phuong phap giai bat dang thuc

[r]

B- néi dung

PhÇn : kiến thức cần lu ý 1- Định nghĩa

2- Tính chất

3-Một số bất đẳng thức hay dùng

Phần 2:một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1-Phơng pháp dùng định nghĩa

2- Phơng pháp dùng biến đổi tơng đơng

3- Phơng pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- Phơng pháp sử dụng tính chất bắc cầu

5- Ph¬ng pháp dùng tính chất tỉ số 6- Phơng pháp làm trội

7- Phng phỏp dựng bất đẳng thức tam giác 8- Phơng phỏp i bin s

9- Phơng pháp dùng tam thức bậc hai 10- Phơng pháp quy nạp

11- Phơng pháp phản chứng Phần :các tập nâng cao

PHầN : ứng dụng bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị

2-Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình bất phơng trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phơng trình nghiệm ngun

PhÇn I : kiến thức cần lu ý 1-Đinhnghĩa

0

A B A B

A B A B

    



    

2-tÝnh chÊt

+ A>B  BA

+ A>B vµ B >C  AC

+ A>B  A+C >B + C

+ A>B vµ C > D  A+C > B + D + A>B vµ C >  A.C > B.C + A>B vµ C <  A.C < B.C

+ < A < B vµ < C <D  < A.C < B.D + A > B >  An > Bn n

+ A > B  An > Bn víi n lỴ

+ A > B  An > Bn víi n ch½n + m > n > vµ A >  Am > An + m > n > vµ <A <  Am < An +A < B vµ A.B > 

B A

1



3-một số bất đẳng thức

+ A2  víi A ( dÊu = x¶y A = ) + An  víi

+ - A < A = A

+ A B A  B ( dÊu = x¶y A.B > 0) + A B A  B ( dÊu = x¶y A.B < 0)

Phần II : số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Ph ơng pháp : dùng định nghĩa

KiÕn thøc : §Ĩ chøng minh A > B

Ta chøng minh A –B >

Lu ý dùng bất đẳng thức M2  với M Ví dụ  x, y, z chứng minh :

a) x2 + y2 + z2  xy+ yz + zx b) x2 + y2 + z2  2xy – 2xz + 2yz

c) x2 + y2 + z2+3  (x + y + z)

Gi¶i:

a) Ta xÐt hiÖu

x2 + y2 + z2 - xy – yz - zx =

2

.2 ( x2 + y2 + z2 - xy – yz – zx) =

2

( )2 ( )2 ( )2

 

  

 y x z y z

x với x;y;zR

V× (x-y)2 0 víix ; y DÊu b»ng x¶y x=y

(x-z)2 0 víix ; z DÊu b»ng x¶y x=z

(y-z)2 0 víi z; y DÊu b»ng x¶y z=y

VËy x2 + y2 + z2  xy+ yz + zx DÊu b»ng x¶y x = y =z b)Ta xÐt hiÖu

x2 + y2 + z2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2- 2xy +2xz –2yz

=( x – y + z)2 0 với x;y;zR

Vậy x2 + y2 + z2  2xy – 2xz + 2yz với x;y;zR Dấu xảy x+y=z

c) Ta xÐt hiÖu

x2 + y2 + z2+3 – 2( x+ y +z ) = x2 - 2x + + y2 -2y +1 + z2-2z +1 = (x-1)2 + (y-1) 2 +(z-1)2  0

DÊu(=)x¶y x=y=z=1

VÝ dơ 2: chøng minh r»ng :

a)

2

2

2

2 

  

 



b a b

a ;b) 2 2

3

3 

 



  

 

b c a b c

a c) HÃy tổng quát toán

gi¶i a) Ta xÐt hiƯu

2

2

2

2 

  

 



b a b

a

=  

4

2a2 b2 a2 ab b2

= 2a 2b a b 2ab

4

1  2 2 

=  

4   b a VËy 2 2

2 

  

 



b a b

a

DÊu b»ng x¶y a=b b)Ta xÐt hiÖu

2 2

3 

       

b c a b c

a

=       

1 2

    

 b b c c a

a VËy 2 2

3 

       

b c a b c

a

DÊu b»ng x¶y a = b =c c)Tỉng qu¸t 2 2 2

1

             n a a a n a a

a n n

Tóm lại bớc để chứng minh AB tho định nghĩa

Bíc 1: Ta xÐt hiƯu H = A - B

Bớc 2:Biến đổi H=(C+D)2 hoặc H=(C+D)2 +….+(E+F)2 Bớc 3:Kết luận A  B

Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99) Chứng minh m,n,p,q ta có

m2 + n2+ p2 + q2 +1 m(n+p+q+1) Gi¶i: 4 4 2 2 2                                    

 m mn n m mp p m mq q m m

0 2 2 2 2                                

 m n m p m q m (ln đúng)

DÊu b»ng x¶y

                   2 2 m q m p m n m               2 2 m m q m p m n         q p n m

Bµi tËp bỉ xung

phơng pháp : Dùng phép biến đổi tơng đơng L

u ý:

Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức hoặc

A B2 A2 2AB B2

   

A B C2 A2 B2 C2 2AB 2AC 2BC

       

 3 2

3

3A B AB B A

B

A    

VÝ dô 1:

Cho a, b, c, d,e số thực chứng minh a) a b ab

4 2

b)a2b21abab

c)a2 b2 c2 d2 e2 abcde

Gi¶i:

a) a b ab

4 2

 4a2 b2 4ab  4a2  4ab2 0

 2a b2 0 (bất đẳng thức đúng)

VËya b ab

4

2 (dÊu b»ng x¶y 2a=b)

b) a2b21abab 2(a2 b2  2(ab a b)

     

 a2 2abb2a2 2a1b2 2b10

( )2 ( 1)2 ( 1)2

     

 a b a b Bất đẳng thức cuối

VËy a2b21abab

DÊu b»ng x¶y a=b=1 c) a2 b2c2 d2e2 abcde

 4 a2 b2c2 d2e2 4abcde

  4 2  4 2  4 2  4 2           

 ab b a ac c a ad d a ac c

a

  2  2  2  2

 

 

  

 b a c a d a c

a

Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh

VÝ dô 2:

Chøng minh r»ng: a10 b10a2 b2 a8 b8a4 b4  

  

Gi¶i:

a10 b10a2b2 a8b8a4b4  a12 a10b2 a2b10 b12 a12 a8b4 a4b8 b12      



 a8b2a2 b2a2b8b2  a20

 a2b2(a2-b2)(a6-b6)

  a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 

Bất đẳng thứccuối ta có điều phải chứng minh

VÝ dơ 3: cho x.y =1 vµ x.y

Chøng minh y x

y x





2

2

Gi¶i: y

x y x





2

2 :x y nên x- y   x2+y2 2 2( x-y)

 x2+y2- 2 2 x+2 2y 0 x2+y2+2- 2 2 x+2 2y -2 0  x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy

0 x.y=1 nên 2.x.y=2

 (x-y- )2  Điều ln ln Vậy ta có điều phải chứng minh

VÝ dô 4:

1)CM: P(x,y)=9 2

   

y xy y

y

x x,yR

2)CM: a2b2c2 abc (gợi ý :bình phơng vế)

    

    



z y x z y x

z y x

1

1

Chứng minh :có ba số x,y,z lớn (đề thi Lam Sơn 96-97)

Gi¶i:

XÐt (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1

=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(1x 1y1z)=x+y+z - (111) 

z y

x (v×x y z

1 1



 < x+y+z theo

gt)

 số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 dơng

N trờng hợp sau xảy x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trờng hợp tức có ba số x ,y ,z số lớn

Ph ơng pháp : dùng bất đẳng thức quen thuộc A/ số bất đẳng thức hay dùng

1) Các bất đẳng thức phụ:

a) x2 y2 2xy

 

b) x2y2  xy dÊu( = ) x = y =

c) xy2 4xy d)  2

a b b a

2)Bất đẳng thức Cô sy: n

n

n a a a a n

a a

a a

3

2

    

Víi ai 0

3)Bất đẳng thức Bunhiacopski

    2

221 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2

2 aa n xxa n axa  xaxnn

4) Bất đẳng thức Trê- b-sép: Nếu

  

 

 

C B A

c b a



3 3

C B A c b a cC bB

aA    

  

NÕu

  

 

 

C B A

c b a



3 3

C B A c b a cC bB

aA    

  

DÊu b»ng x¶y

  

 

 

C B A

c b a

b/ c¸c vÝ dơ

vÝ dơ Cho a, b ,c lµ số không âm chứng minh

(a+b)(b+c)(c+a)8abc

Giải: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: x y2 4xy

 

Tacã a b2 4ab



 ; bc2 4bc ; ca2 4ac

 a b2

 bc2 ca2 64a2b2c2 8abc2

 (a+b)(b+c)(c+a)8abc

DÊu “=” x¶y a = b = c

vÝ dô 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 a+b+c=1 CMR: 1119

c b

2)Cho x,y,z>0 vµ x+y+z=1 CMR:x+2y+z4(1 x)(1 y)(1 z)

3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR:     

 a b

c a c b c b a

4)Cho x0,y0 tháa m·n x y 1 ;CMR: x+y

5



vÝ dô 3: Cho a>b>c>0 vµ 2 1  

b c

a chøng minh r»ng

3 3 1

2

a b c

b c a c a b     

Gi¶i:

Do a,b,c đối xứng ,giả sử abc 

           b a c c a b c b

a a b c

2 2

¸p dơng BĐT Trê- b-sép ta có

               

 a b

c c a b c b a c b a b a c c c a b b c b a a 2 2 2 = = VËy 3     

 a b

c c a b c b

a DÊu b»ng x¶y a=b=c=

3

vÝ dô 4:

Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng :

      10

2 2         

b c d ab c bc d d c a

a

Gi¶i: Ta cã a2 b2 2ab

 

c2 d2 2cd

 

Do abcd =1 nªn cd = ab (dïng 1   x x )

Ta cã 2 2( ) 2( )        ab ab cd ab c b

a (1)

Mặt khác: abcbcddca

=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)

= 1 222                       bc bc ac ac ab ab

VËy 2 2       10

        

b c d ab c bc d d c a

a

vÝ dô 5: Cho sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng:

(a c)2 (b d)2 a2 b2 c2 d2

      

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd a2 b2. c2 d2

 

mµ a c2 b d2 a2 b2 2ac bd c2 d2

        

a2 b2 2 a2 b2. c2 d2 c2 d2

      

 (a c)2 (b d)2 a2 b2 c2 d2

      

vÝ dô 6: Chøng minh r»ng

a2b2c2 abbcac

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) (a,b,c) ta có 12 12 12(a2 b2 c2) 1.a 1.b 1.c2

      

 a2b2c2 abbcac Điều phải chứng minh Dấu xảy a=b=c

Ph ơng pháp : Sử dụng tính chất bắc cầu L

u ý: A>B và b>c thì A>c

0< x <1 th× x2 <x vÝ dô 1:

Cho a, b, c ,d >0 tháa m·n a> c+d , b>c+d

Chøng minh r»ng ab >ad+bc Gi¶i:

Tacã

  

 

 

d c b

d c a



  

  

  

0

c d b

d c a  (a-c)(b-d) > cd  ab-ad-bc+cd >cd

ab> ad+bc (điều phải chứng minh) ví dô 2:

Cho a,b,c>0 tháa m·n

3 2

 

b c

a Chøng minh

abc c b a

1 1

  

Gi¶i:

Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 

 ac+bc-ab 

2

( a2+b2+c2)

 ac+bc-ab

6

  Chia hai vÕ cho abc > ta cã

c b a

1 1



 

abc

1

vÝ dô

Cho < a,b,c,d <1 Chøng minh r»ng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d Gi¶i:

Ta cã (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nªn ab>0

 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) Do c <1 nªn 1- c >0 ta cã  (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c

 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d

(Điều phải chứng minh)

vÝ dô

1- Cho <a,b,c <1 Chøng minh r»ng 2a32b32c3 3a2bb2cc2a Gi¶i :

Do a <  

a vµ

Ta cã 1 a2.1 b0  1-b-a2+a2b > 0

 1+a2b2 > a2 + b mµ 0< a,b <1  a2 > a3, b2 > b3

Tõ (1) vµ (2)  1+a2 b2> a3+b3

VËy a3+b3 < 1+a2 b2

T¬ng tù b3+c3 1 b2c  

c 3+a3 1 c2a 

Cộng bất đẳng thức ta có : 2a3 2b3 2c3 3 a2b b2c c2a

b)Chøng minh r»ng : NÕu a2b2 c2d2 1998 ac+bd =1998

(Chuyên Anh –98 – 99) Gi¶i:

Ta cã (ac + bd)2 + (ad – bc )2 = a2 c2 + b2d2 2abcd a2d



 b2c2-2abcd=

= a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982

rá rµng (ac+bd)2   2  2 19982

 



bd ad bc

ac

 acbd 1998

2-Bµi tËp : 1, Cho c¸c sè thùc : a1; a2;a3 ….;a2003 tháa m·n : a1+ a2+a3 + ….+a2003

=1

chøng minh r»ng : a12 + 20032

3

2 a a

a   

2003

 ( đề thi vào chuyên nga pháp

2003- 2004Thanh hãa )

2,Cho a;b;c 0 tháa m·n :a+b+c=1(?)

Chøng minh r»ng: (1  1).(1 1).(1 1)8

c b

a

Ph ơng pháp 5: dùng tính chấtcủa tû sè KiÕn thøc

1) Cho a, b ,c số dơng thì

a – NÕu 1

b a th× c b c a b a   

b – NÕu 1

b a th× c b c a b a   

2)NÕu b,d >0 th× tõ d c d b c a b a d c b a       `

vÝ dô :

Cho a,b,c,d > Chøng minh r»ng

2

            b a d d a d c c d c b b c b a a Gi¶i :

Theo tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc ta cã d c b a d a c b a a c b a a          

 (1)

Mặt khác :

d c b a a c b a a     

 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã d c b a a  

 < a b c

a



 <a b c d

d a     (3) T¬ng tù ta cã

d c b a a b d c b b d c b a b          

 (4)

d c b a c b a d c c d c b a c          

 (5)

d c b a c d b a d d d c b a d          

 (6)

céng vÕ víi vÕ cđa (3); (4); (5); (6) ta cã

2              b a d d a d c c d c b b c b a a

điều phải chứng minh

Cho: b a < d c

vµ b,d > Chøng minh r»ng b a < d c d b cd ab    2

Gi¶i: Tõ b a < d c 2 d cd b ab    d c d cd d b cd ab b ab    

 2 2 2 VËy b a < d c d b cd ab   

2 ®iỊu phải chứng minh

ví dụ : Cho a;b;c;dlà số nguyên dơng thỏa mÃn : a+b = c+d =1000

tìm giá trị lớn d b c a

giải : Không tính tổng quát ta giả sử :

c a

d b

 Tõ :

c a d b  d b d c b a c a       c a

v× a+b = c+d a, NÕu :b 998 th×

d b 998   d b c a

  999

b, NÕu: b=998 th× a=1 

d b c a  = d c 999

Đạt giá trị lớn d= 1; c=999

Vậy giá trị lớn d b c a  =999+ 999

khi a=d=1; c=b=999

Ph ơng pháp 6: Phơng pháplàm trội

L u ý:

Dùngcác tính bất đẳng thức để đa vế bất đẳng thức dạng tính đợc tổng hữu hạn tích hữu hạn

(*) Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1u2 un

Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát uk hiệu hai số hạng liên tiếp nhau:

uk ak  ak1

Khi :

S = a1 a2  a2 a3 an an1a1 an1 (*) Phơng pháp chung tính tích hữu hạn P = u1u2 un

Biến đổi số hạng uk thơng hai số hạng liên tiếp nhau:

uk=

1  k k a a

Khi P =

1 1 2

1.

   n n n a a a a a a a a

VÝ dô :

Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng 1         n n n n Gi¶i: Ta cã n n n k n 1   

 víi k = 1,2,3,…,n-1

Do đó: 2 2 1           n n n n n n n Ví dụ :

2 1

1

1     n 

n Với n số nguyên Giải :

Ta cã  k k

k k k

k    1 2 1

2

2

Khi cho k chạy từ đến n ta có > 2 21

2 2

1

 

………  n n

n 2 1

1

Cộng vế bất đẳng thức ta có 2 1

3

1     n 

n

VÝ dô :

Chøng minh r»ng 2







n k k

nZ Gi¶i:

Ta cã

k  k k

k k

1 1 1

2 

   

Cho k chạy từ đến n ta có

1

1

1

1 1

3

1

2 1

1

2

2 2

    

  

 

 

n n n n

VËy

1 





n k k

Ph ơng pháp 7: Dùng bất đẳng thức tam giác L

u ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh tam giác : a;b;c> Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a

VÝ dô1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh tam giác chứng minh r»ng

a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)

b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)

Giải

a)Vì a,b,c số đo cạnh tam giác nên ta có

    

  

  

  

b a c

c a b

c b a

0 0



    

 

 

 

) (

) (

) ( 2

b a c c

c a b b

c b a a

Cộng vế bất đẳng thức ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)

b) Ta cã a > b-c   a2 a2 (b c)2

 

b > a-c   b2 b2 (c a)2

 

 >

c > a-b   2 ( )2

  

c a b

c

Nhân vế bất đẳng thức ta đợc

 

       

     

a b c b c a c a b

abc b a c a c b c b a c b a b a c a c b c b a c b a                         2 2 2 2 2 2 2

VÝ dô2: (404 – 1001)

1) Cho a,b,c lµ chiỊu dài ba cạnh tam giác Chứng minh ab bc ca a2 b2 c2 2(ab bc ca)

       

2) Cho a,b,c chiều dài ba cạnh tam gi¸c cã chu vi b»ng Chøng minh r»ng 2 2

  

b c abc

a

Ph ơng pháp 8: đổi biến số

VÝ dô1:

Cho a,b,c > Chøng minh r»ng

2     

 a b

c a c b c b a (1) Gi¶i :

Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a=

2

x z y 

; b =

2

y x z 

; c =

2

z y x 

ta cã (1)  y2zx xz2xy y x2yz z

2 

  1  1  13

z y z x y z y x x z x y

 (  )(  )(  )6

z y y z z x x z y x x y

Bất đẳng thức cuối (  2;

y x x y

 2

z x x z

;  2

z y y z

nên ta có điều phải chứng minh

Ví dơ2:

Cho a,b,c > vµ a+b+c <1 Chøng minh r»ng

2 2 2     

 bc b ac c ab

a (1)

Giải:

Đặt x = a2 2bc

 ; y = b22ac ; z = c22ab

Ta cã  2

    

y z a b c

x

(1)  1119

z y

x Với x+y+z < x ,y,z > Theo bất đẳng thức Côsi ta có

xyz3.3 xyz

   z y x 1

3 .3 xyz

   1 19

         z y x z y x

Mµ x+y+z < VËy 1119

z y

x (®pcm)

VÝ dơ3:

Cho x0 , y0 tháa m·n x  y 1 CMR

Đặt xu , y v  2u-v =1 vµ S = x+y =u2 v2 v = 2u-1 thay vµo tÝnh S

Bµi tËp

1) Cho a > , b > , c > CMR: 25 16 8    

 a b

c a c

b c b

a

2)Tỉng qu¸t m, n, p, q, a, b >0 CMR

 m n p m n p b

a pc a c

nb c b

ma

     

    

2

1

Ph ơng pháp 9: dùng tam thức bậc hai

L u ý :

Cho tam thøc bËc hai f x ax2bxc NÕu 0 th× a.f x 0 xR

NÕu 0 th× a.f x 0

a b x 

NÕu 0 th× a.f x 0 víi xx1 hc xx2 (x2 x1)

a.f x 0 víi x1xx2

VÝ dơ1:

Chøng minh r»ng

 , 

     

x y xy x y

y x

f (1)

Gi¶i:

Ta cã (1)  2 2 1

    

 x y y y

x

2 12

    

 y y y

 1

3 4

2

2

    

     

y

y y y

y

VËy fx,y0 víi mäi x, y

VÝ dô2:

Chøng minh r»ng

fx,y x2y4 2x2 2.y2 4xy x2 4xy3      

Gi¶i:

Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với 2 2 4

 

  

 x y xy x xy

y x

( 1)2 1 2

  

 

 y x y y x y

Ta cã 21 22 2 12 16

 

  

 

 y y y y y

V× a =  12

 

y fx,y0 (đpcm)

Ph ơng pháp 10: dùng quy nạp toán học Kiến thức:

Để chứng minh bất đẳng thức với nn0ta thực bớc sau : – Kiểm tra bất đẳng thức với nn0

- Giả sử BĐT với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi giả thiết quy nạp )

3- Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)

VÝ dô1:

Chøng minh r»ng n n 2 1 2

2      nN;n1 (1) Gi¶i :

Víi n =2 ta cã

2

1   (đúng)

Vậy BĐT (1) với n =2

Giả sử BĐT (1) với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) với n = k+1

ThËt vËy n =k+1 th× (1) 

1 ) ( 1 1 2 2         k k k Theo giả thiết quy nạp

 

1 1 ) ( 1 1 2 2

2   

         k k k k k 

k  k

k k 1 1 ) ( 1 2        

 ( 2) ( 1)2 ) ( 1         k k k k k k

 k2+2k<k2+2k+1 Điều Vậy bất

đẳng thức (1)đợc chứng minh

VÝ dơ2: Cho nN vµ a+b>

Chøng minh r»ng

n b a       

2 

n n b

a  (1)

Giải Ta thấy BĐT (1) với n=1

Giả sử BĐT (1) với n=k ta phải chứng minh BĐT với n=k+1 Thật với n = k+1 ta có

(1) 

1      

ab k

 1    k k b a  b a b

a k 

        1    k k b

a (2)

 VÕ tr¸i (2) 

2 1

1   

       

 k k k k k k k

k b a b a ab a b b a b

a  1 1         

 k k k k k

k b a ab a b b

a

 ak  bk.a b0 (3)

Ta chøng minh (3)

(+) Giả sử a b giả thiết cho a  -b  a  b  ak bk bk



  ak  bk.a b0

(+) Gi¶ sư a < b theo giả thiết - a<b k k k k

b a b

a     ak  bk.a b0

Vậy BĐT (3)ln ta có (đpcm)

Ph ¬ng pháp 11: Chứng minh phản chứng

L u ý :

với giả thiết , điều trái ngợc Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh

2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G  K” phép toán mệnh đề cho ta :

Nh để phủ định luận đề ta ghép tất giả thiết luận đề với phủ định kết luận

Ta thờng dùng hình thức chứng minh phản chứng sau : A - Dùng mệnh đề phản đảo : K  G

B – Phủ định rôi suy trái giả thiết : C – Phủ định suy trái với điều D – Phủ định suy điều trái ngợc E – Phủ định suy kết luận :

VÝ dô 1:

Cho ba sè a,b,c tháa m·n a +b+c > , ab+bc+ac > , abc > Chøng minh r»ng a > , b > , c >

Gi¶i :

Giả sử a  từ abc >  a a < Mà abc > a <  cb <

Tõ ab+bc+ca >  a(b+c) > -bc > V× a < mµ a(b +c) >  b + c <

a < vµ b +c <  a + b +c < trái giả thiết a+b+c > VËy a > t¬ng tù ta cã b > , c >

VÝ dô 2:

Cho sè a , b , c ,d tháa m·n ®iỊu kiƯn

ac  2.(b+d) Chứng minh có bất đẳng thức sau sai:

a2 4b

 , c2 4d

Gi¶i :

Giả sử bất đẳng thức : a2 4b

 , c2 4d cộng vế ta đợc

2 4( )

d b c

a    (1)

Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b+d)  2ac (2) Tõ (1) vµ (2)  a2 c2 2ac



 hay a c2 0 (v« lý)

Vậy bất đẳng thức a2 4b c2 4d có bất đẳng thức sai Ví dụ 3:

Cho x,y,z > vµ xyz = Chøng minh r»ng

NÕu x+y+z > 1x1y1z th× cã mét ba số lớn 1

Gi¶i :

Ta cã (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1

=x + y + z – (1x1y1z ) v× xyz = 1

theo gi¶ thiÕt x+y +z > 1x1y1z

nªn (x-1).(y-1).(z-1) >

Trong ba sè x-1 , y-1 , z-1 chØ cã mét sè d¬ng

Thật ba số dơng x,y,z >  xyz > (trái giả thiết) Còn số dơng (x-1).(y-1).(z-1) < (vơ lý) Vậy có ba số x , y,z lớn

1/dùng định nghĩa

1) Cho abc = vµ 36 

a Chøng minh r»ng 

2

a

b2+c2> ab+bc+ac

Gi¶i Ta cã hiƯu: 

3

a b2+c2- ab- bc – ac

= 

2

a

 12

2

a

b2+c2- ab- bc – ac

= ( 

2

a

b2+c2- ab– ac+ 2bc) + 

12

a

3bc =(

2

a

-b- c)2 +

a abc a

12 36



=(

2

a

-b- c)2 +

a abc a

12 36

 >0 (vì abc=1 a3 > 36 nên a >0 )

VËy : 

2

a b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh

2) Chứng minh r»ng

a) 4 2 ( 1)

   

 

y z x xy x z

x

b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã

    

 b ab a b

a

c) a22b2 2ab2a 4b20

Gi¶i :

a) XÐt hiÖu

H = x4 y4 z2 2x2y2 2x2 2xz 2x

   

  

=  2 22  2  2

1

   

 y x z x

x

H0 ta có điều phải chứng minh b) Vế tr¸i cã thĨ viÕt

H = a 2b12 b12 1

 H > ta có điều phải chứng minh c) vế tr¸i cã thĨ viÕt

H =  2  2

1   

 b b

a

 H ta có điều phải chứng minh

Ii / Dùng biến đổi t ơng đ ơng

1) Cho x > y vµ xy =1 Chøng minh r»ng

 

 2

2 2

 



y x

y x

Gi¶i :

Ta cã 2  2  2

     

y x y xy x y

x (v× xy = 1)

  22  4 4. 2

    

y x y x y

x

Do BĐT cần chứng minh tơng đơng với x y4 4x y2 4 8.x y2

     

 x y4 4x y240   2 22

   y x

BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho xy  Chứng minh

xy y

x    



2

1

1

Gi¶i :

Ta cã

xy y

x    

 1 1 2  1 1 1 1 2

2 

                

x y y xy



1 .1  1 2.1 

2 2         xy y y xy xy x x xy 

   1 .1 

) ( ) ( 2         xy y y x y xy x x y x     

1  .1 .1 

1 2       xy y x xy x y

BĐT cuối xy > Vậy ta có điều phải chứng minh Iii / dùng bất đẳng thức phụ

1) Cho a , b, c số thực vµ a + b +c =1

Chøng minh r»ng

3 2 2b c 

a Giải :

áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho số (1,1,1) (a,b,c) Ta có  2   2 2

1

1a b c    a b c   2  2 2

3 a b c

c b

a    



3 2 2b c 

a (v× a+b+c =1 ) (đpcm)

2) Cho a,b,c số dơng

Chứng minh  1 19          c b a c b

a (1)

Gi¶i :

(1)  1   1   19

a c a c c b a b c a b a

 9

                       b c c b a c c a a b b a

áp dụng BĐT phụ 2

x y y x

Với x,y > Ta có BĐT cuối ln

VËy   1 19          c b a c b

a (®pcm)

Iv / dùng ph ơng pháp bắc cầu

1) Cho < a, b,c <1 Chøng minh r»ng :

2a3 2b3 2c3 3 a2b b2c c2a

      Gi¶i :

Do a <1  a2<1 vµ b <1

Nªn 1 2 .1 2 2       

 a b a b a b

Hay 1a2ba2b (1) MỈt kh¸c <a,b <1  a2 a3

 ; bb3

 1a2 a3b3

VËy a3 b3 1 a2b

T¬ng tù ta cã

a c c

a

c b c

b

2

3

2

3

1

  

  

 2a3 2b3 2c3 3 a2b b2c c2a

    

(đpcm)

2) So sánh 3111 1714 Gi¶i :

Ta thÊy 3111 <

 11

11 55 56

32  2 2

Mặt khác 256 24.14 24 14 1614 1714

   

Vëy 3111 < 1714 (®pcm) V/ dïng tÝnh chÊt tØ sè

1) Cho a ,b ,c ,d > Chøng minh r»ng :

a b b c c d d a

a b c b c d c d a d a b

   

    

       

Giải :

Vì a ,b ,c ,d > nªn ta cã

a b a b a b d a b c d a b c a b c d

   

 

        (1) b c b c b c a

a b c d b c d a b c d

    

 

        (2) d a d a d a c

a b c d d a b a b c d

   

 

        (3) Cộng vế bất đẳng thức ta có :

a b b c c d d a

a b c b c d c d a d a b

   

    

        (®pcm)

2) Cho a ,b,c số đo ba cạnh tam giác Chøng minh r»ng

a b c b c c a a b

   

  

Gi¶i :

Vì a ,b ,c số đo ba cạnh tam giác nên ta có a,b,c > Vµ a < b +c ; b <a+c ; c < a+b

Tõ (1) a a a 2a b c a b c a b c



  



Mặt khác a a b c a b c  VËy ta cã a a 2a

a b c  b c a b c  T¬ng tù ta cã

2

b b b

a b c  a c a b c  c c 2c

a b c  b a a b c  Cộng vế ba bất đẳng thức ta có :

a b c b c c a a b

   

V/ ph ơng pháp làm trội :

1) Chøng minh B§T sau :

a) 1 1 1.3 3.5  (2n1).(2n1)2 b) 1

1.2 1.2.3 1.2.3 n

    

Gi¶i :

a) Ta cã

   

2 1 (2 1)

1 1 1

2 2 (2 1).(2 1) 2

k k

n n k k k k

    

    

       

Cho n chạy từ đến k Sau cộng lại ta có

1 1

1.3 3.5 (2n 1).(2n 1) 2n

 

      

     (®pcm)

b) Ta cã

 

1 1 1

1

1.2 1.2.3 1.2.3 n 1.2 1.2.3 n n

        

 < 1 1 1 2

2 n n n

     

          

      (®pcm)

Phần iv : ứng dụng bất đẳng thức 1/ dùng bất đẳng thức để tìm c c trị L u ý

- Nếu f(x) A f(x) có giá trị nhá nhÊt lµ A - NÕu f(x)  B f(x) có giá trị lớn B Ví dụ 1 :

Tìm giá trị nhá nhÊt cña : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Gi¶i :

Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x|  |x-1+4-x| = (1) Vµ x  x  x 2 3 x  x 3  x 1 (2) VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|  1+3 =

Ta cã tõ (1)  DÊu b»ng x¶y 1 x

(2)  DÊu b»ng x¶y 2 x

Vậy T có giá trị nhỏ 2 x

VÝ dô :

Tìm giá trị lớn cđa

S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > x+y+z =1 Giải :

Vì x,y,z > ,áp dụng BĐT Côsi ta cã x+ y + z 33 xyz

1

3 27

xyz xyz

   

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có x y   y z   z x 33x y   y z   x z 

 2 3 3x y  . y z  . z x  DÊu b»ng x¶y x=y=z=1

VËy S  8 27 27 729

VËy S có giá trị lớn

729 x=y=z= VÝ dô : Cho xy+yz+zx =

Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa x4 y4 z4   Gi¶i :

áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho sè (x,y,z) ;(x,y,z)

Ta cã  2  2 22 xy yz zx   x y z 1 x2 y2 z22

    (1)

Ap dơng B§T Bunhiacèpski cho (x y z2, 2, 2) vµ (1,1,1) Ta cã

2 2 2 2 4

2 2 4

( ) (1 1 )( )

( ) 3( )

x y z x y z

x y z x y z

      

     

Tõ (1) vµ (2) 1 3(x4 y4 z4)     4

3

x y z



Vậy x4y4z4 có giá trị nhá nhÊt lµ 1

3 x=y=z= 3

 VÝ dô :

Trong tam giác vuông có cạnh huyền , tam giác vuông có diện tích lớn

Giải :

Gọi cạnh huyền tam giác 2a Đờng cao thuộc cạnh huyền h

Hình chiếu cạnh góc vuông lên cạnh huyền x,y Ta có S =1. . . . .

2 x y h a h a h   a xy Vì a khơng đổi mà x+y = 2a

VËy S lín nhÊt x.y lín nhÊt  xy

VËy c¸c tam gi¸c cã cạnh huyền tam giác vuông cân có diện tÝch lín nhÊt

Ii/ dùng b.đ.t để giải ph ơng trình hệ ph ơng trình

VÝ dụ :

Giải phơng trình sau

4 3x2 6x 19 5x2 10x 14 2x x2         Gi¶i :

Ta cã 3x2 6x 19

  3.(x22x1) 16 3.(x 1)2 16 16

   

5x2 10x 14 5.x 12 9 9

     

VËy 4 3x2 6x 19 5x2 10x 14 5         DÊu ( = ) x¶y x+1 =  x = -1 VËy 4 3x2 6x 19 5x2 10x 14 2x x2

        x = -1

Vậy phơng trình có nghiệm x = -1 VÝ dô :

x 2 x2 4y2 4y 3

    

Gi¶i :

áp dụng BĐT BunhiaCốpski ta có :

x 2 x2 12 1 2 x2 2 x2 2 2

       

DÊu (=) x¶y x =

Mặt khác 4y2 4y 3 2y 12 2 2       DÊu (=) x¶y y = -1

2 VËy x 2 x2 4y2 4y 3 2

      x =1 vµ y =-1 VËy nghiƯm phơng trình

1 x y

   

   Ví dụ :

Giải hệ phơng tr×nh sau: 4 x y z4 4

x y z xyz

   



   

Gi¶i : áp dụng BĐT Côsi ta có

4 4 4

4 4

2 2 2

2 2 2 2 2 2 x

2 2

2 2

x y y z z x

y z

x y y z z x

x y y z z y z z x z y x

  

    

  

  

  

2 2

.( )

y xz z xy x yz xyz x y z

  

  

V× x+y+z = 1)

Nªn x4 y4 z4 xyz   

DÊu (=) x¶y x = y = z =1 VËy 4 x y z4 4

x y z xyz

   



  

 cã nghiÖm x = y = z =

1 VÝ dô : Giải hệ phơng trình sau

2

2

xy y

xy x

    

 

(1) (2) Từ phơng trình (1) 8 y2 0

   hay y Từ phơng trình (2) x2 2 x y. 2 2 x

   

2

2

2 2

( 2)

2

x x

x x x

   

  

 

NÕu x = 2 th× y = 2 NÕu x = - 2 y = -2 2

Vậy hệ phơng tr×nh cã nghiƯm 2 x y

   

  

vµ 2 2 x

y

   

  

Iii/ dùng B.Đ.t để giải ph ơng trình nghiệm nguyên

1) Tìm số nguyên x,y,z thoả mÃn x2 y2 z2 xy 3y 2z 3

   Giải :

Vì x,y,z số nguyên nên x2 y2 z2 xy 3y 2z 3

     

 

2 2

2

2

3

3

3

4

x y z xy y z

y y

x xy y z z

       

   

          

   

 

2

2

3 1

2

y y

x z

   

          

   

(*)

Mµ  

2

2

3 1

2

y y

x z

   

     

   

   

x y R, 

 

2

2

3 1

2

y y

x z

   

          

   

0

2 1

1

2

1

y x

x y

y z z



  

  

 

      

  

   

Các số x,y,z phải tìm lµ x y z

  

     VÝ dụ 2:

Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình 1

x yz Giải :

Không tính tổng quát ta giả sử x y z Ta cã 1 2z

x y z z

    Mà z nguyên dơng z =

Thay z = vào phơng trình ta đợc 1 xy  Theo giả sử xy nên = 1

x y y

Nªn y = hc y = Víi y = không thích hợp

Với y = ta cã x =

VËy (2 ,2,1) nghiệm phơng trình

Hoán vị số ta đợc nghiệm phơng trình (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2)

VÝ dô :

Tìm cặp số nguyên thoả mÃn phơng trình

x x y (*) Gi¶i :

(*) Víi x < , y < phơng trình nghÜa (*) Víi x > , y >

Ta cã x x y x x y2   

x y2 x 0

   

Đặt x k (k nguyên dơng x nguyên dơng ) Ta có k k.( 1) y2

  Nhng k2 k k 1 k 12

   

 ky k

Mà k k+1 hai số nguyên dơng liên tiếp không tồn số nguyên dơng

Nên cặp số nguyên dơng thoả mÃn phơng trình Vậy phơng trình có nghiệm :

0 x y

  