈ −   < ∀ ∈ +  ⇒ x 0 là điểm cực đại của f(x). b. 0 0 0 0 '( ) 0, ( ; ) '( ) 0, ( ; ) f x x x h x f x x x x h < ∀ ∈ −   > ∀ ∈ +  ⇒ x 0 là điểm cực đại của f(x). 2. Đònh lý 2 a. 0 0 '( ) 0 "( ) 0 f x f x =   >  ⇒ x 0 là điểm cực tiểu của f(x). b. 0 0 '( ) 0 "( ) 0 f x f x =   <  ⇒ x 0 là điểm cực đại của f(x). IV. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (NÂNG CAO) Điểm cực trò. Giả sử hàm số f xác đònh trên tập hợp D (D ⊂ R) và x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoản (a;b) sao cho x 0 ∈ (a;b) ⊂ D và Tài Liệu Ôn Thi Học kì II, Tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng Môn Toán Trường THPT Lưu Văn Liệt – Thành phố Vónh Long Trang 7 f(x) < f(x 0 ) với mọi x ∈ (a;b) \ {x 0 }. Điểm cực tiểu của hàm số được đònh nghóa tương tự. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trò. Nếu hàm số f đạt cực trò tại điểm x 0 và hàm số f có đạo hàm tại điểm x 0 thì f’(x 0 ) = 0. (Hàm số f có thể đạt cực trò tại một điểm mà tại đó nó không có đạo hàm). Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trò. 1) Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên các khoảng (a;x 0 )và (x 0 ;b). Khi đó:  Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ (a;x 0 ) và f’(x) > 0 với mọi x ∈ (x 0 ;b) thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x 0 .  Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ (a;x 0 ) và f’(x) < 0 với mọi x ∈ (x 0 ;b) thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x 0 . Chú ý. Không cần xét hàm số f có hay không có đạo hàm tại điểm x = x 0 . 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x 0 , f’(x 0 ) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0 . Khi đó:  Nếu f”(x 0 ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x 0 .  Nếu f”(x 0 ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x 0 . V. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ (CƠ BẢN) 1. Cách tìm giá trò lớn nhất (GTLN), giá trò nhỏ nhất (GTNN) trên một đoạn. Đònh lý: Y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] ⇒ tồn tại max [ ; ]a b f(x), min [ ; ]a b f(x). Cách tìm  Tìm x i ∈ [a;b] (i = 1 ; 2 ; ; n) tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đònh.  Tính f(a), f(b), f(x i ), (i = 1; 2 ; ; n).  Tìm GTLN = max {f(a), f(x 1 ), f(x 2 ), , f(x n ), f(b)}; GTNN = min{f(a), f(x 1 ), f(x 2 ), , f(x n ), f(b)}. 2. Cách tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất trên một khoảng y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b), ta xét hai trường hợp: Tài Liệu Ôn Thi Học kì II, Tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng Môn Toán Trường THPT Lưu Văn Liệt – Thành phố Vónh Long Trang 8 x a x 0 b x a x 0 b y' - + y' + - y GTNN y GTLN (trong đó f’(x 0 ) bằng o hoặc f’(x) không xác đònh tại x 0 ). VI. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ (NÂNG CAO) 0 0 , ( ) ( ) , ( ), ( ) max x D x D f x M M f x x D f x f x M ∈ ∀ ∈ ≤  = ⇔  ∃ ∈ =  0 0 , ( ) ( ) , ( ), ( ) min x D x D f x m m f x x D f x f x m ∈ ∀ ∈ ≥  = ⇔  ∃ ∈ =  VII. PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ (NÂNG CAO) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(x 0 ;y 0 )  Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tònh tiến theo vectơ OI uur là 0 0 x X x y Y y = +   = +   Nếu (⌡) là đồ thò của hàm số y = f(x) đối với hệ tọa độ (O; i r , j r ) thì phương trình của (⌡) đối với hệ tọa độ (O; i r , j r ) là Y = f(X + x 0 ) - y 0 VIII. ĐƯỜNG TIỆM CẬN (CƠ BẢN) Kí hiệu (C) là đồ thò của hàm số y = f(x) 1. Đường tiệm cận đứng Nếu một trong các điều kiện lim f(x) = + ∞ lim f(x) = - ∞ x →x 0 + x →x 0 + lim f(x) = + ∞ lim f(x) = - ∞ x →x 0 - x →x 0 - thì đường thẳng x = x 0 là tiệm cận đứng của (C). 2. Đường tiệm cận ngang Tài Liệu Ôn Thi Học kì II, Tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng Môn Toán Trường THPT Lưu Văn Liệt – Thành phố Vónh Long Trang 9 Nếu lim f(x) = y 0 hoặc lim f(x) = y 0 thì đường thẳng y = y 0 là x → +∞ x →- ∞ tiệm cận ngang của (C). IX. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ (NÂNG CAO)  Đường thẳng x = x 0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thò hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong bốn điều kiện sau được thỏa mãn: 0 lim ( ) x x f x − → = +∞ ; 0 lim ( ) x x f x + → = +∞ ; 0 lim ( ) x x f x − → = −∞ ; 0 lim ( ) x x f x + → = −∞  Đường thẳng x = x 0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thò hàm số y = f(x) nếu 0 lim ( ) x f x y →+∞ = hoặc 0 lim ( ) x f x y →−∞ =  Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thò hàm số y = f(x) nếu lim [ ( ) ( )] 0 x f x ax b →+∞ − + = hoặc lim [ ( ) ( )] 0 x f x ax b →−∞ − + = Cách tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là tiệm cận xiêng của đồ thò hàm số y = f(x) khi và chỉ khi a = ( ) lim x f x x →+∞ và b = lim [ ( ) ] x f x ax →+∞ − Hoặc a = ( ) lim x f x x →−∞ và b = lim [ ( ) ] x f x ax →−∞ − X. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ (CƠ BẢN) SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ y = f(x) 1. Tìm tập xác đònh của hàm số 2. Sự biến thiên a. Chiều biến thiên  Tính y’.  Tìm các nghiệm của phương trình y’ = 0 và các điểm tại đó y’ không xác đònh.  Xét dấu y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số. b. Tìm cực trò. Tài Liệu Ôn Thi Học kì II, Tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng Môn Toán Trường THPT Lưu Văn Liệt – Thành phố Vónh Long Trang 10 c. Tìm các giới hạn vô cực; các giới hạn tại + ∞, -∞ và tại các điểm mà hàm số không xác đònh. Tìm các tiệm cận đứng và ngang (nếu có). d. Lập bảng biến thiên. 3. Đồ thò Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác đònh ở trên để vẽ đồ thò.  Chú ý 1) Nếu hàm số là tuần hoàn với chu kỳ T thì chỉ cần vẽ đồ thò trên một chu kỳ rồi tònh tiến đồ thò song song với Ox. 2) Để vẽ đồ thò thêm chính xác, ta cần:  Tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt nên tính các giao điểm của đồ thò với các trục tọa độ.  Lưu ý tính chất đối xứng (qua trục, qua tâm, ) của đồ thò. KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM SỐ ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC Dạng của đồ thò hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) Tài Liệu Ôn Thi Học kì II, Tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng Môn Toán [...]... hàm số ο f(x0) được gọi là giá trò cực trò của hàm số ο (x0, f(x0)) được gọi là điểm cực trò của đồ thò hàm số  Khái niệm cực trò có tính chất đòa phương 4.2 Điều kiện cần để hàm số có cực trò Tài Liệu Ôn Thi Học kì II, Tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng Môn Toán Trường THPT Lưu Văn Liệt – Thành phố Vónh Long Trang 18 Hàm số f có đạo hàm tại x0 Nếu f đạt cực trò tại x0 thì f’(x0) = 0 Chú ý Hàm số. .. thì f’(x) ≤ 0, ∀x ∈ K 3.3 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Hàm số f có đạo hàm trên khoảng K:  Nếu f’(x) > 0, ∀x ∈ K thì f tăng trên K  Nếu f’(x) < 0, ∀x ∈ K thì f giảm trên K Chú ý Nếu f’(x) ≥ 0, ∀x ∈ K (hoặc f’(x) ≤ 0, ∀x ∈ K) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f tăng (hoặc giảm) trên K 4 Cực trò của hàm số 4.1 Đònh nghóa Hàm số f xác đònh trong một lân cận V của x0 Khi... Thành phố Vónh Long Trang 17 3.1 Đònh nghóa Hàm số f xác đònh trên K Với mọi x 1, x2 thuộc K: x1 > x2 Nếu f(x1) > f(x2) thì f tăng trên K; nếu f(x1) < f(x2) thì f giảm trên K Chú ý  Hàm số tăng hoặc giảm trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K  K có thể là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng 3.2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Hàm số f có đạo hàm trên khoản K:  Nếu f tăng trên K thì... Liệt – Thành phố Vónh Long Trang 11 Dạng của đồ thò hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) Dạng của đồ thò hàm số y = ax + b (c ≠ 0, ad - bc ≠ 0) cx + d SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ 1 Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò Giả sử (C1) là đồ thò của hàm số y = f(x) và (C 2) là đồ thò của hàm số y = g(x) Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) bằng số giao điểm của (C1) và (C2) 2 Viết phương trình tiếp... e 2 Các bước để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số ο Tìm tập xác đònh; ο Lấy đạo hàm cấp một, tìm nghiệm (nếu có); ο Tìm giới hạn đối với các hàm số (1), (2); tìm tiệm cận đối với các hàm số (3), (4); ο Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biên thiên kết luận các khoảng tăng, giảm, các điểm cực trò và các giá trò cực trò; ο Tìm điểm đặc biệt; ο Vẽ đồ thò 3 Tính đơn điệu của hàm số Tài Liệu Ôn Thi... nhỏ nhất của hàm số  Trường hợp đặc biệt Để tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] ta làm như sau: ο Tìm f’ và tìm nghiệm của f’ trên khoảng (a;b) Giả sử các nghiệm là x 1, x2, ,xn; ο Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), , f(xn); ο Số lớn nhất trong các giá trò trên là giá trò lớn nhất của hàm số, số nhỏ nhất trong các giá trò trên là giá trò nhỏ nhất của hàm số 7 Sự tương... nhưng vẫn có thể đạt cực trò tại x0 mà đạo hàm tại đó không xác đònh 4.3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trò  Điều kiện đủ thứ nhất Hàm số f có đạo hàm trên (a ; b) và x 0 ∈ (a ; b) Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì f đạt cực trò tại x0 x f'(x) x0 + f(x) x - CĐ f'(x) f(x) (cực đại) x0 - 0 + (cực tiểu) CT  Điều kiện đủ thứ hai Hàm số f có đạo hàm cấp hai liên tục trên khoảng (a ; b),... phố Vónh Long Trang 13 CÁC DẠNG ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ (NÂNG CAO) Đồ thò hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) có một trong các dạng sau đây Tài Liệu Ôn Thi Học kì II, Tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng Môn Toán Trường THPT Lưu Văn Liệt – Thành phố Vónh Long Trang 14 Đồ thò hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có một trong các dạng sau đây Đồ thò hàm số y = ax + b (c ≠ 0, ad - bc ≠ 0) có một trong... Đặc biệt Đối với hàm số y = Trang 19 P ( x) với P(x), Q(x) là các đa thức và bậc của Q( x) P(x) lớn hơn bậc của Q(x) một đơn vò, ta lấy P(x) chia cho Q(x) và viết dạng y = uuuuuuuu r P ( x) = ax + b + ε(x) x → ±∞ 0 thì y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thò hàm số Q( x) 6 Phương pháp tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số  Phương pháp chung ο Lập bảng biến thiên của hàm số; ο Dựa vào bảng... (*)  y = y A + yB  I  2 ο Do I thuộc d nên y1 = kx1 + c Giải tìm b, suy ra tọa độ của A, B 12 Điểm uốn của đồ thò hàm số Hàm số f có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a ; b), x 0 ∈ (a ; b) nếu f”(x0) = 0 và f”(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì U(x0; f(x0)) là một điểm uốn của đồ thò hàm số 13 Điểm đặc biệt của họ đường cong (Cm) : y = f(x,m) Dạng 1 Tìm các điểm cố đònh mà họ (Cm) luôn đi qua với mọi m Dạng . cực tiểu của hàm số được đònh nghóa tương tự. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trò. Nếu hàm số f đạt cực trò tại điểm x 0 và hàm số f có đạo hàm tại điểm x 0 thì f’(x 0 ) = 0. (Hàm số f có thể. Trang 4 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Trong chương này chúng ta ứng dụng đạo hàm và giới hạn để xem một số tính chất quan trọng của hàm số và đồ thò như: tính đơn điệu,. bước để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số ο Tìm tập xác đònh; ο Lấy đạo hàm cấp một, tìm nghiệm (nếu có); ο Tìm giới hạn đối với các hàm số (1), (2); tìm tiệm cận đối với các hàm số (3),