Bai Tap Vecto Cac Phep Toan Trong Khong GianHot

ViÕt ph¬ng tr×nh hai ®êng chÐo cña h×nh vu«ng OABC.. §iÓm M trªn trôc hoµnh sao cho A,B,M th¼ng hµng.[r]

Tỉ To¸n Tin Tr êng THPT Trần quang Khải Chơng I - Véc tơ

I Véc tơ: 1 Định nghĩa:

Véctơ đoạn thẳng có:

+ Mt u c xỏc nh gốc, đầu + Hớng từ gốc đến gọi hớng véctơ

+ Độ dài đoạn thẳng gọi độ dài véctơ (Mơ đun) Véctơ có gốc A, B đợc kí hiệu AB; độ dài AB kí hiệu l AB

Một véc tơ có kí hiệu chữ in thờng phía có mũi tên nh: a; b; c;

2 Véctơ không:

Véctơ không: 0 véctơ có:

+ Điểm gốc điểm trùng + Độ dài b»ng

+ Híng bÊt k×

3 Hai véctơ ph ơng:

Hai véctơ AB;CD gọi phơng: kí hiệu hàng thẳng D C, B, A, CD // AB CD // AB

4 Hai vÐct¬ cïng h íng:

Hai vÐct¬ AB;CD gäi lµ cïng híng: kÝ hiƯu

     h íng cïng CD AB, tia hai CD // AB CD AB

5 Hai véctơ ng ợc h ớng:

Hai véctơ AB;CD gọi ngợcchớng: kí hiệu

h íng ng ỵc CD AB, tia hai CD // AB CD AB

6 Hai vÐct¬ b»ng nhau: Hai vÐct¬ AB;CD b»ng nhau: kÝ hiƯu

       CD AB CD AB CD AB

7 Hai véctơ đối nhau: Hai véctơ AB;CD đối nhau: kí hiệu

       CD AB CD AB CD AB

8 Gãc cđa hai vÐct¬:

Gãc hai véctơ AB;CD góc tạo hai tia Ox; Oy lần lợt hớng với hai tia AB; CD

+ Khi AB;CD không hớng 0o xOˆy 180o





+ Khi AB;CD hớng xOy0o

II Các phép toán vÐct¬: 1 PhÐp céng vÐct¬:

Định nghĩa: Tổng hai véctơ a;b véctơ đợc xác định nh sau:

+ Từ điểm O tùy ý mặt phẳng dựng véctơ OAa

+ Từ điểm A dùng vÐct¬ ABb

+ Khi véctơ OB gọi véctơ tổng hợp hai véctơ

b ;

a : OBab

HƯ thøc Chasles (Qui t¾c ba ®iĨm):

Víi ®iĨm A, B, C bÊt kì, ta luôn có:

AC BC AB

(HƯ thøc Chasles cã thĨ më réng cho n ®iĨm liªn tiÕp)

Phép cộng hai véctơ đồng qui (Qui tắc hình bình hành):

AC AD

AB (với ABCD hình bình hành)

Qui tắc trung điểm: Với điểm M tuỳ ý I trung điểm AB ta có: MA MB

2 1

MI  TÝnh chÊt:

- Giao hoán: abba

- Kết hợp: abcabc - Cộng víi kh«ng: a0a

- Cộng với véctơ đối: a( a)0 2 Phép trừ véctơ: a ba(b)

Víi a bc abc

Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm O, A, B bÊt k× ta cã:

OA OB AB

3 Phép nhân véctơ với số thực: a Định nghĩa: k.a véctơ:

- Với a0;k0thì véctơ k.asẽ phơng với a sÏ:

+ Cùng hớng với a k>0 + Ngợc hớng với a k<0 + Có độ dài k.a k.a

- 0.ak.00 b TÝnh chÊt:

+)1.aa;(1).a a +) m.(n.a)(mn)a +) (mn)amana +) m(ab)mamb +) a;b cïng ph¬ng  akb (a0)

4 TØ sè cđa hai vÐct¬ cïng ph ¬ng:

                b a k b a nÕu 0 k b a nÕu 0 k k b a b // a

phân loại tập Véc tơ phép toán

Dng Chng minh đẳng thức véctơ

*Ph

¬ng pháp:

+ Sử dụng qui tắc ba điểm (Chasles); hình bình hành; trung điểm

+ Vn dng cỏc chứng minh đẳng thức: biến đổi VT thành VP ngợc lại; biến đổi hai vế thành đẳng thức; biến đổi đẳng thức đ cho thành ng thc ó luụn ỳng

*Bài tập minh hoạ:

Bài 1. Cho điểm A, B, C, D chøng minh r»ng: aABCDADCB b

BD AC CD

Tỉ To¸n Tin Tr ờng THPT Trần quang Khải c.ABDCBDCA0 d ABCDBCDA0

Bài 2. Cho tam giác A, B, C G trọng tâm tam giác M điểm tuỳ ý mặt phẳng CM:

a GBGBGC0 b MBMBMC3MG Bài 3. Cho hình bình hành ABCD tâm I AOa;BOb a Chøng minh r»ng: ABAD2AI

b TÝnh AC;BD;AB;BC;CD;DA theo a;b Bài 4. Cho điểm A, B, C, D, E, F Chøng minh r»ng:

CD BF AE CF BE

AD    

Bài 5. Cho tam giác ABC I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác CM:

0 IC . c IB . b IA .

a   

Bài 6. Cho hai tam giác ABC A'B'C' Gọi G trọng tâm G G' Chứng minh rằng:AA'BB'CC'3GG'

Bài 7. Cho điểm A, B, C, D; M, N lần lợt trung điểm AB, CD Chøng minh r»ng:ADBDACBC4MN

Bài 8. Gọi O; H; G lần lợt tâm đờng tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng:

a) HAHBHC2HO b) HG2GO Bài 9. Cho tam giác ABC tâm O M điểm tuỳ ý bên tam giác; D, E, F lần lợt hình chiếu BC, CA, AB

Chøng minh r»ng: MO

2 3 MF ME

MD

Bài 10. Cho tam giác ABC Vẽ phía tam giác hình bình hành ABIF, BCPQ, CARS Chứng mình: RFIQPS0 Bài 11. Cho điểm A, B, C, D; I, F lần lợt trung điểm BC, CD CM: 2ABAIFADA3DB

Bài 12. Cho tam giác ABC với G trọng tâm; H điểm đối xứng với B qua G CM:

a AB

3 1 AC 3 2

AH  ; AB AC 3

1

CH

b M trung điểm BC CM: AB 6 5 AC 6 1 MH 

Dạng Xác định điểm thoả mãn đẳng thc vộct

*Ph

ơng pháp chung:

+ Biến đổi đẳng thức đ cho dạng: ó OMa ú

O a đ biết.Ã

+ Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng véctơ véctơ a Khi véctơ điểm M

*Bµi tËp ¸p dơng:

Bài 1. Cho hai điểm A, B Xác định điểm M biết:

0 MB 3 MA

2  

Bài 2. Cho hai điểm A, B véc tơ v Xác định điểm M biết: v

MB MA 

Bµi 3. Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NC=2NA

a Xác định điểm K cho: 3AB2AC 12AK 0

b Xác định điểm D cho: 3AB4AC 12KD0

Bài 4. Cho tam giác ABC

a Xác định điểm I cho: IA2IB0

b Xác định điểm K cho: KA2KBCB

c Xác định điểm M cho: MAMB2MC0

Bài 5. Cho điểm A, B, C, D, E Xác định điểm O, I, K cho:

a OA  OB  OC

b IA IB IC ID   

    

3( )

c KA KB KC   KD KE 

     

Bài 6. Cho tam giác ABC Xác định vị trí điểm M cho:

0 MC 2 MB

MA  

Bài 7. Cho tam giác ABC Xác định điểm M, N cho: a MA2MB0 b.NA2NBCB Bài 8. Cho hình bình hành ABCD Xác định điểm M thoả m n: ã 3AMABACAD

Bài 9. Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm O thoả m n:ã 0

OD OC OB

OA   

Bài 10. Cho tam giác ABC cố định Chứng minh

MC 5 MB 4 MA

a không phụ thuộc vị trí điểm

M

Bài 11. Cho tứ giác ABCD Chứng minh có điểm M thoả m n hƯ thøc: · 2MA3MB 5MCMD0

D¹ng Chứng minh ba điểm thẳng hàng

*Ph

¬ng ph¸p chung:

Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh: ABkAC(kR) Để chứng minh đợc điều ta áp dụng hai phơng pháp:

+ Cách 1: áp dụng quy tắc biến đổi véctơ + Cách 2: Xác định hai véctơ thông qua tổ hợp trung gian

*Bài tập áp dụng:

Bài 1. Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC; D E hai điểm cho: BDDEEC

a Chøng minh: ABACADAE

b TÝnh vÐct¬: ASABADACAE theo AI

c Suy ba điểm A, I, S thẳng hµng

Bài 2. Cho tam giác ABC Đặt ABu; ACv a Gọi P điểm đối xứng với B qua C Tính AP theo

v ;

u ?

b Qọi Q R hai điểm định bởi:

AB 3 1 AR ; AC 2 1

AQ  TÝnh RP;RQ theo

v ;

u

c Suy P, Q, R thẳng hàng

Bài 3. Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy điểm I, J cho: 2IA3IC 0, 2JA5JB3JC0

a CMR: M, N, J thẳng hàng với M, N trung điểm AB BC

b CMR: J trung điểm BI

Bài 4. Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy điểm I, J thoả m n: Ã IA 2IB; 3JA2JC0

Tỉ To¸n Tin Tr ờng THPT Trần quang Khải Bài 5. Cho tam giác ABC Lấy điểm M, N, P thoả m n:·

PC 2 PB ; 0 AC 2 AN 3 ; 0 MB

MA    

Chứng minh M, N, P thẳng hàng

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm I, J tho¶ m n:· 0

JC 2 JB 2 JA ; 0 JD 2 JC 2 JA

3      

Chứng minh I, J, O thẳng hàng với O giao điểm AC BD Bài 7. Cho tam giác ABC Gọi O, G, H theo thứ tự tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm tam giác ABC CMR: O, G, H thẳng hàng

Bµi 8. Cho tam giác ABC Lấy điểm M, N, P cho: 0

MC 3

MB  , AN 3NC, PAPB0 Chứng minh M, N, P thẳng hàng

Dạng Chứng minh hai điểm trùng nhau

*Ph

ơng pháp chung:

Để chứng minh M vµ M' trïng nhau, ta lùa chän mét hai híng: C¸ch 1: Chøng minh MM' 0

C¸ch 2: Chứng minh OM OM' với O điểm tuỳ ý

*Bài tập áp dụng:

Bài 1. Cho tam giác ABC Lấy điểm AB C

; AC B

; BC

A1 1 1 cho: AA1 BB1CC1

Chøng minh r»ng hai tam gi¸c ABC A1B1C1 có trọng tâm

Bài 2. Cho tø gi¸c låi ABCD Gäi M, N, P, Q lần lợt trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm

Dạng Quỹ tích điểm

*Ph

ơng pháp chung:

Đối với toán quỹ tích, học sinh cần nhớ số quỹ tích sau:

- Nu MA MB với A, B cho trớc M thuộc đờng trung trực đoạn AB

- NÕu MC k.AB víi A, B, C cho trớc M thuộc đ-ờng tròn tâm C, bán kính k.AB .

- Nếu MA kBC th×

+ M thuộc đờng thẳng qua A song song với BC

R k

+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC hớng BC 

R k

+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC ngợc hớng BC 

R k

*Bài tập áp dụng:

Bài 1. Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M tho¶ m n:·

a MB MC

2 3 MC MB

MA   

b MA3MB 2MC 2MA MB MC

Bài 2. Cho tam giác ABC M điểm tuỳ ý mặt phẳng a CMR: véctơ v3MA 5MB2MC khơng đổi b Tìm tập hợp điểm M thoả m n:ã

MC MB MC

2 MB 2 MA

Tỉ To¸n Tin Tr êng THPT Trần quang Khải

CHNG II , trc to độ hệ trục toạ độ

Phần Trục toạ độ

Bài 1. Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ lần lợt 2 a/ Tìm tọa độ 

AB

b/ Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB c/ Tìm tọa độ điểm M cho 

MA + 5MB = 0 d/ Tìm tọa độ điểm N cho 2NA + 3NB = 1

Bài 2. Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ lần lợt a, b, c

a/ Tìm tọa độ trung điểm I AB b/ Tìm tọa độ điểm M cho 

MA + MB  MC = 0

c/ Tìm tọa độ điểm N cho 

NA  3NB = NC

Bài 3. Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ lần lợt 3 a/ Tìm tọa độ điểm M cho 3MA  2MB =

c/ Tìm tọa độ điểm N cho NA + 3NB = AB

Bài 4. Trên trục x'Ox cho ®iĨm A (2) ; B(4) ; C(1) ; D(6) a/ CMR :

AC + AD = AB

b/ Gọi I trung điểm AB CMR:

IA ID

IC 

c/ Gọi J trung điểm CD CMR: AC.ADAB.AJ

phần Hệ toạ độ đề vng góc I Toạ độ véc tơ - Toạ độ điểm:

Bài 1. Biểu diễn véc tơ uxiyj biết a) u(2;5) b) ) 0 ; 4 ( u 

Bài 2. Xác định toạ độ véc tơ u biết: a) u5i 2j b) u3i c)u7j

Bài 3. Xác định toạ độ độ dài véc tơ c biết a) ca3b; a(2; 1); b(3;4) b)

b 5 a 3

c  ; a( 2;3); b(3; 6)

Bài 4. Cho ba điểm A(-1;1); B(1;3)

a) Xác định toạ độ véc tơ: AB;BA b) Tìm toạ độ điểm M cho BM(3;0)

c) Tìm toạ độ điểm N cho NA(1;1) II Biểu diễn Véc tơ:

Bµi 1. Biểu diễn véc tơ c theo véc tơ a;b biÕt: a) a(2; 1);b( 3;4);c( 4;7) b)

) 3 ; 1 ( c ); 3 ; 2 ( b ); 1 ; 1 (

a  

Bài 2. Cho bốn điểm A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3) H y biĨu · diƠn vÐc t¬ AD theo véc tơ AB;AC

Bài 3. Biểu diễn véc tơ c theo véc tơ a;b biết: a) a( 4;3);b( 2; 1);c(0;5) b)

) 0 ; 2 ( c ); 3 ; 5 ( b ); 2 ; 4 ( a

Bµi 4. Cho ®iĨm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4) H y biĨu · diƠn véc tơ AD theo véc tơ AB;AC

III Xác định điểm thoả mãn đẳng thức véc tơ, độ dài:

Bài 1. Cho tam giác ABC với A(1;0); B(-3;-5); C(0;3) a Xác định toạ độ điểm E cho AE2BC b Xác định toạ độ điểm F cho AF=CF=5 c Tìm tập hợp điểm M biết:

MC MB MC 3 ) MB MA (

2    

Bài 2. Cho tam giác ABC với A(-1;3); B(2;4); C(0;1) Xác định toạ độ:

a) Trọng tâm G b) Véc tơ trung tuyÕn AA1

c) Tâm I đờng tròn ngoại tiếp tam giác

d) §iĨm D cho ABCD hình bình hành

Bài 3. Cho M(1+2t; 1+3t) H y tìm điểm M Ã cho 2 M 2

M y

x  nhá nhÊt

Bài 4. Cho tam giác ABC với A(4;6); B(1;4); C(7;

2 3

) a CM: ABC vu«ng

b Tìm toạ độ tâm đờng trịn ngoại tiếp ABC c Tìm tập hợp điểm M thoả m n:ã

MC MA MC 3 MB 2 MA

2    

Bài 5. Cho tam giác ABC với A(1;-2); B(0;4); C(3;2) Tìm toạ ca:

a Trọng tâm G tam giác b Véc tơ trung tuyến ứng với cạnh BC

c Điểm D cho ABCD hình bình hành d Tâm I đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC e Điểm M biết: CM2AB 3AC

f §iĨm N biÕt: AN2BN 4CN0

Bài 6. Cho tam giác ABC với A(-3;6); B(1;-2); C(6;3) Tìm toạ độ của:

a Trọng tâm G b Tâm đờng tròn ngoại tiếp c Điểm M biết 2AM 3CMAB

Bài 7. Cho tam giác ABC với A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm toạ độ điểm D cho ABCD l hỡnh bỡnh hnh

Bài 8. Cho điểm A(3;1)

a Tìm toạ độ điểm B, C cho OABC hình vng điểm B nằm góc phần t thứ

b Viết phơng trình hai đờng chéo hình vng OABC Bài 9. Cho M(1-2t; 1-3t) H y tìm điểm M cho ã 2

M 2

M y

x  nhá nhÊt

IV VÐc t¬ cïng ph ¬ng - Ba điểm thẳng hàng: Bài 1. Cho A(0;4); B(3;2)

a Chứng minh A,B,C biết C(-6-3t;8+2t) b A, B, D khơng thẳng hàng biết D(3;0) Tính chu vi ABD Bài 2. Cho A(2;1); B(6;-1) Tìm toạ độ:

a Điểm M trục hoành cho A,B,M thẳng hàng b Điểm N trục tung cho A, B, N thẳng hàng c Điểm P khác điểm B cho A, B, P thẳng hàng

5 2 PA

Bài 3(ĐHNN97): Cho A(1;1); B(3;3); C(2;0) a TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC

b Tìm tất điểm M trục Ox cho gãc AMB nhá nhÊt

Bµi 4. Tìm điểm P trục hoành cho tổng khoảng cách từ P tới A B nhỏ nhất, biÕt:

a) A(1;1) B(2;-4) b) A(1;2) B(3;4) Bài 5. Cho M(4;1) hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 cho A,B,M thẳng hàng Xác định toạ độ A B cho:

a DiÖn tÝch OAB lín nhÊt b OA+OB nhá nhÊt

c 2 2

OB 1 OA

1

 nhá nhÊt

Bài 6. Cho A(-1;-4); B(3;4) Tỡm to :

a Điểm M trục hoành cho A,B,M thẳng hàng b Điểm N trục tung cho A, B, N thẳng hàng c Điểm P khác điểm B cho A, B, P thẳng hµng vµ

5 3 PA 

Bµi 7: Cho A(1;3); B(3;1); C(2;4) a TÝnh diÖn tÝch tam giác ABC

b Tìm tất ®iĨm M trªn trơc Ox cho gãc AMB nhá

Bài 8. Tìm điểm P trục hoành cho tổng khoảng cách từ P tới A B lµ nhá nhÊt, biÕt:

a) A(1;2) vµ B(3;4) b) A(1;1) B(2;-5)

Bài 9. Tìm điểm P trục tung cho tổng khoảng cách từ P tíi A vµ B lµ nhá nhÊt, biÕt:

Tổ Toán Tin Tr ờng THPT Trần quang Khải Bài 10. Tìm điểm P ng thng (d): x+y=0 cho tng

khoảng cách tõ P tíi A vµ B lµ nhá nhÊt, biÕt:

a) A(1;1) vµ B(-2;-4) b) A(1;1) vµ B(3;-2)

Bài 11. Cho M(1;4) hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 cho A,B,M thẳng hàng Xác định toạ độ A B cho:

a DiÖn tÝch OAB lín nhÊt b OA+OB nhá nhÊt

c 2 2

OB 1 OA

1

 nhá nhÊt Bµi tËp tù lun:

Bài 1. Viết tọa độ vectơ sau: a =i  3j , b =

2

i



+j ; c = i +

j 

; d = 3i ; e = 4j Bài 2. Viết dới dạng u = xi + yj , biÕt r»ng:

u



= (1; 3) ; u = (4; 1) ; u = (0; 1) ; u = (1, 0) ; u = (0, 0) Bài 3. Trong mp Oxy cho a = (1; 3) , b = (2, 0) Tìm tọa độ độ dài vectơ:

a/u = 3a  2b b/v = 2a + b c/w = 4a 

2

b



Bài 4. Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2) a/ Tìm tọa độ vectơ 

AB, AC , BC

b/ Tìm tọa độ trung điểm I AB c/ Tìm tọa độ điểm M cho: 

CM = 2AB  3AC

d/ Tìm tọa độ điểm N cho: 

AN + 2BN  4CN = 0

Bµi 5. Trong mp Oxy cho ABC cã A (4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2) a/ CMR : ABC c©n TÝnh chu vi ABC

b/ Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành c/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC

Bµi 6. Trong mp Oxy cho ABC cã A (0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1) a/ CMR : ABC vu«ng TÝnh diÖn tÝch ABC.b/ Gäi D (3; 1) CMR : điểm B, C, D thẳng hàng

c/ Tỡm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành Bài 7. Trong mp Oxy cho ABC có A (3; 6), B(9;10), C(5; 4) a/ CMR : A, B, C khơng thẳng hàng.b/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC

c/ Tìm tọa độ tâm I đờng trịn ngoại tiếp ABC tính bán kính đờng trịn

Bµi 8. Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3) H y tìm trục à hoành điểm M cho ABM vuông M

Bµi 9. Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)

a/ H y tìm trục hoành điểm C cho à ABC cân C b/ TÝnh diƯn tÝch ABC

c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành Bài 10. Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)

a/ CMR : A, B, C khơng thẳng hàng.b/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC

I Lí thuyết:

1 Định nghĩa: a.ba.b.cosa,b

  

   

  o   o

o o 180 b , a 90 0 b , a cos 0 b . a b a 90 b , a 0 b , a cos 0 b . a 90 b , a 0 0 b , a cos 0 b . a                    

2 TÝnh chÊt:

a Giao ho¸n b TÝnh chÊt ph©n phèi c

a . b b .

a  a.bcabac  mabm a.b 3 Biểu thức toạ độ tích vơ h ớng:

NÕu a(x1;y1);b(x2;y2) a.bx1y1x2y2 4 Công thức hình chiếu:

a Nếu bốn điểm A, B, C, D trơc th×: CD . AB CD . AB 

b Nếu A', B' hình chiếu A, B lên giá CD thì: CD . ' B ' A CD . AB

II Bài tập áp dơng: ) TÝnh tÝch v« híng

Bài 1. Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm G

a Tính tích vơ hớng AB.CD;AB.BC b Gọi I điểm thoả m n ã IA 2IB4IC0 Chứng minh rằng: BCIG hình bình hành từ tính

AB AC;IB.IC;IA.IB IA 

Bài 2. Cho tam giác ABC cạnh a, b, c a Tính AB.AC từ suy ra:

AB . CA CA . BC AC .

AB  

b Gọi M trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABC Tính độ dài đoạn AM từ suy độ dài AG cosin góc nhọn tạo AG BC

Bài 3. Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O, M điểm tuỳ ý đờng trịn nội tiếp hình vng, N điểm tuỳ ý cạnh BC Tính:

a MA.MBMC.MD b.NA.NB c

BA . NO

Bµi 4. Cho ba véc tơ a;b;c thoả m n điều kiệnà c c ; b b ; a

a    vµ ab3c0 TÝnh: a c c b b a

A  

Bài 5. Cho tam giác ABC cạnh a, đờng cao AH a Tính tích vô hớng AB.HC

b AB AC .2ABBC

Bài 6. Cho tam giác ABC có AB=6, AC=8, BC=10

a TÝnh AB.AB b Trªn AB lÊy M cho AM=2; cạnh AC lấy N ch0o AN=4 TÝnh AM.AN

Bài 7. Cho hình thang vng ABCD có đờng cao AB=2, đáy lớn BC=3; đáy nhỏ AD=2

Bài 8. Cho ba véc tơ a;b;c thoả m n ®iỊu kiƯn· 1 c ; 2 b ; 3

a    vµ ab3c0 TÝnh: a c c b b a

A  

) Chứng minh đẳng thức tích vơ hớng hay v di

Bài 9. Cho hai điểm A B, O trung điểm AB M điểm tuỳ ý Chứng minh rằng: MA.MBOM2  OA2

Bài 10. Cho MM1 đờng kính đờng trịn tâm O, bán kính R

A điểm cố định OA=d Giả sử AM cắt (O) N

a Chøng minh r»ng tÝch v« hớng AM.AM1 có giá trị không

phụ thuộc M

b CMR: AM.AN có giá trị không phụ thuộc M

Bài 11. Cho nửa đờng trịn đờng kính AB có AC, BD hai dây thuộc nửa đờng tròn cắt E

Chøng minh r»ng: AE.AC BE.BD AB2

 

Bµi 12. Cho tam giác ABC, trực tâm H, M trung điểm BC Chøng minh r»ng:

a .BC2

4 1 MA .

MH  b 2 2 2 2 BC 2 1 AH MA

MH  

Bài 13. Cho bốn điểm tuỳ ý M, A, B, C Chøng minh r»ng: 0 AB . MC CA . MB BC .

AM   

) Chøng minh tÝnh vu«ng gãc - thiÕt lËp điều kiện vuông góc

Bi 14. Chng minh tam giác ba đờng cao đồng quy Bài 15. Cho tam giác ABC có góc A nhọn Vẽ bên ngồi tam giác vng cân đỉnh A ABD, ACE Gọi M trung điểm BC Chứng minh rng: AMDE

Bài 16. Cho bốn điểm A, B, C, D Chøng minh r»ng: ABCD 2

2 2

2 BD AD BC

AC   



Bài 17. Cho hình thang vng ABCD, hai đáy AD=a; BC=b, đờng cao AB=h Tìm hệ thức a, b, h cho:

a BDCI b ACDI c.BMCN víi M, N theo thø tự trung điểm AC BD Bài 18. Cho tø gi¸c ABCD biÕt

0 DA . DC CD . CB BC . BA AD .

AB Tứ giác

ABCD h×nh g×? V× sao?

)Điểm thoả mãn đẳng thức tích vơ h-ớng hay độ dài

Bài 19. Cho tam giác ABC cạnh a Tìm tập hợp điểm M cho:

4 a MA . MC MC . MB MB . MA 2 

Bài 20. Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a MAMB .MAMC0

b 2 2

a MC . MB MB

2   víi BC=a