Lá của một số loại cây

Gọi d là đường thẳng qua F và vuông góc với đường thẳng EN tại điểm P, d cắt đường tròn đường kính OM tại điểm K (K khác F).. Hai đường thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q..[r]

(1)

TRƯỜNG THCS VINH THANH

SỞ GD VÀĐÀO TẠO

HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊNNăm học 2010 – 2011 MÔN: TOÁN

Ngày thi: 24 tháng năm 2010 Thời gian Làm 150 phút

BÀI I(2,0 điểm)

1) Cho n số nguyên, chứng minh A n3 11n



 chia hết cho 2) Tìm tất số tự nhiên n để

  n n

B số nguyên tố

Giải :

1) A n3 n 12n

 

 n(n2  1)12n n(n 1)(n1)12n

Nhận xét : tích số nguyên liên tiếp n(n-1)(n+1)6 Vậy A6 2) B n4 2n2 1 n2 (n2 1)2 n2

     

 (n2  1n)(n2  1 n)

Với n=0 có B=1.Với n số tự nhiên n1 n2 1nn2 1n,n21n0 B số nguyên tố suy n2 1 n1 n2.với n=2 ta có B=5 số nguyên tố

BÀI II (2,0 điểm)

Cho phương trình : ( 2 2) ( 2 2)

     

 m x m m x

m .Gọi x1,x2 hai nghiệm

của phương trình cho

1) Tìm giá trị m để 2 1 2(2 1 2 1)

2

1 x  x x x x 

x

2) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức S x1x2 Giải :

1)Nhận xét a.c0 suy phương trình ln có nghiệm x1,x2

Theo định lí Viet ta có:

2

2 2

 

   

m m

m m x

x 1 2 2 21 2

 

 

m m x x

)

(

2 1 2 1 2

2 2

1 x  x x x x 

x

2 2

1 ) 4( )

(x x  xx



2

1

2

   

 

 

 

   

 

 

  

m m m

m m m  2 2

   m

m

Kết luận: m=0;m=2 2)

2

2 2

 

    

m m

m m x x S

Xét phương trình :

2

 

  

m m

S ( 2 2) 2

    

 S m m m m 

0 ) ( ) ( )

(

    

 m S m S

S

Với S 1 Phương trính có nghiệm  '0 (S1)2 2(S1)2 0

GV: ĐỖ KIM THẠCH ST

(2)

2

3 S  

S=1 m=0.Kết luận GTNN S 3 2 GTLN S 32 BÀI III (2.0điểm)

1) Cho a số bất kì,chứng minh rằng: 2009 2010

2010 2010

 



a a

2) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn phương trình ( 2)( 2 2)

   

 x x x x

y Giải :

1) 2010 2010 2010 2009 2010 2009 2010 2009

 

  

 

 a a a

a





  

 

 a a





  

 a với a

2) ( 2)( 2 2) [( 1)2 1][( 1)2 1]

   

      

 x x x x y x x

y

1 ] ) ( ][ ) ( [ ] )

[( 2

2

  

 

    

 x y x y x

y

Hoặc



















1

)1

(

1

)1

(

2

x

y

x

y

















1

)1

(

1

)1

(

2

x

y

x

y

Giải kết luận số x,y cần tìm (x=0, y=0); (x=2, y=0) BÀI IV(3,0 điểm)

Cho đường tròn (O;R) điểm M nằm ngồi đường trịn.Đường trịn đường kính OM cắt đường trịn (O;R) hai điểm E , F

1) Chứng minh giao điểm I đoạn thẳng OM với đường tròn (O;R) tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF

2) Cho A điểm thuộc cung EF chứa điểm M đường tròn đường kính OM (A khác E,F) Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF điểm B Chứng minh OA.OB R2



3) Cho biết OM=2R N điểm thuộc cung EF chứa điểm I đường tròn (O;R) ( N khác E,F) Gọi d đường thẳng qua F vng góc với đường thẳng EN điểm P, d cắt đường tròn đường kính OM điểm K (K khác F) Hai đường thẳng FN KE cắt điểm Q chứng minh rằng:

2

.PK QN QK R

PN  

Giải :

(3)

H B

F E

I O

M

A

Q

K

P H

B

F E

I O

M

A N

1) Chứng minh giao điểm I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF Chứng minh ME, MF tiếp tuyến đường tròn (O)

Nêu MO phân giác góc EMF

Chứng minh EI phân giác góc MEF suy I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF

2) Nếu AM B H Trong vng MEO có OH.OM OE2. hay OA.OBR2. Nếu A khác M: chứng minh hai  vuông OHB OAM đồng dạng

Suy

OA OH OM

OB



Suy OA.OB OH.OM R2

 

3) Chứng minh góc EKF 600 , 1200



PNQ suy tứ giác KPNQ nội tiếp đtrịn đường kính KN

Gọi FT đường kính đường trịn đường kính OM.Chứng minh ETKN hình bình hành suy KN TE EF ctg R R

3 3 60

tính

2 3

2

R KN

PQ 

PQ KN QQ

PP KN S

QK QN PK

PN  2 KPNQ  ( 1  1) (P1,Q1 hình chiếu P,

Q KN)

Vậy

2

.PK QNQK R

PN   ,dấu xảy PQ KN hay K M BÀI V( 1,0 điểm)

Giải phương trình: x8 x7x5 x4x3 x10

Giải :

Vì

  x

x với x nên phương trình cho tương đương với

0 ) )(

1

(

       

x x x x x x x

x

0

5 10    x x

vì

4 ) (

1

5

10x   x   

x với x nên phương trình vơ nghiệm