Tai lieu tham khao ve MTCT

NÕu biÕt c¸ch sö dông ®óng, hîp lý mét quy tr×nh bÊm phÝm sÏ cho kÕt qu¶ nhanh, chÝnh x¸c... XÐt tÝnh héi tô cña d·y sè:[r]

Biến đổi, tính tốn giá trị biểu thức Tính giá trị biểu thức

1 (THTT K10) Tìm bình phơng số:

1

:

2 3

 

 +  +

 

 + −   



Gợi ý: Trục thức mÉu sè suy A= 3⇒A2 =3 (Cã thÓ tÝnh toán máy)

2 (Khu vực 2005) Tính giá trị biểu thức: a)

1 3

:

2 7

7 3

:

8

A

 

 +   −  + 

    

    

=

 

 +   +   −              §S : A = 0,734068222

b) 3

3

sin 35 cos 20 15tan 40 tan 25

sin 42 : 0.5cot 20

B = −

§S : B = - 36, 82283811

3 (Khu vực 2006) Tính giá trị biÓu thøc: a) A= 3,06 cot 15 45'.cos 35 20'12,35.tan 30 25'.sin 23 30'3 32 0 22 00 §S : A = 7421892,531

b) 2 22 22

5 25

5

x y x y x y

B=x +xy x+ −xy x y−

− + +

  , víi x=1,257 ;y=4,523

§S : B = 7,955449483 c)

( ) ( )

2

2 2

1 4

4 16

2

x xy y

C x y x

x y x y

  + +

= + + 

−

− +

 

 

víi x=3,06 ;y=4,15 §S : C = 0,788476899

321930 291945 2171954 3041975

N= + + +

§S : N = 567,87

b) Tính giá trị biểu thøc M víi α 25 30',0 β 57 30'0

= = (lấy kết với

4 chữ số phần thập phân)

(1 tan2 )(1 cot2 ) (1 sin2 )(1 cos2 ) (1 sin2 )(1 cos2 )

M= + α + β + − α − β  − α − β

 

§S : M = 1,7548

5 (Khu vùc 2008) Tính giá trị biểu thức

1) 3sin15 25' 4cos12 12'.sin 42 20' cos36 15' 2cos15 25' 3cos 65 13'.sin15 12' cos31 33'.sin18 20'

° + ° ° + °

=

° + ° ° + ° °

B §S : B =

2) :

1 1

    = +   −  + − + − −     x x C

x x x x x x , víi x = 143,08

§S : C =

6 (Huế 2005-2006) Tính giá trị biểu thức

3

1

21 :

3 11

5 8 11 12

3 :

6 13 12 15

   +   −   +                 =    +   +   −              A

§S : A ≈ 2.526141499

3

4

cos 37 43'.cot 19 30' 15 sin 57 42'.tan 69 13'

cos 19 36' : cot 52 09'

− =

B

§S : B ≈ 8,932931676

7 (Huế 2006-2007) Tính giá trị biểu thức

5 0

3

3 235,68 cot 23 35'.cos 69 43' 62,06 tan 69 55'.sin 77 27 ' =

A

§S : A ≈ 3,01541

4

2 2 2

3 16 16

4 4

 

 − +  −

= +  

− + + +

  

x y x y x y

B

x y x xy y x y

( 3 2 )

2

4 18

9

− − +

=

+ +

x y xy x y

B

x xy y

a) x = -5; y = 16 §S : B = −286892769

b) x = 1,245; y = 3,456 §S : B = -33,03283776

8 (HuÕ 2007-2008) a) TÝnh giá trị biểu thức lấy kết với chữ số phần thập phân

N= 521973+ 491965+ 1371954+ 6041975+ 1122007 §S : N ≈ 722,96

b) Tính giá trị biểu thức M với α = 25030', β = 57o30’

( 2 )( 2 ) ( )( ) ( )( )

M= 1+tan α.sin β 1+cot β.cos α + 1-sin α 1-cosβ  1+sin α 1+cos β (Kết lấy với chữ số thập phân)

§S : M 2,8716

9 (THTT K10) Tính giá trị cđa biĨu thøc

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

1 3 2004 2005

A= + + + + + + + + +

Gợi ý Bổ đề : Cho a, b, c khác a + b + c = Khi đó, ta có:

2

2 2

1 1 1

a b c a b c

 

+ + = + + 

 

¸p dơng:

( ) ( )

2

2

2 2

1 1 1 1 1

m n n m m n n m m n n m

 

+ + = + + = + − 

+

 

+ − −

⇒

( )

+ + = + −

+ +

2

1 1

1

1

n n n n

Suy ra:

( )2 ( )

2 2 2

1 1 1 1

1

2 3 1

k

S k

k k

k

= + + + + + + + + + = − + −

− Víi k = 2005 ta cã: 2005

1 2003

2003 2003

2 2005 4010

2 Liên phân số

1 (THTT K3) Tính viết kết dới dạng phân số:

a) 1

2 3 4 5

A= + +

+ +

+ §S : A=15222119

b)

1 1 B= +

+ +

+ +

+ §S : B =122462107

Quy tr×nh: /

2 Ans SHIFT /

(2107 1711) 2107 (12246) b c

a d c

+ = ÷ + = = =

↵ × =

2 (THTT K8) Tìm số tự nhiên a, b biết r»ng:

1719 1 3976 2 a b = + + + + §S : 17193976 11

2 13 = + + + +

VËy a = ; b = 13

1 1

3

2

5

4

7 2

6 x         = + +   + + +   + +  +    + +

§S : x=16714301

4 (Huế 2004-2005) Tìm giá trị x, y viết dới dạng phân số (hoặc hỗn số) từ phơng trình sau:

a)

4 7 8 + = + + + + + + + x x

§S : 4752095 45 95630

103477 103477

= =

x

b)

1 1 1 + = + + + + y y

§S : 7130 13139

3991 3991

= =

y

5 (HuÕ 2005-2006) Tìm nghiệm phơng trình viết dới dạng phân số:

4

4

1

2

1 9

3

2 4

2 1 1 + = +   + +     +       + − +      +  +      +    x

§S : 70847109 1389159 64004388 1254988

= =

6 (HuÕ 2006-2007) BiÕt 20062007 11 2008 1 1 = + + + + + + a b c d e f g Tìm số tự nhiên a, b, c, d, e, f, g

§S : 20062007 9991 1 2008 25 2 1 1 = + + + + + + (Mg T8/2007) T×m x biÕt:

3 381978 382007 8 8 8 8 = + + + + + + + + + +x

§S LËp quy trình ấn phím liên tục máy fx-570 MS: 381978 382007 (0.999924085)ữ =

ấn tiếp phím: x1 ì 3 8 ấn lần phím

=

Lúc ta đ−ợc: Ans 11 x =

+

TiÕp tôc Ên: Ans x−1 − 1 ( 1,11963298)= * Tính tay kết hợp với máy tính ta tìm đợc:

3 Tính toán kết hợp giấy máy tính

1 a) Nêu phơng pháp (kết hợp máy giấy) tính xác kết phép tính sau: A = 12578963 x 14375

b) TÝnh chÝnh x¸c A

c) TÝnh chÝnh x¸c cđa sè: B = 1234567892 d) TÝnh chÝnh x¸c cđa sè: C = 10234563 Giải:

a) Nếu tính máy tràn hình nên ta làm nh sau: A = 12578963.14375 = (12578.103

+ 963).14375 = 12578.103

.14375 + 963.14375

* Tính máy: 12578.14375 = 180808750 ⇒ 12578.103

.14375 = 180808750000

* TÝnh trªn m¸y: 963.14375 = 13843125

Từ ta có: A = 180808750000 + 13843125 = 180822593125 (Tính máy)

Hoặc viết: 180808750000 = 180000000000 + 808750000 cộng m¸y: 808750000 + 13843125 = 822593125 ⇒ A = 180822593125

b) Giá trị xác A là: 180822593125 c) B =1234567892

=(123450000 + 6789)2

= (1234.104 )2

+ 2.12345.104 6789 + 67892

Tính máy: 123452 = 152399025 2x12345x6789 = 167620410 67892 = 46090521 VËy: B = 152399025.108

+ 167620410.104

+ 46090521

= 15239902500000000 + 1676204100000 + 46090521 = 15241578750190521

d) C = 10234563

= (1023000 + 456)3

= (1023.103

+ 456)3 = 10233

.109

+ 3.10232 106

.456 + 3.1023.103 4562

+ 4563 Tính máy:

10233

456 = 94818816

VËy (tÝnh trªn giÊy): C = 1070599167000000000 + 1431651672000000 + + 638155584000 + 94818816

= 1072031456922402816

2 (THTT K6) Sử dụng MTCT để tính kết tích ab bảng sau: a 7895489 99887456752 123456789104563456

b 56326 89685 98761

Gợi ý

Nhận xét: 99999 x 99999 = 9999800001 < 10000000000 nên nhân máy tính hai số có không chữ số kết xác Để nhân số a với số có chữ số ta tách a thành nhóm số hạng từ phải sang trái, nhãm gåm ch÷ sè (nhãm ci cïng cã thĨ hơn) Gọi tên nhóm 1, 2, Thùc hiƯn phÐp tÝnh qua c¸c b−íc sau:

B−íc : LÊy nhãm nh©n víi b, ghi giấy chữ số cuối làm kết Bớc : Nhập số lại kết lần céng víi sè cđa nhãm nh©n víi b LÊy chữ số từ phải qua trái ghi giấy vào bên trái chữ số bớc làm kết

Lp li bc cho n nhóm cuối ghi hết chữ số kết máy tính vào bên trái phần ghi giấy Số giấy kết a.b Thí dụ: tính 7895489 x 56326

LÇn : 95489 56326 (5378513414)× = : ghi giÊy 13414 Lần : 53785 78 56326 (4447213)+ ì =

ĐS : 444721313414

Tơng tự: 99887456752 x 89685 = 8958406558803120

123456789104563456 x 98761 = 12192715948755791478016 (Khu vực 2004) Tính kết tích sau:

a) M = 2222255555 x 2222266666 b) N = 20032003 x 20042004

A = 52906279178,48 : 565,432 §S : A = 93567890

5 (Khu vực 2007) Tính kết (khơng sai số) tính sau: P = 13032006 x 13032007

Q = 3333355555 x 3333377777 §S : P = 169833193416042

Q = 1111133329876501235

6 (Huế 2004-2005) Tính kết (khơng sai số) tính sau: M = 3344355664 ì3333377777

N = 1234563

§S : M = 11148000848761678928 N = 1881640295202816

7 (Huế 2007-2008) Tính kết (khơng sai số) tính sau: P = 11232006 x 11232007

Q = 7777755555 x 7777799999 §S : P = 126157970016042

Q = 60493827147901244445

8 (THTT K6) a) TÝnh chÝnh x¸c giá trị A = 14142135622

b) Tìm chữ số thập phân thứ 18 sau dấu phảy 2

§S : a) A = 1999999998944727844 b) BÊm (1.414213562)=

Gi¶ sư 2 1.414213562= + ⇔ =x 2 x2+2,884427124x+1.4142135622 Theo kq a) 1.4142135622 = 1.999999998944727844 nªn (tÝnh trªn giÊy):

1.4142135622 - = 0.1055272156 x 10-10 Khai báo phơng trình (Ghi hình):

2 2,884427124 0,1055272156 x 10 10 0

x + x− − =

9 TÝnh chÝnh x¸c cđa sè A = 1012  +     Giải:

- Dùng máy tính, tính số kÕt qu¶:

10

34

3+ = vµ

2 10 1156  +  =     10 334

3+ = vµ

2 10 111556  +  =     10 3334 3+ = vµ

2 10 11115556  +  =    

NhËn xÐt: 10

+ k

lµ số nguyên có (k - 1) chữ số 3, tận cïng lµ sè 10  +      k

lµ số nguyên gồm k chữ số 1, (k - 1) chữ số 5, chữ số cuối

* Ta dễ dàng chứng minh đ−ợc nhận xét đó:

A = 111111111111555555555556 So s¸nh c¸c sè

1 (Khu vùc 2005) Cho sè:

( ) ( ) 2 3 2 3

2 ;

2 ;

A B C D     =  =      = =

Hly so s¸nh sè A víi sè B, so s¸nh sè C víi sè D §S : A < B ; C > D

2 (HuÕ 2005-2006) Chobèn sè:

( )2 ( )5 25 52

5

3 ; 5 ; 3 ; 5

   

=  =   = =

   

A B C D

So s¸nh sè A víi sè B, so s¸nh sè C víi sè D §S : A > B ; C > D

Gỵi ý ( )5 ( )2

3 5 7,178979876 0

  −  ≈ >

   

( ) 31

2 32 31 31

5 5 5

3 3⋅ 243 ;

= = = = =

C

( ) 24

5 25 24 24

2 2.2 2

5 5 25

= = = = =

D

31 24 31 31 24

5

5 2

243 25

243 25

 > >

⇒ > 

> 

3 (THTT 194) Số lớn hai số: 23100

32100 ĐS : 23100

> 32100

Gỵi ý 2 100 2 3100 2.2100 23100 42100 32100

2

  > ⇒  > ⇒ > ⇒ > >    

   

4 (THTT 194) Số lớn hai số: 510 + 610 710 ĐS : 510 + 610 < 710

Gỵi ý 10 10 3 3

5 6

1

7 7 7

+   +  <  +  = <        

        (THTT 194) Sè nµo lín h¬n hai sè:

2 1000

1 2+ + + +3 1000 vµ 22222 §S : 1 2+ + + +2 33 10001000 < 22222

Gỵi ý 22222 264000 >

2 1000 1000 1001 10010

Sè häc T×m sè d− phÐp chia sè a cho số b:

Định lí:Với hai số nguyên a b, b 0, tồn cặp số nguyên q r cho:

a = bq + r vµ ≤ r < |b|

* Từ định lí cho ta thuật tốn lập quy trình ấn phím tìm d− phép chia a cho b:

+ B−íc 1: Đa số a vào ô nhớ A , số b vào ô nhớ B

+ Bớc 2: Thực hiƯn phÐp chia A cho B {ghi nhí phÇn nguyªn q} + B−íc 3: Thùc hiƯn A - q × B = r

1 a) ViÕt mét quy tr×nh Ên phÝm t×m sè d− chia 18901969 cho 3041975 b) TÝnh sè d−

c) Viết quy trình ấn phím để tìm số d− chia 3523127 cho 2047 Tìm số d−

Gi¶i:

a) Quy tr×nh Ên phÝm: 18901969SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B

ANPHA A ÷ ANPHA B = (6,213716089)

SHIFT A - × B = (650119)

b) Số d là: r = 650119

c) Tơng tự quy trình câu a), ta đợc kết là: r = 240

2 (Thi giải Toán MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2002-2003)

Tìm thơng số d phép chia: 123456789 cho 23456 §S: q = 5263; r = 7861

3 (Thi giải Toán MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004) Tìm số d phÐp chia:

a) 987654321 cho 123456789 b) 815 cho 2004

Gỵi ý

b) Ta ph©n tÝch: 815 = 88.87

- Thùc phép chia 88 cho 2004 đợc số d r

1 = 1732 - Thùc hiÖn phÐp chia 87 cho 2004 đợc số d r

2 = 968

⇒ Sè d− phÐp chia 815 cho 2004 lµ sè d− phÐp chia 1732 x 968 cho 2004

⇒ Sè d− lµ: r = 1232

4 (Khu vùc 2006) Tìm d phép chia sau đây: a) 103103103 : 2006

b) 30419753041975 : 151975 c) 103200610320061032006 : 2010 §S : a) 721

b) 113850 c) 396

Gợi ý Để tìm d phép chia 103200610320061032006 : 2010 ta lµm nh− sau:

+ Thùc hiƯn phÐp chia: 1032006103 : 2010 đợc d r1 = 1753 + ViÕt 1753 tr−íc nhãm 200610 tiÕp theo vµ thùc hiƯn phép chia:

17532006103 : 2010 đợc d r2 = 220 + ViÕt 220 tr−íc nhãm 32006 vµ thùc hiƯn phép chia:

22032006 : 2010 đợc d r3 = 396

Sè d− r3 = 396 cịng lµ sè d phép chia đl cho ban đầu

5 (THTT K4) T×m sã d− cđa phÐp chia a = 2345678901234 cho b = 4567 §S : 26

6 (THTT K4) T×m sã d− cđa phÐp chia a = 2004376 cho b = 1975 §S : 246

Gợi ý Vì 376 = x 62 + nªn ta tÝnh: 20042≡ 841 (mod 1975);

20044≡ 8412≡ 231 (mod 1975) 200412≡ 2313≡ 416 (mod 1975); 200448≡ 4164≡ 536 (mod 1975)

2004 ≡ 1776 x 841 ≡ 516 (mod 1975)

200462 x 3≡ 5163≡ 1171 (mod 1975) 200462 x 6≡ 11712≡ 591 (mod 1975)

200462 x + 4≡ 591 x 231 ≡ 246 (mod 1975)

7 (THTT K5) T×m sã d− cđa phÐp chia 1112 cho 2001 vµ 736 cho 2003 §S : 748 ; 829

Gỵi ý 1112 = (116)2≡ 6762≡ 748 (mod 2001) 736 = (712)3≡ 3673≡ 829 (mod 2003)

8 (THTT K7) Chia 29052005 cho 2011 đợc só d r1 ; chia r1 cho 92 đợc số d r2 ; chia r2 cho 19 đợc số d r3

Tìm số d− cña phÐp chia 1996

2

3 cho r3 ĐS :

Gợi ý r1 = 1099 ; r2 = 87 ; r3 = 11

21996 = (24)499 = 16499≡ (mod 5) ; v× 16 ≡ (mod 5) → 21996 = 5k + 1996

2

3 =3 k+ =3.243 ; 243 22.11 243 1(mod11)k = + ⇒ ≡

3.243 (mod 11)k

⇒ ≡

2 T×m −íc chung lín nhÊt (UCLN) vµ béi chung nhá nhÊt (BCNN):

Bổ đề(cơ sở thuật toán Euclide)

NÕu a = bq + r th× (a, b) = (b, r)

Từ bổ đề trên, ta có thuật tốn Euclide nh− sau (với hai số nguyên d−ơng a, b): - Chia a cho b, ta đ−ợc th−ơng q1 d− r1: a = bq1 + r1

- Chia b cho r1, ta đợc thơng q2 d r2: b = r1q2 + r2 - Chia r1 cho r2, ta đợc thơng q3 vµ d− r3: r1 = r2q3 + r3

Tiếp tục trình trên, ta đ−ợc dly giảm: b, r1, r2, r3 dly dần đến 0, số tự nhiên nên ta se thực khơng q b phép chia Thuật tốn kết thúc sau số hữu hạn b−ớc bổ đề cho ta:

(a, b) = (b, r1) = rn

( ), xy x y T×m UCLN cđa hai sè:

a = 24614205, b = 10719433

Gi¶i:

* Thùc hiƯn máy thuật toán tìm số d phép chia số a cho số b, ta đợc: - Chia a cho b đợc: 24614205 = 10719433 x + 3175339 - Chia 10719433 cho 3175339 đợc: 10719433 = 3175339 x + 1193416 - Chia 3175339 cho 1193416 đợc: 3175339 = 1193416 x + 788507 - Chia 1193416 cho 788507 đợc: 1193416 = 788507 x + 404909 - Chia 788507 cho 404909 đợc: 788507 = 404909 x + 383598 - Chia 404909 cho 383598 đợc: 404909 = 383598 x + 21311 - Chia 383598 cho 21311 đợc: 383598 = 21311 x 18 +

⇒ UCLN(a, b) = 21311

2 (Mg T6/2007) T×m −CLN cđa 40096920 ; 9474372 51135438 ĐS : 678

Gi ý Do máy cài sẵn ch−ơng trình đơn giản phân số nên ta dùng ch−ơng trình để tìm Ước số chung lớn (ƯSCLN)

Ta cã : BA = ba (

b a

tèi giản) ƯSCLN : Aữ a

ấn 9474372 f 40096920 =; Ta đợc : 6987 f 29570

ƯSCLN 9474372 40096920 9474372 ữ 6987 = 1356

Ta đl biết : ƯSCLN(a ; b ; c ) = ƯSCLN(ƯSCLN( a ; b ) ; c ) Do cần tìm ƯSCLN(1356 ; 51135438 )

ấn 1356 f 51135438 =; Ta đợc : f 75421 KÕt ln : ¦SCLN cđa 9474372 ; 40096920 51135438 : 1356 ữ = 678

4 (HuÕ 2004-2005) Cho ba sè: A = 1193984; B = 157993 vµ C = 38743 T×m −íc sè chung lín nhÊt cđa ba sè A, B, C

Tìm bội số chung nhỏ ba số A, B, C với kết xác ĐS : D = ƯCLN(A, B) = 583 ; ƯCLN(A, B, C) = ƯCLN(D, C) = 53

( , ) 323569664

( , ) ×

= = A B =

E BCNN A B

UCLN A B

BCNN(A, B, C) = BCNN(E, C) = 236 529 424 384

3 Mét sè toán sử dụng tính tuần hoàn số d nâng lên luỹ thừa

Định lí: Đối với số tự nhiên a m tuỳ ý, c¸c sè d− cđa phÐp chia a, a2

, a3

, a4

cho m lỈp lại cách tuần hoàn (có thể không đầu) Chứng minh Ta lấy m + luỹ thừa đầu tiên:

a, a2

, a3

, a4

, am

, am+1

và xét số d− chúng chia cho m Vì chia cho m có số d− {0, 1, 2, , m - 2, m - 1}, mà lại có m + số, nên số phải có hai số có số d− chia cho m Chẳng hạn hai số ak

vµ ak + l

, l >

Khi đó:

ak

≡ ak + l

(mod m) (1)

Với n ≥ k nhân hai vế phép đồng d− (1) với an - k

đợc:

an

an + l

(mod m)

Điều chứng tỏ vị trí tơng ứng với ak số d lặp lại

tuần hoàn

Số l đợc gọi chu kỳ tuần hoàn số d chia luỹ thừa a cho m

Sau ta xét số dạng tập sử dụng định lí trên: Bài tốn: Xét luỹ thừa liên tiếp số 2:

21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29,

Tìm xem chia luỹ thừa cho nhận đợc loại số d ?

21 = 2, 22 = 4, 23 = ≡ (mod 5), 24 = 16 ≡ (mod 5) (1) Để tìm số d− chia 25 cho ta nhân hai vế phép đồng d− (1) với đ−ợc:

25 = 24.2 ≡ 1x2 ≡ (mod 5) 26 = 25.2 ≡ 2x2 ≡ (mod 5) 27 = 26.2 ≡ 4x2 ≡ (mod 5)

Ta viÕt kÕt qu¶ vào hai hàng: hàng ghi luỹ thừa, hàng dới ghi số d tơng ứng chia luỹ thõa nµy cho 5:

21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211

(2 1) (2 1) (2

⇒ hµng thø hai cho ta thÊy r»ng số d lặp lại cách tuần hoàn: sau sè

d− (2, 4, 3, 1) lại lặp lại theo thứ tự Tìm số d− chia 22005 cho

Gi¶i:

* áp dụng kết trên: ta có 2005 (mod 4) ⇒ sè d− chia 22005 cho Tìm chữ số cuối cđa sè:

3

2

Gi¶i:

- Xét luỹ thừa chia cho 10 (sử dụng MTCT để tính luỹ thừa 2, ta thực theo quy trình sau:

1 SHIFT STO A ∧ ANPHA A

ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + = = .)

ta đợc kết sau:

21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211

(2 6) (2 6) (2

⇒ hµng thø hai cho ta thấy số d lặp lại tuần hoàn chu kú sè (2,

4, 8, 6)

ta cã 34 = 81 ≡ (mod 4) ⇒ sè d− chia 34

2 cho 10 Vậy chữ số cuối số

3

2 T×m hai ch÷ sè ci cïng cđa sè:

A = 21999 + 22000 + 22001

Giải Xét luỹ thừa chia cho 100 (sử dụng MTBT để tính luỹ thừa 2, thực theo quy trình nh− 11), ta đ−ợc kết sau:

21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212

2 (4 16 32 64 28 56 12 24 48 96

213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224

92 84 68 36 72 44 88 76 52) (4 16

⇒ số d− lặp lại tuần hoàn chu kỳ 20 số (từ số đến số 52) Ta có:

1999 ≡ 19 (mod 20) ⇒ sè d− chia 21999 cho 100 lµ 88 2000 ≡ (mod 20) ⇒ sè d− chia 22000 cho 100 lµ 76 2001 ≡ (mod 20) ⇒ sè d− chia 22001 cho 100 lµ 52 88 + 76 + 52 = 216 ≡ 16 (mod 100)

⇒ sè d− cña A = 21999 + 22000 + 22001 chia cho 100 lµ 16 hay hai chữ số cuối số A 16

3 Chøng minh r»ng ( )8 2004

14 +10 chia hÕt cho 11

Gi¶i

- Ta cã: 14 ≡ (mod 11) ⇒ ( )8 2004

14 ≡ ( )38 2004 (mod 11)

Do 38 = 6561 ≡ (mod 11), nªn ( )8 2004

3 = 65612004≡ 52004 (mod 11)

Xét tuần hoàn số d chia luü thõa cña cho 11:

51 52 53 54 55 56 57 58

(5 1) (5 1)

⇒ 52004 = (54)501≡ 1501 (mod 11) ≡ 1 (mod 11) (1) Mặt khác: 10 10 (mod 11) (2)

Cộng vế với vế phép đồng d− (1) (2) có: 8.2004

Gi¶i:

1) Tr−íc hÕt t×m sè d− cđa phÐp chia 222555 cho 7:

- V× 222 = x 31 + 5, nªn 222 ≡ 5 (mod 7) ⇒ 222555 ≡ 5555 (mod 7) - XÐt tuần hoàn số d chia luỹ thõa cña cho 7:

51 52 53 54 55 56 57 58

(5 1) (5

⇒ 5555 = 56.92 + 3 = (56)92.53 ≡ 53≡ (mod 7) (1) VËy sè d− chia 222555

cho

2) Tơng tự, tìm sè d− cña phÐp chia 555222 cho 7:

- Vì 555 = x 79 + 2, nên 555 ≡ 2 (mod 7) ⇒ 555222 ≡ 2222 (mod 7) - Xét tuần hoàn sè d− chia luü thõa cña cho 7:

21 22 23 24 25 26 27 28

(2 4) (2

⇒ 2222 = 23.74 = (23)74 ≡ 174≡ (mod 7) (2) VËy sè d− chia 555222 cho lµ

Cộng vế với vế phép đồng d− (1) (2), ta đ−ợc: 222555 + 555222≡ + ≡ (mod 7) Vậy số 222555 + 555222 chia hết cho

5 (Huế 2005-2006) Tìm chữ số hàng đơn vị số: 2006

103 = N Gỵi ý Ta cã:

1

3

4

5

103 3(mod10); 103 9(mod10); 103 27 7(mod10); 103 21 1(mod10);

103 3(mod10);

≡ ≡

≡ × = ≡

≡ ≡

≡

Nh− vËy c¸c l thõa cđa 103 cã chữ số tận liên tiếp là: 3, 9, 7, (chu kú 4)

2006≡2(mod 4), nên 1032006 có chữ số hàng đơn vị Số nguyên tố:

Mọi số nguyên d−ơng n, n > 1, đ−ợc viết cách (khơng tính đến việc xếp nhân tử) d−ới dạng:

1 2 ,

k

e e e

k

n= p p p

víi k, ei lµ sè tù nhiên pi số nguyên tố thoả mln: < p1 < p2 < < pk

Khi đó, dạng phân tích đ−ợc gọi dạng phân tích tắc số n Tìm −ớc nguyên tố nhỏ lớn số:

A = 2152 + 3142 Gỵi ý

- TÝnh máy, ta có: A = 144821

- Đa giá trị số A vào ô nhớ A : 144821 SHIFT STO A

- Lấy giá trị ô nhớ A lần lợt chia cho số nguyên tè tõ sè 2: ANPHA A ÷ = (72410,5)

ANPHA A ÷ = (48273,66667)

tiếp tục chia cho số nguyên tố: 5, 7, 11, 13, ,91: ta nhận đ−ợc A không chia hết cho số Lấy A chia cho 97, ta đ−ợc:

ANPHA A ÷ 97 = (1493)

VËy: 144821 = 97 x 1493

Nhận xét: Nếu số n hợp số phải có −ớc số nguyên tố nhỏ n Vậy để kiểm tra xem 1493 có hợp số hay khơng ta cần kiểm tra xem 1493 có chia hết cho số nguyên tố nhỏ 1493<40hay không

- Thực máy ta có kết 1493 không chia hết cho số nguyên tố nhỏ 40 1493 số nguyên tố

Vậy A = 2152 + 3142 cã −íc sè nguyªn tè nhá 97, lớn 1493 Tìm ớc nguyên tố nhỏ lớn sè:

A = 10001

§S : A cã ớc số nguyên tố nhỏ 73, lớn 137 (Huế, 2006-2007) Phân tích thành thừa số nguyên tố số sau:

§S : 252633033 = 33 x 532 x 3331 8863701824 = 26 x 101 x 11712 (HuÕ, 2005-2006)

a) Hly kiểm tra số F =11237 có phải số ngun tố khơng Nêu qui trình bấm phím để biết số F số nguyên tố hay khụng

ĐS : F: số nguyên tố 11237 = 17*661

Gợi ý F số lẻ, nên ớc số số chẵn F số nguyên tố ớc số nhỏ F =106.0047169

Quy tr×nh:

+ gán cho biến đếm D, thực thao tác:

+ ALPHA D, ALPHA =, ALPHA D+2, ALPHA : , 11237 ữALPHA D, bấm = liên tiếp (máy 570ES bấm CALC sau bấm =) Nếu từ 105 phép chia khơng hết, kết luận F s nguyờn t

b) Tìm ớc số nguyên tè cña sè: 5

1897 2981 3523

= + +

M

Gỵi ý UCLN(1897, 2981)=271 Kiểm tra thấy 271 số nguyên tố 271 ớc 3523 Suy ra:

( )

5 5

271 11 13

= + +

M

Bấm máy để tính 5

7 11 13 549151

= + + =

A

+ gán cho biến đếm D, thực thao tác:

+ ALPHA D, ALPHA =, ALPHA D+2, ALPHA : , 549151 ữALPHA D, bấm = liên tiếp , phÐp chia ch½n víi D = 17 Suy ra:

17 32303 = ×

A

B»ng thuËt giải kiểm tra số nguyên tố nh trên, ta biết 32303 số nguyên tố Vậy ớc nguyên tố cđa M lµ: 17; 271; 32303

5 Sè N = 27.35.53 có ớc số ? Giải:

- Sè c¸c −íc sè cđa N chØ chøa thõa sè: lµ 7, lµ 5, lµ - Sè c¸c −íc sè cđa N chøa hai thõa sè nguyªn tè:

Định lí (Xác định số −ớc số số tự nhiên n):

Cho sè tù nhiªn n, n > 1, giả sử phân tích n thừa số nguyên tố ta đợc:

1 = e e ek

k

n p p p

víi k, ei lµ sè tù nhiên pi số nguyên tố thoả mln: < p1 < p2 < < pk

Khi số −ớc số n đ−ợc tính theo cơng thức: τ (n) = (e1 + 1) (e2 + 1) (ek + 1) (Thái Nguyên 2003-2004)

Hly tìm số ớc dơng số A = 6227020800 Giải:

- Phân tích A thừa số nguyên tố, ta đợc: A = 210.35.52.7.11.13

áp dụng định lí ta có số −ớc d−ơng A là: τ (A) = 11.6.3.2.2.2 = 1584

7 (Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Phú Thọ tham gia kì thi khu vực năm 2004): Có số tự nhiên −ớc của:

N = 1890 x 1930 x 1945 x 1954 x 1969 x 1975 x 2004 Giải

- Phân tích N thừa số nguyên tố, ta đợc:

N = 25 x 34 x 55 x x 11 x 79 x 167 x 179 x 193 x 389 x 977 áp dụng định lí 2, ta có số −ớc d−ơng N là:

τ(N) = x x x x x x x x x x = 46080 T×m sè tự nhiên theo điều kiện cho trớc:

1 Tìm số lớn nhất, số nhỏ số tự nhiên dạng: 4x y z

chia hÕt cho Gi¶i:

lần l−ợt thử với z = 9; 8; 7; 6; đến z = 5, ta có: 1929354 ữ = (275622)

VËy sè lín nhÊt d¹ng 4x y z chia hÕt cho lµ 1929354, thơng 275622

- Số nhỏ dạng 4x y z chia hÕt cho sÏ phải có dạng: 10203 4z với z {0, 1, 2, ,8, 9}

lần l−ợt thử với z = 0; 1; 2; đến z = 3, ta có: 1020334 ữ = (145762)

VËy sè nhá nhÊt d¹ng 4x y z chia hÕt cho 1020334, thơng 145762

2 Tìm số lớn nhất, số nhỏ số tự nhiên d¹ng: 4x y z chia hÕt cho 13

ĐS: - Số lớn dạng 4x y z chia hết cho 13 1929304 - Số nhỏ dạng 4x y z chia hết cho 13 1020344 (Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Phú Thọ tham gia kì thi khu vực năm 2004) Tìm tất số N dạng:

1235679 =

N x y chia hÕt cho 24 H.DÉn:

- V× N 24 ⇒ N ; N ⇒ (37 + x + y) ; x y4

⇒ y chØ cã thĨ lµ ; ; ; ;

Dïng m¸y tÝnh, thư c¸c giá trị x thoả mln: (x + y + 1) vµ x y4 8, ta cã:

N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840

4 Tìm số bình phơng có tận ba chữ số Có hay không số bình phơng có tận bốn chữ số ?

Gợi ý

- Chữ số cuối x2 chữ số cuối x Tính máy bình phơng sè:

ta chØ cã c¸c sè:

12, 62, 38, 88 bình phơng có tận hai chữ số

- Tính máy bình phơng số:

12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912; 62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962; 38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938 88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988 ta đợc: 462, 962, 38, 538 bình phơng có tận 444

* T−ơng tự cách làm trên, ta có kết luận: khơng có N để N2 kết thúc bi 4444

5 Tìm tất số cã ch÷ sè thol mln:

1) Số tạo thành ba chữ số cuối lớn số tạo thành ba chữ số đầu đơn vị

2) Là số phơng Gợi ý

- Gọi số cần tìm là: n=a a a a a a1

- Đặt x=a a a1 Khi Êy a a a4 = +x vµ n = 1000x + x + = 1001x + = y2 hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x

VËy hai ba số nguyên tố 7, 11, 13 phải ớc hai thừa số vế trái số lại phải ớc thừa số lại cđa vÕ tr¸i

Dùng máy tính, xét khả đến đáp số:

n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716

6 Tìm tất số tự nhiên x thoả mln: 10000 < x < 15000 chia x cho 393 nh− 655 có số d− 210

Gỵi ý

- Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: x = 393.q1 + 210 ⇒ x -210 chia hÕt cho 393 x = 655.q2 + 210 ⇒ x -210 chia hÕt cho 655 ⇒ x -210 chia hÕt cho BCNN (393 ; 655) = 1965

- Tõ gi¶ thiÕt 10000 < x < 15000 ⇒ 10000 < 1965k + 210 < 15000 hay 9790 < 1965k < 14790 ⇒ ≤ k <

Tính máy:

Với k = 5, ta cã: x = 1965.5 + 210 = 10035 Víi k = 6, ta cã: x = 1965.6 + 210 = 12000 Víi k = 7, ta cã: x = 1965.7 + 210 = 13965 Vậy số phải tìm lµ: 10035, 12000, 13965

7 Tìm chữ số x, y, z để 579xyz chia hết cho 5, Giải

- Vì số 5, 7, đôi nguyên tố nên ta phải tìm chữ số x, y, z cho 579xyz chia hết cho 5.7.9 = 315

Ta cã 579xyz = 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz

⇒ 30 + xyz chia hÕt cho 315 V× 30 30 + xyz < 1029 nên (Dùng máy tính tìm bội 315 khoảng (30 ; 1029):

- Nếu 30 + xyz = 315 xyz = 315 - 30 = 285 - Nếu 30 + xyz = 630 xyz = 630 - 30 = 600 - Nếu 30 + xyz = 945 xyz = 945 - 30 = 915 Vậy ta có đáp số sau:

x y z 0 (Thi Quèc tế IMO 1962):

Tìm số nguyên dơng nhỏ có tính chất sau: 1) Viết dới dạng thập phân a cã tËn cïng lµ sè

2) Nếu bỏ chữ số cuối đặt chữ số lên tr−ớc chữ số lại đ−ợc số gấp lần chữ số ban đầu

Gi¶i

- Từ điều kiện 1) số dạng: a a1 6an

- Tõ ®iỊu kiƯn 2), ta cã: 6a a1 an = 4.a a1 6an (*) - Đặt a=a a1 an, th×: a a1 6an = 10a +

6a a1 an = 6.10n + a - Khi (*) trở thành:

6.10n + a = 4.(10a + 6) 2.(10n - 4) = 13a (**) Đẳng thøc (**) chøng tá vÕ tr¸i chia hÕt cho 13

Vì (2 ; 13) = nên: 10n - chia hÕt cho 13

Bài toán quy về: Tìm số tự nhiên n nhỏ để (10n

- 4) chia hết cho 13, tìm số a số cần tìm có dạng: 10a +

Thử lần l−ợt máy giá trị n = 1; 2; (10n - 4) lần l−ợt là: 6, 96, 996, 9996, 99996, số chia hết cho 13 là: 99996 Khi a = 15384 ⇒ Số cần tỡm l: 153846

9 Tìm số tự nhiên n cho:

a) 2n + chia hÕt cho n + b) n + chia hÕt cho - n Gợi ý

a) Lập công thức (2n + 7) : (n + 1) máy thử lần lợt n = 0, 1, 2, ta đợc n = n = th× 2n + chia hÕt cho n +

Chứng minh với n ≥ 5, ta có 2n + khơng chia hết cho n + 1, thật vậy: (2n + 7) (n + 1) ⇒ [(2n + 7) - 2(n + 1)] (n + 1) ⇒ (n + 1) ⇒ n ≤

Vậy số n cần tìm b) Tơng tự ta có: n = n =

10 Tìm số tự nhiên n nhỏ cho n3 số có chữ số đầu chữ số cuối s

Giải: Nhận xét:

1) Để n3 có tận 11 n có tận số Thử máy số: 11, 21, 31, 81, 91

2) Để n3 có tận 111 n có phải tận số 471 (Thử máy với số: 171, 271, 371, 871, 971 ) 3) Để n3 có tận 1111 n phải có tận số 8471 (Thử máy với số: 1471, 2471, 3471, 8471, 9471 ) - Giả sử m số chữ số đứng số 111 1111:

+ NÕu m = 3k, k ∈Z+, th×:

111 x 103k+4 < n3 = 111 1111 < 112 x 103k+4

(

4

3

111000 000000 111 1111 112000 000000

=

< <

m k

k k

)

⇒ 3 3 3

1110.10k+ < n = 111 1111< 1120.10k+ Tính máy:

10,35398805 x 10k+1 < n < 10,3849882 x 10k+1

Do đó, với k ≥ Cho k = ta đ−ợc n bắt đầu số 103, nghĩa là: n = 103 8471

⇒ Số nhỏ số là: n = 1038471

+ Nếu m = 3k + m = 3k + 2, ta đ−ợc số v−ợt số 1038471

Kết luận: Số nhỏ thol mln yêu cầu toán là: n = 1038471 đó: (tính kết hợp máy giấy): n3

= 1119909991289361111

11 a) Tìm số tự nhiên n nhỏ mà n2 bắt đầu số 19 kết thúc số 89 b) Tìm số tự nhiên n cho: n2 = 2525xxxxxx89 (trong xxxxxx số khỏc nhau)

Giải:

a) Trớc hết ta tìm sè n2 cã tËn cïng lµ 89:

- Vì n2 có tận nên n có tận

- Thử máy số: 13, 23, , 93 ; 17, 27, , 97 ta tìm đ−ợc: để n2 có tận 89 n phải có số tận số sau:

17, 33, 67, 83 (*)

* B©y ta tìm số n2 bắt đầu số 19: - Để n2 bắt đầu số 19 phải có dạng:

19 x 10k n2 < 20 x 10k ⇔ 19.10k ≤ < 20.10k

+ NÕu k = 2m th× ta cã (1), trë thµnh: 19.10m ≤ <n 20.10m

⇔ 4,3588989.10m≤ n < 4,472135955.10m (2) Trong (2) ta cho m = 0, 1, 2, (tÝnh máy):

ta đợc n là: 44, 436, 437, 438, 439, , 447

+ NÕu k = 2m ta có (1), trở thành:

190.10m ≤ <n 200.10m

⇔ 13,78404875.10m≤ n < 14,14213562.10m (3) Trong (3) ta cho m = 0, 1, 2, (tính máy):

ta đợc n cã thĨ lµ: 14, 138, 139, , 141 1379, 1380, 1381, , 1414

Tóm lại để n bắt đầu số 19 n là:

14, 44, 138, 139, , 141, 436, 437, , 447, 1379, 1380, , 1414 (**) Từ (*) (**) ta nhận thấy số có số 1383 thoả mln toán

b) Ta cã: 2525 x 108≤ x2 < 2526 x 108

⇔ 50,24937811 x 104≤ x < 50,25932749 x 104 VËy : 502493 < x < 502593

Số x tận phải là: 17, 33, 67, 83 (theo câu a), số thoả mln là:

502517, 502533, 502567, 502583 12 Với giá trị tự nhiên n thì:

1,01n - 1 < (n - 1) 1,01n > n

Gi¶i:

- Ta cã:

1,01512 ≈ 163,133 < 512 1,011024≈ 26612,56 > 1024 VËy: 512 < n < 1024

Thu hẹp khoảng cách chứa n ph−ơng pháp chia đơi: - Chia đơi đoạn [512 ; 1024], ta có:

521 1024

768

1,01 1,01 2083,603 768

+

VËy l¹i cã: 512 < n < 768

Sau số b−ớc chia đôi nh− đến: 650 < n < 652

Cuèi cïng ta cã: 1,01651 = 650,45 < 651 1,01652 = 656,95 > 652 n = 652

Ta hoàn toàn giải toán quy trình MTBT:

(Tht to¸n: XÐt hiƯu 1,01A - A , g¸n cho A giá trị tự nhiên: 0, 1, 2, dừng lại hiệu chuyển từ (-) sang (+))

- Gán cho ô nhớ A giá trị tự nhiên đầu tiên:

SHIFT STO A

- LËp c«ng thøc tÝnh hiƯu 1,01A - A gán giá trị ô nhớ số tù nhiªn kÕ tiÕp:

1,01 ∧ ANPHA A - ANPHA A

: ANPHA A ANPHA = ANPHA A +

- LỈp lại công thức trên: = =

Bài to¸n kÕt thóc chun tõ n = 651 sang n = 652 13 (Khu vùc 2005)

a) Chỉ với chữ số 1, 2, hỏi viết đ−ợc nhiều số tự nhiên khác mà số có ba chữ số ? Hly viết tất số

§S : 27 sè

b) Trong tất n số tự nhiên khác mà số có bảy chữ số, đ−ợc viết từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, có m số chia hết cho k số chia hết cho Hly tính số n, m, k

§S : n = 77

= 823543 ; m = 76

.3 = 352947 ; k = 76

.1 = 117649 14 (Khu vùc 2006)

a) ab cdef5 =2712960 b) a b cdef0 =600400 c) ab c bac5 =761436

Gỵi ý

a) Từ ab cdef5 =2712960 suy ab5 −ớc 2712960 Theo giả thiết a, b đơn vị a khác nên ab5 số có dạng 105, 215, 325, 435, 545, 655, 765, 875, 985 125, 235, 345, 455, 565, 675, 785, 895 (17 số) Chia (trên máy) 2712960 lần l−ợt cho 17 số ta đ−ợc nhất:

785 x 3456 = 2712960 VËy a = 7, b = 8, c = 3, d = 4, e = 5, f =

b) Tơng tự nh câu a) a b cdef0 =600400 nên a b0 ớc 600400 Theo gi¶ thiÕt a b0 chØ cã thĨ số có dạng: 102, 203, 304, 405, 506, 607, 708, 809 hc 201, 302, 403, 504, 605, 706, 807, 908 (16 số) Chia (trên máy) lần lợt 600400 cho 16 số ta đợc kết quả:

304 x 1975 = 600400

VËy a = 3, b = 4, c = 1, d = 9, e = 7, f =

c) Từ kết phép tính ab c bac5 =761436, ta thấy chữ số c (vì chữ số đơn vị tích 6):

+ XÐt tr−êng hỵp c = 4:

bac −ớc 461436, a, b đơn vị a khác nên bac nằm tập hợp số sau: 124, 234, 344, 454, 564, 674, 784, 894 214, 324, 434, 544, 654, 764, 874, 984 (16 số) Lần l−ợt chia 761436 cho số ta đ−ợc : 234 x 3254 = 761436 Vậy a = 3, b = 2, c =

+ XÐt tr−êng hỵp c = 6:

ba −ớc 461436, a, b đơn vị a khác nên ba6 nằm tập hợp số sau: 126, 236, 346, 456, 566, 676, 786, 896 216, 326, 436, 546, 656, 766, 876, 986 (16 số) Lần l−ợt chia 761436 cho số ta thấy chúng −ớc 761436

Tìm số tự nhiên n (1000 < n < 2000) cho với số 54756 15

n

a = + n

cũng số tự nhiên

ĐS : n = 1428 ; n = 1539 ; n = 1995 Gợi ý

Từ giả thiết suy đợc: 265 ≤ an≤ 291 Sư dơng quy tr×nh:

265 SHIFT STO A ; lËp c«ng thøc: 54756 : : 15

A

n A A

− = = + , n

là số tự nhiên ta đợc giá trị A tơng øng 16 (HuÕ 2006-2007)

Tìm số tự nhiên n (2000 < n < 60000) cho với số 354756 15

n

a = + n số tự nhiên Nêu quy trình bấm phím để có kết

Gi¶i

Gäi 54756 15

n n n

X = + n⇒X =a , 43 < Xn < 98 Quy trình bấm phím:

3

43 SHIFT STO X ; ANPHA X ANPHA = ANPHA X +

ANPHA : ANPHA Y ANPHA = ( ANPHA X SHIFT x - 54756 ) 15

ữ

ấm phím = (570 MS) CALC = (570 ES), kết quả: tim đợc số tự nhiên thoả mln điều kiện toán là:

5193 ; 15516 ; 31779 ; 55332 17 (Mg T6/2007) T×m hai số tự nhiên nhỏ thoả mln:

( )4

*****

ag =a g

trong ***** chữ số không ấn định điều kiện Gợi ý

( )4

*****

ag =a g gồm chữ số nên ta có:

1 000 000 < ( )ag =a*****g < 999 999 ⇒ 31<ag<57

31 SHIFT STO A ; ANPHA A ANPHA = ANPHA A + ANPHA : ANPHA A ^ LỈp = =

Ta thấy A = 45 46 thoả mln điều kiện toán Một số dạng toán khác:

6.1 Số có đuôi bất biến với luỹ thõa:

1) Luỹ thừa bậc số có chữ số tận ; ; (và số ấy) có chữ số tận ; ; (có bất biến)

2) Luỹ thừa bậc số có chữ số tận 25 76 (và số ấy) có chữ số tận 25 76 (có bất biến)

3) Luỹ thừa bậc số có chữ số tận 376 625 (và số ấy) có chữ số tận 376 625 (có bất biến)

4) Luỹ thừa bậc số có chữ số tận 9376 0625 (và số ấy) có chữ số tận 9376 0625 (có bất biến)

1 T×m sè d− chia sè 133762005!

cho 2000 (TH & TT T3/ 317)

Gi¶i

- Giả sử A, B hai số tự nhiên có tận 376, thì:

A.B = (1000.a + 376)(1000.b + 376) = 376000(a + b) + 106a.b + 3762 = 2000t + 1376; víi a, b, t ∈ N

⇒ A.B chia 2000 cã sè d− lµ 1376

Với k > chia 13376k cho 2000 (thực (k - 1) lần phép nhân số có tận 376 chia cho 2000) đ−ợc d− 1376 Đề ứng với k = 2005!

2 Tìm chữ số tận số: A = 21999

+ 22000

+ 22001 H.DÉn

- Ta cã: 21999

+ 22000

+ 22001

= 21999

(1 + + 22

) = x 29 x 210

x 21980 = x 29

x 210 x (220

)99 - Ta cã (dïng m¸y): 29

220 = 1048576

NhËn xÐt: sè cã chữ số tận 76, luỹ thừa bậc có chữ số tận 76 VËy (220)99 cịng cã sè tËn cïng lµ 76

⇒ 21999

+ 22000

+ 22001

= x 512 x 1024 x ( 76) = 16 VËy ch÷ sè cuối A 16

(Xem cách giải khác 12) Tìm bốn chữ số tận cïng cđa 51994

Gi¶i

- Ta cã: 54

= 625

- Nhận thấy số có tận 625 luỹ thừa bậc có tận 625 - Do đó:

51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(625)k = 25( 625) = 5625 VËy ch÷ sè tËn cïng cđa sè 51994

lµ 5625 6.2 Khai triển nhị thức Newton toán chia hÕt: -Ta cã khai triÓn:

( ) 1 2 1

− − − −

+ n = n + n + n + + n n + n

n n n

a b a C a b C a b C ab b

1 ( 1) 2 ( 1)( 2) 3 ( 1) 2

1.2 1.2.3 1.2

n n n n n n n n n n n n n n

a na −b − a −b − − a −b − a b − nab − b

= + + + + + + +

- Khi chøng minh vÒ tÝnh chia hết luỹ thừa, cần nhớ số kết qu¶ sau: 1) an - bn chia hÕt cho a - b (a ≠ b)

2) a2n +

+ b2n +

chia hÕt cho a + b (a ≠ -b)

3) (a + b)n = BS a + bn (BS a: bội số a) Đặc biệt:

(a + 1)n

= BS a + (a - 1)2n

= BS a + (a - 1)2n + 1 = BS a - T×m sè d− chia 2100 cho:

a) b) c) 125 Giải:

a) Luỹ thừa sát víi mét béi cđa lµ 23 = = (9 - 1)

VËy sè d− chia cho lµ

b) L thõa cđa s¸t víi mét béi cđa 25 lµ 210 = 1024 = (BS 25 - 1) - Ta cã: 2100

= (210 )10

= (BS 25 - 1)10

= BS 25 + VËy sè d− chia 2100

cho 25 c) Dùng công thức Newton:

100 ( )50 50 49 50.49 2

2 5 50.5 50.5

2

= − = − + + − +

Để ý 48 số hạng đầu chứa thừa số với số mũ lớn nên chia hết cho 125, hai số hạng chia hết cho 125, số hạng cuối

VËy 2100 = BS 125 + ⇒ Sè d− cña 2100 chia cho 125

Tổng quát: Nếu số tự nhiên n không chia hết cho chia n100 cho 125 ta

đợc số d

5 Tìm ba chữ số tận 2100 H.DÉn: - Ta t×m d− phÐp chia 2100

cho 1000 - Tr−íc hÕt t×m sè d− cđa phÐp chia 2100

cho 125 Theo bµi 34: 2100 = BS 125 + 1, mµ 2100

số chẵn, nên ba chữ số tận (dùng máy tính để thử):

126, 376, 626 hc 876

- HiĨn nhiªn 2100 chia hÕt cho nªn ba chữ số tận phải chia hết cho Bốn số có 376 thoả mln điều kiện Vậy ba chữ số tận 2100

376

Tổng quát: Nếu n số tự nhiên chẵn không chia hết cho ba chữ số tận n100 376

6 Tìm ba chữ số tận 3100

Giải: - Ta phân tích nh sau: 100 ( )50 50 50.49 2

3 10 1 10 .10 50.10 1 2

= − = − + − +

= BS 1000 + 500 - 500 + = BS 1000 + VËy 3100

tËn cïng lµ 001

Tổng quát: Nếu n số tự nhiên lẻ không chia hết cho ba chữ số tận cïng cđa n100 lµ 001

896 = 496 * * 290 961 H.DÉn:

- Ta cã: (896 - 1)

(89 - 1) ⇒ (896 - 1) 11 (896 - 1)

(893 + 1) ⇒ (896 - 1) (89 + 1) ⇒ (896 - 1) - Đặt A = (896 - 1) = 496 x y 290 960 Ta cã A chia hết cho 11 Ta có tổng chữ số hàng lẻ (từ phải sang trái) A bằng: 36 + y ; tổng chữ số hàng ch½n cđa A b»ng: 18 + x

A chia hÕt cho nªn: 54 + x + y ⇒ x + y ∈ {0 ; ; 18}

A chia hÕt cho 11 nªn: [(36 + y) - (18 + x)] 11 ⇒ x - y ∈ {-4 ; 7} + NÕu x + y = x = y = (loại)

+ Nếu x + y = 18 th× x = y = (lo¹i)

+ NÕu x + y = : chó ý r»ng (x + y) vµ (x - y) chẵn lẻ nên:

x - y = ⇒ x = ; y =

VËy 896 = 496 981 290 961

7 Tìm chữ số thứ k (k N) số thập phân vô hạn tuần hoàn

Định lí: (Dấu hiệu nhận biết phân số đổi đ−ợc số thập phân hữu hạn)

Điều kiện cần đủ để phân số tối giản viết đ−ợc thành số thập phân hữu hạn mẫu số khơng chứa thừa số nguyên tố

* Từ định lí ta rút nhận xét sau: Nếu phân số tối giản a

b cã mÉu b không chứa thừa số nguyên tố 2, thừa số nguyên tố 2, chứa thừa số nguyên tố khác số d trình chia phải nhỏ b nên số d c¸c sè trong:

{1; 2; 3; ; b-1}

Từ để tìm chữ số thứ k sau dấu phảy số thập phân vô hạn tuần hoàn, ta cần xác định đ−ợc chu kỳ lặp lại chữ số th−ơng, từ dễ dàng suy đ−ợc chữ số cần tìm

1 (THTT K12) Viết phân số sau d−ới dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn (dùng MTCT để tìm chu kì số thập phân vvo hạn tuần hoàn):

17 34 64 85 88 91 92

; ; ; ; ; ;

23 29 41 47 69 89 97

Gỵi ý

- Tìm chu kì tuần hoàn 1723:

Lần : 17 23 (0,739130434)ữ = (d 17, viết 17 0,73913043423≈ )

LÇn : 17 EXP 23 (739130434,8) 23 739130434 23 (18)ữ = ì ì =

(d− 18, viÕt 17 0,73913043423≈ )

LÇn : 18 EXP 23 (782608695,7) 23 782608695 23 (15)ữ = ì ì =

(d 15, viÕt 17 0,73913043478260869523≈ )

LÇn : 15 EXP 23 (652173913,) 23 652173913 23 (1)ữ = ì − × = (d− 1, viÕt 17 0,73913043478260869565217391323≈ )

LÇn : EXP 23 (43478260,87) 23 43478260 23 (20)ữ = ì ì =

(d 20, viÕt 17 0,73913043478260869565217391304347826023≈ )

LÇn : 20 EXP 23 (869565217,4) 23 869565217 23 (9)÷ = × − × = (d− 9, viÕt:

17 0,739130434782608695652173913043478260869565217

23 )

chu kì tuần hoàn 20 số: 73913043478260869565

Cách giải thích khác:

17 = 0,739130434 x 23 + 0,000000018→ số d đầu tiên: 739130434

+ Lấy 18 chia cho 23:

18 = 0,782608695 x 23 + 0,000000015 → sè d− tiÕp theo lµ: 782608695

+ LÊy 15 chia cho 23:

15 = 0,652173913 x 23 + 0,000000001→ sè d− tiÕp theo lµ: 652173913

(đến ta đl phát chữ số đ−ợc lặp lại) * Làm t−ơng tự cho số lại ĐS :

64 1,(56097)

41= ;

34 1,(1724137931034482758620689655) 29 =

85 1,(8085106382978723404255319148936170212765957446) 47=

88 1,(2753623188405797101449) 69=

91 1,(02247191011235955056179775280898876404494282) 89=

92 0,(948453608247422680412371134020618556701030927835 97

0515463917525773195876288659793814432989609072164)

=

2 Tìm chữ số thập phân thứ 2005 sau dÊu ph¶y cđa sè:

) ; ) ; ) 10; )

37 41 51 49

= = = =

a A b B c C d C

§S: a) Sè 0,027 027 (027) 37

= =

A tuần hoàn chu kỳ chữ số 027

Vì 2005 (mod 3) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy A là:

b) Sè 0,0243902439(02439) 41

= =

B tuần hoàn chu kỳ chữ số 02439

Vì 2005 (mod 5) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy B là:

c) Sè 10 0,(1960784313725490) 51

= =

C TH chu kú 16 ch÷ sè:

1960784313725490

d) Sè 0,(020408163265306122448979591836734693877551) 49

= =

D

tuần hoàn chu kỳ 42 chữ số :

020408163265306122448979591836734693877551

V× 2005 ≡ 31 (mod 42) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy D là:

3 (Huế 2006-2007) Tìm chữ số thứ 112007 sau dấu phảy số thập phân vô hạn

tuần hoàn số hữu tỉ 1000029 Gợi ý

10000 344,(8275862068965517241379310344)

29 = : tuần hoàn chu kì 28 số

( )334

6 2007 334

11 1(mod 28) ;11≡ = 11 11 11 (mod 28) 15 (mod 28)≡

Vậy chữ số thập phân thứ 112007 là:

* Chuyển số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số: Ta có cách làm nh sau:

* Dạng 1: Ví dụ A=0.123123123 Công thøc : A=10mp 1 − Ta cã: p =123, m = (123 gåm sè)

¸p dơng: A=101233 1 999=123 =33341 −

*D¹ng 2: VÝ dơ A = 1.03243636363636 CT :

( )

10n 10 10n m

q p

A k= + +

−

Ta cã: k = 1, q = 0324 = 324, n = (0324 gåm sè), p = 36, m = ( sè 36) ( )

10n 10 10n m

q p

A k= + +

−

¸p dơng:

( )

4

324 36 7098

1 + =

10 10 10 6875

A= +

−

4 (H 2005-2006) Cho sè h÷u tØ biƠu diƠn d−íi dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn E = 1,23507507507507507

Hly biến đổi E thành dạng phân số tối giản ĐS : 41128 10282

33300 8325

= =

Các toán đa thức Tính giá trị biểu thức:

Bài 1: Cho đa thức P(x) = x15

-2x12

+ 4x7

- 7x4

+ 2x3

- 5x2

+ x - TÝnh P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P(

1 4)

H.DÉn:

- LËp công thức P(x)

- Tính giá trị đa thức điểm: dùng chức CALC

- KÕt qu¶: P(1,25) = ; P(4,327) = P(-5,1289) = ; P(

1

4 =

Bài 2: Tính giá trị cđa c¸c biĨu thøc sau: P(x) = + x + x2

+ x3

+ + x8

+ x9

t¹i x = 0,53241 Q(x) = x2

+ x3

+ + x8

+ x9

+ x10

t¹i x = -2,1345

H.DÉn:

- áp dụng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) Ta có:

P(x) = + x + x2

+ x3

+ + x8

+ x9

= ( 1)(1 9) 10

1

− + + + + = −

− −

x x x x x

x x

Từ tính P(0,53241) = T−ơng tự:

Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 + + x8) = 1

− −

x x

x Từ tính Q(-2,1345) =

Bài 3: Cho đa thức P(x) = x5

+ ax4

+ bx3

+ cx2

+ dx + e BiÕt P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 TÝnh P(6); P(7); P(8); P(9) = ?

H.Dẫn:

Bớc 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) cho: + BËc H(x) nhá h¬n bËc cđa P(x)

+ BËc cđa H(x) nhá h¬n sè giá trị đl biết P(x), bậc H(x) nhỏ 5, nghĩa là:

Bc 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức

lµ:

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

16 4

81 27 9

256 64 16 16

625 125 25 25

+ + + + + = 

 + + + + + =

 + + + + + =



 + + + + + =



+ + + + + =



a b c d e

a b c d e

a b c d e

a b c d e

a b c d e

⇒ a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1

VËy ta cã: Q(x) = P(x) - x2

V× x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = lµ nghiƯm cđa Q(x), mµ bËc cđa Q(x) b»ng cã hƯ sè cđa x5 b»ng nªn:

Q(x) = P(x) - x2

= (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) ⇒ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2

Từ tính đ−ợc: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Bài 4: Cho đa thức P(x) = x4

+ ax3

+ bx2

+ cx + d BiÕt P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11 TÝnh P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ?

H.DÉn:

- Giải t−ơng tự 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3) Từ tính đ−ợc: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Bài 5: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) =

6; P(4) = 10 TÝnh (5) (6) ? (7)

−

= P P =

A

P

H.Dẫn:

- Giải tơng tù bµi 4, ta cã: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + ( 1)

+ x x

Từ tính đ−ợc: (5) (6)

(7)

−

= P P =

A

P

Bµi 6: Cho ®a thøc f(x) bËc víi hƯ sè cđa x3 k, k Z thoả mln:

f(1999) = 2000; f(2000) = 2001 Chøng minh r»ng: f(2001) - f(1998) hợp số

H.Dẫn:

1999 2000

2000 2001

+ + = = −

 

⇔  ⇔ 

+ + = = −

 

a b a

a b b

⇒ g(x) = f(x) - x - * Tính giá trị f(x):

- Do bậc f(x) nên bậc g(x) lµ vµ g(x) chia hÕt cho:

(x - 1999), (x - 2000) nªn: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0)

⇒ f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + Từ tính đ−ợc: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) hợp số

Bµi 7: Cho ®a thøc f(x) bËc 4, hƯ sè cđa bậc cao thoả mln: f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ?

H.DÉn:

- Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c T×m a, b, c cho g(1) = g(3) = g(5) =

⇒ a, b, c nghiệm hệ phơng trình:

3

9 11

25 27

+ + + =   + + + =   + + + = 

a b c

a b c

a b c

MTCT ta giải đợc:

1 = −   =   = −  a b c ⇒ g(x) = f(x) - x2

-

- Vì f(x) bậc nên g(x) có bậc lµ vµ g(x) chia hÕt cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), vËy:

g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) ⇒ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 +

Ta tính đợc: A = f(-2) + 7f(6) =

Bµi 8: Cho ®a thøc f(x) bËc BiÕt f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = T×m f(10) = ? (§Ị thi HSG CHDC §øc)

H.DÉn:

- Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3

+ bx2

+ cx + d V× f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = nªn:

10

12

8 4

27

=   + + + =   + + + =   + + + =  d

a b c d

a b c d

a b c d

lấy phơng trình cuối lần lợt trừ cho phơng trình đầu giải hệ gồm phơng trình ẩn a, b, c MTCT cho ta kÕt qu¶: 5; 25; 12; 10

2

= = − = =

⇒ 25

( ) 12 10

2

= − + +

f x x x x ⇒ f(10)=

Bài 9: Cho đa thức f(x) bậc biết chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) đ−ợc d− f(-1) = -18 Tính f(2005) = ?

H.DÉn:

- Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: f(1) = f(2) = f(3) = có f(-1) = -18 - Giải tơng tự nh− bµi 8, ta cã f(x) = x3

- 6x2

+ 11x Từ tính đ−ợc f(2005) =

Bài 10: Cho đa thức 13 82 32 ( )

630 21 30 63 35

= − + − +

P x x x x x x

a) Tính giá trị đa thức x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; b) Chứng minh P(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên

Giải:

a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; th× (tÝnh máy) P(x) =

b) Do 630 = 2.5.7.9 vµ x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; nghiệm đa

thức P(x) nªn

( ) ( 4)( 3)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 3( 4)

2.5.7.9

= − − − − + + + +

P x x x x x x x x x x

Vì só nguyên liên tiếp tìm đợc số chia hết cho 2, 5, 7, nên với x nguyên tích: (x4)(x3)(x2)(x1) (x x+1)(x+2)(x+3(x+4) chia hết cho 2.5.7.9 (tích số nguyên tố nhau) Chứng tỏ P(x) số nguyên với x nguyên

Bài 11: Cho hàm số ( )

4

= +

x

x

f x Hly tÝnh c¸c tỉng sau:

1 2001

)

2002 2002 2002

     

=  +  + +  

     

a S f f f

2 2

2

2 2001

) sin sin sin

2002 2002 2002

π π π

     

=  +  + +  

     

b S f f f

H.DÉn:

* Với hàm số f(x) đl cho tr−ớc hết ta chứng minh bổ đề sau:

NÕu a + b = th× f(a) + f(b) =

* áp dụng bổ đề trên, ta có: a)

1 2001 1000 1002 1001

2002 2002 2002 2002 2002

           

=  +  + +  +  +  

         

   

1 1

1 1000 1000,

2 f f 2

    

= + + +   +   = + =    

 

b) Ta cã 2 2001 21000 21002

sin sin , , sin sin

2002 2002 2002 2002

π π π π

= = Do đó:

2 2

2

2 1000 1001

2 sin sin sin sin

2002 2002 2002 2002

S = f π +f π + +f π+ f π

       

 

2 sin2 sin21000 sin2500 sin2501 sin2

2002 2002 2002 2002

f π f π f π f π f π

           

=   +  + +  +  +  

         

   

 

2 2500 2500

2 sin cos sin cos (1)

2002 2002 2002 2002

f π f π f π f π f

         

=   +  + +  +  +

       

   

 

1 1[ ] 1000 10002

6 3

= + + + + = + =

2 Tìm thơng d phép chia hai đa thức:

Bài toán 1: Tìm d phÐp chia ®a thøc P(x) cho (ax + b)

Cách giải:

- Ta phân tích: P(x) = (ax + b)Q(x) + r ⇒ − =0. − +

   

b b

P Q r

a a

⇒ r = − 

 

b P

a Bµi 12: T×m d− phÐp chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - cho (2x - 5)

Gi¶i:

- Ta cã: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r

⇒ 0. 5

2 2

 =  + ⇒ =  

     

     

P Q r r P ⇒ r =

2   P

Tính máy ta ®−ỵc: r =      P =

Bài toán 2: Tìm thơng d− phÐp chia ®a thøc P(x) cho (x + a)

Cách giải:

- Dựng lc Hoocner để tìm th−ơng d− phép chia đa thức P(x) cho (x + a)

Bài 13: Tìm th−ơng d− phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x -1 cho (x + 5) H.Dẫn: - Sử dụng l−ợc đồ Hoocner, ta có:

1 -2 -3 0 -1

* Tính máy tính giá trị trªn nh− sau:

( )− SHIFT STO M

1 × ANPHA M + = (-5) : ghi giÊy -5

× ANPHA M + - = (23) : ghi giÊy 23

× ANPHA M - = (-118) : ghi giÊy -118

× ANPHA M + = (590) : ghi giÊy 590

× ANPHA M + = (-2950) : ghi giÊy -2950

× ANPHA M + = (14751) : ghi giÊy 14751

× ANPHA M - = (-73756) : ghi giÊy -73756

x7 - 2x5 - 3x4 + x - =

= (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756 Bài toán 3: Tìm thơng d− phÐp chia ®a thøc P(x) cho (ax +b)

Cách giải:

- Để tìm d: ta giải nh toán

- tỡm h s đa thức th−ơng: dùng l−ợc đồ Hoocner để tìm th−ơng phép chia đa thức P(x) cho (x +b

a) sau nhân vào th−ơng với a ta đ−ợc đa thức th−ơng cần tìm

Bµi 14: Tìm thơng d phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + cho (2x - 1) Gi¶i:

- Thùc hiƯn phÐp chia P(x) cho  − 

 

x , ta đợc: P(x) = x3 + 2x2 - 3x + =

2  − 

 

x 

2

2

 + − +

 

x x  Từ ta phân tích:

P(x) = x3 + 2x2 - 3x + =  − 

 

x 

2

2

 + − +

 

x x 

= (2x - 1)

2

 + − +

 

x x 

H.DÉn:

- Ph©n tÝch P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P

1(x) + m Khi đó:

P(x) chia hÕt cho Q(x) = 3x + vµ chØ khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x)

Ta cã: 1

2

0

3

− + = ⇒ = − − 

   

   

P m m P

Tính máy giá trị đa thức P1(x)

=

x ta đợc m =

Bi 16: Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + + n Tìm m, n để hai đa thức có nghiệm chung

1 = x H.DÉn:

0 =

x lµ nghiƯm cđa P(x) th× m = 1

  −    

P , víi P1(x) = 3x2 - 4x +

1 =

x nghiệm Q(x) n = 1   −    

Q , víi Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + Tính máy ta đợc: m =

1

  −    

P = ;n = 1

  −   

Q =

Bài 17: Cho hai đa thøc P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n

a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2)

b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x) Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ đa thức R(x) chØ cã nhÊt mét nghiÖm

H.DÉn:

a) Giải tơng tự 16, ta có: m = ; n = b) P(x) (x - 2) vµ Q(x) (x - 2) ⇒ R(x) (x - 2)

Ta l¹i cã: R(x) = x3 - x2 + x - = (x - 2)(x2 + x + 3), v× x2 + x + > víi mäi x nªn R(x) chØ cã mét nghiƯm x =

Bµi 18: Chia x8 cho x + 0,5 đợc thơng q

1(x) d r1 Chia q1(x) cho x + 0,5 đợc thơng q2(x) d r2 Tìm r2 ?

H.DÉn:

- Ta ph©n tÝch: x8 = (x + 0,5).q

- Dùng l−ợc đồ Hoocner, ta tính đ−ợc hệ số đa thức q1(x), q2(x) số d− r1, r2:

1 0 0 0 0

1

− 1

2

−

4

1

−

16

1 32

−

64

1 128

−

256

2

− -1

4

1

−

16

3 16

−

64

1 16

−

VËy: 16

= −

r

Một số toán đa thức đề thi giải toán MTCT khu vực: (Khu vực 2005) Cho biết đa thức P x( )= +x4 mx3−55x2+ −nx 156 chia hết cho (x - 2) chia hết cho (x - 3) Hly tìm giá trị m, n nghiệm đa thức

§S : m = ; n = 172 ; x1=2 ; x2 =3 ; x3 ≈2,684658438 ; x4 ≈ −9,684658438

2 (Khu vùc 2005) Cho ®a thøc P x( )= +x5 ax4+bx3+cx2+ +dx 132005 BiÕt r»ng x lần lợt nhận giá trị 1, 2, 3, giá trị tơng ứng P(x) lần lợt 8, 11, 14, 17 Tính giá trị đa thøc P(x) víi x = 11, 12, 13, 14, 15 §S : P(11) = 27775428 ; P(12) = 43655081 ; P(13) = 65494484 ; P(14) = 94620287 ; P(15) = 132492410

3 (Khu vùc 2006) Cho ®a thøc P x( )= +x3 ax2+ +bx c

a) T×m hệ số a, b, c đa thức P(x), biết x lần lợt nhận giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 P(x) có giá trị tơng ứng là: 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653

§S : a = 10 ; b = ; c = 1975

b) T×m sè d− r cđa phép chia đa thức P(x) cho 2x + ĐS : r = 2014,375

c) Tìm giá trị x P(x) có giá trị 1989

ĐS : x1 = ; x2 = -1,468871126 ; x3 = -9,531128874

4 (Khu vùc 2006) Cho ®a thøc P x( )= +x5 ax4 +bx3+cx2+ +dx e BiÕt r»ng x lần lợt nhận giá trị 1, 2, 3, 4, giá trị tơng ứng P(x) lần lợt 11, 14, 19, 26, 35

b) T×m sè d− r cđa phÐp chia ®a thøc P(x) cho 10x -

5 (Khu vực 2007) Xác định hệ số a, b, c đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx - 2007 để cho P(x) chia cho (x - 13) có số d− 1, chia cho (x - 3) có số d− chia cho (x - 14) có số d− (Kết Lấy chữ số phần thập phân)

§S : a = 3,69 ; b = -110,62 ; c = 968,28

6 (Khu vực 2007) Xác định hệ số a, b, c, d tính giá trị đa thức: Q(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx - 2007

Tại giá trị x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45, biết x nhận giá trị lần lợt 1, 2, 3, Q(x) có giá trị tơng ứng 9, 21, 33, 45

7 (Khu vùc 2008) Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d cã P(0) = 12, P(2) = 0, P(4) = 60

a) Xác định hệ số a, b, c, d P(x) b) Tớnh P(2006)

Các to¸n vỊ Dy sè

Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm −u việt MTBT khác Sử dụng MTĐT Casio fx - 570 MS lập trình tính số hạng dly số ví dụ Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lý quy trình bấm phím cho kết nhanh, xác Ngồi việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính tốn học mà từ kết tính tốn ta dự đốn, −ớc đốn tính chất dly số (tính đơn điệu, bị chặn ), dự đốn cơng thức số hạng tổng qt dly số, tính hội tụ, giới hạn dly từ giúp cho việc phát hiện, tìm kiếm cách giải toán cách sáng tạo Việc biết cách lập quy trình để tính số hạng dly số cịn hình thành cho học sinh kỹ năng, t− thuật tốn gần với lập trình tin hc

Sau số quy trình tính số hạng số dạng dly số thờng gặp chơng trình, ngoại khoá thi giải Toán MTBT:

I/ Lập quy trình tính số hạng cđa d·y sè: 1) Dy sè cho bëi c«ng thøc số hạng tổng quát:

f(n) biểu thức n cho trc

Cách lập quy trình:

- Ghi giá trị n = vào ô nhớ A : SHIFT STO A

- LËp c«ng thøc tÝnh f(A) gán giá trị ô nhớ : A = A +

- LỈp dÊu b»ng: = =

Gi¶i thÝch:

1 SHIFT STO A : ghi giá trị n = vào « nhí A

f(A) : A = A + : tính un = f(n) giá trị A (khi bÊm dÊu

bằng thứ lần nhất) thực gán giá trị ô nhớ A thêm đơn

vÞ: A = A + (khi bÊm dấu lần thứ hai)

* Công thức đợc lặp lại ấn dấu =

Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu dly sè (un) cho bëi: 1 5

; 1, 2,3

2

5

 +   −  

 

=   −  =

    

 

n n

n

u n

Gi¶i:

- Ta lËp quy tr×nh tÝnh un nh− sau:

SHIFT STO A

( ÷ ) ( ( ( + ) ÷ ) ∧ ANPHA A

- ( ( - ) ÷ ) ∧ ANPHA A ) ANPHA :

ANPHA A ANPHA = ANPHA A + =

- Lặp lại phím: = =

Ta đợc kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21,

u9 = 34, u10 = 55

2) Dy sè cho bëi hƯ thøc truy håi d¹ng:

f(un) biểu thức

un cho tr−íc

C¸ch lập quy trình:

- Nhập giá trị số h¹ng u1: a =

- NhËp biĨu thøc cđa un+1 = f(un) : ( biĨu thøc cđa un+1 chỗ

có un ta nhập ANS )

- Lặp dấu bằng: =

Giải thích:

- Khi bấm: a = hình u1 = a lu kết

- Khi nhập biÓu thøc f(un) bëi phÝm ANS , bÊm dÊu = lần thứ máy

thực tính u2 = f(u1) lại lu kết

- Tiếp tục bấm dấu = ta lần lợt đợc sè h¹ng cđa dly sè u3, u4

VÝ dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu dly số (un) cho bëi:

*

( ) ;

+

= 

 = ∈

 »

n n

u a

1

2

, *

1

+

=  

+

 = ∈

 +

 »

n n

n u

u

u n

u Gi¶i:

- LËp quy trình bấm phím tính số hạng dly số nh− sau: = (u1)

( ANS + ) ÷ ( ANS + ) = (u2)

= =

- Ta đ−ợc giá trị gần với chữ số thập phân sau dấu phảy: u1 = u8 = 1,414215686

u2 = 1,5 u9 = 1,414213198

u3 = 1,4 u10 = 1,414213625

u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552

u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564

u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562

u7 = 1,414201183 u14 = = u20 = 1,414213562

Ví dụ 2: Cho dly số đ−ợc xác định bởi:

( )3

3

3

, *

+

 =  

= ∈

 n n

u

u u n N

Tìm số tự nhiên n nhỏ để un số nguyên Gii:

- Lập quy trình bấm phím tính sè h¹ng cđa dly sè nh− sau:

SHIFT 3 = (u1)

ANS ∧ SHIFT 3 = (u2)

= = (u4 = 3)

3) Dy sè cho bëi hÖ thøc truy hồi dạng:

Cách lập quy trình:

* Cách 1:

Bấm phÝm: b SHIFT STO A × A + B × a + C SHIFT STO B

Vµ lặp lại dEy phím:

ì A + ANPHA A × B + C SHIFT STO A

× A + ANPHA B × B + C SHIFT STO B

Gi¶i thÝch: Sau thùc hiÖn

b SHIFT STO A × A + B × a + C SHIFT STO B

trong ô nhớ A u2 = b, m¸y tÝnh tỉng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C

đẩy vào ô nhớ B , hình là: u3 : = Au2 + Bu1 + C

Sau thùc hiƯn: × A + ANPHA A × B + C SHIFT STO A m¸y

tính tổng u4 := Au3 + Bu2 + C đ−a vào ô nhớ A Nh− ta có u4

màn hình ô nhớ A (trong ô nhí B vÉn lµ u3)

Sau thùc hiƯn: × A + ANPHA B × B + C SHIFT STO B m¸y

tính tổng u5 := Au4 + Bu3 + C đ−a vào ô nhớ B Nh− ta có u5

mµn hình ô nhớ B (trong ô nhớ A u4)

Tiếp tục vòng lặp ta đợc dly sè un+2 = Aun+1 + Bun + C

*Nhận xét: Trong cách lập quy trình trên, ta sử dụng chức

COPY lp li dly lặp quy trình sau (giảm đ−ợc 10 lần bm phớm mi

tìm số hạng dly sè), thùc hiƯn quy tr×nh sau:

BÊm phÝm: b SHIFT STO A × A + B × a + C SHIFT STO B

× A + ANPHA A × B + C SHIFT STO A

× A + ANPHA B × B + C SHIFT STO B

∆ SHIFT COPY

LỈp dÊu b»ng: = =

* Cách 2: Sử dụng cách lập công thức

BÊm phÝm: a SHIFT STO A b SHIFT STO B

1

2

,

; *

+ +

= =



 = + + ∈

 »

n n n

u a u b

ANPHA C ANPHA = A ANPHA B + B ANPHA A + C

ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B

ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C

LỈp dÊu b»ng: = =

Ví dụ : Cho dly số đ−ợc xác định bởi:

2

1,

; *

+ +

= =



 = + + ∈

 »

n n n

u u

u u u n

Hly lËp quy tr×nh tính un Giải:

- Thực quy trình:

2 SHIFT STO A × + × + SHIFT STO B

× + ANPHA A × + SHIFT STO A

× + ANPHA B × + SHIFT STO B

SHIFT COPY

∆

= =

ta đợc dly: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671 Hc cã thĨ thùc hiƯn quy tr×nh:

1 SHIFT STO A SHIFT STO B

ANPHA C ANPHA = ANPHA B + ANPHA A +

ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B

ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C

= =

ta đợc kết nh

4) Dy số cho bëi hƯ thøc truy håi víi hƯ sè biÕn thiên dạng:

{ }

( )

1

1

, ; *

+

= 

 = ∈

 »

n n

u a

u f n u n

Trong f({n u, n}) kí

* Thuật tốn để lập quy trình tính số hạng dy: - Sử dụng ô nhớ: A : chứa giá trị n

B : chứa giá trị un C : chứa giá trị un+1

- Lp cụng thức tính un+1 thực gán A : = A + B := C để tính số hạng d+y

- LỈp phÝm : =

Ví dụ : Cho dly số đ−ợc xác định bởi: ( )

1

; *

1 +

=  

 = + ∈

 +

 n n »

u

n

u u n

n

Hly lËp quy tr×nh tÝnh un Giải:

- Thực quy trình:

SHIFT STO A SHIFT STO B

ANPHA C ANPHA = ( ANPHA A ÷ ( ANPHA A + ) )

× ( ANPHA B + ) ANPHA : ANPHA A ANPHA =

ANPHA A + ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C

= =

ta đợc dly: 1, 1, 3, 2, 5, 3, 7,

2 2

II/ Sư dơng MTBT việc giải số dạng toán dÃy số: 1) Lập công thức số hạng tổng quát:

Phơng pháp giải:

Ví dụ 1: Tìm a2004 biÕt: Gi¶i:

- Tr−íc hÕt ta tÝnh mét sè số hạng đầu dly (an), quy trình sau:

1 SHIFT STO A SHIFT STO B

ANPHA C ANPHA = ANPHA A ( ANPHA A + )

÷ ( ( ANPHA A + ) ( ANPHA A + ) ) ×

( ANPHA B + ) ANPHA : ANPHA A ANPHA =

ANPHA A + ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C

- Ta đợc dly: , , , 1 , , ,

6 5

- Từ phân tích số hạng để tìm quy luật cho dly trên: a1 =

a2 = 1.5

6=30=3.10

dự đoán công thức số hạng tổng quát: a3 = 2.7 2.7

20= 40 =4.10

a4 = 27 3.9

50=5.10 * Dễ dàng chứng minh công thức (1)

⇒ 2004 2003.4009 20050 = a VÝ dô 2: XÐt dly sè:

Chøng minh r»ng sè A = 4an.an+2 + số phơng Giải:

- Tính số số hạng đầu dly (an) quy tr×nh: SHIFT STO A × - + SHIFT STO B

× - ANPHA A + SHIFT STO A

× - ANPHA B + SHIFT STO B

1

1

( 1)

( 1) ; *

( 2)( 3)

+ =   +  = + ∈  + +

 n n

a

n n

a a n N

n n         

( 1)(2 1)

10( 1) − + = + n n n a n (1)

víi mäi n ∈ N* b»ng quy n¹p

1 * 1, 3 2 1; + = =   = − + ∈  »

n n n

a a

SHIFT COPY

∆

= =

- Ta đợc dly: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, - T×m quy luËt cho dly sè:

1

1(1 1)

2

a = = +

2(2 1)

2

a = = + ⇒ dự đoán công thức số hạng tổng quát:

3(3 1)

2

a = = +

4

4(4 1) 10

2

a = = +

5(5 1) 15

2

a = = + * Ta hoµn toàn chứng minh công thức (1)

Từ đó: A = 4an.an+2 + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2 ⇒ A số ph−ơng

Cách giải khác: Từ kết tìm đ−ợc số số hạng đầu dly,ta thấy: - Với n = A = 4a1.a3 + = 4.1.6 + = 25 = (2a2 - 1)2 - Với n = A = 4a2.a4 + = 4.3.10 + = 121 = (2a3 - 1)2 - Với n = A = 4a3.a5 + = 4.6.15 + = 361 = (2a4 - 1)2 Từ ta chứng minh A = 4an.an+2 + = (2an+1 - 1)2 (*)

Bằng phơng pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh đợc (*) 2) Dự đoán giới hạn dy số:

2.1 XÐt tÝnh héi tơ cđa d·y sè:

Bằng cách sử dung MTBT cho phép ta tính đ−ợc nhiều số hạng dly số cách nhanh chóng Biểu diễn dly điểm số hạng dly số giúp cho ta trực quan tốt hội tụ dly số, từ hình thành nên cách giải tốn

VÝ dơ 1: XÐt sù héi tơ cña dly sè (an):

sin( ); * = ∈ + » n n a n n Giải:

- Thực quy trình:

2

MODE SHIFT STO A

sin ( ANPHA A ) ÷ ( ANPHA A + )

         ( 1) + = n n n a

đúng với n ∈ N*

ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A +

= =

ta đ−ợc kết sau (độ xác 10-9):

n an n an n an n an

1 0,420735492 13 0,030011931 25 -0,005090451 37 -0,016935214

2 0,303099142 14 0,06604049 26 0,028242905 38 0,007599194

3 0,035280002 15 0,04064299 27 0,034156283 39 0,024094884

4 -0,151360499 16 -0,016935489 28 0,009341578 40 0,018173491

5 -0,159820712 17 -0,053410971 29 -0,022121129 41 -0,00377673

6 -0,039916499 18 -0,039525644 30 -0,031871987 42 -0,021314454

7 0,082123324 19 0,00749386 31 -0,012626176 43 -0,018903971

8 0,109928694 20 0,043473583 32 0,016709899 44 0,000393376

9 0,041211848 21 0,038029801 33 0,029409172 45 0,018497902

10 -0,049456464 22 -0,000384839 34 0,015116648 46 0,019186986

11 -0,083332517 23 -0,035259183 35 -0,011893963 47 0,00257444

12 -0,041274839 24 -0,036223134 36 -0,026804833 48 -0,015678666

- Biểu diễn điểm mặt phẳng toạ độ (n ; an):

Dựa vào biểu diễn giúp cho ta rút nhận xét n lớn an gần (an→ 0) chất dly hội tụ n s

2.2 Dự đoán giới hạn d·y sè:

Ví dụ 1: Chứng minh dly số (un), (n = 1, 2, ) xác định bởi:

1

2 ; *

+

 =

 

= + ∈

 »

n n

u

u u n

có giới hạn Tìm giới hạn Giải:

- Thùc hiƯn quy tr×nh: =

( + ANS ) = =

ta đ−ợc kết sau (độ xác 10-9):

an

n un n un

1 1,414213562 11 1,999999412

2 1,847759065 12 1,999999853

3 1,961570561 13 1,999999963

4 1,990369453 14 1,999999991

5 1,997590912 15 1,999999998

6 1,999397637 16 1,999999999

7 1,999849404 17 2,000000000

8 1,999962351 18 2,000000000

9 1,999990588 19 2,000000000

10 1,999997647 20 2,000000000

Dựa vào kết ta nhận xét đợc:

1) Dy số (un) dy tăng

2) Dự đoán giới hạn dy số b»ng

Chứng minh nhận định trên:

+ Bằng phơng pháp quy nạp ta chứng minh đợc dly số (un) tăng bị chặn dly (un) cã giíi h¹n

+ Gọi giới hạn a: limun = a Lấy giới hạn hai vế công thức truy

hồi xác định dly số (un) ta đ−ợc:

limun = lim( 2+un ) hay a = 2 a+

0

2

a

a

a a

≥ 

⇔ ⇔ = = +



VËy: lim un =

Ví dụ 2: Cho dly số (xn), (n = 1, 2, ) xác định bởi: 2

1

1

2

sin( ) , *

5

π π

+ +

= =

  

= + ∈

 »

n n n

x x

x x x n

Chøng minh r»ng dly (xn) cã giới hạn tìm giới hạn Giải:

- Thùc hiƯn quy tr×nh: 2

MODE SHIFT STO A ì ( ữ SHIFT π )

+ ( 2SHIFT π ÷ ) × sin ( ) SHIFT STO B

x × ( ÷ SHIFT π ) + ( 2SHIFT π ÷ )

× sin ( ANPHA A ) SHIFT STO A

∆ SHIFT COPY

= =

ta tính số hạng đầu dly số (xn) rút nhận xét sau: 1) Dy số (xn) dy không giảm

2) x50 = x51 = = 1,570796327 (với độ xác 10-9) 3) Nếu lấy xi (i = 50, 51, ) trừ cho

2 π

ta nhn c kt qu l

dự đoán giíi h¹n cđa dy sè b»ng

2

π

Chứng minh nhận định trên:

+ Bằng phơng pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh đợc xn (0 ; 2

) dly (xn) không giảm dly (xn) có giới hạn

+ Gọi giới hạn a, ta có: 2

sin( ) , (1)

5

a a π a

π

= +

+ Bằng phơng pháp giải tích (xét hµm sè 2

( ) sin( )

5

f x x π x x

π

= + − ) ta cã

(1) cã nghiƯm lµ a =

2

π VËy: lim xn = 2

π

3) Một số dạng tập sử dụng ngoại khoá thi giải Toán MTCT:

Bài 1: Cho dly sè (un), (n = 0, 1, 2, ):

(2 3) (2 3) 2 3

+ − −

=

n n

n u

a) Chøng minh un nguyªn víi mäi n tù nhiªn

b) Tìm tất n nguyên để un chia hết cho

Bài 2: Cho dly số (an) đ−ợc xác định bởi:

2

2

4 15 60 , *

+ =  

= + − ∈



o

n n n

a

a a a n N

a) Xác định công thức số hạng tổng quát an

b) Chøng minh r»ng sè: ( )

8

= n +

A a biĨu diƠn đợc dới dạng tổng bình phơng số nguyên liªn tiÕp víi mäi n ≥

2

0,

1999 ,

o

n n n

u u

u + u + u n N

= = 

 = − ∈

Tìm tất số tự nhiên n cho un số nguyên tố

Bi 4: Cho dly số (an) xác định bởi:

1

5, 11

2 , 2,

n n n

a a

a + a a − n n N

= =



 = − ≥ ∈



Chøng minh r»ng:

a) Dly sè trªn có vô số số dơng, số âm b) a2002 chia hÕt cho 11

Bài 5: Cho dly số (an) xác định bởi:

1 2

1

2

2

, 3,

n n

n

a a

a

a n n N

a

−

−

= =

 

+

 = ≥ ∈

 

Chøng minh an nguyªn víi mäi n tù nhiªn

Bài 6: Dly số (an) đ−ợc xác định theo công thức:

(2 3) , *

 

= +  ∈

 

n n

a n N ;

(kÝ hiÖu (2+ 3) 

 

n