PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TƯ NGHĨA THI CHỌN HỌC SINNH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC : 2010 – 2011 Môn : toán Thời gian : 150 phút Bài 1 : (5 điểm ) 1) Rút gọn biểu thức M = ÷ ÷ 1 1 1 1 1 + : - + 1- x 1+ x 1- x 1+ x 1- x 2) Giải phương trình : x 2 + 7 = 5 ( ) 3 x +1 - x 3) Tìm cặp số tự nhiên (m, n) thỏa mãn hệ thức : m 2 + n 2 = m + n + 8 Bài 2 ( 5 điểm ) 1) Tìm x , y biết : 2 2 x + y - xy = 7 x + y + xy = 133 2) Cho ba số thỏa mãn điều kiện : 2 2 2 x + 2y +1 = y + 2z +1 = z + 2x +1 = 0 Hãy tính giá trị của biểu thức A = 2010 2010 2010 x + y + z Bài 3 : ( 5 điểm ) 1) Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố với p > 3. Chứng minh 4p + 1 là hợp số 2) Cho các số thực dương x , y, z và thỏa mãn điều kiện : xyz = 1 Chứng minh bất đẳng thức : 1 2 ≤ 1 1 1 + + 2x + y + 3 2y + z + 3 2z + x + 3 Đẳng thức xảy ra khi nào ? Bài 4: ( 5 điểm ) 1) Cho tứ giác ABCD có µ µ 0 0 A = 90 ; D = 90 ; AB = 3,6 cm; BC = 8 cm; DA = 4,8 cm; DC = 10 cm. a) Tính tỷ số lượng giác của góc C? b) Gọi I là giao điểm các phân giác trong của tam giác DBC. M là trung điểm của DC. Tính số đo của góc DIM 2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Tìm điểm K ở trong tam giác sao cho KA.BC + KB.CA + KC.AB đạt giá trị nhỏ nhất ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài Tóm tắt cách giải Điểm 1 1) ĐK : x ≥ 0; x ≠ 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = × 1+ x + 1- x 1+ x - 1- x 1 : + 1- x 1+ x 1- x 1- x 1+ x 1- x 1+ x 2 1 = + 2 x 1- x 1- x 1+ x 1 1 1 = + = x 1- x x 1- x 0,75 0,75 2) a) ĐK: x ≥ -1 x 2 + 7 = 5 ( ) 3 x +1 - x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 6 1 5 1 1x x x x x x⇔ − + + + = + − + Đặt 2 1x x a− + = và 1x b+ = với a > 0 và b ≥ 0, ta được phương trình: 2 2 2 2 2 6 5ab a 5ab + 6b 0 3 a b a b a b = + = ⇔ − = ⇔ = * Nếu a = 2b thì 2 1 2 1x x x− + = + 5x - 3 = 0⇔ − 2 x 5 37 2 x ± ⇔ = ( nhận) * Nếu a = 3b thì 2 1 3 1x x x− + = + 10x - 8 = 0⇔ − 2 x 5 33x⇔ = ± ( nhận ) Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: 5 37 2 + ; 5 37 2 − ; 5 33+ ; 5 33− 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 3)Ta có : m 2 + n 2 = m + n + 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 34 6m n ⇔ ⇔ ⇔ − + − = < 2 2 2 2 4m + 4n = 4m + 4n + 32 4m - 4m +1 + 4n - 4n + 1 = 34 Do ( 2m -1) và (2n -1) là hai số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 6 có tổng bình phương là 34.Có 3 số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 6 là : 1 ; 3 ;5 Ta có 3 2 + 5 2 = 34 do đó 2 1 3 2 1 5 m n − = − = hoặc 2 1 5 2 1 3 m n − = − = suy ra 2 3 m n = = hoặc 3 2 m n = = 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 2 1) ( ) 2 2 2 7 7 133 133 x y xy x y xy x y xy x y xy + − = + − = ⇔ + + = + − = ⇔ ( ) ( ) 7 7 133 19 x y xy x y xy x y xy x y xy x y xy + − = + − = ⇔ + − + + = + + = ⇔ 13 36 x y xy + = = giải ra ta được :x = 9 ; y= 4 hoặc x = 4 ; y =9 1đ 1 đ 1 đ 2) Ta có : x 2 + 2y + 1 = 0 ( 1) ; y 2 + 2z + 1 = 0 (2) ; z 2 + 2x + 1 = 0 (3) Cộng (1) ;(2) và (3) vế theo vế ,ta được ( x 2 + 2x + 1) + (y 2 + 2y +1) +(z 2 + 2z +1) = 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 0x y z⇔ + + + + + = 1 0 1 1 0 1 1 0 1 x x y y z z + = = − ⇔ + = ⇔ = − + = = − Vậy A = 2010 2010 2010 x + y + z = (-1) 2010 + (-1) 2010 + ( -1) 2010 = 3 0, 5 đ 0,5 đ 0,5 đ 3 1) Vì p là số nguyên tố và p > 3 nên p có dạng 6n + 1 hoặc 6n – 1 n ∈ N và n ≥ 1 * Nếu p = 6n +1 thì 2p = 12n + 3 M 3 trái với giả thuyết Do đó p ≠ 6n +1 suy ra p có dạng 6n – 1 Ta có 2p + 1 = 12 n – 1 4p + 1 = 24 n – 3 M 3 . Vậy 4p + 1 là hợp số 0,5 đ 0,5 đ 1 đ 0,5 đ 3) Ápdụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương, ta có : 1 2x x+ ≥ đẳng thức xảy ra khi x = 1 2x y xy+ ≥ , đẳng thức xảy ra khi x = y Do đó ≥2x + y + 3 2 x + 2 xy + 2 , đẳng thức xảy ra khi x = y = 1 Tương tự ta có : ≥2y + z + 3 2 y + 2 yz + 2 , đẳng thức xảy ra khi y = z = 1 ≥2z + x + 3 2 z + 2 zx + 2 , đẳng thức xảy ra khi x = z = 1 Từ đó suy ra 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 2 1 1 x 1 x y y z z x x xy y yz z z + + ≤ + + ÷ ÷ + + + + + + + + + + + + Đẳng thức xảy ra x = y = z = 1 Với giả thuyết :xyz = 1 thì 1 1 1 1 1 1 x 1x xy y yz z z + + = + + + + + + Từ đó suy ra điều phải chứng minh , đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 4 1) M I E A B D C Chứng minh được tam giác DBC là tam giác vuông tại B Nên sinC = 2 2 D 6 0,6 10 DB AB A DC DC + = = = cosC = 0,8 ; tgC = 0,75 ; cotg C = 4/3 c) Tia DI cắt BC tại E ta có : 0,5 đ 0,5 đ 8 16 15 EC DC EB EC EB EB DB DB DB DC EC + = ⇒ = = + ⇒ = Xét hai tam giác MIC và EIC ta có : · · EICM IC= ; IC chung; CM = CE ( = 5) nên ∆ MIC = ∆ EIC suy ra · · ECIMC I= suy ra · · DIEB IM= Do đó tam giác BDE vuông nên · 0 90DIM = 0,5 đ 1 đ 2) F E A B C K A' Kéo dài AK cắt Bc tại A’. Hạ BE và CF vuông góc với AK Ta có BE.AK ≤ BA’.AK CF.AK ≤ CA’.AK Suy ra (BE + CF).AK ≤ BC.AK Nên 2 ( ) ( ) 1 ABK ACK S S BC AK+ ≤ × Đẳng thức xảy ra khi AK vuông góc với BC Tương tự ta có có : 2 ( ) ( ) 2 ABK BCK S S AC BK+ ≤ × ( ) ( ) 2 3 BCK ACK S S AB CK+ ≤ × Cộng (1) ; (2) và (3) vế theo vế, ta được P = AK.BC+ BK.AC +CK.AB ≥ 4S ABC Vậy P min = 4S ABC khi K là trực tâm của tam giác ABC 0,5đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ . PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TƯ NGHĨA THI CHỌN HỌC SINNH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC : 2010 – 2011 Môn : toán Thời gian : 150 phút Bài 1 : (5 điểm ) 1) Rút. điểm K ở trong tam giác sao cho KA.BC + KB.CA + KC.AB đạt giá trị nhỏ nhất ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài Tóm tắt cách giải Điểm 1 1) ĐK : x ≥ 0; x ≠ 1 ( ) ( ) (