mot so de thi cao hoc Toan DS co huong dan

khi f không là một đẳng cấu hãy tìm cơ sở và số chiều của Imf và Kerf.. Đưa dạng toàn phương vể dạng chính tắc[r]

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 8/2008 MƠN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Bài 1: Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 R3 xác định

f(x1,x2,x3,x4)=(x1+x2,x2+x3,x3+x4) với x=(x1,x2,x3,x4) R4

M={ (x1,x2,x3,x4) R4 : x1-x2=0 x3-x4=0}

a Tìm ma trận f sở tắc R4 R3 xác định Imf Kerf

b CM f(M) không gian vectơ R3 tìm dimf(M)

Giải :

 Tìm ma trận f sở tắc R4 R3 Trong R4 ta có e

1=(1,0,0,0),e2=(0,1,0,0),e3=(0,0,1,0),e4=(0,0,0,1)

Trong R3 ta có e’

1=(1,0,0),e’2=(0,1,0),e’3=(0,0,1)

Ma trận f sở tắc

  

 

  

     

 

  

  

1 0

0 1

0 1

4

4

4 ) ( ), /(

c c c c

b b b b

a a a a Af e e

mà f(e1)=(1,0,0)=a1e’1+b1e’2+c1e’3 ta tìm (a1,b1,c1)=(1,0,0)

f(e2)=(1,1,0) (a2,b2,c2)=(1,1,0)

f(e3)=(0,1,1) (a3,b3,c3)=(0,1,1)

f(e4)=(0,0,1) (a4,b4,c4)=(0,0,1)

 Xác định Imf,Kerf  Kerf ={ xR4 : f(x)=0 }

Ta hệ

      

     

 

   

 

 

 

R x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

4

4

4

4

3

2

0 0

hệ có nghiệm tổng quát (-a,a,-a,a)

Hệ nghiệm (-1,1,-1,1)

Vậy dimKerf=1, sở Kerf =(-1,1,-1,1)

 Tìm Imf

Ta có f(e1)=(1,0,0),f(e2)=(1,1,0), f(e3)=(0,1,1),f(e4)=(0,0,1)

Nên Imf=<f(e1),f(e2),f(e3),f(e4)>

Ta có

   

 

   

 

     

 

   

 

0 0

1 0

0

0 0

1

0 1

0

vậy sở Imf f(e1),f(e2),f(e3) dimf=3

b

    

   

   

   

1 1

4

4

4

x mx x x

x x mx x

x x x mx

Giải : lập ma trận hệ số

  

 

  

 

 

 

 

    

 

  

     

 

  

  

m m

m m

m m

m m

m m m

m m A

1

0

0

1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1 1

1 1

2

vậy ta

    

   

 

 

  

 



1 ) ( ) (

1 ) ( ) )( (

4

3

4

x mx x x

x m x

m

m x

m x

m m

Biện luận:

Với m=1 hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số x2,x3,x4

nghiệm hệ (1-a-b-c,a,b,c) a,b,c R

với m=-2 hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số x3

nghiệm hệ (a,a,a,1) a R

với m khác 1,-2 hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số x4 m

nghiệm hệ

   

    

 

   

  

  

a x

m a x

m a x

m a x

2

2

2

a R

Bài 3: Cho chuỗi luỹ thừa





 

 

1

1

2

) ( ) (

n n

n n

n x

a Tìm miền hội tụ chuỗi b Tính tổng chuỗi

Giải:

a ta có n n n n

n x x

U

2

) ( ) ( ) (

1  





tính x x C

n x

U

n n n

n n

    

  



2

2 )

( lim

lim

theo tiêu chuẩn côsi chuổi hội tụ C<1 tức

0

1

2

     

x x

tại x+2=2 x+2=-2 ta có chuỗi

0 ) ( ) (

) ( ) (

1

1

 

    

 



 

 

n

n n n

n n

n n

n

n hội tụ

Bài 4: Cho a>0  

    

 

  



0 y x ,

0 ,

1 sin )

, (

2 2

2 x y

y x x y x

f a

Tuỳ theo giá trị a>0 xét khả vi f (0,0), liên tục f’x,f’y (0,0)

Giải : Tính đhr

 x2+y2>0

 a a

x

y x y

x x y

x x f

2 2

2

2

' cos

) (

1 sin

 

  

a y

y x y

x y x f

) (

1 cos

2 2

2 '

 

 

 x=y=0

 



 t

f t f f

t x

) , ( ) , (

lim

0 '

 



 t

f t f f

t y

) , ( ) , (

lim

0 '

 xét khả vi f (0,0) Cần xét :lims,t0 (s,t)

Với f s t f f s f t

t s t

s, ) ( , ) (0,0) x(0,0) y(0,0)

( ' '

2

2   

  

Nếu lims,t0(s,t)=0 hàm số khả vi (0,0) ngược lại không khả vi

 xét liên tục f’x,f’y 0(0,0)

nếu : lim, 0 x'( , ) x'(0,0) y

x

f y x

f 

 ,

) , ( ) ,

( '

' ,

lim y y

y x

f y x

f 

 hàm số khơng liên tục

(0,0) ngược lại liên tục

Bài 5: Cho (X,d ) không gian Metric A X khác rỗng Cho f: X R định f(x)=d(x;A)=inf{d(x,y): yA}

a CM: f liên tục điều X

b Giả sử A tập đóng , B tập compác chứa X AB =

Đặt d(A,B)= inf{ d(x,y),x A,y B } CM : d(A,B)>0

Giải :

a để CM f liên tục điều X cần CM f(x) f(x') d(x,x')

ta có d(x,y) d(x,x’)+d(x’,y) lấy inf vế  d(x,A)-d(x’,A)  d(x,x’) tương tự thay đổi vai trò vị trí x x’ ta suy ĐPCM f liên tục x’, x’ tuỳ ý nên f liên tục điều X

b Giả sử trái lại d(A,B)=0

Khi ta tìm dãy (xn) A, (yn)B cho limd(xn,yn)=0

Do B compắc nên (yn) có dãy (ynk)k hội tụ ve y0 B Ta có d(xnk,y0)d(xnk,ynk)d(ynk,y0)

Mà lim ( , )lim ( , 0)0 lim ( , 0)0

  

 



y x d y

y d y

x

d k k k nk

k n

k n n k

Do A tập đóng dãy (xnk)k A, (xnk)k y0 nên y0A

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2007 MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Bài 1: Tìm miền hội tụ chuổi luỹ thừa

  n

n

n

x n

n

0

2

2

    

 

 







Giải : Đặt X=(x-2)2 đk X0

Ta tìm miền hội tụ chuổi n n

n

X n

n





   

 

 

0

1 xét

3

1

  

n n un Ta có

2

1

lim

lim 

  



  

 n

n u

l

n n

n n

2

  

l

R nên khoảng hội tụ (-2,2) Xét X= 2, X= -2

Ta có chuổi  

  

 

  







n n

n

n n n

2

1 )

1 (

0

n

n

n n n





   

 

  

0

2 ) (

2

lim

lim  

  



  

 n

n u

n n

n

n nên chuổi phân kì

vậy miền hội tụ theo X (-2,2)

 miền họi tụ theo x x   2 2x2 Bài 2: Cho hàm số

    

 

  

  

 

 



0 y x

0 y x sin ) (

) , (

2 2

2

2

y x y

x y x f

Chứng tỏ hàm số f(x,y)có đạo hàm riêng f’x,f’y không liên tục 0(0,0)

Nhưng hàm số f(x,y)khả vi 0(0,0) Giải :

Tính đhr (x,y)(0,0) va (x,y)=(0,0)

 Tại (x,y)(0,0)

Ta có 

  

 

 

    

 



 2 2 2 2 2 2

' 2 sin cos

y x y

x x y

x x fx

   

 

 

    

 



 2 2 2 2 2 2

' 2 sin cos

y x y

x y y

x y fy

 Tại (x,y)=(0,0)

1 t

1 sin

sin )

0 , ( ) , (

2

2

0

'

lim lim

lim     



 



t t

t t t

f t f f

t t

t x

1 t

1 sin

sin )

0 , ( ) , (

2

2

0

'

lim lim

lim     



 



t t

t t t

f t f f

t t

t y

CM : f’x,f’y không liên tục 0(0,0) Ta CM : ' ,

lim 



x y x

f '

0 ,

lim 



y y x

f Hay CM : lim, 0 x'( , ) x'(0,0)

y x

f y x

f 

 ,

) , ( ) ,

( '

' ,

lim y y

y x

f y x

f 



Do

0 x ,

2

cos

1 cos

0 x , sin , y x

1 sin

, cos

sin )

, (

2 2 2

2

2 2

2 2

2 , 2

, '

0

, lim lim

lim

 

     

  

 

  

 

 

  

 



x y x

x y

x y

x x y

x

x y x x

y x y

x x y

x x y

x f

y x y

x x

y x

nên lim, 0 x'( , ) x'(0,0) y

x

f y x

f 



tương tự ta CM : lim, 0 y'( , ) y'(0,0) y

x

f y x

f 



vậy f’x,f’y không liên tục 0(0,0)

 Ta CM : f(x,y)khả vi 0(0,0) Cần CM :lims,t0 (s,t)0

Với f s t f f s f t

t s t

s, ) ( , ) (0,0) x(0,0) y(0,0)

( ' '

2

2   

  

) t s

1 sin (do sin )

,

( 2 2 2 2 2

0 ,

, lim

lim 

 

 





 s t

t s t

s

t s t

s



vậy f(x,y)khả vi 0(0,0)

Bài 3: Cho : 0,1*R R hàm số liên tục

CMR : Hàm F: C[0,1]R xác định





)) ( , ( )

(x t x t dt

F  x(t)C0,1 hàm số liên tục C[0,1]

Giải: Cố định x0, CM f liên tục x0

Đặt M=1+sup x0(t) , tC0,1

Cho  0

 liên tục tập compac D= [0,1]*[-M,M] nên  liên tục D

tồn số 1>0 cho

 

 

     

   

(t,s),(t ,'s') D t t' 1,s s' 1 (t,s) (t ,'s') đặt  min(1,1):x 0,1  d(x,x0)

mà x(t) x0(t) 1 x0(t) M,M

    

 

( , ( )) (, ( ))    ( , ( )) ( , ( ))   ( ) ( 0) 

1

0

0 t t x t t x t dt F x F x

x t t

x t

ta CM  0, 0:d(x,x0)  d(F(x),F(x0))

vậy F liên tục x0

Bài 4: Cho ánh xạ tuyến tính f :R4 R3

 xác định f(x1,x2,x3,x4)=(x1-2x2+x4,-x1+x2+2x3,-x2+2x3+x4)

1 Tìm sở số chiều kerf, Imf f có phải đơn cấu , tồn cấu khơng? Giải :

 Tìm sở số chiều kerf

Ta có : ker  : ( ) 0

 

 x R f x

f

f(x1,x2,x3,x4)=(x1-2x2+x4,-x1+x2+2x3,-x2+2x3+x4)=0     

   

   

   

0

0

0

4

3

4

x x x

x x x

x x x

lập ma trận

  

 

  

 

     

 

  

 

      

 

  

 

 

 

0 0

1

1 1

1

1 1

2

0 1

1

A Rank(A)=2 ta có

    

  

 

R x x

x x x

x x x

4

4

4

, 2

nên dimKerf=2

nghiệm (1,1,0,1),(4,2,1,0) sở Kerf dimKerf =2  nên f khơng đơn cấu

 Tìm sở , số chiều Im f

Im f không gian R3 sinh hệ vectơ

f(e1)=(1,-1,0) với e1=(1,0,0,0)

f(e2)=(-2,1,-1) với e2=(0,1,0,0)

f(e3)=(0,2,2) với e3=(0,0,1,0)

f(e4)=(1,0,1) với e4=(0,0,0,1)

ta tìm hạng vectơ

xét ma trận

   

 

   

 

  

    

 

   

 

  

    

 

   

 

 





0 0

0 0

1

0 1

1

2

1

0 1

1

2

1

0 1

B

Rank(B)=2, , dim Imf =2 , sở Imf f(e1),f(e2)

Do , dim Imf =2 nên f khơng tồn cấu

Bài 5: Cho f :V  V ,'g:V V '' ánh xạ tuyến tính cho ker f kerg Hơn nữaf toàn cấu CMR tồn ánh xạ tuyến tính h:V'V ''

sao cho h.f=g Giải:

Bài 6: Cho dạng toàn phương R3

f(x1,x2,x3)=2x12 2x22 x32 2x1x2 ax1x3

a Đưa dạng tồn phương dạng tắc phương pháp Lagrange b Với giá trị a f xác định dương, khơng âm

Giải : a f(x1,x2,x3)=

3 2

1 2

2x  x x  x x ax x =……

……=

3 2

3 2

3

6

2

2

2 x x ax x ax a x

  

 

     

 

 

   



 

đặt

  

   

 

  

  



  

   

 

  

  

3

3 2

3 1

3

3 2

3 1

6

4

y x

ay y x

ay y y x

x y

ax x y

ax x x y

ta sở f tắc u1=(1,0,0),u2=(-1/2,1,0),u3=(-a/3,a/6,1)

ma trận sở tắc

     

 

     



  



1

0

1

3

1

a a Tu

b f xác định dương 6

6

2

    

 a a

f xác định không âm 6

1

2

   

 a a

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 5/2007 MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Bài 1: Cho u=u(x,y), v=v(x,y) hàm ẩn suy từ hệ phương trình

    

   

  

 

0

0

x v u e

y

uv e

x v u

v u

tìm vi phân du(1,2), dv(1,2) biết u(x,y)=0, v(x,y)=0

Giải : lí thuyết : cho hàm ẩn

  

 

0 ) , , , (

0 ) , , , (

v u y x G

v u y x F

xác định u=u(x,y), v=v(x,y) Tính đạo hàm riêng hàm ẩn

Từ hệ ta có 

    

 

 

 

 

0

' '

' '

' '

' '

v v u u y y x x

v v u u y y x x

d G d G d G d G

d F d F d F d F

  

  

    

 

 

 

 

v u

v v u u y y x x

v v u u y y x x

d d d

G d G d G d G

d F d F d F d F

' '

' '

' '

' '

Tính

  

 

) , (

) , (

v u d d Ta có :

Bài 2: Tìm miền hội tụ chuổi luỹ thừa









2

) ( ) (ln

1

n

n x n n

Giải : Đặt X= x+1 ta 



2 (ln )2

1

n

n X n n

Xét ( 1)(ln( 1))2

1 )

(ln

 

 

 

n n

u n

n

Ta có :

 2

2

) ln( ) (

) (ln

lim

lim   



   

 n n

n n u

u L

n n n n

Tính

  ln( 1)

ln 1

1 ) ln(

1 ln )

1 ln(

) (ln

lim lim

lim tan

2

 



 

  



  n

n n

n n

n n n n

n

n n

lopi

n

Tính

1 1 )

1 ln(

ln

lim

lim tan 



 



 

n n n

n

n lopi

n

Nên 1 1

L

R , khoảng hội tụ (-1,1) Tại X=1 ta chuổi 







2

) ( ) (ln

1

n

n n

n Từ ta có

    

 



  

 

1 ) ln( ) (

) (ln

2

lim

lim uu n n nn

L

n n n n

Chuổi phân kì , MHT theo X (-1,1) MHT theo x (-2,0)

Bài 3: Cho X không gian metric compac f: XX thoả d(f(x),f(y))<d(x,y) với x y

a CM tồn x0 X cho f(x0)=x0

b Đặt A1=f(X),An+1=f(An), n N n n

A A 





CM: A f(A)=A

Giải : a CM tồn x0 X cho f(x0)=x0

Đặt g(x)= d(x,f(x)), g: X R ,x X

 Ta CM g liên tục

Ta co g(x) g'(x) d(x,f(x)) d(x ,'f(x')) d(x,x')d(f(x),f(x'))2d(x,x')

Mà lim d(x,x’)=0 nên g liên tục

Do X tập compac nên tồn x0 cho g(x0)=min(g(x))

Để CM f(x0)=x0 ta CM g(x0)=d(x0,f(x0))=0

Ta CM phản chứng Giả sử g(x0)=d(x0,f(x0))>0

Khi g(f(x0))=d(f(x0),f(f(x0)))< d(x0,f(x0))=g(x0)

Điều mâu thuẩn với kiện g(x0)=min(g(x))

Vậy g(x0)=d(x0,f(x0))=0 hay x0=f(x0)

CM tính nhât x0

Giả sử có y0 X cho y0=f(x0)

Khi d(x0,y0) =d(f(x0),f(y0))<d(x0,y0) x0 y0

Điều vơ lí x0 tồn

b Đặt A1=f(X),An+1=f(An), n N n n

A A 





CM: A f(A)=A  CM: A

Giả sử An tập compackhi An+1=f(An) tập compac

Vậy An tập compac khác rỗng nN nên An la tập đóng

Hơn nủa A1=f(X)X nên A2=f(A1)f(X)=A1

Giả sử An+1 An ta có An+2=f(An+1) f(An)=An+1

Vậy An+1 An,nN

 An họ có tâm tập đóng khơng gian compac Theo tính chất phần giao hữu hạn ta có A= 





n n

A



1

 CM: f(A)=A cần CM : f(A)A (1) , f(A)A (2)

 CM : f(A)A (1)

Do A  An nên f(A)  f(An)=An+1 với n, dãy giảm nên f(A)  An A

n



 



1



 f(A)A (2)

lấy tuỳ ý x A cần CM x  f(A)

vì x  An+1 =f(An) với n=1,2 … tồn xnAn: x=f(xn) X compact nên có dãy (xnk)k : xnk a

k



 

lim

khi f xnk x

k



 

) (

lim , f liên tục nên f xnk f a

k

( ) (

lim 



 ) ta cần CM a  A

cố đinh n ta có xnk Ank An  xnk An nk n An đóng k xnk aAn

 

lim

vậy a An với n=1,2 … a  A, x=f(a) f(A)

vậy ta CM f(A)=A

Bài 4: Giải biện luận hệ

    

   

   

   

1 1

4

4

4

x mx x x

x x mx x

x x x mx

Giải : Ta có ma trận mở rộng

  

 

  

  

1 1

1

1 1

1 1

m m m

A đổi chổ d1, d3, biến đổi ma trận dạng

  

 

  

 

 

 

 



1

1 )

2 )( ( 0

0

1

1 1

1

m m

m m

m m

m A

biện luận

 m=1 hệ có VSN phụ thuộc tham số x2,x3,x4 RankA=1

nghiệm hệ x1=1-a-b-c, x2=a,x3=b,x4=c

nghiệm hệ x1=x2=x3=a,x4=1

 m 1và m -2 hệ có VSN phụ thuộc vào tham số x4 va tham số m nghiệm hệ

2

1   

m a

x ,

2

2

  

m a

x ,

2

3

  

m a

x ,x4 a,aR

Bài 5: Trong R3 cho sở :

u1=(1,1,1), u2= (-1,2,1), u3=(1,3,2)

cho ánh xạ tuyến tính f: R3 R3 xác định bởi

f(u1)= (0,5,3), f(u2)=(2,4,3), f(u3)=(0,3,2)

tìm ma trận f sở ma trận chéo hố Giải : b1 Tìm ma trận f sở u

Ta có hệ

    

  

  

 



) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

3 2 1

3 2 1

3 2 1

u c u c u c u f

u b u b u b u f

u a u a u a u f

Từ (1) ta có (0,5,3)=a1(1,1,1)+a2(-1,2,1)+a3(1,3,2)

    

    

   

  

  

   

1 0

2

0

0

3

3

3

3

a a a a

a a

a a a

a a a

Tương tự từ ( 2) ta b1=1,b2=0,b3=1

Tương tự từ (3) ta c1=1,c2=1,c3=0

Vậy ma trận A sở f

  

 

  

     

 

  

  

0 1

1

1

3 3

2 2

1 1 ) ( /

c b a

c b a

c b a AA f u

B2 Tìm GTR- VTR A f (GTR A GTR f) Xét ma trận đặt trưng

2 ) (

2

1

1

1

3

           

 

  

 

  

m

kep m

m m m

m m

A có giá trị riêng, nên f có giá trị riêng m=-1, m=2 Tìm VTR A từ suy VTR f

 với m=-1 ta có

0 0

0 0

1 1 1

1 1

1 1

   

 

  

     

 

  

 

VTR A có dạng

    

 

       

 

   

b x

a x

b a x x x R

x x

x x x

3

3

3

3

,

0

a,bR Dạng VTR A (-a-b,a,b)

Vậy A có VTR (-1,0,1),(-1,1,0)

Từ VTR f có dạng n= x1u1+x2u2+x3u3=(-a-b)u1+au2+bu3=

=(-a-b)(1,1,1)+a(-1,2,1)+b(1,3,2)=(-2a,a+2b,b) f có VTR ĐLTT với a=1,b=0 : VTR n1=(-2,1,0)

với a=0,b=1: VTR n2=(0,2,1)

 với m=2 ta có

0 0

3

2 1 1

1

2 1 1

1

1

   

 

  

 

  

  

 

  

 

 

 

  

 

  

 

VTR A có dạng

    

  

        

   



 

 



a x

a x x

a a a x x x R

x

x x

x x x

3

3

3

3

3

1 2

0 3

0

aR Dạng VTR A (a,a,a),

Vậy A có VTR (1,1,1)

Từ VTR f có dạng n= x1u1+x2u2+x3u3=au1+au2+au3=

=a(1,1,1)+a(-1,2,1)+a(1,3,2)=(a,6a,4a) f có VTR n3=(1,6,4)

b3 : KL f có VTR ĐLTT n1,n2,n3 VTR n1,n2,n3 làm thành sở R3

và ma trận f sở ma trận chéo hố ta có :

  

 

  

 

  

2 0

0

0

) /(n f A

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2006 MƠN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Bài 1: Cho

0 y x ,

0 y x ,

sin )

, (

2 2

2     

 

  



 x y x y

y x f

a Xét khả vi f (x,y)R2 đặc biệt (0,0) b Xét liên tục ĐHR ', '

y x f

f (0,0)

Giải :

 Tại (x,y)(0,0) Ta có

2 2

2

3

2 '

2 2

2

2 '

1 cos ) (

2

sin

1 cos ) (

2

y x y

x y y

x y f

y x y

x xy f

y x

 

  

 

 

Do ', '

y x f

f liên tục (x,y)(0,0) nên f khả vi (x,y)(0,0)

 Tại (x,y)=(0,0)

Ta có

1 ) , ( ) , ( )

0 ,

( lim

0 '

 



 t

f t f f

t x

1) t

1 sin (do sin )

0 , ( ) , ( )

0 ,

( 2 2

0

'

lim

lim    





 t

t t t

f t f f

t t

y

 Tính lims,t0(s,t)

Ta có   2

2 2 '

'

2

1 sin )

0 , ( ) , ( ) , ( ) , (

) , (

s t t t s t f s f

f t s f t s t

s x y

 

 

 

  

  





 2 2

2 ,

,

1 sin )

,

( lim

lim s t st t s t

t s t

s

do sin 2 2 1

t

s nên f khả vi (0,0) b.Xét liên tục ĐHR ', '

y x f

f (0,0)

để Xét liên tục ĐHR ', '

y x f

f (0,0) ta tính ( , ), '( , )

0 , '

0

, lim

limf x y fy x y

y x x

y

x  

nếu lim, 0 '( , ) '(0,0),lim, 0 y'( , ) y'(0,0) y

x x

x y x

f y x f f

y x

f  





' ',

y x f

f liên tục (0,0)

' ',

y x f

f không liên tục (0,0)

chọn  ,  1,0 (0,0)

     

n y

xn n ta có

0 ) , (

1 ) , (

' ,

' ,

lim lim

 

 

n f

n f

y y x

x y x

chọn   (0,0)

2 ,

1 '

,

'  

  

  



 n

n y

xn n ta có

 

 

 

) , (

) , (

' ' ' ,

' ' ' ,

lim lim

n n y y x

n n x y x

y x f

y x f

vậy ', '

y x f

f không liên tục (0,0)

Bài 2: Cho (X,d )là không gian mêtric compac, f: XX thoả mãn: d(f(x),f(y))<d(x,y) xy

a CM có x0 X cho f(x0)=x0

b Đặt gn: X  R định

gn (x)=d(x0,fn(x)) , xX fn=f0f00f (n lần )

CM gn liên tục thoả mãn gn(x)gn(x) gn(x) ,limn gn(x)0,xX

c CM (gn)n hội tụ điều X

Giải :

a.CM có x0 X cho f(x0)=x0

đặt h: X R xác định h(x)=d(x,f(x)), xX ta CM h liên tục

xét h(x) h(x') d(x, f(x)) d(x,' f(x')) 2d(x,x')

vậy h liên tục

h(x) liên tục , X compac nên tồn x0 : h(x0)= min(h(x)) với x X

cần CM h(x0)=0 ta CM phản chứng

giả sử h(x0)=d(x0,f(x0))>0

khi h(f(x0))=d(f(x0),f(f(x0)))<d(x0,f(x0))=h(x0)

điều mâu thuẩn với kiện tồn x0 : h(x0)= min(h(x)) với x X

vậy h(x0) =0 hay x0=f(x0)

ta CM tính

giả sử có y0 X : y0=f(x0) với x0 khác y0

ta có d(x0,y0)=d(f(x0),f(y0))<d(x0,y0) điều vơ lí

x0 tồn

b Đặt gn: X  R định

gn (x)=d(x0,fn(x)) , xX fn=f0f00f (n lần )

CM gn liên tục thoả mãn gn x gn x  gn x n gn x  xX

 

, ) ( ) ,

( )

( )

( lim

Ta có ( ) ( ') ( , ( )) ( , ( ')) ( ( ), ( ')) ( , ')

0

0 f x d x f x d f x f x d x x

x d x g x

g n n n n

n

Nên gn liên tục

Do gn1(x)d(x0,f n1(x))d(f(x0),f(f n(x)))d(x0, fn(x))gn(x),xX  (gn(x))dãy giảm không âm nên hội tụ

Đặt a= limgn(x)

Giả sử a>0, X compac dãy fn(x)chữa dãy hội tụ  

k n x

f k( )

Đặt y limf nk(x)

k



Ta có gnk1(x)k dãy gn(x)n nên a limk gnk(x) limk gnk1(x)

  



 

0 ) , ( )) ( , ( )

( lim 0 0

lim   



  



y x d x f x d x

g

a k

k

n k

n k



 

 

) (

1

limg x

a nk

k

a y x d y f x f d x

f x d

k n

k

k   

  

 

) , ( )) ( ), ( ( ))

( ,

( 0 0

0 lim

lim

mâu thuẩn gn x x X n

  

 

, ) (

lim

c CM (gn)n hội tụ điều X

với  0đặt Gn xX :gn(x) gn1(,) tập mở

do gn (x) >gn+1(x)nên GnGn+1 ta có n n

G X 





do X compac nên có n0 : 0

1

n n n

n

G G

X  





vậy 0gn(x),xX khi nn0 (gn)n hội tụ điều X

Bài Cho V không gian vectơ , f: V V ánh xạ tuyến tính thoả mãn f2=f CM: Kerf+Imf=V ker f Imf  0

Giải

 CM: Kerf+Imf=V ta cần CM Kerf+ImfV (1), Kerf+ImfV (2)

 CM Kerf+ImfV (1) hiển nhiên

 CM: Kerf+ImfV (2)

Lấy tuỳ ý xV cần CM x Kerf+Imf

Ta có x= x-f(x)+f(x) mà f(x)  Imf cần CM (x-f(x))  Kerf cần CM f(x-f(x))=0 Xét f(x-f(x))=f(x)-f2(x)=f(x)-f(x)=0 nên (x-f(x))  Kerf hay x Kerf+Imf

Vậy Kerf+ImfV

Từ (1),(2) ta có Kerf+Imf=V

 CM ker f Im f  0

Lây y tuỳ y: y ker f Im f cần CM y=0

Do y ker f Im f có xV : f(x)=y f(y)=0 Do f2=f nên y=f(x)=f2(x)=f(f(x))=f(y)=0

Vậy y=0 hay ker f Imf  0

Bài : Cho f: R4 R3 định

f(x1,x2,x3,x4)=(x1-x2+x3,2x1+x4,2x2-x3+x4)

a Tìm sở số chiều Kerf, Imf b Tìm u  R4 cho f(u)=(1,-1, 0) Giải : a

 Tìm sở số chiều Kerf

 

    

  

 

     



0

0

0

) ( :

4

4

3

x x x

x x

x x x x

f R x Kerf

ta có ma trận mở rộng

  

 

  

 

 

0 1

0 0

0 1

  

 

  

 

   

0 0

0 2

0 1

biến đổi ta hệ

      

   



      

 

  

  

a x x

a x

a x

R x x

x x x

x x x

2 0

0

2

0

4

4

4

3

là nghiệm tổng quát hệ

ta có dimKerf =1

cơ sở Kerf (1,1,0,2)

 Tìm sở số chiều Imf

ta có f(e1)=(1,2,0), f(e2)=(-1,0,2), f(e3)=(1,0,-1), f(e4)=(0,1,1)

Imf=(f(e1),f(e2),f(e3),f(e4))

Ta có 

   

 

   

 

 

1

1

2

0

   

 

   

 

0 0

1 0

2 0

0

Nên dim Imf =3

Vậy sở Imf (f(e1),f(e2),f(e3))

b Tìm u  R4 cho f(u)=(1,-1, 0)

ta có : f(u)=(1,-1, 0) =(x1-x2+x3,2x1+x4,2x2-x3+x4)

ta hệ

  

   

 

 

  

  

 

   

  

  

  

a x x

x x

x x

x x x

x x

x x x

2

2

2

0

1

1

4

4

4

4

4

3

(a R)

lập ma trận mở rộng biến đôi để giải hệ ta có u=(x1,x2,x3,x4)

Bài : Tìm GTR- VTR chéo hoá ma trân A=

  

 

  

 

  



2

2

1

Giải : Xét đa thức đặt trương

3 0

18

2

2

1

1

2

     

     

 

  

 

 

  

 

a a a a

a a a a

a

vậy A có GTR a=0, a=6, a=3

 với a=0 :ta có                                           0 9 2 1 2 2 2 2 1

ta hệ

                     a x a x x a x x x x x x 3 3 0 9 2

suy VTR (0,a,a) với a=1 VTR (0,1,1)

 với a=6: ta có

                             0 3 1 2 1 1 hệ                       a x a x a x a x x x x x x 3 3 2 3

suy VTR (-2a,-a,a) với a=1 VTR (-2,-1,1)

 với a=3: ta có

                                               0 3 1 2 1 1 2 1 1 hệ                      a x a x a x a x x x x x x 3 3 3

suy VTR (3a,a,a) với a=1 VTR (3,1,1)

 ma trận cần tìm T=

            1 1 1

T-1AT=

          0 0 0

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2005 MƠN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Bài 1: Cho hàm số

0 y x 0 y x sin ) ( ) , ( 2 2 2           

 x y x y

y x f

CMR hàm số f(x,y ) có đạo hàm riêng ', '

y x f

f không liên tục (0,0) f(x,y)

khả vi (0,0) Giải :

 Tính đhr fx', fy'

 (x,y)(0,0)

ta có 2 2 2

' 2 sin cos

y x y x x y x x fx      2 2 2

' 2 sin cos

y x y x y y x y fy     

 (x,y)=(0,0)

0 sin ) , ( ) , ( 2 0 ' lim

lim   

0 sin )

0 , ( ) ,

(

2

0

'

lim

lim   





 t

t t t

f t f f

t t

y (

1 sin 2 

t )

 xét liên tục đhr

nếu limx,y 0 f'(x,y)f'(0,0)

 đhr liên tục

 ta có ( , ) (2 sin 2 22 cos 2)

, '

0

, lim

lim f x y x x y x xy x y

y x x

y

x  

  

 

do sin 1 sin 2 2

0 ,

2 lim 

 



  x y

x y

x xy

do  

 

 

 

 , 0 2 2 , 0 2

2

2

cos

1

cos lim lim

y x

x y

x y

x x y

x xy xy

vậy ( , ) sin cos '(0,0)

2 2 2

, '

0

, lim

lim x

y x x

y x

f y x y x

x y

x x y

x

f 

 

  

 

 tương tự ta có ( , ) sin 2 22 cos 2 '(0,0)

, '

0

, lim

lim y

y x y

y x

f y x y x

y y

x y y

x

f 

 

  

 

vậy đhr không liên tục (0,0)

 xét khả vi (0,0)

để CM f(x,y) khả vi (0,0) cần CM lims,t0(s,t)0

với f s t f f s f t

t s t

s, ) ( , ) (0,0) x(0,0) y(0,0)

( ' '

2

2   

  

ta có ( , ) 2 sin 2 2

0 ,

, lim

lim 

 





 s t

t s t

s

t s t

s

 sin 2 2 1

t

s f khả vi (0,0)

Bài 2: Tìm miền hội tụ chuổi luỷ thừa

 n

n

n

x n

n

2

3

1

    

 

 







Giải : Đặt X=x-2 Ta chuổi

n n

n

n n

n X

n n

   

 

   

  

 

 







1 u

voi

3

n

Xét L=

3

1

lim

lim 

  

  

 n

n u

n n

n n

Nên R=3 khoảng hội tụ (-3,3) Xét X=3 X=-3 ta

 n n

n n n

3

1

1

    

 

 







=  n

n

n n n

1

3

1

    

 

 







0

3

lim

lim  

  

  

 n

n u

n n

n

n nên X=3,X=-3 chuổi không hội tụ

MHT chuổi theo X (-3,3) MHT chuổi theo x (-1,5)

a.CMR : M tập đóng khơng rỗng bị chặn khơng gian metric C([0,1]) với mêtric d(x,y)=max{x(t) y(t) : t 0,1 } với x(t),y(t) C( 0,1)

b xét f :C( 0,1) R xác định f(x)=

1

2(t)dt

x

CM : f liên tục M f khơng đạt GTNN M từ suy M tập compắc C([0,1])

Giải : a.

 CM : M tập đóng

Lấy dãy (xn) M : limxn=x cần CM xM

Ta có 0xn(t)1,t 0,1,xn(1)1

Cho n  ta có 0x(t)1,t 0,1,x(1)1 nên xM Vậy M tập đóng

b

 CM f liên tục M

Xét tuỳ ý xC( 0,1), (xn) M : limxn=x cần CM limf(xn)=f(x)

Ta có xn2(t) x2(t) xn(t) x(t).xn(t) x(t)2x(t) d(xn,x).d(xn,x)N

Với N=sup2x(t),t 0,1

d x x N

x x d t x t x x f x

f n   n   n n 

 ( ) ( )  ( ) ( ) ( , ) ( , )

1

2

do limd(xn,x)=0 nên từ ta có limf(xn)=f(x)

vậy f liên tục M

 CM f không đạt GTNN M

 Trước tiên ta CM inff(M)=0, không tồn xM để f(x)=0 Đặt a= inff(M) ta có f(x)0,xM nên a0

Với xn(t)=tn ta có xn M

  

  

 

 





 ( ) 2 1 2 1 n

)

( 10

1

0

0

2 khi

n n

t dt t dt t x x

f a

n n

n n

vậy a= inff(M)=0

 không tồn xM để f(x)=0

giả sử tồn tai xM để f(x)=0 ta có ( ) 0, 2( ) 0, 2( )

1

2 t dt x t x t

x  

 liên tục [0,1] suy

ra x(t)=0 với t  [0,1] điêu mâu thuẩn với x(1)=1 với xM không tồn xM để f(x)=0

từ ta suy M không tập compăc

giả sử M tập compắc , f liên tục f đạt cực tiểu M tức có x0M

cho f(x0)=inff(M)=0 điều mâu thuẩn với không tồn xM để f(x)=0

vậy M không tập compắc Bài 4: Cho f :R3 R3

 phép biến đổi tuyến tính xác định f(u1)=v1, f(u2)=v2, f(u3)=v3

u1=(1,1,1),u2=(0,1,1), u3=(0,0,1)

v1=(a+3,a+3,a+3),v2=(2,a+2,a+2), v3=(1,1,a+1)

a.tìm ma trận f với sở tắc e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)

c f khơng đẳng cấu tìm sở số chiều Imf Kerf

d với a=-3 f có chéo hố khơng trường hợp f chéo hố háy tìm sở để ma trận f voéi sở có dạng chéo

Giải :

Bài 5: Cho dạng toàn phương

3

1 2

1, , ) 2 2

(x x x x x x x x ax x x x

f      

a Đưa dạng tồn phương vể dạng tắc

b Với giá trị a f xác định dương xác định dương Giải : a ta có

 

3

2

2

3

1 2

) 2 ( )

1 ( )

(

2

2 )

, , (

x a a x

a x ax

x x

x x x ax x

x x x x x x x f

   

  

 

 

 

  

đặt

    



  

     

   



  

  

3

3

2

3

1

3

3

2

3 1

) (

) ( )

1 (

y x

y a y x

y a y

y x x

y

x a x y

ax x x y

cơ sở f tắc u1=(1,0,0),u2=(-1,1,0),u3=(1-2a,a-1,1)

ma trận

  

 

  

 

   

1 0

1

0

2 1

a a Tu

b.f xác định dương -2a2+2a>0 0a1

f xác định dương -2a2+2a=0 a0,a1

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2004 MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Bài 1: Tìm miền hội tụ chuỗi hàm luỷ thừa n

n n

n

x n

n ( 1)

1

2  



 

    

 

Giải : Xét

n n

n

n u

    

  

   

 

  

1

1 1

Ta có L= e

n u

n

n n

n n

    

 

  



  



1

1 1

lim lim

Nên

e L

R1 1 , khoảng hội tụ    

  

e e

1 ,

Xét tai đầu mút x= e

1

Ta có chuổi  

n n

n

n n n

n n

n n e n e

n

           

  

   

 

  

     

 

    

 

 





 





1 1

1 1

1

1

1 )

1 (

0 1 1

1

lim

lim    

  

 

  





  

 e

e e n

u

n

n n

n n

vậy MHT chuổi hàm luỹ thừa    

  

e e

1 ,

Bài : Cho hàm số f:R2 R xác định

    

  



(0,0) y)

(x,

(0,0) y)

(x,

) ,

( x2 y2

xy y

x f

a Xét liên tục f R2

b Tính đạo hàm riêng f R2

Giải : Chú ý : limx,y0 f(x,y)f(0,0)0 hàm số liên tục

 Tại (x,y) (0,0) hàm số liên tục hàm sơ cấp

 Xét liên tục f R2 (0,0)

 Tính 2

0 ,

,

2 )

,

( lim

lim f x y x xyy

y x y

x 



 

Chọn dãy  ( , ) (1,1)  (0,0)

   

  

n n M y

x

Mn n n n n 

Ta có

1

1 ) (

2

2

   

n n

n M

f n , (0,0)

2 2

) , (

2 2

2 ,

, lim lim

lim f

n n y

x xy y

x f

n y

x y

x

   

 

  



vậy hàm số không liên tục (0,0)

 Tính đhr fx', fy'

 Tại (x,y) (0,0)

ta có 2

2 '

) (

) ( ) (

2

y x

xy x y

x y fx

   

2 2

2 '

) (

) ( ) (

2

y x

xy y y

x x fy

   

 Tại (x,y)=(0,0)

ta có lim ( ,0) (0,0)

0 '

 



 t

f t f f

t x

0 ) , ( ) , (

lim

0 '

 



 t

f t f f

t y

Bài 3: Tính tích phân  

D

dxdy y x

I (2 )

Với D hình trịn có tâm điểm (1,0) bán kính Giải :

Đổi sang toạ độ cực

Đặt  

  

 

 



0, r sin

cos

r y

r x

1 chu kì

Ta có x2+y22x ta có r22rcos nên r 2cos

Vậy ta

    

 

 

2

cos

 



r

Với 

 

rdrd dxdy

r y

r x

 

  

 

sin

cos

Vậy

  

        



2

cos

0 2

0 cos

2

0

2 16 ) sin cos

2 ( )

sin cos

2 ( )

2 (



 



 

 

 

 r rdrd d r dr

r dxdy

y x I

D

Bài 4: Cho tập hợp số tự nhiên N với m,n N Đặt

    

  

 

n m neu

n m neu

1 ) ,

(m n m n

d

a CM d metric N

b CM (N,d ) không gian metric đầy đủ Giải : a d metric N

 d(m,n)0,m,nN d(m,n)=0  m=n

 ( , )

0 1 n m neu

n m neu

1 ) ,

(m n m n n m d n m

d 

    

   

   

  

 

 CM d(m,n)  d(m,l)+d(l,n) (1)l,m,nN TH1 : m=n,m=l,n=l (1)

TH2 : m n

n m n

m d

 

1

) , (

nếu m l

l m l

m d

 

1

) , (

nếu l n

n l n

l d

 

1

) , (

thì VT (1) 2, VP (1)2 nên (1) b (N,d ) không gian metric đầy đủ

giả sử (xn) dãy cauchy (N,d) ta CM xn x d

do (xn) dãy cauchy (N,d) nên ta có limm,n(xm,xn)0 

     

 0, n0 : m,n n0 :d(xm,xn)

chọn 0 ( , ) ,

2 ) , ( ,

: ,

n n m x x x

x d x

x d n n m

n    m n   m n   m  n  

  

Bài 5: tính định thức

0 0

0 0

2 6

1 1

8 0

6 0

Giải :

Bài 6: Cho ánh xạ tuyến tính f: R4 R3 có ma trận cặp sở tắc

  

 

  

 

 



3

1

1

xác định nhân ảnh f , Hỏi f có đơn cấu , tồn cấu khơng? Vì sao? Giải : từ mae trận tacó ánh xạ

f(x1,x2,x3,x4)=(x1+2x3+x4,2x1+3x2-x3+x4,-2x1-5x3+3x4)

Xác định nhân ảnh f tức tìm sở số chiều Imf, Kerf

 Tìm sở số chiều Kerf

Ta có 

  

 

  

 

 



0

0 1

0

   

 

  

 

  

0 0

0

0

Ta hệ ,( )

3 15

26 33

3

1

0

0

3

0

4

4

4

4

4

4

4

R a a x

a x

a x

a x

a x

x x

x x x x

x x x

x x

x x x

x x x



      

    



  

   

 

 

 

  

 

   

  

  

  

f có ẩn tự nên dimKerf = Kerf có sở (-33,26,15,3) Vậy f khơng đơn cấu dimKerf =

 Tìm sở, số chiều Imf

Ta có B=

   

 

   

 

 



0 1

0

0

0 2

   

 

   

 

 



0

0

0

0 2

   

 

   

 

 



0

0

0

0 2

   

 

   

 

 



0 26 0

0 15 0

0

0 2

   

 

   



 



0 0

0 390 0

0

0 2

Vậy Rank (B)=3 nên dimImf=3 Imf có sở gồm vectơ(f(e1),f(e4),f(e2))

f khơng tồn cấu dimImf=3 Bài 7: Cho ma trận

  

 

  

 



 

 



1 3

1

1

b Tính A2004

Giải :

a Tìm GTR- VTR A

 Tìm GTR A

Xét đa thức đặt trưng

Ta có: (1 )( 2) 12

1 3

1

3

1

1

2

    

    

 

  

 

 

  

 



a a a

a a

a a

Vậy A có GTR a=1, a=2

 Tìm VTR A  Với a=1 ta có

  

 

  

 

  

   

 

  

 

   

   

 

  

 



 

 

0 0

1

1 3

3

1

1

3

1

1

Ta hệ

    

    

   

  

   

1 1

0

2

3

3

3

x x x a

x x x

x x x

có VTR (1,1,1)

 Với a=2 ta có

  

 

  



 

   

 

  

 

 

 

 

0 0

0 0

1 3

3

1 3

1 3

Ta hệ

    

 

  

    

 

   

b x

a x

x x x b

x a x

x x x

3

3

3

3

1 3

3

Vậy có VTR (1,1,0), (-1,0,3) b

ta có

  

 

  



 



3

0 1

1 1

Q

ma trận chéo A

  

 

  

  

 

2 0

0

0

1AQ

Q B (Q-1AQ)2004=Q-1A2004Q

vậy A2004=QB2004Q-1= 2004

2 0

0

0



  

 

  

 

Q

Q =

2004 2004

2004

2 0

0

0

0

1



  

 

  

 

Q Q

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2003 MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Bài 1: Bài 2:

Bài 3: Cho (X,d) không gian metric compắc

a.Giả sử An họ tập đóng X An+1 An n  N

CMR vơi n  N ,An 



b.Giả sử fn :X  R,nN hàm liên tục X

x x

f x

f x

f1( ) 2( )  n( ) ,  CMR n n n N n

f X x x

f 

 

 

0, ,( )

) (

lim

Hộ tụ X Giải :

a giả sử vơi n  N ,An CMR : 







1

n n A vơi n  N lấy xn  An

do Anp An,n,pN,nen xnpAn

do X compắc nên với (xn)nX có dãy (xnk)k hội tụ

đặt x= nk

k x

lim

 

do nk k nên Ak tập đóng với i dãy   n n i

i k

n x A x A

x k 



    

1

vậy 







1

n n A b cần CM : fn(x)0

2 fn(x)

ta có f1(x)f2(x) fn(x) ,xX fn x x X n

  

 

, ) (

lim nên fn(x)0

với  0 cho trước đặt   : ( )  1(,)

n n

n x X f x f

F

do (,) tập mở, f liên tục nên Fn mở

do fn+1(x)fn(x) suy fn(x) dãy giảm nên Fn Fn1

do f x x X Fn X

n n

n

 

  



 

 1

, ) (

lim

do X compắc nên có tập J hữu hạn N cho Fn X J

n







đặt n0=maxJ ta có Fn X Fn0 fn(x) fn0(x) , n n0

J n

   

   







vậy xX,(fn)nN hội tụ X Bài 4: b tìm miền họi tụ chuỗi hàm 



   

 



n

n n

x d n

n

Giải : xét

2

n

n

d n

n

U 

  

 

 

Ta có n d

n n

n n

n

n e

n d n d

n n U

L lim lim lim 

   



 

    

 

 



  

 



Bán kính hội tụ R=ed, khoảng hội tụ (-ed;ed)

Xét đầu mút x=ed,x=-ed

Ta có chuỗi ( )  1   lim

1

2

  

   

 

 

       

 









  n

n n

n n

d n n

d n

U e

d n

n e

d n

n

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2002 MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Bài : a Cho hàm số

    

  

 

(0,0) y)

(x,

(0,0) y)

(x, ) (

) ,

( 2

2

y x

y x xy y

x f

Xét tính liên tục f(x,y) đhr ', '

y x f

f tập xác định

Giải :

 Tại (x,y) (0,0) f(x,y) liên tục hàm sơ cấp

 Xét liên tục f (x,y)= (0,0)

Nếu limx,y0 f(x,y)f(0,0)0 hàm số liên tục

Ta có : 2

3 , 2

3 , 2

2 ,

, lim lim lim

lim ( , ) ( )

y x

x y y

x y x y

x y x xy y

x f

y x y

x y

x y

x 

  

  

 

 

Xét

2 2

3 , 2

3

lim 

 



  x y

y x x

y x

y x

y x

0

2 2

3 , 2

3

lim 

 



  x y

xy y

y x

xy

y x

từ limx,y0 f(x,y)f(0,0)0 f liên tục

 Tính đhr fx', fy'

 Tại (x,y) (0,0) 

'

x

f



'

y

f

 Tại (x,y)=(0,0)

0 ) , ( ) , (

lim

0 '

 



 t

f t f f

t x

0 ) , ( ) , (

lim

0 '

 



 t

f t f f

t y

b Tính tổng chuỗi hàm 



1

n n

nx MHT Giải : ta tìm khoảng hội tụ (-1,1)

Ta có 



 



1.1

)

(

n n

x x n x

S

Đặt 



 



1

1( )

n n x n x

S (1)

Lấy tích phân vế (1) đoạn [0,x] ta

  









 

  



1

1

1 1

1

) (

n x

n n n

x

t t

dt t n dt

t

S (2) CSN

đạo hàm vế (2) ta

) (

1 )

(

x x

S

vậy

    

  



1 x :

1 x : )

1 (

1 )

(x x x

S

Bài 2: Bài 3:

Bài 4: b Tìm VTR- GTR ma trận A=

  

 

  

  



7

0

2

Giải : Xét đa thức đặt trưng

9

) 27 12 )(

6 (

0

0

2

2

2

     

 

   

 

  

 

 



 

a a a a

a a a

a a

Vậy có GTR a=6,a= 3, a=

 Tìm VTR  Với a=6 ta có

  

 

  

 

 



1

0

2

  

 

  

 

   

2

0

1

  

 

  

 

 

0 0

1

1

Ta hệ

      

 

   

 

   

   

 

a x

a x

a x x

a x

x x

x x

2

2

0

3

3

3

3

Có VTR (-1,2,2)

 Với a=3 ta có

  

 

  

  



4

0 2

2

Ta hệ Có VTR (,,)

 Với a=9 ta có

  

 

  

 

  

 

2

0

2

http://kinhhoa.violet.vn