Đang tải... (xem toàn văn)
khi f không là một đẳng cấu hãy tìm cơ sở và số chiều của Imf và Kerf.. Đưa dạng toàn phương vể dạng chính tắc[r]
(1)GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 8/2008 MƠN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Bài 1: Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 R3 xác định
f(x1,x2,x3,x4)=(x1+x2,x2+x3,x3+x4) với x=(x1,x2,x3,x4) R4
M={ (x1,x2,x3,x4) R4 : x1-x2=0 x3-x4=0}
a Tìm ma trận f sở tắc R4 R3 xác định Imf Kerf
b CM f(M) không gian vectơ R3 tìm dimf(M)
Giải :
Tìm ma trận f sở tắc R4 R3 Trong R4 ta có e
1=(1,0,0,0),e2=(0,1,0,0),e3=(0,0,1,0),e4=(0,0,0,1)
Trong R3 ta có e’
1=(1,0,0),e’2=(0,1,0),e’3=(0,0,1)
Ma trận f sở tắc
1 0
0 1
0 1
4
4
4 ) ( ), /(
c c c c
b b b b
a a a a Af e e
mà f(e1)=(1,0,0)=a1e’1+b1e’2+c1e’3 ta tìm (a1,b1,c1)=(1,0,0)
f(e2)=(1,1,0) (a2,b2,c2)=(1,1,0)
f(e3)=(0,1,1) (a3,b3,c3)=(0,1,1)
f(e4)=(0,0,1) (a4,b4,c4)=(0,0,1)
Xác định Imf,Kerf Kerf ={ xR4 : f(x)=0 }
Ta hệ
R x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
4
4
4
4
3
2
0 0
hệ có nghiệm tổng quát (-a,a,-a,a)
Hệ nghiệm (-1,1,-1,1)
Vậy dimKerf=1, sở Kerf =(-1,1,-1,1)
Tìm Imf
Ta có f(e1)=(1,0,0),f(e2)=(1,1,0), f(e3)=(0,1,1),f(e4)=(0,0,1)
Nên Imf=<f(e1),f(e2),f(e3),f(e4)>
Ta có
0 0
1 0
0
0 0
1
0 1
0
vậy sở Imf f(e1),f(e2),f(e3) dimf=3
b
(2)
1 1
4
4
4
x mx x x
x x mx x
x x x mx
Giải : lập ma trận hệ số
m m
m m
m m
m m
m m m
m m A
1
0
0
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
1 1
1 1
2
vậy ta
1 ) ( ) (
1 ) ( ) )( (
4
3
4
x mx x x
x m x
m
m x
m x
m m
Biện luận:
Với m=1 hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số x2,x3,x4
nghiệm hệ (1-a-b-c,a,b,c) a,b,c R
với m=-2 hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số x3
nghiệm hệ (a,a,a,1) a R
với m khác 1,-2 hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số x4 m
nghiệm hệ
a x
m a x
m a x
m a x
2
2
2
a R
Bài 3: Cho chuỗi luỹ thừa
1
1
2
) ( ) (
n n
n n
n x
a Tìm miền hội tụ chuỗi b Tính tổng chuỗi
Giải:
a ta có n n n n
n x x
U
2
) ( ) ( ) (
1
tính x x C
n x
U
n n n
n n
2
2 )
( lim
lim
theo tiêu chuẩn côsi chuổi hội tụ C<1 tức
0
1
2
x x
tại x+2=2 x+2=-2 ta có chuỗi
0 ) ( ) (
) ( ) (
1
1
n
n n n
n n
n n
n
n hội tụ
(3)Bài 4: Cho a>0
0 y x ,
0 ,
1 sin )
, (
2 2
2 x y
y x x y x
f a
Tuỳ theo giá trị a>0 xét khả vi f (0,0), liên tục f’x,f’y (0,0)
Giải : Tính đhr
x2+y2>0
a a
x
y x y
x x y
x x f
2 2
2
2
' cos
) (
1 sin
a y
y x y
x y x f
) (
1 cos
2 2
2 '
x=y=0
t
f t f f
t x
) , ( ) , (
lim
0 '
t
f t f f
t y
) , ( ) , (
lim
0 '
xét khả vi f (0,0) Cần xét :lims,t0 (s,t)
Với f s t f f s f t
t s t
s, ) ( , ) (0,0) x(0,0) y(0,0)
( ' '
2
2
Nếu lims,t0(s,t)=0 hàm số khả vi (0,0) ngược lại không khả vi
xét liên tục f’x,f’y 0(0,0)
nếu : lim, 0 x'( , ) x'(0,0) y
x
f y x
f
,
) , ( ) ,
( '
' ,
lim y y
y x
f y x
f
hàm số khơng liên tục
(0,0) ngược lại liên tục
Bài 5: Cho (X,d ) không gian Metric A X khác rỗng Cho f: X R định f(x)=d(x;A)=inf{d(x,y): yA}
a CM: f liên tục điều X
b Giả sử A tập đóng , B tập compác chứa X AB =
Đặt d(A,B)= inf{ d(x,y),x A,y B } CM : d(A,B)>0
Giải :
a để CM f liên tục điều X cần CM f(x) f(x') d(x,x')
ta có d(x,y) d(x,x’)+d(x’,y) lấy inf vế d(x,A)-d(x’,A) d(x,x’) tương tự thay đổi vai trò vị trí x x’ ta suy ĐPCM f liên tục x’, x’ tuỳ ý nên f liên tục điều X
b Giả sử trái lại d(A,B)=0
Khi ta tìm dãy (xn) A, (yn)B cho limd(xn,yn)=0
Do B compắc nên (yn) có dãy (ynk)k hội tụ ve y0 B Ta có d(xnk,y0)d(xnk,ynk)d(ynk,y0)
Mà lim ( , )lim ( , 0)0 lim ( , 0)0
y x d y
y d y
x
d k k k nk
k n
k n n k
Do A tập đóng dãy (xnk)k A, (xnk)k y0 nên y0A
(4)GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2007 MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Bài 1: Tìm miền hội tụ chuổi luỹ thừa
n
n
n
x n
n
0
2
2
Giải : Đặt X=(x-2)2 đk X0
Ta tìm miền hội tụ chuổi n n
n
X n
n
0
1 xét
3
1
n n un Ta có
2
1
lim
lim
n
n u
l
n n
n n
2
l
R nên khoảng hội tụ (-2,2) Xét X= 2, X= -2
Ta có chuổi
n n
n
n n n
2
1 )
1 (
0
n
n
n n n
0
2 ) (
2
lim
lim
n
n u
n n
n
n nên chuổi phân kì
vậy miền hội tụ theo X (-2,2)
miền họi tụ theo x x 2 2x2 Bài 2: Cho hàm số
0 y x
0 y x sin ) (
) , (
2 2
2
2
y x y
x y x f
Chứng tỏ hàm số f(x,y)có đạo hàm riêng f’x,f’y không liên tục 0(0,0)
Nhưng hàm số f(x,y)khả vi 0(0,0) Giải :
Tính đhr (x,y)(0,0) va (x,y)=(0,0)
Tại (x,y)(0,0)
Ta có
2 2 2 2 2 2
' 2 sin cos
y x y
x x y
x x fx
2 2 2 2 2 2
' 2 sin cos
y x y
x y y
x y fy
Tại (x,y)=(0,0)
1 t
1 sin
sin )
0 , ( ) , (
2
2
0
'
lim lim
lim
t t
t t t
f t f f
t t
t x
1 t
1 sin
sin )
0 , ( ) , (
2
2
0
'
lim lim
lim
t t
t t t
f t f f
t t
t y
CM : f’x,f’y không liên tục 0(0,0) Ta CM : ' ,
lim
x y x
f '
0 ,
lim
y y x
f Hay CM : lim, 0 x'( , ) x'(0,0)
y x
f y x
f
,
) , ( ) ,
( '
' ,
lim y y
y x
f y x
f
(5)Do
0 x ,
2
cos
1 cos
0 x , sin , y x
1 sin
, cos
sin )
, (
2 2 2
2
2 2
2 2
2 , 2
, '
0
, lim lim
lim
x y x
x y
x y
x x y
x
x y x x
y x y
x x y
x x y
x f
y x y
x x
y x
nên lim, 0 x'( , ) x'(0,0) y
x
f y x
f
tương tự ta CM : lim, 0 y'( , ) y'(0,0) y
x
f y x
f
vậy f’x,f’y không liên tục 0(0,0)
Ta CM : f(x,y)khả vi 0(0,0) Cần CM :lims,t0 (s,t)0
Với f s t f f s f t
t s t
s, ) ( , ) (0,0) x(0,0) y(0,0)
( ' '
2
2
) t s
1 sin (do sin )
,
( 2 2 2 2 2
0 ,
, lim
lim
s t
t s t
s
t s t
s
vậy f(x,y)khả vi 0(0,0)
Bài 3: Cho : 0,1*R R hàm số liên tục
CMR : Hàm F: C[0,1]R xác định
)) ( , ( )
(x t x t dt
F x(t)C0,1 hàm số liên tục C[0,1]
Giải: Cố định x0, CM f liên tục x0
Đặt M=1+sup x0(t) , tC0,1
Cho 0
liên tục tập compac D= [0,1]*[-M,M] nên liên tục D
tồn số 1>0 cho
(t,s),(t ,'s') D t t' 1,s s' 1 (t,s) (t ,'s') đặt min(1,1):x 0,1 d(x,x0)
mà x(t) x0(t) 1 x0(t) M,M
( , ( )) (, ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( 0)
1
0
0 t t x t t x t dt F x F x
x t t
x t
ta CM 0, 0:d(x,x0) d(F(x),F(x0))
vậy F liên tục x0
Bài 4: Cho ánh xạ tuyến tính f :R4 R3
xác định f(x1,x2,x3,x4)=(x1-2x2+x4,-x1+x2+2x3,-x2+2x3+x4)
1 Tìm sở số chiều kerf, Imf f có phải đơn cấu , tồn cấu khơng? Giải :
Tìm sở số chiều kerf
(6)Ta có : ker : ( ) 0
x R f x
f
f(x1,x2,x3,x4)=(x1-2x2+x4,-x1+x2+2x3,-x2+2x3+x4)=0
0
0
0
4
3
4
x x x
x x x
x x x
lập ma trận
0 0
1
1 1
1
1 1
2
0 1
1
A Rank(A)=2 ta có
R x x
x x x
x x x
4
4
4
, 2
nên dimKerf=2
nghiệm (1,1,0,1),(4,2,1,0) sở Kerf dimKerf =2 nên f khơng đơn cấu
Tìm sở , số chiều Im f
Im f không gian R3 sinh hệ vectơ
f(e1)=(1,-1,0) với e1=(1,0,0,0)
f(e2)=(-2,1,-1) với e2=(0,1,0,0)
f(e3)=(0,2,2) với e3=(0,0,1,0)
f(e4)=(1,0,1) với e4=(0,0,0,1)
ta tìm hạng vectơ
xét ma trận
0 0
0 0
1
0 1
1
2
1
0 1
1
2
1
0 1
B
Rank(B)=2, , dim Imf =2 , sở Imf f(e1),f(e2)
Do , dim Imf =2 nên f khơng tồn cấu
Bài 5: Cho f :V V ,'g:V V '' ánh xạ tuyến tính cho ker f kerg Hơn nữaf toàn cấu CMR tồn ánh xạ tuyến tính h:V'V ''
sao cho h.f=g Giải:
Bài 6: Cho dạng toàn phương R3
f(x1,x2,x3)=2x12 2x22 x32 2x1x2 ax1x3
a Đưa dạng tồn phương dạng tắc phương pháp Lagrange b Với giá trị a f xác định dương, khơng âm
Giải : a f(x1,x2,x3)=
3 2
1 2
2x x x x x ax x =……
……=
3 2
3 2
3
6
2
2
2 x x ax x ax a x
(7)đặt
3
3 2
3 1
3
3 2
3 1
6
4
y x
ay y x
ay y y x
x y
ax x y
ax x x y
ta sở f tắc u1=(1,0,0),u2=(-1/2,1,0),u3=(-a/3,a/6,1)
ma trận sở tắc
1
0
1
3
1
a a Tu
b f xác định dương 6
6
2
a a
f xác định không âm 6
1
2
a a
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 5/2007 MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Bài 1: Cho u=u(x,y), v=v(x,y) hàm ẩn suy từ hệ phương trình
0
0
x v u e
y
uv e
x v u
v u
tìm vi phân du(1,2), dv(1,2) biết u(x,y)=0, v(x,y)=0
Giải : lí thuyết : cho hàm ẩn
0 ) , , , (
0 ) , , , (
v u y x G
v u y x F
xác định u=u(x,y), v=v(x,y) Tính đạo hàm riêng hàm ẩn
Từ hệ ta có
0
' '
' '
' '
' '
v v u u y y x x
v v u u y y x x
d G d G d G d G
d F d F d F d F
v u
v v u u y y x x
v v u u y y x x
d d d
G d G d G d G
d F d F d F d F
' '
' '
' '
' '
Tính
) , (
) , (
v u d d Ta có :
Bài 2: Tìm miền hội tụ chuổi luỹ thừa
2
) ( ) (ln
1
n
n x n n
Giải : Đặt X= x+1 ta
2 (ln )2
1
n
n X n n
Xét ( 1)(ln( 1))2
1 )
(ln
n n
u n
n
(8)Ta có :
2
2
) ln( ) (
) (ln
lim
lim
n n
n n u
u L
n n n n
Tính
ln( 1)
ln 1
1 ) ln(
1 ln )
1 ln(
) (ln
lim lim
lim tan
2
n
n n
n n
n n n n
n
n n
lopi
n
Tính
1 1 )
1 ln(
ln
lim
lim tan
n n n
n
n lopi
n
Nên 1 1
L
R , khoảng hội tụ (-1,1) Tại X=1 ta chuổi
2
) ( ) (ln
1
n
n n
n Từ ta có
1 ) ln( ) (
) (ln
2
lim
lim uu n n nn
L
n n n n
Chuổi phân kì , MHT theo X (-1,1) MHT theo x (-2,0)
Bài 3: Cho X không gian metric compac f: XX thoả d(f(x),f(y))<d(x,y) với x y
a CM tồn x0 X cho f(x0)=x0
b Đặt A1=f(X),An+1=f(An), n N n n
A A
CM: A f(A)=A
Giải : a CM tồn x0 X cho f(x0)=x0
Đặt g(x)= d(x,f(x)), g: X R ,x X
Ta CM g liên tục
Ta co g(x) g'(x) d(x,f(x)) d(x ,'f(x')) d(x,x')d(f(x),f(x'))2d(x,x')
Mà lim d(x,x’)=0 nên g liên tục
Do X tập compac nên tồn x0 cho g(x0)=min(g(x))
Để CM f(x0)=x0 ta CM g(x0)=d(x0,f(x0))=0
Ta CM phản chứng Giả sử g(x0)=d(x0,f(x0))>0
Khi g(f(x0))=d(f(x0),f(f(x0)))< d(x0,f(x0))=g(x0)
Điều mâu thuẩn với kiện g(x0)=min(g(x))
Vậy g(x0)=d(x0,f(x0))=0 hay x0=f(x0)
CM tính nhât x0
Giả sử có y0 X cho y0=f(x0)
Khi d(x0,y0) =d(f(x0),f(y0))<d(x0,y0) x0 y0
Điều vơ lí x0 tồn
b Đặt A1=f(X),An+1=f(An), n N n n
A A
CM: A f(A)=A CM: A
(9)Giả sử An tập compackhi An+1=f(An) tập compac
Vậy An tập compac khác rỗng nN nên An la tập đóng
Hơn nủa A1=f(X)X nên A2=f(A1)f(X)=A1
Giả sử An+1 An ta có An+2=f(An+1) f(An)=An+1
Vậy An+1 An,nN
An họ có tâm tập đóng khơng gian compac Theo tính chất phần giao hữu hạn ta có A=
n n
A
1
CM: f(A)=A cần CM : f(A)A (1) , f(A)A (2)
CM : f(A)A (1)
Do A An nên f(A) f(An)=An+1 với n, dãy giảm nên f(A) An A
n
1
f(A)A (2)
lấy tuỳ ý x A cần CM x f(A)
vì x An+1 =f(An) với n=1,2 … tồn xnAn: x=f(xn) X compact nên có dãy (xnk)k : xnk a
k
lim
khi f xnk x
k
) (
lim , f liên tục nên f xnk f a
k
( ) (
lim
) ta cần CM a A
cố đinh n ta có xnk Ank An xnk An nk n An đóng k xnk aAn
lim
vậy a An với n=1,2 … a A, x=f(a) f(A)
vậy ta CM f(A)=A
Bài 4: Giải biện luận hệ
1 1
4
4
4
x mx x x
x x mx x
x x x mx
Giải : Ta có ma trận mở rộng
1 1
1
1 1
1 1
m m m
A đổi chổ d1, d3, biến đổi ma trận dạng
1
1 )
2 )( ( 0
0
1
1 1
1
m m
m m
m m
m A
biện luận
m=1 hệ có VSN phụ thuộc tham số x2,x3,x4 RankA=1
nghiệm hệ x1=1-a-b-c, x2=a,x3=b,x4=c
(10)nghiệm hệ x1=x2=x3=a,x4=1
m 1và m -2 hệ có VSN phụ thuộc vào tham số x4 va tham số m nghiệm hệ
2
1
m a
x ,
2
2
m a
x ,
2
3
m a
x ,x4 a,aR
Bài 5: Trong R3 cho sở :
u1=(1,1,1), u2= (-1,2,1), u3=(1,3,2)
cho ánh xạ tuyến tính f: R3 R3 xác định bởi
f(u1)= (0,5,3), f(u2)=(2,4,3), f(u3)=(0,3,2)
tìm ma trận f sở ma trận chéo hố Giải : b1 Tìm ma trận f sở u
Ta có hệ
) ( )
(
) ( )
(
) ( )
(
3 2 1
3 2 1
3 2 1
u c u c u c u f
u b u b u b u f
u a u a u a u f
Từ (1) ta có (0,5,3)=a1(1,1,1)+a2(-1,2,1)+a3(1,3,2)
1 0
2
0
0
3
3
3
3
a a a a
a a
a a a
a a a
Tương tự từ ( 2) ta b1=1,b2=0,b3=1
Tương tự từ (3) ta c1=1,c2=1,c3=0
Vậy ma trận A sở f
0 1
1
1
3 3
2 2
1 1 ) ( /
c b a
c b a
c b a AA f u
B2 Tìm GTR- VTR A f (GTR A GTR f) Xét ma trận đặt trưng
2 ) (
2
1
1
1
3
m
kep m
m m m
m m
A có giá trị riêng, nên f có giá trị riêng m=-1, m=2 Tìm VTR A từ suy VTR f
với m=-1 ta có
0 0
0 0
1 1 1
1 1
1 1
VTR A có dạng
b x
a x
b a x x x R
x x
x x x
3
3
3
3
,
0
a,bR Dạng VTR A (-a-b,a,b)
Vậy A có VTR (-1,0,1),(-1,1,0)
Từ VTR f có dạng n= x1u1+x2u2+x3u3=(-a-b)u1+au2+bu3=
=(-a-b)(1,1,1)+a(-1,2,1)+b(1,3,2)=(-2a,a+2b,b) f có VTR ĐLTT với a=1,b=0 : VTR n1=(-2,1,0)
với a=0,b=1: VTR n2=(0,2,1)
với m=2 ta có
0 0
3
2 1 1
1
2 1 1
1
1
(11)VTR A có dạng
a x
a x x
a a a x x x R
x
x x
x x x
3
3
3
3
3
1 2
0 3
0
aR Dạng VTR A (a,a,a),
Vậy A có VTR (1,1,1)
Từ VTR f có dạng n= x1u1+x2u2+x3u3=au1+au2+au3=
=a(1,1,1)+a(-1,2,1)+a(1,3,2)=(a,6a,4a) f có VTR n3=(1,6,4)
b3 : KL f có VTR ĐLTT n1,n2,n3 VTR n1,n2,n3 làm thành sở R3
và ma trận f sở ma trận chéo hố ta có :
2 0
0
0
) /(n f A
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2006 MƠN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Bài 1: Cho
0 y x ,
0 y x ,
sin )
, (
2 2
2
x y x y
y x f
a Xét khả vi f (x,y)R2 đặc biệt (0,0) b Xét liên tục ĐHR ', '
y x f
f (0,0)
Giải :
Tại (x,y)(0,0) Ta có
2 2
2
3
2 '
2 2
2
2 '
1 cos ) (
2
sin
1 cos ) (
2
y x y
x y y
x y f
y x y
x xy f
y x
Do ', '
y x f
f liên tục (x,y)(0,0) nên f khả vi (x,y)(0,0)
Tại (x,y)=(0,0)
Ta có
1 ) , ( ) , ( )
0 ,
( lim
0 '
t
f t f f
t x
1) t
1 sin (do sin )
0 , ( ) , ( )
0 ,
( 2 2
0
'
lim
lim
t
t t t
f t f f
t t
y
Tính lims,t0(s,t)
Ta có 2
2 2 '
'
2
1 sin )
0 , ( ) , ( ) , ( ) , (
) , (
s t t t s t f s f
f t s f t s t
s x y
2 2
2 ,
,
1 sin )
,
( lim
lim s t st t s t
t s t
s
(12)do sin 2 2 1
t
s nên f khả vi (0,0) b.Xét liên tục ĐHR ', '
y x f
f (0,0)
để Xét liên tục ĐHR ', '
y x f
f (0,0) ta tính ( , ), '( , )
0 , '
0
, lim
limf x y fy x y
y x x
y
x
nếu lim, 0 '( , ) '(0,0),lim, 0 y'( , ) y'(0,0) y
x x
x y x
f y x f f
y x
f
' ',
y x f
f liên tục (0,0)
' ',
y x f
f không liên tục (0,0)
chọn , 1,0 (0,0)
n y
xn n ta có
0 ) , (
1 ) , (
' ,
' ,
lim lim
n f
n f
y y x
x y x
chọn (0,0)
2 ,
1 '
,
'
n
n y
xn n ta có
) , (
) , (
' ' ' ,
' ' ' ,
lim lim
n n y y x
n n x y x
y x f
y x f
vậy ', '
y x f
f không liên tục (0,0)
Bài 2: Cho (X,d )là không gian mêtric compac, f: XX thoả mãn: d(f(x),f(y))<d(x,y) xy
a CM có x0 X cho f(x0)=x0
b Đặt gn: X R định
gn (x)=d(x0,fn(x)) , xX fn=f0f00f (n lần )
CM gn liên tục thoả mãn gn(x)gn(x) gn(x) ,limn gn(x)0,xX
c CM (gn)n hội tụ điều X
Giải :
a.CM có x0 X cho f(x0)=x0
đặt h: X R xác định h(x)=d(x,f(x)), xX ta CM h liên tục
xét h(x) h(x') d(x, f(x)) d(x,' f(x')) 2d(x,x')
vậy h liên tục
h(x) liên tục , X compac nên tồn x0 : h(x0)= min(h(x)) với x X
cần CM h(x0)=0 ta CM phản chứng
giả sử h(x0)=d(x0,f(x0))>0
khi h(f(x0))=d(f(x0),f(f(x0)))<d(x0,f(x0))=h(x0)
điều mâu thuẩn với kiện tồn x0 : h(x0)= min(h(x)) với x X
vậy h(x0) =0 hay x0=f(x0)
ta CM tính
giả sử có y0 X : y0=f(x0) với x0 khác y0
ta có d(x0,y0)=d(f(x0),f(y0))<d(x0,y0) điều vơ lí
x0 tồn
b Đặt gn: X R định
gn (x)=d(x0,fn(x)) , xX fn=f0f00f (n lần )
CM gn liên tục thoả mãn gn x gn x gn x n gn x xX
, ) ( ) ,
( )
( )
( lim
Ta có ( ) ( ') ( , ( )) ( , ( ')) ( ( ), ( ')) ( , ')
0
0 f x d x f x d f x f x d x x
x d x g x
g n n n n
n
(13)Nên gn liên tục
Do gn1(x)d(x0,f n1(x))d(f(x0),f(f n(x)))d(x0, fn(x))gn(x),xX (gn(x))dãy giảm không âm nên hội tụ
Đặt a= limgn(x)
Giả sử a>0, X compac dãy fn(x)chữa dãy hội tụ
k n x
f k( )
Đặt y limf nk(x)
k
Ta có gnk1(x)k dãy gn(x)n nên a limk gnk(x) limk gnk1(x)
0 ) , ( )) ( , ( )
( lim 0 0
lim
y x d x f x d x
g
a k
k
n k
n k
) (
1
limg x
a nk
k
a y x d y f x f d x
f x d
k n
k
k
) , ( )) ( ), ( ( ))
( ,
( 0 0
0 lim
lim
mâu thuẩn gn x x X n
, ) (
lim
c CM (gn)n hội tụ điều X
với 0đặt Gn xX :gn(x) gn1(,) tập mở
do gn (x) >gn+1(x)nên GnGn+1 ta có n n
G X
do X compac nên có n0 : 0
1
n n n
n
G G
X
vậy 0gn(x),xX khi nn0 (gn)n hội tụ điều X
Bài Cho V không gian vectơ , f: V V ánh xạ tuyến tính thoả mãn f2=f CM: Kerf+Imf=V ker f Imf 0
Giải
CM: Kerf+Imf=V ta cần CM Kerf+ImfV (1), Kerf+ImfV (2)
CM Kerf+ImfV (1) hiển nhiên
CM: Kerf+ImfV (2)
Lấy tuỳ ý xV cần CM x Kerf+Imf
Ta có x= x-f(x)+f(x) mà f(x) Imf cần CM (x-f(x)) Kerf cần CM f(x-f(x))=0 Xét f(x-f(x))=f(x)-f2(x)=f(x)-f(x)=0 nên (x-f(x)) Kerf hay x Kerf+Imf
Vậy Kerf+ImfV
Từ (1),(2) ta có Kerf+Imf=V
CM ker f Im f 0
Lây y tuỳ y: y ker f Im f cần CM y=0
Do y ker f Im f có xV : f(x)=y f(y)=0 Do f2=f nên y=f(x)=f2(x)=f(f(x))=f(y)=0
Vậy y=0 hay ker f Imf 0
Bài : Cho f: R4 R3 định
f(x1,x2,x3,x4)=(x1-x2+x3,2x1+x4,2x2-x3+x4)
a Tìm sở số chiều Kerf, Imf b Tìm u R4 cho f(u)=(1,-1, 0) Giải : a
Tìm sở số chiều Kerf
(14)
0
0
0
) ( :
4
4
3
x x x
x x
x x x x
f R x Kerf
ta có ma trận mở rộng
0 1
0 0
0 1
0 0
0 2
0 1
biến đổi ta hệ
a x x
a x
a x
R x x
x x x
x x x
2 0
0
2
0
4
4
4
3
là nghiệm tổng quát hệ
ta có dimKerf =1
cơ sở Kerf (1,1,0,2)
Tìm sở số chiều Imf
ta có f(e1)=(1,2,0), f(e2)=(-1,0,2), f(e3)=(1,0,-1), f(e4)=(0,1,1)
Imf=(f(e1),f(e2),f(e3),f(e4))
Ta có
1
1
2
0
0 0
1 0
2 0
0
Nên dim Imf =3
Vậy sở Imf (f(e1),f(e2),f(e3))
b Tìm u R4 cho f(u)=(1,-1, 0)
ta có : f(u)=(1,-1, 0) =(x1-x2+x3,2x1+x4,2x2-x3+x4)
ta hệ
a x x
x x
x x
x x x
x x
x x x
2
2
2
0
1
1
4
4
4
4
4
3
(a R)
lập ma trận mở rộng biến đôi để giải hệ ta có u=(x1,x2,x3,x4)
Bài : Tìm GTR- VTR chéo hoá ma trân A=
2
2
1
Giải : Xét đa thức đặt trương
3 0
18
2
2
1
1
2
a a a a
a a a a
a
vậy A có GTR a=0, a=6, a=3
(15) với a=0 :ta có 0 9 2 1 2 2 2 2 1
ta hệ
a x a x x a x x x x x x 3 3 0 9 2
suy VTR (0,a,a) với a=1 VTR (0,1,1)
với a=6: ta có
0 3 1 2 1 1 hệ a x a x a x a x x x x x x 3 3 2 3
suy VTR (-2a,-a,a) với a=1 VTR (-2,-1,1)
với a=3: ta có
0 3 1 2 1 1 2 1 1 hệ a x a x a x a x x x x x x 3 3 3
suy VTR (3a,a,a) với a=1 VTR (3,1,1)
ma trận cần tìm T=
1 1 1
T-1AT=
0 0 0
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2005 MƠN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Bài 1: Cho hàm số
0 y x 0 y x sin ) ( ) , ( 2 2 2
x y x y
y x f
CMR hàm số f(x,y ) có đạo hàm riêng ', '
y x f
f không liên tục (0,0) f(x,y)
khả vi (0,0) Giải :
Tính đhr fx', fy'
(x,y)(0,0)
ta có 2 2 2
' 2 sin cos
y x y x x y x x fx 2 2 2
' 2 sin cos
y x y x y y x y fy
(x,y)=(0,0)
0 sin ) , ( ) , ( 2 0 ' lim
lim
(16)0 sin )
0 , ( ) ,
(
2
0
'
lim
lim
t
t t t
f t f f
t t
y (
1 sin 2
t )
xét liên tục đhr
nếu limx,y 0 f'(x,y)f'(0,0)
đhr liên tục
ta có ( , ) (2 sin 2 22 cos 2)
, '
0
, lim
lim f x y x x y x xy x y
y x x
y
x
do sin 1 sin 2 2
0 ,
2 lim
x y
x y
x xy
do
, 0 2 2 , 0 2
2
2
cos
1
cos lim lim
y x
x y
x y
x x y
x xy xy
vậy ( , ) sin cos '(0,0)
2 2 2
, '
0
, lim
lim x
y x x
y x
f y x y x
x y
x x y
x
f
tương tự ta có ( , ) sin 2 22 cos 2 '(0,0)
, '
0
, lim
lim y
y x y
y x
f y x y x
y y
x y y
x
f
vậy đhr không liên tục (0,0)
xét khả vi (0,0)
để CM f(x,y) khả vi (0,0) cần CM lims,t0(s,t)0
với f s t f f s f t
t s t
s, ) ( , ) (0,0) x(0,0) y(0,0)
( ' '
2
2
ta có ( , ) 2 sin 2 2
0 ,
, lim
lim
s t
t s t
s
t s t
s
sin 2 2 1
t
s f khả vi (0,0)
Bài 2: Tìm miền hội tụ chuổi luỷ thừa
n
n
n
x n
n
2
3
1
Giải : Đặt X=x-2 Ta chuổi
n n
n
n n
n X
n n
1 u
voi
3
n
Xét L=
3
1
lim
lim
n
n u
n n
n n
Nên R=3 khoảng hội tụ (-3,3) Xét X=3 X=-3 ta
n n
n n n
3
1
1
= n
n
n n n
1
3
1
0
3
lim
lim
n
n u
n n
n
n nên X=3,X=-3 chuổi không hội tụ
MHT chuổi theo X (-3,3) MHT chuổi theo x (-1,5)
(17)a.CMR : M tập đóng khơng rỗng bị chặn khơng gian metric C([0,1]) với mêtric d(x,y)=max{x(t) y(t) : t 0,1 } với x(t),y(t) C( 0,1)
b xét f :C( 0,1) R xác định f(x)=
1
2(t)dt
x
CM : f liên tục M f khơng đạt GTNN M từ suy M tập compắc C([0,1])
Giải : a.
CM : M tập đóng
Lấy dãy (xn) M : limxn=x cần CM xM
Ta có 0xn(t)1,t 0,1,xn(1)1
Cho n ta có 0x(t)1,t 0,1,x(1)1 nên xM Vậy M tập đóng
b
CM f liên tục M
Xét tuỳ ý xC( 0,1), (xn) M : limxn=x cần CM limf(xn)=f(x)
Ta có xn2(t) x2(t) xn(t) x(t).xn(t) x(t)2x(t) d(xn,x).d(xn,x)N
Với N=sup2x(t),t 0,1
d x x N
x x d t x t x x f x
f n n n n
( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , )
1
2
do limd(xn,x)=0 nên từ ta có limf(xn)=f(x)
vậy f liên tục M
CM f không đạt GTNN M
Trước tiên ta CM inff(M)=0, không tồn xM để f(x)=0 Đặt a= inff(M) ta có f(x)0,xM nên a0
Với xn(t)=tn ta có xn M
( ) 2 1 2 1 n
)
( 10
1
0
0
2 khi
n n
t dt t dt t x x
f a
n n
n n
vậy a= inff(M)=0
không tồn xM để f(x)=0
giả sử tồn tai xM để f(x)=0 ta có ( ) 0, 2( ) 0, 2( )
1
2 t dt x t x t
x
liên tục [0,1] suy
ra x(t)=0 với t [0,1] điêu mâu thuẩn với x(1)=1 với xM không tồn xM để f(x)=0
từ ta suy M không tập compăc
giả sử M tập compắc , f liên tục f đạt cực tiểu M tức có x0M
cho f(x0)=inff(M)=0 điều mâu thuẩn với không tồn xM để f(x)=0
vậy M không tập compắc Bài 4: Cho f :R3 R3
phép biến đổi tuyến tính xác định f(u1)=v1, f(u2)=v2, f(u3)=v3
u1=(1,1,1),u2=(0,1,1), u3=(0,0,1)
v1=(a+3,a+3,a+3),v2=(2,a+2,a+2), v3=(1,1,a+1)
a.tìm ma trận f với sở tắc e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)
(18)c f khơng đẳng cấu tìm sở số chiều Imf Kerf
d với a=-3 f có chéo hố khơng trường hợp f chéo hố háy tìm sở để ma trận f voéi sở có dạng chéo
Giải :
Bài 5: Cho dạng toàn phương
3
1 2
1, , ) 2 2
(x x x x x x x x ax x x x
f
a Đưa dạng tồn phương vể dạng tắc
b Với giá trị a f xác định dương xác định dương Giải : a ta có
3
2
2
3
1 2
) 2 ( )
1 ( )
(
2
2 )
, , (
x a a x
a x ax
x x
x x x ax x
x x x x x x x f
đặt
3
3
2
3
1
3
3
2
3 1
) (
) ( )
1 (
y x
y a y x
y a y
y x x
y
x a x y
ax x x y
cơ sở f tắc u1=(1,0,0),u2=(-1,1,0),u3=(1-2a,a-1,1)
ma trận
1 0
1
0
2 1
a a Tu
b.f xác định dương -2a2+2a>0 0a1
f xác định dương -2a2+2a=0 a0,a1
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2004 MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Bài 1: Tìm miền hội tụ chuỗi hàm luỷ thừa n
n n
n
x n
n ( 1)
1
2
Giải : Xét
n n
n
n u
1
1 1
Ta có L= e
n u
n
n n
n n
1
1 1
lim lim
Nên
e L
R1 1 , khoảng hội tụ
e e
1 ,
Xét tai đầu mút x= e
1
(19)Ta có chuổi
n n
n
n n n
n n
n n e n e
n
1 1
1 1
1
1
1 )
1 (
0 1 1
1
lim
lim
e
e e n
u
n
n n
n n
vậy MHT chuổi hàm luỹ thừa
e e
1 ,
Bài : Cho hàm số f:R2 R xác định
(0,0) y)
(x,
(0,0) y)
(x,
) ,
( x2 y2
xy y
x f
a Xét liên tục f R2
b Tính đạo hàm riêng f R2
Giải : Chú ý : limx,y0 f(x,y)f(0,0)0 hàm số liên tục
Tại (x,y) (0,0) hàm số liên tục hàm sơ cấp
Xét liên tục f R2 (0,0)
Tính 2
0 ,
,
2 )
,
( lim
lim f x y x xyy
y x y
x
Chọn dãy ( , ) (1,1) (0,0)
n n M y
x
Mn n n n n
Ta có
1
1 ) (
2
2
n n
n M
f n , (0,0)
2 2
) , (
2 2
2 ,
, lim lim
lim f
n n y
x xy y
x f
n y
x y
x
vậy hàm số không liên tục (0,0)
Tính đhr fx', fy'
Tại (x,y) (0,0)
ta có 2
2 '
) (
) ( ) (
2
y x
xy x y
x y fx
2 2
2 '
) (
) ( ) (
2
y x
xy y y
x x fy
Tại (x,y)=(0,0)
ta có lim ( ,0) (0,0)
0 '
t
f t f f
t x
0 ) , ( ) , (
lim
0 '
t
f t f f
t y
Bài 3: Tính tích phân
D
dxdy y x
I (2 )
Với D hình trịn có tâm điểm (1,0) bán kính Giải :
(20)Đổi sang toạ độ cực
Đặt
0, r sin
cos
r y
r x
1 chu kì
Ta có x2+y22x ta có r22rcos nên r 2cos
Vậy ta
2
cos
r
Với
rdrd dxdy
r y
r x
sin
cos
Vậy
2
cos
0 2
0 cos
2
0
2 16 ) sin cos
2 ( )
sin cos
2 ( )
2 (
r rdrd d r dr
r dxdy
y x I
D
Bài 4: Cho tập hợp số tự nhiên N với m,n N Đặt
n m neu
n m neu
1 ) ,
(m n m n
d
a CM d metric N
b CM (N,d ) không gian metric đầy đủ Giải : a d metric N
d(m,n)0,m,nN d(m,n)=0 m=n
( , )
0 1 n m neu
n m neu
1 ) ,
(m n m n n m d n m
d
CM d(m,n) d(m,l)+d(l,n) (1)l,m,nN TH1 : m=n,m=l,n=l (1)
TH2 : m n
n m n
m d
1
) , (
nếu m l
l m l
m d
1
) , (
nếu l n
n l n
l d
1
) , (
thì VT (1) 2, VP (1)2 nên (1) b (N,d ) không gian metric đầy đủ
giả sử (xn) dãy cauchy (N,d) ta CM xn x d
do (xn) dãy cauchy (N,d) nên ta có limm,n(xm,xn)0
0, n0 : m,n n0 :d(xm,xn)
chọn 0 ( , ) ,
2 ) , ( ,
: ,
n n m x x x
x d x
x d n n m
n m n m n m n
(21)Bài 5: tính định thức
0 0
0 0
2 6
1 1
8 0
6 0
Giải :
Bài 6: Cho ánh xạ tuyến tính f: R4 R3 có ma trận cặp sở tắc
3
1
1
xác định nhân ảnh f , Hỏi f có đơn cấu , tồn cấu khơng? Vì sao? Giải : từ mae trận tacó ánh xạ
f(x1,x2,x3,x4)=(x1+2x3+x4,2x1+3x2-x3+x4,-2x1-5x3+3x4)
Xác định nhân ảnh f tức tìm sở số chiều Imf, Kerf
Tìm sở số chiều Kerf
Ta có
0
0 1
0
0 0
0
0
Ta hệ ,( )
3 15
26 33
3
1
0
0
3
0
4
4
4
4
4
4
4
R a a x
a x
a x
a x
a x
x x
x x x x
x x x
x x
x x x
x x x
f có ẩn tự nên dimKerf = Kerf có sở (-33,26,15,3) Vậy f khơng đơn cấu dimKerf =
Tìm sở, số chiều Imf
Ta có B=
0 1
0
0
0 2
0
0
0
0 2
0
0
0
0 2
0 26 0
0 15 0
0
0 2
0 0
0 390 0
0
0 2
Vậy Rank (B)=3 nên dimImf=3 Imf có sở gồm vectơ(f(e1),f(e4),f(e2))
f khơng tồn cấu dimImf=3 Bài 7: Cho ma trận
1 3
1
1
(22)b Tính A2004
Giải :
a Tìm GTR- VTR A
Tìm GTR A
Xét đa thức đặt trưng
Ta có: (1 )( 2) 12
1 3
1
3
1
1
2
a a a
a a
a a
Vậy A có GTR a=1, a=2
Tìm VTR A Với a=1 ta có
0 0
1
1 3
3
1
1
3
1
1
Ta hệ
1 1
0
2
3
3
3
x x x a
x x x
x x x
có VTR (1,1,1)
Với a=2 ta có
0 0
0 0
1 3
3
1 3
1 3
Ta hệ
b x
a x
x x x b
x a x
x x x
3
3
3
3
1 3
3
Vậy có VTR (1,1,0), (-1,0,3) b
ta có
3
0 1
1 1
Q
ma trận chéo A
2 0
0
0
1AQ
Q B (Q-1AQ)2004=Q-1A2004Q
vậy A2004=QB2004Q-1= 2004
2 0
0
0
Q
Q =
2004 2004
2004
2 0
0
0
0
1
Q Q
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2003 MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Bài 1: Bài 2:
Bài 3: Cho (X,d) không gian metric compắc
a.Giả sử An họ tập đóng X An+1 An n N
CMR vơi n N ,An
(23)b.Giả sử fn :X R,nN hàm liên tục X
x x
f x
f x
f1( ) 2( ) n( ) , CMR n n n N n
f X x x
f
0, ,( )
) (
lim
Hộ tụ X Giải :
a giả sử vơi n N ,An CMR :
1
n n A vơi n N lấy xn An
do Anp An,n,pN,nen xnpAn
do X compắc nên với (xn)nX có dãy (xnk)k hội tụ
đặt x= nk
k x
lim
do nk k nên Ak tập đóng với i dãy n n i
i k
n x A x A
x k
1
vậy
1
n n A b cần CM : fn(x)0
2 fn(x)
ta có f1(x)f2(x) fn(x) ,xX fn x x X n
, ) (
lim nên fn(x)0
với 0 cho trước đặt : ( ) 1(,)
n n
n x X f x f
F
do (,) tập mở, f liên tục nên Fn mở
do fn+1(x)fn(x) suy fn(x) dãy giảm nên Fn Fn1
do f x x X Fn X
n n
n
1
, ) (
lim
do X compắc nên có tập J hữu hạn N cho Fn X J
n
đặt n0=maxJ ta có Fn X Fn0 fn(x) fn0(x) , n n0
J n
vậy xX,(fn)nN hội tụ X Bài 4: b tìm miền họi tụ chuỗi hàm
n
n n
x d n
n
Giải : xét
2
n
n
d n
n
U
Ta có n d
n n
n n
n
n e
n d n d
n n U
L lim lim lim
Bán kính hội tụ R=ed, khoảng hội tụ (-ed;ed)
Xét đầu mút x=ed,x=-ed
Ta có chuỗi ( ) 1 lim
1
2
n
n n
n n
d n n
d n
U e
d n
n e
d n
n
(24)GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2002 MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Bài : a Cho hàm số
(0,0) y)
(x,
(0,0) y)
(x, ) (
) ,
( 2
2
y x
y x xy y
x f
Xét tính liên tục f(x,y) đhr ', '
y x f
f tập xác định
Giải :
Tại (x,y) (0,0) f(x,y) liên tục hàm sơ cấp
Xét liên tục f (x,y)= (0,0)
Nếu limx,y0 f(x,y)f(0,0)0 hàm số liên tục
Ta có : 2
3 , 2
3 , 2
2 ,
, lim lim lim
lim ( , ) ( )
y x
x y y
x y x y
x y x xy y
x f
y x y
x y
x y
x
Xét
2 2
3 , 2
3
lim
x y
y x x
y x
y x
y x
0
2 2
3 , 2
3
lim
x y
xy y
y x
xy
y x
từ limx,y0 f(x,y)f(0,0)0 f liên tục
Tính đhr fx', fy'
Tại (x,y) (0,0)
'
x
f
'
y
f
Tại (x,y)=(0,0)
0 ) , ( ) , (
lim
0 '
t
f t f f
t x
0 ) , ( ) , (
lim
0 '
t
f t f f
t y
b Tính tổng chuỗi hàm
1
n n
nx MHT Giải : ta tìm khoảng hội tụ (-1,1)
Ta có
1.1
)
(
n n
x x n x
S
Đặt
1
1( )
n n x n x
S (1)
Lấy tích phân vế (1) đoạn [0,x] ta
1
1
1 1
1
) (
n x
n n n
x
t t
dt t n dt
t
S (2) CSN
đạo hàm vế (2) ta
) (
1 )
(
x x
S
(25)vậy
1 x :
1 x : )
1 (
1 )
(x x x
S
Bài 2: Bài 3:
Bài 4: b Tìm VTR- GTR ma trận A=
7
0
2
Giải : Xét đa thức đặt trưng
9
) 27 12 )(
6 (
0
0
2
2
2
a a a a
a a a
a a
Vậy có GTR a=6,a= 3, a=
Tìm VTR Với a=6 ta có
1
0
2
2
0
1
0 0
1
1
Ta hệ
a x
a x
a x x
a x
x x
x x
2
2
0
3
3
3
3
Có VTR (-1,2,2)
Với a=3 ta có
4
0 2
2
Ta hệ Có VTR (,,)
Với a=9 ta có
2
0
2
http://kinhhoa.violet.vn