Mô phỏng lan truyền nhiệt độ vùng ven biển mô hình toán và tin học

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2, 3❀ ✲ AF12 31 ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ✤➾♥❤ ❧➔ F12 , 3, 1✳ ❚❛ ❝â F12 = P + C12 = 5x1 + 5x2 + 2x3 5y1 + 5y2 + 2y3 , 12 12 ▼➔ N3f ◆❣✉②➵♥ ▲❛♥ ❆♥❤ AF12 12 = 123 A ✾✾ ❚♦→♥ Ù♥❣ ❉ö♥❣ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❚❤↕❝ s➽ ❚❛ ❝â 5x1 + 5x2 + 2x3 5y1 + 5y2 + 2y3 12 12 = x1 y1 x2 y2 [(x2 y3 − x3 y2 ) − (x1 y3 − x3 y1 ) + (x1 y2 − x2 y1 )] = 12 AF12 12 ❉♦ ✤â N3f AF12 12 = 123 = A 12 ❚➼♥❤ t♦→♥ t÷ì♥❣ tü 5 , N2f = 12 12 5 = , N2f = , N3f = 12 12 12 N1f = N1f ❚r➯♥ ❢❛❝❡ ✶✱ t❛ ❝â → v f1 = (vxf , vyf ) ✭✹✳✶✸✮ ❱ỵ✐ 5 vx1 + vx2 + vx3 12 12 12 5 = vy1 + vy2 + vy3 12 12 12 vxf = vyf ❚÷ì♥❣ tü tr➯♥ ❢❛❝❡ ✷✱ t❛ ❝â → v f2 = (vxf , vyf ) ✭✹✳✶✹✮ ❱ỵ✐ 5 vx1 + vx2 + vx3 12 12 12 5 = vy1 + vy2 + vy3 12 12 12 vxf = vyf ❙❛✉ ❦❤✐ ①➙② ❞ü♥❣ ❝→❝ ✈➨❝ tì ❢❛❝❡ ✶ ✈➔ ❢❛❝❡ ✷✱ ✈➨❝ tì ♣❤→♣ t✉②➳♥ ✤ì♥ ✈à ✈➔ ✈➟♥ tè❝✱ t❛ ❜➢t ✤➛✉ t➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✹✳✶✮✳ ✣➛✉ ◆❣✉②➵♥ ▲❛♥ ❆♥❤ ✶✵✵ ❚♦→♥ Ù♥❣ ❉ö♥❣ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❚❤↕❝ s➽ t✐➯♥✱ t❛ t➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ tr➯♥ ❜✐➯♥ A3 ✳ → → ( v · n)φdA = A3 → → ( v · n)f φf dA + f1 → → = ( v · n)f φf A → → ( v · n)f φf dA f2 → → f1 + ( v · n)f φf A f2 ✭✹✳✶✺✮ = qf φf + qf φf ❱ỵ✐ → → qf = ( v · n)f A f1 = vxf y → − vyf x→ f2 = vxf y → − vyf x→ → → qf = ( v · n)f A f1 f2 f1 f2 ❈❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ①➜♣ ①➾ φ tr➯♥ ❢❛❝❡ ✶ ✈➔ ❢❛❝❡ ✷ ♥❤÷ s❛✉     φ1 ♥➳✉ qf > φ1 ♥➳✉ qf > φf ≈ ✈➔ φf ≈   φ2 ♥➳✉ qf < φ3 ♥➳✉ qf < ❑❤✐ ✤â qf φf ≈ max{qf , 0}φ1 − max{−qf , 0}φ2 qf φf ≈ max{qf , 0}φ1 − max{−qf , 0}φ3 ❉♦ ✤â → → ( v · n)φdA = qf φf + qf φf A3 ≈ a31 φi − a32 φSi,3 − au3 φSi,4 ✭✹✳✶✻✮ ❚r♦♥❣ ✤â a31 = max{qf , 0} + max{qf , 0} a32 = max{−qf , 0} a33 = max{−qf , 0} ◆❣✉②➵♥ ▲❛♥ ❆♥❤ ú ỵ s a31 , a32 , a33 ❧➔ ❝→❝ ❤➺ sè tr➯♥ ♣❤➛♥ tû t❛♠ ❣✐→❝ t❤ù ✸✳ ❚➼♥❤ t♦→♥ t÷ì♥❣ tü✱ t❛ ❝â ❦➳t q✉↔ tr➯♥ A1 , A2 , A4 ♥❤÷ s❛✉ → → ✭✹✳✶✼✮ → → ✭✹✳✶✽✮ → → ✭✹✳✶✾✮ ( v · n)φdA ≈ a11 φi − a12 φSi,1 − a13 φSi,2 A1 ( v · n)φdA ≈ a21 φi − a22 φSi,2 − a23 φSi,3 A2 ( v · n)φdA ≈ a41 φi − a42 φSi,4 − a43 φSi,5 A4 ❱ỵ✐ au1 , au2 , au3 ❧➔ ❝→❝ ❤➺ sè tr➯♥ ♣❤➛♥ tû t❛♠ ❣✐→❝ t❤ù u (u = 1, 2, 3, 4)✳ ❱➟② t❛ ①➜♣ ①➾ sè ❤↕♥❣ t↔✐ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✹✳✶✮ t↕✐ ♥♦❞❡ i ♥❤÷ s❛✉ → → → · v φdV = Vi ni → → ( v · n)φdA = A ( v · n)φdA j=1 Aj ≈a11 φi − a12 φSi,1 − a13 φSi,2 + a21 φi − a22 φSi,2 − a23 φSi,3 + a31 φi − a32 φSi,3 − a33 φSi,4 + a41 φi − a42 φSi,4 − a43 φSi,5 ni au1 φi − a43 + a12 φSi,1 − a13 + a22 φSi,2 − a23 + a32 φSi,3 = u=1 ✭✹✳✷✵✮ − a33 + a42 φSi,4 ❱➻ φSi,1 = φSi,5 ợ ni ữỡ tr tờ số ❝→❝ ♣❤➛♥ tû t❛♠ ❣✐→❝ q✉❛♥❤ ♥♦❞❡ i✳ ❙è ❤↕♥❣ ❦❤✉➳❝❤ t→♥ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ❝➛♥ t➼♥❤ sè ❤↕♥❣ ❦❤✉➳❝❤ t→♥ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✸✷✮✳ ❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ sè ❤↕♥❣ t t ũ ỵ r ữ t ◆❣✉②➵♥ ▲❛♥ ❆♥❤ ✶✵✷ ❚♦→♥ Ù♥❣ ❉ö♥❣ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❚❤↕❝ s➽ tr➯♥ t❤➸ t➼❝❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ Vi ✈➲ ❜✐➯♥ ❆✳ ·κ φdV = Vi κ → ni φ · n dA = κ j=1 A → φ · n dA ✭✹✳✷✶✮ Aj ❱ỵ✐ ni ❧➔ tê♥❣ sè ♣❤➛♥ tû t❛♠ ❣✐→❝ ①✉♥❣ q✉❛♥❤ ♥♦❞❡ i✳ ✣➸ t➼♥❤ ✤÷đ❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✹✳✷✶✮ tr➯♥ ❜✐➯♥ ❆✱ t❛ ❝➛♥ t➼♥❤ t tr A3 trữợ A1 , A2 , A4 t❛ ❧➔♠ t÷ì♥❣ tü✳ ✣➛✉ t✐➯♥ t❛ ❝➛♥ t➼♥❤ ❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ φ✱ ❤➺ sè ❦❤✉➳❝❤ t→♥ q✉❛ ❝→❝ ❢❛❝❡✳ ❱✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ❞↕♥❣ ●å✐ P (x, y) ❧➔ ✶ ✤✐➸♠ ❜➜t ❦ý ❜➯♥ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❈→❝ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t➼♥❤ ❤➔♠ ❞↕♥❣ ♥❤÷ ❍➻♥❤ ✹✳✷✼✳ ❍➻♥❤ ✹✳✷✼✿ ❈→❝ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t➼♥❤ ❤➔♠ ❞↕♥❣ ❱ỵ✐ ❝→❝ ❤➔♠ ❞↕♥❣ N1 = ◆❣✉②➵♥ ▲❛♥ ❆♥❤ AP 23 AP 31 AP 12 , N = , N = A123 A123 A123 ✶✵✸ ❚♦→♥ Ù♥❣ ❉ö♥❣ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❚❤↕❝ s➽ ❚❛ t➼♥❤ ✤÷đ❝ ❝→❝ ✈✐ ♣❤➙♥ s❛✉ y2 − y ∂N1 x3 − x2 ∂N1 = , N = = 1y ∂x 2A123 ∂y 2A123 y3 − y ∂N2 x1 − x3 ∂N2 = , N2y = = = 123 ∂x 2A ∂y 2A123 ∂N3 y1 − y ∂N3 x2 − x1 = = , N3y = = 123 ∂x 2A ∂y 2A123 N1x = N2x N3x ❚❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ φ ❈❤ó♥❣ t❛ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ φ(x, y) q✉❛ ❝→❝ ❤➔♠ ❞↕♥❣ N1 , N2 , N3 ♥❤÷ s❛✉ φ(x, y) = Ni (x, y)φi i=1 ❉♦ ✈➟② ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ t➼♥❤ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ φ ∂φ = N1x φ1 + N2x φ2 + N3x φ3 ∂x ∂φ = N1y φ1 + N2y φ2 + N3y φ3 ∂y ❍➺ sè ❦❤✉➳❝❤ t→♥ t↕✐ ❢❛❝❡ ✶ ✈➔ ❢❛❝❡ ✷ ❈❤ó♥❣ t❛ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❤➺ sè ❦❤✉➳❝❤ t→♥ κ t↕✐ ❢❛❝❡ ✶ t❤æ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ❤➔♠ ❞↕♥❣ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ tû t❛♠ ❣✐→❝ t❤ù ✸ ♥❤÷ ❍➻♥❤ ✹✳✷✽✳ κf = [N1 κ1 + N2 κ2 + N3 κ3 ]f ❱ỵ✐ N1f = ✭✹✳✷✷✮ AF12 23 AF12 31 AF12 12 , N = , N = 2f 3f A123 A123 A123 ❚r♦♥❣ ✤â ❈→❝ ✤✐➸♠ P ❧➔ trå♥❣ t➙♠ t❛♠ ❣✐→❝✳ ✲ C12 ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝↕♥❤ ❝â ✤➾♥❤ 1, 2❀ ◆❣✉②➵♥ ▲❛♥ ❆♥❤ ✶✵✹ ❚♦→♥ Ù♥❣ ❉ö♥❣ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❚❤↕❝ s➽ ❍➻♥❤ ✹✳✷✽✿ ❉✐➺♥ t➼❝❤ t➼♥❤ ❝→❝ ❤➔♠ ❞↕♥❣ t↕✐ ❢❛❝❡ ✲ C13 ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝↕♥❤ ❝â ✤➾♥❤ 1, 3❀ ✲ F12 ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❢❛❝❡ ✶❀ ✲ A123 ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ♣❤➛♥ tû t❛♠ ❣✐→❝ t❤ù ✸❀ ✲ AF12 12 ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ✤➾♥❤ ❧➔ F12 , 1, 2❀ ✲ AF12 23 ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ✤➾♥❤ ❧➔ F12 , 2, 3❀ ✲ AF12 31 ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ✤➾♥❤ ❧➔ F12 , 3, 1✳ ❚➼♥❤ t♦→♥ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ sè ❤↕♥❣ t↔✐✱ t❛ ❝â ❝→❝ ❤➔♠ ❞↕♥❣ t↕✐ ❢❛❝❡ ✶ ✈➔ ❢❛❝❡ ✷ ♥❤÷ s❛✉ 5 , N2f = , N3f = 12 12 12 5 = , N2f = , N3f = 12 12 12 N1f = N1f ❱➟② t❛ ❝â ❤➺ sè ❦❤✉➳❝❤ t→♥ t↕✐ ❢❛❝❡ ✶ ✈➔ ❢❛❝❡ ✷ κ1 + 12 = κ1 + 12 κf = [N1 κ1 + N2 κ2 + N3 κ3 ]f = κf = [N1 κ1 + N2 κ2 + N3 κ3 ]f ◆❣✉②➵♥ ▲❛♥ ❆♥❤ κ2 + 12 κ2 + 12 κ3 12 κ3 12 ✶✵✺ ❚♦→♥ Ù♥❣ ❉ö♥❣ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❚❤↕❝ s➽ ❙❛✉ ❦❤✐ t➼♥❤ ❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ φ ✈➔ ❤➺ sè ❦❤✉➳❝❤ t→♥ t↕✐ ❢❛❝❡ ✶ ✈➔ ❢❛❝❡ ✷✱ t❛ ❜➢t ✤➛✉ t➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✹✳✷✶✮ tr➯♥ ❜✐➯♥ A3 ♥❤÷ s❛✉ κ → φ · n dA = A3 → φ · n f dA + κf f1 → φ · n f dA κf f2 → φ · n f 1A = κf → φ · n f 2A + κf f1 f2 ❚r♦♥❣ ✤â κ → φ·nA f1 = κf ∂φ ∂x y → − κf f1 ∂φ ∂y x→ f1 = κf [N1x φ1 + N2x φ2 + N3x φ3 ] y→ − κf [N1y φ1 + N2y φ2 + N3y φ3 ] x→ f1 f1 ❱➔ κ → φ·nA f2 = κf ∂φ ∂x y → − κf f2 ∂φ ∂y x→ f2 = κf [N1x φ1 + N2x φ2 + N3x φ3 ] y→ − κf [N1y φ1 + N2y φ2 + N3y φ3 ] x→ f2 f2 ❚ø ✤â s✉② r❛ → κ φ · n dA = −b31 φi + b32 φSi,3 + b33 φSi,4 → y f1 + κf N1y ✭✹✳✷✸✮ A3 ❚r♦♥❣ ✤â b31 = −κf N1x b32 = κf N2x b33 = κf N3x ◆❣✉②➵♥ ▲❛♥ ❆♥❤ → y f1 → y f1 → x f − κf N1x − κf N2y → xf1 + κf N2x − κf N3y → xf1 + κf N3x → y f2 → y f2 → y f2 → xf2 + κf N1y − κf N2y − κf N3y → y f2 → xf2 ✶✵✻ ❚♦→♥ Ù♥❣ ❉ö♥❣ ▲✉➟♥ s ú ỵ b31 , b32 , b33 ❧➔ ❝→❝ ❤➺ sè tr➯♥ ♣❤➛♥ tû t❛♠ ❣✐→❝ t❤ù ✸✳ ❚➼♥❤ t♦→♥ t÷ì♥❣ tü tr➯♥ ❜✐➯♥ A1 , A2 , A3 ✱ t❛ ❝â ❦➳t q✉↔ s❛✉ → ✭✹✳✷✹✮ → ✭✹✳✷✺✮ → ✭✹✳✷✻✮ κ φ · n dA = −b11 φi + b12 φSi,1 + b13 φSi,2 κ φ · n dA = −b21 φi + b22 φSi,2 + b23 φSi,3 κ φ · n dA = −b41 φi + b42 φSi,4 + b43 φSi,5 A1 A2 A4 ❱➟② t❛ t➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✹✳✷✶✮ ♥❤÷ s❛✉ ·κ φdV = Vi κ A → ni φ · n dA = κ j=1 → φ · n dA Aj = − b11 φi + b12 φSi,1 + b13 φSi,2 − b21 φi + b22 φSi,2 + b23 φSi,3 − b31 φi + b32 φSi,3 + b33 φSi,4 − b41 φi + b42 φSi,4 + b43 φSi,5 ni bu1 φi + b43 + b12 φSi,1 + b13 + b22 φSi,2 + +b23 + b32 φSi,3 =− u=1 ✭✹✳✷✼✮ + b33 + b42 φSi,4 ❱➻ φSi,1 = φSi,5 ✳ ❱ỵ✐ ni ð ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✹✳✷✼✮ ❧➔ tê♥❣ sè ❝→❝ ♣❤➛♥ tû t❛♠ ❣✐→❝ q✉❛♥❤ ♥♦❞❡ i✳ ◆❣✉②➵♥ ▲❛♥ ❆♥❤ ✶✵✼ ❚♦→♥ Ù♥❣ ❉ö♥❣ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❚❤↕❝ s➽ ❳➜♣ ①➾ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ t↔✐ ❦❤✉➳❝❤ t→♥ ❚ø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✹✳✷✵✮ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✹✳✷✼✮✱ t❛ ❝â → → ( v · n)φdV − Vi → φ · n dV κ Vi ni au1 φi − a43 + a12 φSi,1 − a13 + a22 φSi,2 − a23 + a32 φSi,3 ≈ u=1 ✭✹✳✷✽✮ ni a33 − + a42 bu1 φi − b43 + b12 φSi,1 − b13 + b22 φSi,2 φSi,4 + u=1 − b23 + b32 φSi,3 − b33 + b42 φSi,4 ni (au1 + bu1 ) φi − a43 + a12 + b43 + b12 φSi,1 − a13 + a22 + b13 + b22 φSi,2 = u=1 − a23 + a32 + b23 + b32 φSi,3 − a33 + a42 + b33 + b42 φSi,4 ✭✹✳✷✾✮ ❚❛ ✤➦t ❝→❝ ❤➺ sè tr➯♥ ♠✐➲♥ t÷ì♥❣ ❤é ♥♦❞❡ i ♥❤÷ s❛✉ ni (au1 + bu1 ) ci = u=1 ci,1 = a43 + a12 + b43 + b12 ci,2 = a13 + a22 + b13 + b22 ci,3 = a23 + a32 + b23 + b32 ci,4 = a33 + a42 + b33 + b42 ❚❛ ✈✐➳t ❧↕✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✹✳✷✾✮ ♥❤÷ s❛✉ → → ( v · n)φdV − Vi κ → φ · n dV = ci φi − ci,1 φSi,1 − ci,2 φSi,2 ✭✹✳✸✵✮ Vi ni − ci,3 φSi,3 − ci,4 φSi,4 = ci φi − ci,j φSi,j j=1 ❱ỵ✐ ni ❧➔ tê♥❣ sè ♣❤➛♥ tû t❛♠ ❣✐→❝ ①✉♥❣ q✉❛♥❤ ♥♦❞❡ i✱ ð ✤➙② ni = 4✳ ◆❣✉②➵♥ ▲❛♥ ❆♥❤ ✶✵✽ ❚♦→♥ Ù♥❣ ❉ö♥❣ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❚❤↕❝ s➽ ❙è ❤↕♥❣ ỗ õ ni QdV = QdV j=1 Vi Vij ❚r♦♥❣ ✤â✱ ni tê♥❣ sè ❝→❝ ♣❤➛♥ tû t❛♠ ❣✐→❝ ①✉♥❣ q✉❛♥❤ ♥♦❞❡ i ♥❤÷ ❍➻♥❤ ✹✳✷✾✱ ð ✤➙② ni = 4✳ ❍➻♥❤ ✹✳✷✾✿ ❚❤➸ t➼❝❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ tr➯♥ ❝→❝ tỷ t ó r t ỗ Q(x, y) ❧➔ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤❡♦ t❤➸ t➼❝❤✱ t❤➻ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ✈✐➳t ni ni QdV = Vi QdV = Qi j=1 Vij 1dV = Qi Vi j=1 ✭✹✳✸✶✮ Vij ❚r♦♥❣ ✤â✱ Qi = Q(xi , yi ) t ỗ t i Vi = ni j=1 ◆❣✉②➵♥ ▲❛♥ ❆♥❤ Vij ✳ ✶✵✾ ❚♦→♥ Ù♥❣ ❉ư♥❣ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❚❤↕❝ s➽ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕✐ sè ❚❛ ①➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t↔✐ ❦❤✉➳❝❤ t→♥ ✭✷✳✶✸✷✮ ð tr↕♥❣ t❤→✐ ❞ø♥❣✳ ❉♦ ✤â✱ ∂φ ✭sü t❤❛② ✤ê✐ tù❝ t❤í✐ ❝õ❛ φ t❤❡♦ t✮✳ ∂t ❚ø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✹✳✸✵✮ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✹✳✸✶✮ t❛ ✈✐➳t ❧↕✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❛ s➩ ❜ä q✉❛ t↔✐ ❦❤✉➳❝❤ t→♥ ✭✷✳✶✸✷✮ ♥❤÷ s❛✉ ∂φ dV − ∂t Vi ·κ → · v φdV = φdV + Vi Vi QdV Vi ni ⇔ci φi − ci,j φSi,j = Qi Vi j=1 ni ⇔ci φi = ci,j φSi,j + Qi Vi ✭✹✳✸✷✮ j=1 ❚r♦♥❣ ✤â ✲ ci , ci,j ✿ ❝→❝ ❤➺ sè tr♦♥❣ ♠✐➲♥ t÷ì♥❣ ❤é i✱ ✤÷đ❝ ✤➦t ♥❤÷ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✹✳✷✾✮❀ ✲ φi ữủ ổ ữợ t i i,j ữủ ổ ữợ i Qi t ỗ t↕✐ ♥♦❞❡ i❀ ✲ Vi ✿ t❤➸ t➼❝❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t↕✐ ♥♦❞❡ i✳ ❉↕♥❣ ♠❛ tr➟♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕✐ sè ❚❛ ✤÷❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕✐ sè ✭✹✳✸✷✮ ✈➲ ❞↕♥❣ ♠❛ tr➟♥ s❛✉ AX = B ◆❣✉②➵♥ ▲❛♥ ❆♥❤ ✭✹✳✸✸✮ ✶✶✵ ❚♦→♥ Ù♥❣ ❉ư♥❣ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❚❤↕❝ s➽ ❱ỵ✐ A = ci −ci,1 · · · −ci,ni   φi   φ   S  X =  ✳i,1   ✳✳    φSi,ni B = Qi V i ✭✹✳✸✹✮ ❱ỵ✐ ni tê♥❣ sè ❝→❝ ♣❤➛♥ tû t❛♠ ❣✐→❝ ①✉♥❣ q✉❛♥❤ ♥♦❞❡ i✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♠✐♥❤ t ữủ ổ ữợ t i t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ♥♦❞❡ ❧→♥❣ ❣✐➲♥❣ ♥❤÷ ❍➻♥❤ ✹✳✸✵ ✤➳♥ ữợ j(k) i ố ợ ữỡ tr t t→♥ ❝❤÷❛ ✤↕t tr↕♥❣ t❤→✐ ❞ø♥❣✱ t❛ ♣❤↔✐ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ữỡ tr t t rỗ ũ ữỡ ♣❤→♣ ➞♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ✤➸ ①➜♣ ①➾ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ t✳ ◆❣✉②➵♥ ▲❛♥ ❆♥❤ ✶✶✶ ❚♦→♥ Ù♥❣ ❉ö♥❣ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❚❤↕❝ s➽ ▲Þ ▲➚❈❍ ❚❘➑❈❍ ◆●❆◆● ■✳ ❙ì ❧÷đ❝ ❝→ ♥❤➙♥✿ ❍å ✈➔ t➯♥✿ ◆●❯❨➍◆ ▲❆◆ ❆◆❍ ◆❣➔②✱ t❤→♥❣✱ ♥➠♠ s✐♥❤✿ ✵✾✴✶✵✴✶✾✾✸ ◆ì✐ s✐♥❤✿ ◗✉② ◆❤ì♥ − ❇➻♥❤ ✣à♥❤ ✣à❛ ❝❤➾ ❧✐➯♥ ❧↕❝✿ ❈❛♦ è❝ ▲÷ì♥❣ ✣à♥❤ ❈õ❛✱ ỗ tr t↕♦✿ ❚❤í✐ ❣✐❛♥ ❚➯♥ tr÷í♥❣ ❚r÷í♥❣ ✷✵✶✻ ✲ ✷✵✶✽ ✣↕✐ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ ❤å❝ 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