Đang tải... (xem toàn văn)
Hỏi khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? Câu 2. Biết AI vuông góc SC. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b) Tính [r]
(1)UBND TỈNH QUẢNG TRỊ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 NĂM HỌC 2016 – 2017
ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu (4,0 điểm)
1 Tìm số nguyên dương n biết
0 1 2047
2 11
n
n n n n
C C C C
n
2 Một vật chuyển động theo quy luật 9
2
s t t , với t (giây) khoảng thời gian tính lúc bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? Câu (6,0 điểm)
1 Cho hàm số x 2x
f x e e Tìm x để f ' x 2f x 3
2 Giải bất phương trình 4x 1 6x 4 2x2 2x3
3 Tìm tham số m để hệ sau có nghiệm
3
2
2
,
x y x xy m x y
x x y m
Câu (6,0 điểm)
1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a BC , a Hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng đáy; gọi I điểm nằm cạnh SC cho SC = 3IC Biết AI vng góc SC
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AI SB
2 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C , đáy ABC tam giác Gọi góc tạo A B với mặt phẳng ACC A góc mặt phẳng A BC với mặt phẳng ACC A
Chứng minh rằng: 600 cot2 cot2
3
Câu (2,0 điểm)
Cho số x x x y y y1, 2, 3, 1, 2, 3 thỏa mãn:
2 2 2
1 3 1 2 3 0; 0; x x x y y y x y x y x y x x x y y y Chứng minh rằng:
2
1
2 2 2
1 3
2
x y
x x x y y y Câu (2,0 điểm)
Cho số thực dương x, y, z, t có tích Chứng minh:
2 2
1 1
1 (1x) (1y) (1z) (1t) -Hết -
Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm
(2)UBND TỈNH QUẢNG TRỊ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA LỚP 12 NĂM HỌC 2016 – 2017
HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Môn thi: TOÁN
Câu Đáp án (trang 01) Điểm
C1
Ý1 2,0 đ
Xét khai triển 2
1x nCnC x C xn n C xnn n 0,
nên
1
0 2
0
1 n n n
n n n n
x dx C xC x C x C dx
0,
suy
1
0 1 2
2 1
n n
n n n n
C C C C
n n
0,
Từ đề ra, ta có 1 210 1 10
1 10
n
n n
0,
C1
Ý2 2,0 đ
Ta có
( ) '( ) 18
2
v t s t t t 0,5
Xét hàm v t( )với t0;10;v t'( ) 3t 18; '( ) 0v t t
Lập bảng biến thiên v t( )
1,0
Vận tốc lớn khoảng 10 giây kể từ lúc xuất phát (6) 54 /v m s 0,5
C2
Ý1 1,0 đ
Ta có f' x ex 2e2x 0,5
2
' 2( )
1
x x x x
x
f x f x e e e e
e x
0,5
C2
Ý2 3,0 đ
Điều kiện
4
x 0,5
Với điều kiện bất phương trình tương đương với
2
2
2
2
4 1 2
2
2
4 1
1
2
4 1
x x x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x x
0,5
0,5
0.5
[
2
2x x x 0; 2]
Đối chiếu điều kiện, tập nghiệm S[0;2] 1,0
C2
Ý3 2,0 đ
Đặt
, (*);
4
u x x u v x y Hệ trở thành
2 2 1 0(1)
1 2
u m u m
uv m
u v m v m u
0,5
(3)từ (1) 2
u u m
u
Xét hàm
2
u u f u
u
với điều kiện (*), ta có
2
2 1
' ; '
2
2
u u
f u f u u
u
0,5
Lập bảng biến thiên suy giá trị cần tìm ;2 m
0,5
C3
Ý1 4,0 đ
O
D B
C A
S
I
a) Ta cóSO(ABCD);SOC,AIC đồng dạng với suy IC IS OC AC SCa SOa
1,0
Thể tích khối S.ABCD
3
15
3
ABCD
S SO a
V
1,0
b) Xét hệ tọa độ Oxyz, cho O giao điểm đường chéo ABCD,
3 3
; ;0 , ; ;0 ; ; ;0 , 0;0;
2 2 2
a a a a a a
A B C S a
0,5
Khi ; 3; , 5;5 3;2 5 , 1; 3;2 5
3 3 6 2
a a a a a a a
I AI u BS v
0,5
, 33
,
33 ,
[ ]
[ ]
u v AB a d SB AI
u v
Lưu ý: thí sinh tính trức tiếp khoảng cách hai đường chéo
1,0
C3
Ý2 2đ
J
I A
C
C'
A' B
B'
Gọi I, J trung điểm AC A’C’ đặt AB=a, BB’=b
0,25
Ta có BIACC A' ' BA I'
BJI A C' ' (BA C' '),(ACC A' ')
0,5
tam giác BIA’ vuông I nên 2
0
'
cot ;
3
cot ,( 0) 60
3
A I b a IB a
b
0,5
Tam giác BIJ vuông I nên cot JI b IB a
0,25
Do 2 2
2
4
cot cot
3
b a b a
(4)C4
2,0đ
Trong không gian Oxyz, lấy v1 x x x1; 2; 3,v2 y y y1; 2; 3,v3 1;1;1 , v1; 0; 0 Từ giả thiết ta có v v v1, 2, đơi vng góc
0,5
Gọi u u u1, 2, 3lần lượt hình chiếu v giá vec tơ v v v1, 2, 0,5
2
2 2
1
1 2 2 2 2 2 2
1 3
1
; ,
3
x y
u u u
x x x y y y
2 2
1
v u u u 0,5 Từ hai đẳng thức suy điều phải chứng minh 0,5
C5
2đ
Đặt x bc2 ,y cd2 ,z da2 ,t ab2
a b c d
với a,b, c,d số thực dương 0.25 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
4 4
2 2
2 2
a b c d
d ab
a bc b cd c da
0.25
Theo BĐT Cauchy-Schwarz
4 4 2
2 2 2 2 2 2 2
2
a c a c a c
a b c d
a b a c c a c d
a bc c da
0.5
Tương tự
4 2
2 2 2
2
b d b d
a b c d
d ab b cd
0.5