Đang tải... (xem toàn văn)
_ Neáu moät phaân thöùc coù töû khoâng ñoåi thì trò soá tuyeät ñoái cuûa phaân thöùc ñaït giaù trò lôùn nhaát khi maãu cuûa noù ñaït giaù trò nhoû nhaát vaø giaù trò tuyeät ñoái cuûa pha[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT _ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC
A KIẾN THỨC
Để giải tốn tìm giá trị nhỏ _ giá trị lớn biểu thức P(x), cần nắm vứng số kiến thức
_ Nếu với x, x R mà P(x) k giá trị nhỏ P(x) k, đặc biệt tập
hợp số khơng âm giá trị nhỏ
_ Nếu với x, x R mà P(x) k giá trị lớn P(x) k, đặc biệt tập
hợp số không dương là giá trị lớn
_ Nếu phân thức có tử khơng đổi trị số tuyệt đối phân thức đạt giá trị lớn mẫu đạt giá trị nhỏ giá trị tuyệt đối phân thức đạt giá trị nhỏ mẫu đạt giá trị lớn
B BÀI TẬP: Bài 1:
a/ Tìm giá trị nhỏ tam thức bật hai: f(x)= 5x2 - 2x + 1 b/ Tìm giá trị lớn tam thức bật hai: f(x) = - 3x2 + x – Giải:
a/ Ta coù: f(x) = 5x2 - 2x + = 5 2 x x 2 2
2 1
5
5 5
1 1
5
5 5
x x x x
Vì với x, xR
2 x
nên ta có:
2
1 4
( ) ;
5 5
f x x
với x, x R
Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ x
= => x = Kl: f(x) đạt giá trị nhỏ
5khi x = b/ f(x) = - 3x2 + x –
2 2 2 3
1 1
3
3 6
1 23 12 x x x x x Vì x
0 với x, xR nên
2
1 23 23
3
6 12 12
x
f(x) 23
12
(2)Vậy f(x) đạt giá trị lớn 23 12
2
1 1
3 0
6 6
x x x
Bài 2: a/ Tìm giá trị nhỏ P(x) = 22
2
2
x x
x x
b/ Tìm giá trị lớn Q(x) = 22
3 17
4 x x
Giaûi:
a/ Sử dụng phép chia đa thức, ta đưa P(x) dạng: P(x)= -
2 x x P(x) đạt GTNN
1
x x đạt GTLN Xét biểu thức
2 2
2 2 1 2
2 2
x x x x x
Vì
2 x
0 với x, x
R neân
2 x x
4 với x, xR Suy
1
x x đạt giá trị lớn x =
2 GTLN 3
Vậy P(x) đạt GTNN là:
3
Kết quả:
2
P b/ Ta coù: Q(x) = 22
3 17
4 x x
= +
4
x ; Q(x) lớn
4
x lớn
2
4
x lớn x
2 + đạt GTNN.
Vì x2 + 4, với x, xR nên x2 + đạt giá trị nhổ x = 0 Vậy với x = 0, Q(x) đạt giá trị lớn + 41
4 Bài 3: Chứng minh định lí:
Cho hai số dương x, y
1 Nếu tổng x + y = a, với a số tích x.y đạt giá trị lớn x = y Nếu tích x.y = b, với b số tổng x + y đạt giá trị nhỏ x = y Giải:
1/ Từ BĐT Côsi ta suy ra, đới với hai số dương x, y, ta suy BĐT: xy
2
2
x y a
xy
(3)2
2
x y x y
b b
Dấu “=” xảy x =y = b Chú ý: Định lý có phát biểu dạng hình học sau:
1 Trong hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn nhất. 2 Trong hình chữ nhật có diện tích hình vng có chu vi nhỏ nhất. Bài 4:
a/ Tìm giá trị lớn biểu thức P(x)= 2x – x2 với < x < 2. b/ Tìm GTNN Q(x)= x2
x
, x >
Giaûi:
a/ Ta có 2x – x2 = x(2 – x) với < x < =>x > 0; – x > 0 Xét tổng x + (2 - x) = = khơng đổi
Vậy tích x(2 - x) lớn x = – x => x =
GTLN P(x) với < x < là: P(1) = +1 = 2, ứng với giá trị x =1 b/ Ta có Q(x)= x2 x 4;
x x
x > Xét tích x.4
x = = không đổi Vậy tổng x +
x đạt giá trị nhỏ x =
x => x
2 = => x = 2 Baøi 5:
Với giá trị biến x biểu thức P(x)= (x – 1)(x + )(x + 3)( x + 6) có GTNN? Tìm GTNN
Giải Ta biến đổi sau:
P(x) = (x – 1)(x + )(x + 3)( x + 6) = (x – 1)( x + 6) (x + 2)(x + 3) =x2 5x 6 x2 5x 6
Ta có cách giải Cách 1:
Ta coù P(x) x2 5x 6 x2 5x 6
x2 5x2 36
Vì x2 + 5x 0, với x, xR nên rõ ràng P(x) -36
P(x) đạt giá trị nhỏ – 36 với x2 + 5x = x = x = - Cách 2:
Ta xét biểu thức đơi P(x) – P(x) được:
P(x) = -
5 6
x x x x
=
5 6
x x x x
Neáu ñaët X = x2 5x 6
; Y = x2 5x
Thì tổng X + Y = - 12 = không đổi
Vậy tích X.Y lớn X = Y => - P(x) lớn khi:
5
x x
(4) 2x2 + 10 = x = x = - 5 Lúc - P(x) đạt giá trị 36
Vậy P(x) đạt giá trị nhỏ – 36 x = x = - BAØI TẬP TỰ GIẢI:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ cuûa:
a/
( )
P x x x b/ Q(x) = 5x2 - 3x –
Bài 2: Tìm GTLN của:
a/ P(x) = - x2 – 7x +1 b/ Q(x) = - 2x2 + x – Baøi 3: Tìm GTLN
a/ P(x) = 3x25 3x2
b/ Q(x) = x – x2
Bài 4: Với giá trị dương x biểu thức sau đạt GTNN: a/ P x( ) 2x2
x
b/
2 ( )
1 x Q x
x