II)Theo ch ương trình nâng cao.. Quay hình phẳng này xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay ñược tạo nên.. II)Theo ch ương trình nâng cao.[r]
(1)Sở Giáo dục Đào tạo
TP Hồ Chí Minh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ ( 2009-2010) Mơn Tốn lớp 12
Thời gian làm : 120 phút
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( ñiểm) Câu (2,5 ñiểm)
Cho hàm số : ( )
1
C x
x y
+ + =
a) Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị (C) hàm số
b) Tính diện tích hình phẳng (S) giới hạn đồ thị (C), trục Ox, trục Oy ñường thẳng x =1
Câu 2.(1 điểm) Xét hình phẳng giới hạn ñường cong
4 x
y= − trục Ox Quay hình phẳng xung quanh trục Ox Tính thể tích khối trịn xoay ñược tạo nên
Câu (1,5 ñiểm)
Tính tích phân :
a) I=∫ +
1
0
1dx
x
x b) J=∫
1
0 dx e
x
x
Câu (2 điểm)
Trong khơng gian Oxyz, cho ñường thẳng (D) :
− =
− =
+ =
t z
2t y
t x
ñiểm A(2 ; ; 0)
a)Chứng minh điểm A khơng thuộc ñường thẳng ( D ).Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A ( D )
b)Tìm tọa độ điểm M thuộc ñường thẳng ( D ) cách ñiểm A khoảng
B.PHẦN RIÊNG : ( ñiểm)
Học sinh chỉ ñược làm một hai phần( phần I hoặc phần II) I)Theo chương trình chuẩn
1) Giải phương trình sau tập số phức: a) z2 +3z+4=0
b) z2 +2=0
2) Trong khơng gian Oxyz, tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc
điểm A(−2 ; 1; ) lên ñường thẳng ( d) :
2
1
3 +
= − =
− y z
x
II)Theo chương trình nâng cao
1) Tìm số phức z trường hợp sau: a) z2 +i=0
b) z4 +1=0
2) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) qua điểm A(2 ; ; 4) tiếp xúc với mp(Oxy) ñiểm H(1 ; -2 ; 0)
(2)ĐÁP ÁN
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ ( 2009-2010) Môn Toán lớp 12
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( ñiểm) Câu (2,5 ñiểm)
Cho hàm số : ( )
1
C x
x y
+ + =
a) Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị (C) hàm số
Tập xác ñịnh : R\{−1} 0,25 ñ
Sự biến thiên
chiều biến thiên : 0,
) (
1
' 2 > ∀ ≠−
+
= x
x
y 0,25 ñ
Hàm số ñồng biến khoảng (−∞;−1) và (−1;+∞) 0,25 đ Hàm số khơng có cực trị
Tiệm cận :
1
3 =
+ + =
±∞ → ±∞
→ x
x Lim y Lim
x
x
1
xLim y→− − = +∞ và Lim yx→−+ = −∞ 0,25 ñ
Đường thẳng y=3 tiệm cận ngang
Đường thẳng x=−1 tiệm cận ñứng 0,25 ñ Bảng biến thiên
- Điểm khơng xác định - Dấu ñạo hàm - Chiều biến thiên -Các giá trị giới hạn
0,25 ñ
Đồ thị cắt trục Oy ñiểm ( ; ), cắt trục Ox ñiểm (
3
−
;0) Vẽ ñồ thị
Lưu ý: Giao ñiểm hai tiệm cận tâm ñối xứng ñồ thị 0,25 đ b)Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C), trục Oxvà trục
Oyvà ñường thẳng x =
Giao ñiểm ( C )với trục Ox : (
3
−
; )
Vì
1
3 >
+ + =
x x
y với x∈[0;1] nên diện tích hình phẳng cần tìm :
∫
∫ = − +
+ − = +
+ =
1
0
1
0
)
( ) 1 (
2
x Ln x dx x dx
x x
S 0,5 ñ
S =3−Ln2 ( ñvdt) 0,25 ñ
Câu 2.(1 điểm) Xét hình phẳng giới hạn ñường cong
4 x
y= − trục
Ox Quay hình phẳng xung quanh trục Ox Tính thể tích khối trịn xoay ñược tạo nên
Giao ñiểm ñường cong
4 x
(3)Vậy thể tích khối trịn xoay cần tìm
: V=∫ ∫
−
− −
+ − =
+ − =
−
2
2
2
2
2
) 16 ( )
8 16 ( )
4
( x dx π x x dx π x x x
π 0,5 ñ
V= ( )
15 512 ) 32 64 32 (
2π − + = π ñvtt 0,25 ñ
Câu (1,5 ñiểm)
Tính tích phân :
a) I=∫ +
1
0
1dx
x x
Đặt u =x2 +1 thì du=2xdx 0,25 đ Ta có :x = u=1
x = u =2
Vậy I =
3 )
3 (
2
1
1
3 −
= =
∫ u du u 0,5 ñ
b) J=∫
1
0 dx e
x
x Đặt u= x thì u'=1 0,25 đ
x x
x e thì v e
e
v'= = − =− −
(ta chọn v nguyên hàm v’)
Ta có J=
e e e
e e
e dx e e
x x x ( x) 10 1
1
0
− = + − + − = −
+ − = +
− − ∫ − −
0,5 ñ Câu (2 điểm)
Trong khơng gian Oxyz, cho ñường thẳng (D) :
− =
− =
+ =
t z
2t y
t x
ñiểm A(2 ; ; 0)
a)Chứng minh ñiểm A khơng thuộc đường thẳng ( D ).Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A ( D )
Thế tọa độ điểm A vào phương trình tham số ( D ) :
) ( t
0 t t
1
2t
t 2
lý vô
= = ⇔
− =
− =
+ =
Vậy điểm A khơng thuộc ( D ) 0,5 ñ
Đường thẳng ( D ) ñi qua B(2 ; ; 1) có vectơ phương
=
→
D
a (1 ; - ; -1)
Mp(P) chứa ( D ) ñiểm A nên ñi qua A, có vectơ pháp tuyến
=
= → →
→
] ,
[a AB
nP D (0 ; -1 ; 2)
( =(0;2;1)
→
AB )
Phương trình mp(P):
0
2 ) )( ( )
(x− + y− − + z= ⇔−y+ z+ = 0,5 ñ
b)Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc ñường thẳng ( D ) cách ñiểm A khoảng
Điểm M thuộc (D) nên : M(2+t ; -2t ; 1-t) 0,25ñ Khoảng cách hai ñiểm A , M :
(4)3
0 10 ) ( ) 2
( 2
2 + − + − = ⇔ − − = ⇔ = = −
⇔ t t t t t t v t
0,25đ
Vậy có hai điểm M tìm : M1(4 ; -1 ; -1) ; M2( )
3 ; 11 ;
0,5 ñ
B.PHẦN RIÊNG : ( điểm) I)Theo chương trình chuẩn
1) Giải phương trình sau tập số phức: a) z2 +3z+4=0
Ta có ∆=9−16=−7
∆ có hai bậc hai : ±i
Phương trình có hai nghiệm :
2 3 i
z= − ± 0,75 ñ
b) z2 +2=0⇔ z2 =−2=2i2 ⇔z =±i 0,75 ñ
2) Trong khơng gian Oxyz, tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc
điểm A(-2 ; 1; ) lên ñường thẳng ( d) :
2
1
3 = +
− =
− y z
x
Phương trình tham số đường thẳng ( d):
+ − =
− =
+ =
t z
t y
t x
2
2
0,25 ñ
Đường thẳng (d ) có vectơ phương a→d =(1 ; -2 ; 2) 0,25 ñ
Điểm H thuộc (d) : H ( + t ; -2t ; -1 + 2t) 0,25 ñ
) ; ;
( t t t
AH→ = + − − − + 0,25 ñ
Ta có AH vng góc với ( d) nên AH→ a→d =0⇔5+t+2+4t−8+4t =0
9
=
⇔t 0,25 ñ
Vậy H ( )
9 ;
2 ;
28 − −
0,25 ñ Cách khác :
Xét mặt phẳng (P) qua A vng góc với đường thẳng ( d) Viết phương trình mp(P) qua A( -2 ; ; ), có vectơ pháp tuyến
=
→
d
a (1 ; -2 ; 2)
Mp(P) : ( x+2)1 + (y-1) (-2) + ( z-3)2 = 0⇔ x-2y+2z-2 =
H giao điểm (d) mp(P):
= − + −
+ − =
− =
+ =
0 2
2
2
z y x
t z
t y
t x
Giải hệ ta ñược H ( )
9 ;
2 ;
(5)II)Theo chương trình nâng cao
1) Tìm số phức z trường hợp sau: a) z2 +i=0
Ta có z2 +i=0⇔z2 =−i
Nên z bậc hai số phức −i Ta ñặt z=a+bi với a, b số thực : (a+bi)2 =−i⇔a2 −b2 +2abi=−i
= − =
− = = ⇔
= − = ⇔
− = ± = ⇔
− =
= − ⇔
2
2
2 2
2
1 2
1
0
2
2
b a v b
a a
b a ab
b a ab
b a
Vậy : z i
2 2
2 −
= z i
2 2
2 +
−
= 1 đ
b) Ta có z4 +1=0⇔ z4 =−1=i2 ⇔(z2 =i)v(z2 =−i)
i z
v i z
v i z
v i z
2 2
2
2
2
2
2
2
2
+ − = −
= −
− = +
= ⇔
0,5 đ 2) Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) qua điểm A(2 ; ; 4) tiếp xúc với mp(Oxy) ñiểm H(1 ; -2 ; 0)
Gọi I tâm mặt cầu I thuộc đường thẳng ( d) qua H, vng góc với mp(Oxy)
Đường thẳng ( d) qua H ( ; -2 ; ) có VTCP ( ; ; ) Phương trình đường thẳng ( d )
+ =
+ − =
+ =
t z
t y
t x
0
0
0,5 ñ Tâm I thuộc ( d) : I ( ; -2 ; t)
Ta có :
IH = IA 2 2 2
) ( ) ( ) ( )
2 ( ) 1
( − + − + +t = − + − − + −t
⇔
4 21
16
26
2 = + − + ⇔ =
⇔t t t t
Vậy tâm I( )
4 21 ; ;
1 − 0,5 đ
Bán kính mặt cầu ( S ) : IH =
4 21
0,25 đ
Phương trình mặt cầu ( S ) : 2 2
) 21 ( ) 21 ( ) ( )
(x− + y+ + z− = 0,25 ñ