Dùng cung AnB t©m M thuéc nöa mÆt ph¼ng víi nöa ®êng trßn (O).. KÎ tiÕp tuyÕn Bx víi nöa ®êng trßn. Chøng minh MN = EF.. KÎ trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB hai tia Ax vµ By cïng vu«ng gãc víi [r]
Trang 1Ôn thi vào lớp 10 GV: Nguyễn Anh Tuấn
Các bài tập rèn luyện kĩ năng tính toán
Bài 1: Phân tích các biẻu thức sau thành luỹ thừa bậc hai.
Bài 2: Phân tích ra thừa số :
a) 12x y2 24x y4 212x y3 3 b) x2 7xy10y2 c) x2 5x14
Bài 3: Phân tích ra thừa số các biểu thức sau:
a) 1 3 5 15 b) 10 14 15 21 c) 35 14 15 6 d) 3 18 3 8
Bài 4: Thực hiện phép tính:
a) 28 2 14 7 7 7 8 b) 18 3 2 10 2 3 0, 4 c) 15 50 5 200 3 450 : 10
Bài 5: Giải các bất phơng trình:
a) 5(x – 2) + 3 > 1 - 2(x – 1) b) 5 + 3x(x + 3) < (3x – 1)(x + 2) c) 2x + (x – 1) > x + 5
Bài 6: Với những giá trị nào của x thì giá trị của biểu thức 3 1
2 8
x
bé hơn giá trị của biểu thức 1
3 4
x
Bài 7: Tìm các giá trị của x để:
a) x2 – 2x + 5 có giá trị nhỏ nhất.x
b) 2 2
có giá trị nhỏ nhất
c)
2
2
x
x
có giá trị lớn nhất.
d) 2 1
x x có giá trị lớn nhất.
Bài 8: Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu:
4
x
2
x
Bài 9: Giải các phơng trình tích:
a) (x – 7)(2x + 8) =
0
b) (x + 5)(x – 7)(x + 8) = 0
c) (x2 – 9)(x + 5)(x2 + 3) = 0
d) (x + 2)(x – 5)(x2 + 2x +2) = 0
Bài 10: Giải các phơng trình chứ dấu giá trị tuyệt đối:
a) 5 2 x 3 b) 5 2 x 1 x c) 5 2 x 1 x d) x2 2x 1 25
e) x26x9 4x2 4x1 f) 1
5
x x
g*) x 1 x1 10
h*) x 5 32 2
Bài 11: Giải các hệ phơng trình:
x y
x y
x y
c) 2 2 2 0
y x
2
5 0
x y
e)
1 1
1
3 4
5
f)
1
1
h)
1
1
Bài 12: Giải các phơng trình bậc hai bằng cách hợp lí:
a) x2 – 11x + 30 = 0 b) 5x2 -17x +12 = 0 c) 3x2 -19x - 22 = 0
d) 3x2 -2x 3 - 3 = 0 e) x2 – x(1 + 2) + 2 = 0 f) x2 – 2( 3 - 1)x + 3 = 0
Bài 13: Giải các phơng trình sau:
a) 2x4 – 7x2 – 4 = 0 b) x4 – 13x2 + 36 = 0 c) x - 3 x + 2 = 0 d) x2 - x - 6 = 0
Trang 2Bài 14: Giải các phơng trình sau:
a) 2x3 – x2 + 3x + 6 = 0 b) (x2 + x)( x2 + x + 1) = 6 c) x(x + 1)(x + 4)(x + 5) = 12 d) (x + 2)4 + (x + 4)4 = 16 e) 2x4 - 11x3 + 19x2 - 11x + 2 = 0 f) 2(x2 - 2x)2 = 3x2 – 6x + 9 = 0 g) (x + 1)4 + (x + 3)4 = 2 h)2x4 - 13x3 + 24x2 - 13x + 2 = 0
Bài toán tổng hợp kiến thức và kĩ năng.
Bài 1: Thực hiện phép tính:
3
:
;
c) 5 2 6 8 2 15
7 2 10
; d) 5 3 5 3 5 1
Bài 2: Rút gọn biểu thức:
:
a b b a
với a, b > 0; ab
; với a > 0, a1
Bài 3: Xét biểu thức: 3
x P
x
a) rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu x 4 2 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 4: Xét biểu thức
1 1
A
a) Rút gọn A
b) Tìm a để A = 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 5: Cho biểu thức
C
a) Rút gọn C
b) Tìm tỉ số giữa a và b sao cho 1
2
C
Bài 6: Cho biểu thức:
2a 2 1 2a 2 : b2 2
D
a) Rút gọn D
b) Tính giá trị của D nếu 3
2
a
c) Tìm điều kiện của a,b để D < 1
Bài 7: Cho biểu thức: 1 1
1
x E
x
a) Rút gọn E
b) Tìm giá trị của x để 1
3
E
Bài 8: Xét biểu thức: 2 2 1 2
x
G
a) Rút gọn biẻu thức G
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì G > 0
Trang 3Ôn thi vào lớp 10 GV: Nguyễn Anh Tuấn c) Tìm giá trị lớn nhát của G
Bài 9: Xét biểu thức 2 9 3 2 1
H
a) Rút gọn biểu thức H
b) Tìm các giá trị của x để H < 1
c) Tìm các giá trị của x Z sao cho H Z
Bài 10: Xét biểu thức 3 3 2
x y I
x y
a) Rút gọn I
b) Chứng minh I 0
c) So sánh I với I
K
a) Rút gọn K
b) Tìm giá trị của a sao cho K > 1
c) Tính giá trị cua K nếu a 2008 2 2007
Bài 12: Xét biểu thức: 15 11 3 2 2
L
a) Rút gọn L
b) Tìm các giá trị của x sao cho 1
2
L
c) So sánh L với 2
3
M
a) Rút gọn M
b) Với giá trị nào của x để m < 0
c) Tìm số m để các giá trị của x thoả mãn: M. x1 m x 1 2
a) Rút gọn N
b) Với giá trị nào của a để N a7.
c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a thuộc tập xác định ta đều có N > 6
:
1
P
x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi 7 4 3
2
Bài 16: Cho biểu
: 1
Q
a) Rút gọn Q
b) Tính giá trị của Q biết 8
5 3
x
. c) Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên
Phơng trình và hệ phơng trình.
Trang 4Bài 1: Cho đờng thẳng: 2x + m(y – 1) = 4 (D).
a) Vẽ đờng thẳng (D) khi m = 1
b) Xác định giá trị của m để đờng thẳng (D) song song với đờng thẳng y = -3x + 1 (D’)
c) Chứng minh rằng đờng thẳng (D) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi
Bài 2: Xét xem đờng thẳng (Am) có phơng trình: y = m(m – 2)x + 3m + 3
và đờng thẳng (Bm) có phơng rình: y = (m + 4)x + m + 1
a) Với m = 1 hãy vẽ hai đờng thẳng (A1) và (B1) trên cùng một hệ trục toạ độ
b) Với giá trị nào của m thì hai đờng thẳng (Am), (Bm) song song với nhau
Bài 3: Viết phơng trình đờng thẳng không đi qua gốc toạ độ:
a) Có hệ số góc bằng -2 và đi qua điểm M(2,5)
b) Đi qua các điểm M(2,5) và N(-1,11)
c) Đi qua điểm A(1,3) và song song với đờng thẳng y = -2x
d) Đi qua điểm P(-1,2) và song song với trục tung
e) Đi qua điểm Q(2,-3) và song song với trục hoành
f) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3
Bài 4: Cho hàm số y = 2x2 (P) và y = m (D)
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên
b) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng (D) không cắt (P)? Cắt (P) tại một điểm (Tiếp xúc (P))? Cắt (P) tại hai
điểm phân biệt
c) Với m = 8 tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (D) và parabol (P) bằng phơng pháp đại số
Bài 5: Cho hàm số y = x2 (P) và hàm số y = 2x – 1 (D)
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độvà xác định toạ độ giao điểm của chúng
b) Chứng minh (P) và (D) chỉ cắt nhau tại một điểm duy nhất
Bài 6: Cho hàm số
2 4
x
y (P) và hàm số y = x + m (D)
a) Vẽ parabol (P) và xác định phơng của đờng thẳng (D)
b) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng (D) không cắt parbol (P)? Tiếp xúc (P)? Cắt (P) tại hai điểm phân biệt?
c) Chứng tỏ rằng đờng thẳng x = 2 cắt parabol tại một điểm duy nhất Xác định toạ độ giao điểm đó?
Bài 7: Cho hàm số
2 4
x
y và hàm số y = x + k a) Với giá trị nào của k đờng thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt?
b) Vẽ đồ thị và xác định toạ độ giao điểm của parabol và đờng thẳng khi k = -3
Bài 8:
a) vẽ đồ thị (P) của hàm số y = 2x2
b) Trên đồ thị (P) lấy điểm A có hoành độ x = 1 và điểm B có hoành độ x = 2 Xác dịnh giá trị của m, n để đ-ờng thẳng y = mx + n tiếp xúc với parabol (P) và song song với AB
Bài 9: Trong mặt phẳng toạ độ cho Parabol (P): y = ax2 và điểm M(1;1) nằm trên (P)
a) Hãy xác định hệ số a Vẽ Parabol trong trờng hợp đó
b) Lấy điểm N trên (P) có hoành độ xN = -2, tính tung độ yN Viết phơng rình đờng thẳng MN
c) Tìm điểm A trên trục tung để ba điểm M, A, N thẳng hàng
d) Một đờng thẳng (D) qua A có hệ số góc m, đờng thẳng (D) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt P,Q.Gọi
P1, Q1 lần lợt là hình chiếu của P và Q trên trục hoành Chứng minh rằng OP1.OQ1 = OA (Đơn vị trên hai trục toạ độ bằng nhau)
Bài 10: Xét hàm số y = ax2 + bx + c
a) Xác định các hệ số a, b, c biết đồ thị của hàm số cắt Oy tại điểm (0;-4), cắt Ox tại điểm (-1;0) và đi qua
điểm (1;6)
b) Tìm giao điểm thứ hai của đồ thị với trục Ox
c) Chứng tỏ rằng đờng thẳng 3x + y +4 = 0 tiếp xúc với đồ thị của hàm số xác định ở câu a)
Bài 11: Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình :
2
mx m y
x my
vô nghiệm? Có nghiệm duy nhất? Vô số nghiệm?
Bài 12: Tìm các giá trị của k để phơng trình 10x2 + 40x + k = 0
a) Có hai nghiệm phân biệt; b) Có nghiệm kép; c) Vô nghiệm
Bài 13: Cho phơng trình x2 – 2x -25 = 0 có hai nghiệm x1, x2 Không giải phơng trình hãy tính :
a)
1 2
x x ; b)
3 3
1 2
x x
Bài14: Cho phơng trình: mx2 – 2(m+1)x – 2m = 0 (m0) (1)
a) Giải phơng trình vơi m = -2 bằng hai cách :
Cách 1: Biến đổi thành phơng trình tích
Cách 2: Dùng công thức nghiệm
b) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Bài 15 : Cho phơng trình: (2m – 1)x2 - 4mx + 4 = 0 (2) với ẩn là x
Trang 5Ôn thi vào lớp 10 GV: Nguyễn Anh Tuấn a) Giải phơng trình (2) với m = 2
b) Giải phơng trình (2) với m bất kì
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng m
Bài 16: Cho phơng trình bậc hai: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0 (ẩn x, m là tham số) (3)
a) Giải phơng trình (3) khi m = 2
b) Xác định giá trị của m để phơng trình (3) có nghiệm kép
c) Với giá trị nào của m thì hai nghiệm của phơng trình (3) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu, khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
Bài 17: Cho phơng trình: mx2 – 2(m + 1)x + m + 3 = 0 (m 0)
a) Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm
b) Tìm giá trị của m để tổng các nghiệm bằng 6 Tính các nghiệm đó
c) Trong trờng hợp phơng trình có nghiệm, tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với m
Bài 18: Cho phơng trình: x2 – 5x + 6 = 0 (4) Không giải phơng trình, lập một phơng trình bậc hai có các
nghiệm y1, y2 là:
a) Số đối các nghiệm của phơng trình (4)
b) Nghịch đảo các nghiệm của phơng trình (4)
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, lập hệ phơng trình
Bài 1: Một ô tô đi từ A đến B, cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A với vận tốc bằng 2/3 vận tốc của ô tô thứ
nhất Sau 5 giờ chùng gặp nhau Hỏi mỗi ô tô đi cả quảng đờng mất bao lâu?
Bài 2: Một ô tô du lịch đi từ A đến C Cùng một lúc tại địa điểm B nằm trên đoạn đờng AC, có một ô tô vận tải
cùng đi đến C Sau 5 giờ hai ô tô gặp nhau tại C Hỏi ô tô du lịch đi từ A đến B mất bao lâu, biết rằng vận tốc của
ô tô tải bằng 3/5 vận tốc của ô tô du lịch
Bài 3: Đờng sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đờng bộ 10 km Để đi từ A đến B, canô đi mất 3 giờ
20 phút, ô tô đi hết 2 giờ Vận tốc của canô kém vận tốc của ô tô là 12 km/h Tính vận tốc của canô
Bài 4: Một ngời đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km Sau đó 1 giờ 30 phút một ngời đi xe máy cũng đi
từ A và đến B sớm hơn 1 giờ Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc của xe
đạp
Bài 5: Một ngời đi xe máy từ từ A đến B với vận tốc trung bình 30 km/h Khi đến B,ngời đó nghỉ 20 phút rồi quay
trở về A với vận tốc trung bình 25 km/h Tính quãng đờng AB, biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút
Bài 6: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh Bvới vận tốc trung bình 40 km/h Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi
còn 60 km nữa thì đợc một nửa quãng đờng AB , ngời lái xe tăng thêm vận tốc 10 km/h trên quãng đờng còn lại,
do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn dự định 1 giờ Tính quãng đờng AB
Bài 7: Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha Khi thực hiện, mỗi ngày đội máy kéo cày đợc 52 ha Vì vậy
đọi không những đã cày xong trớc thời hạn 2 ngày mà còncày thêm đợc 4 ha nữa Tính diện tích thửa ruộng mà
đội phải cày theo kế hoạch đã định
Bài 8: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong một công việc đã định Họ làm chung với
nhau 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm phần công việc còn lai trong 10 giờ.Hỏi tổ thứ hai nếu làm mộ mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc
Bài 9: Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể thì sau 44
5giờ thì đầy bể Mỗi giờ lợng nớc của vòi I chảy đợc bằng 1
1 2 lợng nớc của vòi II Hỏi mỗi vòi chảy rieng thì trong bao lâu đầy bể?
Bài 10: Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10
ohút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đợc 2
15 bể Hoir nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu mới đầy bể.
Bài 11: Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày Họ cùng làm với
nhau đợc 8 ngày thì đội 1 đợc điều động làm việc khác, còn đội 2 tiếp tục làm Do cải tiến kĩ thuật năng suất tăng gấp đôi nên đôi 2 đã làm xong công việc còn lại trong 3 ngày rỡi Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì thì sau bao nhiêu nagỳ sẽ làm xong công việc nói trên (với năng suất bình thờng)?
Phần hình học.
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Tia phân giác cua góc A cắt BC ở D, cắt đờng tròn ở E Tiếp
tuyến của đờng tròntại A cắt đờng thẳng BC ở M
a) Chứng minh: MA = MD
b) Gọi I là điểm đối xứng với D qua M, gọi F là giao điểm của IA với đờng tròn (O) Chứng minh ba điểm E,
O, F thẳng hàng
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A Trên cạnh AC lấy một điểm M, dựng đờng tròn (O) đờng kính MC Đờng
thẳng BM cắt đờng tròn tại D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn tại S
a) Chứng minh: ABCD là tứ giác nội tiếp, CA là tia phân giác của góc SCB
b) Gọi E là giao điểm của BCvới đờng tròn (O) Chứng minh rằng các đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy c) Chứng minh DM là phân của góc ADE
d) Chứng minh M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A.
Trang 6a) Nêu cách dựng đờng tròn tâm (O) qua A tiếp xúc với BC tại B Nêu cáhc dựng đờng tròn tâm O’ qua A tiếp xúc với BC tại C
b) Hai đờng tròn (O) và (O’) có vị trí nào đối với nhau
c) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (O)
d) Cho AB = 36 cm; AC = 48 cm Tính độ dài BC và bán kính của các đờng tròn (O) và (O’)
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O)
a) Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đờng tròn tại M Chứng minh MC2 = MI.MA
b) Kẻ đờng kính MN Các tia phân giác của góc B và góc C của tam giác ABC cắt An tại P và Q Chứng minh
4 điểm P, C, B, Q cùng thuộc một đờng tròn
Bài 5: AC là dây cung bất kì của đờng tròn (O)đờng kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Ax với nửa đờng tròn ấy Tia
phân giác của góc CAx cắt nửa đờng tròn ở E, cắt tia BC ở D
a) Gọi I là giao điểm của AC và BD Chứng minh DI AB
b) Tìm quỹ tích của D khi C di chuyển trên nửa đờng tròn (O)
c) Trên nửa mặt phảng bờ AB không chứa nửa đờng tròn nói trên ta dựng tam giác vuông cân AMB ( đáy AB) Dựng cung AnB tâm M thuộc nửa mặt phẳng với nửa đờng tròn (O) Tính diện tích của hình trăng khuyết tạo thành
Bài 6: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R.và một điểm M bất kì trên nửa đờng tròn (M A,B) Đờng thẳng d tiếp xúc với với nửa đờng tròn tại M và cắt đờng trung trực của đoạn thẳng AB tại I Đờng tròn tâm I tiếp xúc với với AB cắt đờng thẳng d tại C và D (D nằm trong góc BOM)
a) Chứng minh các tia OC, OD là các tia phân giác của của các góc AOM, BOM
b) Chứng minh CA và BD vuông góc với AB
c) Chứng minh AC.BD = R2
d) Tìm vị trí của điểm M trên nửa đờng tròn (O) để tổng AC + BD đạt giá trị lớn nhất
Bài 7: Cho đờng tròn (O;R), hai đờng kính AB, CD vuông ógc với nhau Trong đoạn AB lấy điểm M khác O đờng
thẳng CM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N, đờng thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đờng tròn tại điểm P Chứng minh rằng:
a) Tứ giác OMNP nội tiếp
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành
c) Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
d) Khi M di động trên AB thì P chạy trên mộ đoạn thẳng cố định
Bài 8: Trên một đờng thẳng cho 3 điểm A, B, C theo th tự đó và một đờng thẳng d vuông góc với AC tại A Vẽ
đ-ờng tròn đđ-ờng kính BC và trên đó lấy một điểm M bất kì Tia CM cắt đđ-ờng thẳng d tại D Tia AM cắt đđ-ờng tròn tại
điểm thứ hai N; Tia DB cắt đờng tròn tại điểm thứ hai P
a) Chứng minh tứ giác ABMD nội tiếp
b) Chứng minh tích CM.CD không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
c) Tứ giác APND là hình gì? Tại sao?
Bài 9: Cho đoạn thẳng AB và điểm P nằm giữa A và B Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia Ax và By vuông góc
với AB và lần lợt trên hai tia đó lấy hai điểm C và D sao cho AC.BD = AP.BP (1)
a) Chứng minh hai tam giác APC và BPD đồng dạng
b) Chứng minh: CPD=900.Từ đó suy ra cách dựng hai điểm C và D thoả mãn (1)
c) M là hình chiếu P trên CD, chứng minh AMB=900
d) Chứng minh điểm M chạy trên nửa đờng tròn cố định khi C, D lần lợt di động trên Ax, By nhng vẫn thoả mãn (1)
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB>AC) đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đờng
tròn đờng kính BH cắt AB tại E, nửa đờng tròn đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F
a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật
b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp
c) Chứng minh AE.AB = AF.AC
d) Chứng minh AF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng rròn
Bài 11: CHo nửa đờng tròn (O) dờng kính AB, bán kính OC vuông góc với AB Gọi M là một điểm di động trên
cung BC (MB,C) AM cắt OC tại N
a) Chứng minh rằng tích AM.AN không đổi
b) Vẽ CD vuông góc với AM, Chứng minh tứ giác MNOB, AODC nội tiếp
c) Xác định vị trí của M trên cung BC để tam giác COD cân tại D
Bài 12: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O), H là trực tâm của tam giác, M là một điểm trên
cung BC không chứa điểm A
a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành
b) Gọi N và E lần lợt là các điểm đối xứng của M qua các đờng thẳng AB và AC, chứng minh rằng 3 điểm N,
H, E thẳng hàng
c) Xác định vị trí của M để NE có độ dài lớn nhất
Bài 13: Hai đờng tròn tâm O và O’ bán kính R và r (R>r) tiếp xúc ngoài tại M Đờng thẳng OO’ cắt đờng tròn (O)
tại C, cắt đờng tròn (O’) tại D Tiếp tuyến chung ngoài AB (A(O), B (O’)) cắt đờng thẳng của OO’ ở Htiếp tuyến chung ngoài của của hai đờng tròn ở M cắt AB ở I
a) Chứng minh tam giác OIO’, tam giác AMB là các tam giác vuông
b) Chứng minh AB = 2 Rr
Trang 7Ôn thi vào lớp 10 GV: Nguyễn Anh Tuấn c) Tia AM cắt (O) ở A’ tia BM cắt (O’) ở B’, chứng minh ba điểm A, O, B’ và A’,O’,B thẳng hàng và CD2= BB’2+AA’2
d) Gọi N và N’ lần lợt là giao điểm AM với OI, BM với O’I Tính độ dài các đoạn thẳng MI, AB, OI, O’I,
OH, O’H theo R và r Tính diện tích tứ giác INMN’ khi R = 3r
Bài 14: Cho (O;R) bán kính AB, một điểm C (CA,B) nằm trên đờng tròn Tiếp tuyến Cx của đờng tròn cắt AB tại I Phân giác góc CIA cắt OC tại O’
a) Chứng minh rằng: (O’;O’C) tiép xúc (O)và tiếp xúc với đờng thẳng AB
b) Gọi D, E theo thứ tự là giao điểm thứ 2 của CA, CB với (O’) Chứng minh rằng D,O’,E thẳng hàng
Bài 15: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Một điểm M di động tren đờng tròn Gọi N là điểm đối xứng của A qua
M, P là giao điểm thứ hai của đờng thẳng BN với (O); Q,R là giao điểm của BM lần lợt với AP va với tiếp tuyến tại
A của (O)
a) Chứng minh rằng: điểm N luôn nằm trên một đờng tròn cố định tiếp xúc với đờng tròn (O) Gọi đó là đờng tròn (O’)
b) Chứng minh rằng RN là tiếp tuyến của đờng tròn (O’)
c) Tứ giác ARNQ là hình gì? Vì sao?
Bài 16: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tạ hai điểm A và B kẻ cát tuyến MAN (M(O), N(O’)) Gọi E,
G theo thứ tự là trung điểm của AM, AN
a) Tứ giác OEGO’ là hình gì? Vì sao?
b) Tìm vị trí của M , N sao cho MN có độ dài nhỏ nhất có thể đợc
c) Dựng cát tuyến MN sao cho MN= 4
3OO’.
Bài 17: Cho đờng tròn (O) hai dây AB và CD (AB > CD) các đờng thẳng chứa hai dây cung đó cắt nhau tại I ở bên
ngoài đờng tròn Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD
a) Chứng minh OE AB
b) Chứng minh rằng tứ giác OEIF nội tiếp, xác định tâm và bán kính của đờng tròn đó
c) So sánh các góc OIA và OIC
Bài 18 : Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn C và D là hai điểm di động
trên nửa đờng tròn, các tia AC và AD cắt Bx lần lợt tại E và F (F nằm giữa B và E)
a) Chứng minh rằng tam giác ABF đồng dạng với tam giác BDF
b) Chứng minh rằng CEFD nội tiếp
Bài 19: Cho đờng tròn (O) Vẽ hai dây AB và CD vuông góc tại M bên trong của đờng tròn Từ A vẽ một đờng
thẳng vuông góc với đờng thẳng BC cắt đờng thẳng này tại H, cắt đờng thẳng CD tại E F là điểm đối xứng của C qua AB Tia AF cắt tia AB tại K, Chứng minh rằng:
a)MAH = MCB
b) Tam giác ADE cân
c) Tứ giác AHBK nội tiếp
Bài 20: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, cân tại đỉnh A nội tiếp (O;R) Hai đờng cao BD và CE gặp nhau tại H
Vẽ đờng kính AI
a) Chứng minh rằng H nằm trên AI
b) Chứng minh rằng tứ giác BHCI là hình thoi
c) Dựng tam giác ABC nói trên biết R= 2,5cm và trực tâm H cách A là 3cm
d) Tính diện tích tam giác cân ABC vừa dựng
Bài 21: Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C là các tiếp điểm)
CD là đờng kính của đờng tròn (O)
a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H và:
2 2
b) Trung trực của CD cắt BD tại E Chứng minh EA = OC
c) Chứng minh năm điểm A, E, B, O, C cùng nằm trên một đờng tròn
Bài 22: Cho đờng tròn (O) A, B, C là ba điểm nằm trên đờng tròn Gọi H là trực tâm của ABC AH cắt đờng tròn (O) tại E, kẻ đờng kính AOF
a) Chứng minh: EF//BC
b) Chứng minh góc CAF bằng góc BCE
c) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh H, I, F thẳng hàng
Bài 23: Cho đờng tròn (O) và điểm A ở ngoài đờng tròn đó Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE tới đờng
tròn (B, C là các tiếp điểm) Gọi H là trung điểm của DE
a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, H, O, C cùng thuộc một đờng tròn
b) Chứng minh rằng HA là tia phân giác của góc BHC
c) Gọi I là giao điểm của BC và DE, chứng minh: AB2 = AI.AH
d) BH cắt đờng tròn (O) ở K Chứng minh AE//CK
Bài 24: Cho ACB nội tiếp đờng tròn (O) và đờng thẳng d là tiếp tuyến của đờng tròn tại C Gọi AH và BI là các
đờng cao của ABC
a) Chứng minh HI // d
b) Gọi MN và EF lần lợt là hình chiếu của các đoạn thẳng AH và BI lên đờng thẳng d Chứng minh MN = EF
Trang 8Bài 25: Cho ABC nội tiếp đờng tròn (O) Một đờng tròn tâm I tuỳ ý đi qua B và C cắt AB và AC tại M và N Đ-ờng tròn tâm K ngoại tiếp AMN cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là D Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AKIO là hình bình hành
b) Góc AID bằng 900
Một số đề tham khảo
đề i
Bài 1 : Cho biểu thức : A =
2
1 x : x 1
1 1 x x
x 1
x x
2
Rút gọn P b) Chứng minh rằng A > 0 với mọi giá trị của x TXĐ
Bài 2 : Cho phơng trình : x2 – 4x + m – 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = - 11
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện : x x2 10
2 2
1
Bài 3 : Cho đoạn thẳng AB và C thuộc AB ( C A ; B) Kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By cùng
vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I , tia Cz vuông góc với CI tại C và cắt tia By tại K Vẽ đờng tròn (O;
2
IC
) cắt IK ở P Chứng minh rằng :
a) Tứ giác CPKB nội tiếp
b) AI BK = AC CB
c) Tam giác APB vuông
d) Giả sử A, B, I cố định Tìm vị trí của điểm C sao cho diện tích tứ giác ABKI lớn nhất
đề iI
x 1
x x
1 x 1 x
1 : 1 1 x x
Rút gọn B b) So sánh B với 3 c) Tìm GTNN của B + x
Bài 2 : Một công nhân đợc giao làm một số sản phẩm trong một số thời gian nhất định Khi còn làm nốt 30 sản
phẩm cuối cùng ngời đó thấy nếu cứ giữ nguyên năng suất thì sẽ chậm 30 phút Nếu tăng năng suất thêm 5 sản phẩm một giờ thì sẽ xong sớm hơn so với dự định là 30 phút Tính năng suất của ngời thợ lúc đầu
Bài 3 : Cho điểm C thuộc nửa đờng tròn (O; R) có đờng kính là AB ( AC > CB) Đờng thẳng vuông góc với AB
tại O cắt AC ở D
a) Chứng minh rằng : Tứ giác BCDO nội tiếp
b) Chứng minh : AD AC = AO AO
c) Tiếp tuyến tại C của nửa đờng tròn (O) cắt đờng thẳng qua D và song song với AB tại E
Chứng minh rằng : AC // EO
d) Gọi H là chân đờng cao hạ từ C xuống AB Xác định vị trí của C để tam giác ACH có HD là đờng cao
đề iII
Bài 1 : Chophơng trình : 3x2 – ( 3k – 2) x – ( 3k + 1) = 0 với x là ẩn số
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của k
b) Giải phơng trình với k = 1
c) Tìm k để phơng trình có nghiệm kép
d) Tìm k để phơng trình có 2 nghiệm dơng
e) Tìm k để nghiệm x1 ; x2 của phơng trình thoả mãn : 3x1 – 5x2= 6
Bài 2 : Trong một buổi liên hoan, một lớp mời 45 khách đến dự Vì lớp đã có 40 học sinh nên phải kê thêm 1 dãy
ghế và mỗi ghế phải ngồi thêm một ngời nữa mới đủ chỗ ngồi Biết rằng mỗi dãy ghế đều có số ngời ngồi nh nhau
và không quá 5 ngời Hỏi ban đầu lớp có bao nhiêu ghế?
Bài 3 : Cho đờng tròn (O; R) và dây MN cố định ( MN < 2 R) Gọi A là điểm chính giữa cung MN lớn, đờng
kính AB cắt MN tại E Lấy điểm C thuộc MN sao cho C khác M, N, E và BC cắt đờng tròn (O) ở K Chứng minh rằng :
a) Tứ giác KAEC nội tiếp
b) BM2 = BC BK
c) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCK tiếp xúc với MB tại M và có tâm nằm trên đờng thẳng cố định khi
C chạy trên MN
d) GiảI sử AK cắt MN tại I Chứng minh rằng : IN CM = IM CN
đề iV
1 x
x x x 1 x
1 x x 1 x
2 1
x x
2 x x 2
Rút gọn C b) Tìm C với x = 7 + 2 6 c) Tìm x để C x > x + 1
Bài 2 : Một phân xởng đặt kế hoạch sản xuất 200 sản phẩn Trong 5 ngày đầu do còn phảI làm việc khác nên mỗi
ngày phân xởng sản xuất ít hơn mức đề ra là 4 sản phẩm Trong những ngày còn lại, xởng sản xuất vợt mức 10 sản
Trang 9Ôn thi vào lớp 10 GV: Nguyễn Anh Tuấn phẩm mỗi ngày nên hoàn thành kế hoạch sớm hơn 1 ngày Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xởng cần sản xuất bao nhiêu sản phảm ?
Bài 3 : Cho đờng tròn (O; R) và dây AB = R 2 cố định M là điểm tuỳ ý trên cung AB lớn để tam giác AMB có
3 góc nhọn Gọi H là trực tâm của tam giác AMB , P và Q là giao điểm của hai tia AH và BH với đờng tròn (O)
PB cắt QA tại S
a) PQ là đờng kính đờng tròn (O)
b) Tứ giác AMBS là hình gì ?
c) Chứng minh rằng : SH có độ dài bằng đờng kính đờng tròn (O)
d) Chứng minh rằng : Khi M thay đổi vị trí trên đờng tròn (O) thì S chạy trên đờng tròn cố định Xác định tâm và bán kính của đờng tròn đó
đề V
Bài 1 : Cho biểu thức : D =
3 x
3 x 1 x
x 2 3
x 2 x
19 x 26 x x
a) Rút gọn D b)Tính D khi x = 7 - 4 3 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
Bài 2 : Một ôtô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau khi đI đợc
3
2
quãng đờng với vận tốc đó, vì đờng đI khó nên ngời lái xe giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đờng còn lại Do đó ôtô đến B chậm 30 phút so với dự
định Hãy tính quãng đờng AB
Bài 3 : Cho nửa đờng tròn (O;
2
AB
) , K là một điểm chính giữa trên cung AB Trên cung AB lấy điểm M ( M khác A; B) N thuộc AM sao cho AN = BM Kẻ dây PB // KM Gọi Q là giao điểm của PA , BM
a) So sánh tam giác AKN và BKM
b) Tam giác KMN là tam giác gì ? Vì sao ?
c) Chứng minh rằng : Tứ giác ANKP là hình bình hành
d) Gọi R và S là giao điểm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác OMP với QA, QB Chứng minh rằng : Khi
M chạy trên cung KB thì I là trung điểm của RS chạy trên đờng tròn cố định
Bài1 : Cho phơng trình: x2 - 2mx + (m - 1)3 = 0 với x là ẩn số, m là tham số (1)
a) Giải phơng trình (1) khi m = -1
b) Xác định m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng bình phơng của nghiệm còn lại
Bài 2: Cho phơng trình bậc hai 3x2 + mx + 12 = 0 (1)
a) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1, tìm nghiệm còn lại
Bài 3:Cho phơng trình (m - 1)x2 + 2mx2 + m - 2 = 0 (*)
a) Giải phơng trình (*) khi m = 1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình (*) có hai nghiệm phân biết
Bài 4:Cho phơng trình 2x2 - 5x + 1 = 0
Tính x1 x2 x2 x1 (với x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình)
Bài 5:Giải phơng trình: x 2 9x 20 2 3x 10
a) Xác định m để phơng trình 2x2 + 2mx + m2 - 2 = 0 có hai nghiệm
b) Gọi hai nghiệm là x1, x2, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2x1x2 + x1 + x2 - 4
Bài 6: a) Tìm m để cho phơng trình (m + 1)x
2 - 3mx + 4m = 0 có nghiệm dơng
b) Giải phơng trình: x 2 3x 1 x 3 x 2 1
Bài 7:Cho phơng trình bậc hai đối với x: (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 với m - 1 (1)
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của (1), tìm m để x1x2 > 0 và x1 = 2x2
Bài 8:Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng phơng trình x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 vô nghiệm
Bài 9:1) Chứng tỏ rằng phơng trình x2 - 4x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Lập phơng trình bậc hai có nghiệm x1 và x2
2) Tìm m để phơng trình x2 - 2mx + 2m - 3 = 0 có hai nghiệm cùng dấu Khi đó hai nghiệm có cùng dầu âm hay cùng dấu dơng ?
Bài 10:Cho phơng trình x2 - 5mx - 4m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2
1) Chứng minh rằng: x1 + 5mx2 - 4m > 0
2) Xác định giá trị của m để biểu thức:
2 1
2 2
2
2 1
2
m
12 5mx x
12m 5mx
x
đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 10Bài 11:Tìm giá trị của m để phơng trình:
x2 + x + m - 2 = 0 và x2 + (m - 2)x + 8 = 0 có nghiệm chung
Bài 12:Giải phơng trình: ax 2 bx ccx 2 bx a 0, trong đó a, b, c là những số nguyên đã cho (a,c 0), biết rằng 2
1 2
x là một nghiệm của phơng trình này
Bài 13:Cho phơng trình: m
1 x
1 x
1) Giải phơng trình với m = 15
2) Tìm m để phơng trình có 4 nghiệm phân biệt
Bài 14: Cho phơng trình: x4 + 2mx2 + 4 = 0
Bài 15: Tìm giá trị của tham số m để phơng trình có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả mãn x1 + x2 + x34 + x4
= 32
Bài 16:Cho phơng trình: 0.
2 x
6m 3m x 1 2m 2
(1)
a) Giải phơng trình trên khi ;
3
2
m
b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn x1 + 2x2 = 16
Bài 26: Cho ba đờng tròn cùng đi qua điểm P Gọi các giao điểm còn lại của chúng là A, B, C Từ một điểm D trên
đờng tròn (PBC) kẻ các tia DB, DC cắt các đờng tròn (PAB) và (PAC) tại M và N CMR: M, A, N thẳng hàng
Bài 27: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và tiếp tuyến Bx của nửa đờng tròn Trên tia Bx lấy hai điểm C, D
( C nằm giữa B và D) Các tia AC, AD lần lợt cắt đờng tròn tại E và F Hai dây AE , BF cắt nhau tại M Hai tia AF,
BE cắt nhau tại N Chứng minh rằng :
a) Tứ giác FNEM nội tiếp
b) Tứ giác CDFE nội tiếp
Bài 28: Cho ABC Hai đờng cao BE và CF cắt nhau tại H Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của
BC
a) Chứng minh rằng tứ giác ABDC nội tiếp Tìm tâm O của đờng tròn đó
b) Đờng thẳng DH cắt (O) tại điểm thứ hai là I Chứng minh rằng A, I, F, H, E cùng nằm trên một đờng tròn
Bài 29: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Tia OA cắt (O’) tại C Tia O’A cắt (O) tại D CMR: O,
O’, B, C, D cùng nằm trên một đờng tròn
Bài 30: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB lấy một điểm M Đờng thẳng qua C vuông góc với CM cắt các tia
AB, AD lần lợt tại E và F Tia CM cắt đờng thẳng AD tại N Chứng minh rằng :
a) Các tứ giác AMCF và ANEC nội tiếp
b) CM + CN = EF
Bài 31: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E Vẽ EF
vuông góc với AD Gọi M là trung điểm của DE Chứng minh rằng :
a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp
b) Tia CA là phân giác của góc BCF
c)* Tứ giác BCMF nội tiếp
Bài 32: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại M và P Kẻ dây MA của (O) tiếp xúc với (O’) tại M Kẻ dây
MB của (O’) tiếp xúc với (O) ở M Trên tia MP lấy H sao cho PH=PM CMR: Tứ giác MAHB nội tiếp
Bài 33: Cho hình thang ABCD nội tiếp trong (O) Các đờng chéo AC, BD cắt nhau tại E, các cạnh AD, BC kéo dài
cắt nhau tại F CMR:
a) A, D, O, E cùng nằm trên một đờng tròn
b) Tứ giác AOCF nội tiếp
Bài 34: Cho ABC vuông tại C Trên AB dựng hình vuông ABMN có tâm I Chứng minh rằng CI là phân giác của
góc tạo bởi AC và BC
Bài 35: Hai cạnh AB và DC của tứ giác ABCD kéo dài cắt nhau tại E, AD và BC kéo dài cắt nhau tại F Chứng
minh các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AED, EBC, ABF và CDF cùng đi qua một điểm
Bài 36: Cho góc vuông xOy và ABC vuông ở A và góc B bằng 300 , BC=a Tam giác ABC di chuyển trong góc vuông xOy sao cho đỉnh B chạy trên Ox, đỉnh C trên Oy, A và O khác phía đối với BC Tìm quỹ tích điểm A
Bài 37 Hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Một cát tuyến qua A cắt các đờng tròn này tại M, N Các
tiếp tuyến tại A của (O), (O’) theo thứ tự cắt BN và BM ở P và Q Chứng minh PQ // MN
Bài 38 :Cho ABC đều Một nửa đờng tròn có tâm O trên cạnh AB, tiếp xúc với AC, BC tại K và I Kẻ một tiếp
tuyến với nửa đờng tròn cắt các cạnh BC và AC tại M và N Đoạn thẳng KI cắt OM và ON tại P, Q CMR:
MN=2PQ
Bài 39: Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB cố định Một điểm C chạy trên đờng tròn Kẻ CD vuông góc với AB
Trên OC lấy M sao cho OM = CD Tìm tập hợp điểm M khi C di chuyển trên (O)
Bài 40: Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB cố định (d) là tiếp tuyến của (O) tại A M là điểm di động trên (d);
MB cắt (O) tại C N là trung điểm của cung BC ON cắt BC tại P
a) Chứng minh tứ giác MAOP nội tiếp
b) Tìm tập hợp điểm P khi m di động trên (d)
Bài 41: Cho ABC vuông tại A Trên đoạn AB lấy D Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E và CD tại F Chứng
minh rằng :