Gọi d là đường thẳng qua F và vuông góc với đường thẳng EN tại điểm P, d cắt đường tròn đường kính OM tại điểm K (K khác F).. Hai đường thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q..[r]
(1)TRƯỜNG THCS VINH THANH
SỞ GD VÀĐÀO TẠO
HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊNNăm học 2010 – 2011 MÔN: TOÁN
Ngày thi: 24 tháng năm 2010 Thời gian Làm 150 phút
BÀI I(2,0 điểm)
1) Cho n số nguyên, chứng minh A n3 11n
chia hết cho 2) Tìm tất số tự nhiên n để
n n
B số nguyên tố
Giải :
1) A n3 n 12n
n(n2 1)12n n(n 1)(n1)12n
Nhận xét : tích số nguyên liên tiếp n(n-1)(n+1)6 Vậy A6 2) B n4 2n2 1 n2 (n2 1)2 n2
(n2 1n)(n2 1 n)
Với n=0 có B=1.Với n số tự nhiên n1 n2 1nn2 1n,n21n0 B số nguyên tố suy n2 1 n1 n2.với n=2 ta có B=5 số nguyên tố
BÀI II (2,0 điểm)
Cho phương trình : ( 2 2) ( 2 2)
m x m m x
m .Gọi x1,x2 hai nghiệm
của phương trình cho
1) Tìm giá trị m để 2 1 2(2 1 2 1)
2
1 x x x x x
x
2) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức S x1x2 Giải :
1)Nhận xét a.c0 suy phương trình ln có nghiệm x1,x2
Theo định lí Viet ta có:
2
2
2 2
m m
m m x
x 1 2 2 21 2
m m x x
)
(
2 1 2 1 2
2 2
1 x x x x x
x
2 2
1 ) 4( )
(x x xx
2
2
2
2
1
2
2
m m m
m m m 2 2
m
m
Kết luận: m=0;m=2 2)
2
2
2 2
m m
m m x x S
Xét phương trình :
2
2
2
m m
m m
S ( 2 2) 2
S m m m m
0 ) ( ) ( )
(
m S m S
S
Với S 1 Phương trính có nghiệm '0 (S1)2 2(S1)2 0
GV: ĐỖ KIM THẠCH ST
(2)TRƯỜNG THCS VINH THANH
2
2
3 S
S=1 m=0.Kết luận GTNN S 3 2 GTLN S 32 BÀI III (2.0điểm)
1) Cho a số bất kì,chứng minh rằng: 2009 2010
2010 2010
a a
2) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn phương trình ( 2)( 2 2)
x x x x
y Giải :
1) 2010 2010 2010 2009 2010 2009 2010 2009
a a a
a
2010 20092 2010 2009
a a
2010 2009 12
a với a
2) ( 2)( 2 2) [( 1)2 1][( 1)2 1]
x x x x y x x
y
1 ] ) ( ][ ) ( [ ] )
[( 2
2
x y x y x
y
Hoặc
1 )1 (
1 )1 (
2
x y
x y
1 )1 (
1 )1 (
2
x y
x y
Giải kết luận số x,y cần tìm (x=0, y=0); (x=2, y=0) BÀI IV(3,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) điểm M nằm ngồi đường trịn.Đường trịn đường kính OM cắt đường trịn (O;R) hai điểm E , F
1) Chứng minh giao điểm I đoạn thẳng OM với đường tròn (O;R) tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF
2) Cho A điểm thuộc cung EF chứa điểm M đường tròn đường kính OM (A khác E,F) Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF điểm B Chứng minh OA.OB R2
3) Cho biết OM=2R N điểm thuộc cung EF chứa điểm I đường tròn (O;R) ( N khác E,F) Gọi d đường thẳng qua F vng góc với đường thẳng EN điểm P, d cắt đường tròn đường kính OM điểm K (K khác F) Hai đường thẳng FN KE cắt điểm Q chứng minh rằng:
2
.PK QN QK R
PN
Giải :
(3)TRƯỜNG THCS VINH THANH
H B
F E
I O
M
A
Q
K
P H
B
F E
I O
M
A N
1) Chứng minh giao điểm I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF Chứng minh ME, MF tiếp tuyến đường tròn (O)
Nêu MO phân giác góc EMF
Chứng minh EI phân giác góc MEF suy I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF
2) Nếu AM B H Trong vng MEO có OH.OM OE2. hay OA.OBR2. Nếu A khác M: chứng minh hai vuông OHB OAM đồng dạng
Suy
OA OH OM
OB
Suy OA.OB OH.OM R2
3) Chứng minh góc EKF 600 , 1200
PNQ suy tứ giác KPNQ nội tiếp đtrịn đường kính KN
Gọi FT đường kính đường trịn đường kính OM.Chứng minh ETKN hình bình hành suy KN TE EF ctg R R
3 3 60
tính
2 3
2
R KN
PQ
PQ KN QQ
PP KN S
QK QN PK
PN 2 KPNQ ( 1 1) (P1,Q1 hình chiếu P,
Q KN)
Vậy
2
.PK QNQK R
PN ,dấu xảy PQ KN hay K M BÀI V( 1,0 điểm)
Giải phương trình: x8 x7x5 x4x3 x10
Giải :
Vì
x
x với x nên phương trình cho tương đương với
0 ) )(
1
(
x x x x x x x
x
0
5 10 x x
vì
4 ) (
1
5
10x x
x với x nên phương trình vơ nghiệm