Đang tải... (xem toàn văn)
II)Theo ch ương trình nâng cao.. Quay hình phẳng này xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay ñược tạo nên.. II)Theo ch ương trình nâng cao.[r]
(1)Sở Giáo dục Đào tạo
TP Hồ Chí Minh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ ( 2009-2010) Mơn Tốn lớp 12
Thời gian làm : 120 phút
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( ñiểm) Câu (2,5 ñiểm)
Cho hàm số : ( )
1
C x
x y
+ + =
a) Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị (C) hàm số
b) Tính diện tích hình phẳng (S) giới hạn đồ thị (C), trục Ox, trục Oy ñường thẳng x =1
Câu 2.(1 điểm) Xét hình phẳng giới hạn ñường cong
4 x
y= − trục Ox Quay hình phẳng xung quanh trục Ox Tính thể tích khối trịn xoay ñược tạo nên
Câu (1,5 ñiểm)
Tính tích phân :
a) I=∫ +
1
0
1dx
x
x b) J=∫
1
0 dx e
x
x
Câu (2 điểm)
Trong khơng gian Oxyz, cho ñường thẳng (D) :
− =
− =
+ =
t z
2t y
t x
ñiểm A(2 ; ; 0)
a)Chứng minh điểm A khơng thuộc ñường thẳng ( D ).Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A ( D )
b)Tìm tọa độ điểm M thuộc ñường thẳng ( D ) cách ñiểm A khoảng
B.PHẦN RIÊNG : ( ñiểm)
Học sinh chỉ ñược làm một hai phần( phần I hoặc phần II) I)Theo chương trình chuẩn
1) Giải phương trình sau tập số phức: a) z2 +3z+4=0
b) z2 +2=0
2) Trong khơng gian Oxyz, tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc
điểm A(−2 ; 1; ) lên ñường thẳng ( d) :
2
1
3 +
= − =
− y z
x
II)Theo chương trình nâng cao
1) Tìm số phức z trường hợp sau: a) z2 +i=0
b) z4 +1=0
2) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) qua điểm A(2 ; ; 4) tiếp xúc với mp(Oxy) ñiểm H(1 ; -2 ; 0)
(2)ĐÁP ÁN
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ ( 2009-2010) Môn Toán lớp 12
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( ñiểm) Câu (2,5 ñiểm)
Cho hàm số : ( )
1
C x
x y
+ + =
a) Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị (C) hàm số
Tập xác ñịnh : R\{−1} 0,25 ñ
Sự biến thiên
chiều biến thiên : 0,
) (
1
' 2 > ∀ ≠−
+
= x
x
y 0,25 ñ
Hàm số ñồng biến khoảng (−∞;−1) và (−1;+∞) 0,25 đ Hàm số khơng có cực trị
Tiệm cận :
1
3 =
+ + =
±∞ → ±∞
→ x
x Lim y Lim
x
x
1
xLim y→− − = +∞ và Lim yx→−+ = −∞ 0,25 ñ
Đường thẳng y=3 tiệm cận ngang
Đường thẳng x=−1 tiệm cận ñứng 0,25 ñ Bảng biến thiên
- Điểm khơng xác định - Dấu ñạo hàm - Chiều biến thiên -Các giá trị giới hạn
0,25 ñ
Đồ thị cắt trục Oy ñiểm ( ; ), cắt trục Ox ñiểm (
3
−
;0) Vẽ ñồ thị
Lưu ý: Giao ñiểm hai tiệm cận tâm ñối xứng ñồ thị 0,25 đ b)Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C), trục Oxvà trục
Oyvà ñường thẳng x =
Giao ñiểm ( C )với trục Ox : (
3
−
; )
Vì
1
3 >
+ + =
x x
y với x∈[0;1] nên diện tích hình phẳng cần tìm :
∫
∫ = − +
+ − = +
+ =
1
0
1
0
)
( ) 1 (
2
x Ln x dx x dx
x x
S 0,5 ñ
S =3−Ln2 ( ñvdt) 0,25 ñ
Câu 2.(1 điểm) Xét hình phẳng giới hạn ñường cong
4 x
y= − trục
Ox Quay hình phẳng xung quanh trục Ox Tính thể tích khối trịn xoay ñược tạo nên
Giao ñiểm ñường cong
4 x
(3)Vậy thể tích khối trịn xoay cần tìm
: V=∫ ∫
−
− −
+ − =
+ − =
−
2
2
2
2
2
) 16 ( )
8 16 ( )
4
( x dx π x x dx π x x x
π 0,5 ñ
V= ( )
15 512 ) 32 64 32 (
2π − + = π ñvtt 0,25 ñ
Câu (1,5 ñiểm)
Tính tích phân :
a) I=∫ +
1
0
1dx
x x
Đặt u =x2 +1 thì du=2xdx 0,25 đ Ta có :x = u=1
x = u =2
Vậy I =
3 )
3 (
2
1
1
3 −
= =
∫ u du u 0,5 ñ
b) J=∫
1
0 dx e
x
x Đặt u= x thì u'=1 0,25 đ
x x
x e thì v e
e
v'= = − =− −
(ta chọn v nguyên hàm v’)
Ta có J=
e e e
e e
e dx e e
x x x ( x) 10 1
1
0
− = + − + − = −
+ − = +
− − ∫ − −
0,5 ñ Câu (2 điểm)
Trong khơng gian Oxyz, cho ñường thẳng (D) :
− =
− =
+ =
t z
2t y
t x
ñiểm A(2 ; ; 0)
a)Chứng minh ñiểm A khơng thuộc đường thẳng ( D ).Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A ( D )
Thế tọa độ điểm A vào phương trình tham số ( D ) :
) ( t
0 t t
1
2t
t 2
lý vô
= = ⇔
− =
− =
+ =
Vậy điểm A khơng thuộc ( D ) 0,5 ñ
Đường thẳng ( D ) ñi qua B(2 ; ; 1) có vectơ phương
=
→
D
a (1 ; - ; -1)
Mp(P) chứa ( D ) ñiểm A nên ñi qua A, có vectơ pháp tuyến
=
= → →
→
] ,
[a AB
nP D (0 ; -1 ; 2)
( =(0;2;1)
→
AB )
Phương trình mp(P):
0
2 ) )( ( )
(x− + y− − + z= ⇔−y+ z+ = 0,5 ñ
b)Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc ñường thẳng ( D ) cách ñiểm A khoảng
Điểm M thuộc (D) nên : M(2+t ; -2t ; 1-t) 0,25ñ Khoảng cách hai ñiểm A , M :
(4)3
0 10 ) ( ) 2
( 2
2 + − + − = ⇔ − − = ⇔ = = −
⇔ t t t t t t v t
0,25đ
Vậy có hai điểm M tìm : M1(4 ; -1 ; -1) ; M2( )
3 ; 11 ;
0,5 ñ
B.PHẦN RIÊNG : ( điểm) I)Theo chương trình chuẩn
1) Giải phương trình sau tập số phức: a) z2 +3z+4=0
Ta có ∆=9−16=−7
∆ có hai bậc hai : ±i
Phương trình có hai nghiệm :
2 3 i
z= − ± 0,75 ñ
b) z2 +2=0⇔ z2 =−2=2i2 ⇔z =±i 0,75 ñ
2) Trong khơng gian Oxyz, tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc
điểm A(-2 ; 1; ) lên ñường thẳng ( d) :
2
1
3 = +
− =
− y z
x
Phương trình tham số đường thẳng ( d):
+ − =
− =
+ =
t z
t y
t x
2
2
0,25 ñ
Đường thẳng (d ) có vectơ phương a→d =(1 ; -2 ; 2) 0,25 ñ
Điểm H thuộc (d) : H ( + t ; -2t ; -1 + 2t) 0,25 ñ
) ; ;
( t t t
AH→ = + − − − + 0,25 ñ
Ta có AH vng góc với ( d) nên AH→ a→d =0⇔5+t+2+4t−8+4t =0
9
=
⇔t 0,25 ñ
Vậy H ( )
9 ;
2 ;
28 − −
0,25 ñ Cách khác :
Xét mặt phẳng (P) qua A vng góc với đường thẳng ( d) Viết phương trình mp(P) qua A( -2 ; ; ), có vectơ pháp tuyến
=
→
d
a (1 ; -2 ; 2)
Mp(P) : ( x+2)1 + (y-1) (-2) + ( z-3)2 = 0⇔ x-2y+2z-2 =
H giao điểm (d) mp(P):
= − + −
+ − =
− =
+ =
0 2
2
2
z y x
t z
t y
t x
Giải hệ ta ñược H ( )
9 ;
2 ;
(5)II)Theo chương trình nâng cao
1) Tìm số phức z trường hợp sau: a) z2 +i=0
Ta có z2 +i=0⇔z2 =−i
Nên z bậc hai số phức −i Ta ñặt z=a+bi với a, b số thực : (a+bi)2 =−i⇔a2 −b2 +2abi=−i
= − =
− = = ⇔
= − = ⇔
− = ± = ⇔
− =
= − ⇔
2
2
2 2
2
1 2
1
0
2
2
b a v b
a a
b a ab
b a ab
b a
Vậy : z i
2 2
2 −
= z i
2 2
2 +
−
= 1 đ
b) Ta có z4 +1=0⇔ z4 =−1=i2 ⇔(z2 =i)v(z2 =−i)
i z
v i z
v i z
v i z
2 2
2
2
2
2
2
2
2
+ − = −
= −
− = +
= ⇔
0,5 đ 2) Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) qua điểm A(2 ; ; 4) tiếp xúc với mp(Oxy) ñiểm H(1 ; -2 ; 0)
Gọi I tâm mặt cầu I thuộc đường thẳng ( d) qua H, vng góc với mp(Oxy)
Đường thẳng ( d) qua H ( ; -2 ; ) có VTCP ( ; ; ) Phương trình đường thẳng ( d )
+ =
+ − =
+ =
t z
t y
t x
0
0
0,5 ñ Tâm I thuộc ( d) : I ( ; -2 ; t)
Ta có :
IH = IA 2 2 2
) ( ) ( ) ( )
2 ( ) 1
( − + − + +t = − + − − + −t
⇔
4 21
16
26
2 = + − + ⇔ =
⇔t t t t
Vậy tâm I( )
4 21 ; ;
1 − 0,5 đ
Bán kính mặt cầu ( S ) : IH =
4 21
0,25 đ
Phương trình mặt cầu ( S ) : 2 2
) 21 ( ) 21 ( ) ( )
(x− + y+ + z− = 0,25 ñ