Gián án de thi dh so 120

I HC S PHM H NI THI TH I HC - CAO NG 2011 KHOA TON-TIN MễN: TON- KHI A ------------- Thi gian lm bi: 180 phỳt ( khụng k thi gian giao ) A. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im ) Cõu I: (2,0 im) Cho hm s: 2 1 1 x y x - = - (C). 1. Kho sỏt s bin thiờn v v th (C). 2. Gi I l giao im ca hai tim cn, M l mt im bt kỡ trờn (C), tip tuyn ca (C) ti M ct cỏc tim cn ti A, B. Chng minh rng din tớch tam giỏc IAB khụng i khi M thay i trờn (C). Cõu II: (2,0 im) 1. Gii phng trỡnh ( ) ( ) 3 3 sin . sin 3 os . cos 3 1 8 t an . t an 6 3 x x c x x x x p p + = - - + 2. Gii phng trỡnh ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 1 1 2 1x x x x ộ ự + - + - - = + - ờ ỳ ở ỷ . Cõu III. (1,0 im) Tớnh tớch phõn ( ) 1 2 0 ln 1I x x x dx= + + ũ . Cõu IV. (1,0 im) Cho hỡnh hp ng ABCD.ABCD cú A B A D a= = , 3 AA ' 2 a = , gúc BA D bng 0 60 . Gi M, N ln lt l trung im ca cnh AD v AB. Chng minh AC vuụng gúc vi mt phng (BDMN) v tớnh th tớch khi a din AABDMN theo a . Cõu V. (1,0 im) Chng minh rng vi mi s thc dng , ,a b c tha món 2 2 2 1a b c+ + = , ta cú: 5 3 5 3 5 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 a a a b b b c c c b c c a a b - + - + - + + + Ê + + + . B. PHN RIấNG (3,0 IM):Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc B) I. Theo chng trỡnh Chun Cõu VI.a (2,0 im) 1. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú din tớch bng 12, tõm I l giao im ca hai ng thng: d 1 : x - y - 3 = 0, d 2 : x + y - 6 = 0. Trung im mt cnh l giao im ca d 1 v tia Ox. Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh ch nht. 2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im I(1;1;1) v ng thng d: 14 5 4 1 2 x y z- + = = - . Vit phng trỡnh mt cu (S) tõm I v ct d ti hai im A, B sao cho di on thng AB bng 16. Cõu VII.a (1,0 im) Tỡm h s cha x 2 trong khai trin: 4 1 2 n x x ổ ử ữ ỗ + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ , bit n l s nguyờn dng tha món: 2 3 1 0 1 2 2 2 2 6560 2 . 2 3 1 1 n n n n n n C C C C n n + + + + + = + + . II. Theo chng trỡnh Nõng cao Cõu VI.b (2,0 im) 1. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh vuụng cú nh l (-4; 8) v mt ng chộo cú phng trỡnh 7x - y + 8 = 0. Vit phng trỡnh cỏc cnh ca hỡnh vuụng. 2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P): 1 0x y z+ + - = v hai im A(1;-3;0), B(5;-1;-2). Tỡm ta im M trờn mt phng (P) sao cho MA MB- t giỏ tr ln nht. Cõu VII.b (1.0 im) Cho h phng trỡnh 2 3 3 2 3 1 log log 0 2 ,( ) 0 x y m R x y my ỡ ù ù - = ù ù ẻ ớ ù ù + - = ù ù ợ . Tỡm m h cú nghim. .Ht . Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. H v tờn thớ sinh: ; S bỏo danh: . P N - THANG IM THI TH I HC NM 2011 Mụn thi: TON . Cõu í ỏp ỏn im I 1 1,0 1 TX : D = R\ { } 1 . 2 S bin thiờn: y = ( ) 2 1 0, 1 x D x - < " ẻ - . Hm s nghch bin trờn: ( ) ( ) ;1 1;v- Ơ + Ơ 0,25 Gii hn: lim lim 2 x x+ Ơ - Ơđ đ = = ; tim cn ngang: y = 2 1 1 lim , lim x x + - đ đ = + Ơ = - Ơ ; tim cn ng: x = 1 0,25 Bng bin thiờn: 0,25 1 th: 0,25 2 1,0 Gi M(m; 2 1 1 m m - - ) Tip tuyn ca (C) ti M: ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 m y x m m m - - = - + - - 0,25 A(1; 2 1 m m - ), B(2m-1; 2) 0,25 IA = 2 1 2 2 1 1 m m m - = - - , IB = 2 2 2 1m m- = - 0,25 1 . 2 2 IA B S IA IB D = = . Vy din tớch tam giỏc IAB khụng i khi M thay i trờn (C). 0,25 II 1 1,0 iu kin: 6 2 k x p p +ạ Ta cú t an . t an t an . cot 1 6 3 6 6 x x x x p p p p ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ - + = - - = - ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ 0,25 Phng trỡnh tng ng vi: 3 3 sin . sin 3 os . cos 3x x c x x+ = 1 8 ( ) 1 os2 os2 os4 1 os2 os2 os4 1 . . 2 2 2 2 8 1 2 os2 os2 . os4 2 c x c x c x c x c x c x c x c x c x - - + + + = - = 0,25 3 1 1 os os2 8 2 c x c x= = 0,25 ( ) ai 6 , 6 x k lo k Z x k p p p p ộ = + ờ ờ ẻ ờ ờ = - + ờ ở . Vy : 6 x k p p = - + 0,25 2 1,0 k: -1 1xÊ Ê t u = ( ) 3 1 x+ , v = 3 (1 )x- ; u,v 0 H thnh: 2 2 3 3 2 1 ( ) 2 u v uv u v uv ỡ + = ù ù ù ớ ù + - = + ù ù ợ 0,25 Ta cú: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 uv uv u v uv u v u v u v u v vu u v uv + = + = + + = + + = - + + = - + 0,25 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 u v u u v ì + = ï ï ï = +Þ Þ í ï - = ï ï î 0,25 2 2 x =Þ 0,25 III 1,0 Đặt ( ) 2 2 2 2 1 ln 1 1 2 x du dx u x x x x x dv xdx v ì + ï ï = ì ï ï = + + + + ï ï ï ï Þ í í ï ï = ï ï ï î = ï ï ï î ( ) 1 2 3 2 2 0 1 1 2 2 ln 1 2 2 1 0 x x x I dxx x x x + = -+ + + + ò 0,25 ( ) 1 1 2 2 1 0 2 0 0 1 1 1 3 ln 3 ln( 1) 2 2 4 4 1 3 3 ln 3 4 4 dx x x x x x x J - - + + + - + + = - ò 0,25 1 2 2 0 1 3 2 2 dx J x = æ ö æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ + + ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ è ø ç è ø ò . Đặt 1 3 t an , ; 2 2 2 2 x t t p p æ ö ÷ ç + = -Î ÷ ç ÷ è ø 3 6 2 3 3 3 9 J dx p p p = = ò 0,25 Vậy I = 3 ln 3 4 - 3 12 p 0,25 IV 1,0 Gọi O là tâm của ABCD, S là điểm đối xứng với A qua A’ Þ M, N lần lượt là trung điểm của SD và SB AB = AD = a, góc BAD = 60 0 Þ D ABD đều Þ OA = 3 , 3 2 a A C a= SA = 2AA’ = a 3 3, ' AA ' 2 a CC = = 0,25 ~ ' ' A O SA SA O A CC A C CC =Þ Þ D D ' ~A CC A IOÞ D D (I là giao điểm của AC’ và SO) 'SO A C^Þ (1) Mặt khác ( ' ') 'BD A CC A BD A C^ ^Þ (2) Từ (1) và (2) Þ đpcm 0,25 2 2 2 2 ' 1 3 3 3 2 4 1 3 3 3 2 4 2 32 SA B D SA MN a V a a a a a V = = æö ÷ ç = = ÷ ç ÷ è ø 0,25 2 AA ' ' 7 32 BDMN SA BD SA MN a V V V= - = 0,25 V 1,0 Do a, b, c > 0 và 2 2 2 1a b c+ + = nên a, b, c ( ) 0;1Î Ta có: ( ) 2 2 5 3 3 2 2 2 1 2 1 a a a a a a a b c a - - + = = - + + - BĐT thành: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 3 3 a a b b c c- + + - + + - + £ 0,25 Xét hàm số ( ) ( ) 3 , 0;1f x x x x= - + Î Ta có: ( ) ax 0;1 M ( ) f x = 2 3 9 0,25 0,25 ( ) ( ) ( ) 2 3 3 f a f b f c+ +Þ £ Þ đpcm Đẳng thức xảy ra 1 3 a b c= = =Û 0,25 VI.a 1 1,0 I 9 3 ; 2 3 æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø , M ( ) 3; 0 0,25 Giả sử M là trung điểm cạnh AD. Ta có: AB = 2IM = 3 2 . 12 2 2 A B CD S A B A D A D= = =Þ AD qua M và vuông góc với d 1 Þ AD: x + y - 3 = 0 0,25 Lại có MA = MB = 2 Tọa độ A, D là nghiệm của hệ: ( ) 2 2 3 0 2 1 3 2 x y x y x y + - =ì ï =ì ï ï ï ï Û í í ï ï = - + = ï ï î ï î hoặc 4 1 x y =ì ï ï í ï = - ï î 0,25 Chọn A(2 ; 1) ( ) ( ) ( ) 4; 1 7;2 à 5; 4D C v B-Þ Þ 0,25 2 1,0 Gọi H là trung điểm đoạn AB 8HA =Þ 0,25 IH 2 = 17 0,25 IA 2 = 81 9R =Þ 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 1 1 1 81C x y z- + - + - = 0,25 VII.a 1,0 Ta có: ( ) 2 2 3 1 0 1 2 0 2 2 2 2 . 1 2 3 1 n n n n n n n C C C C x dx n + + + + + = + + ò 0,25 1 1 3 1 6560 3 6561 7 1 1 n n n n n + + - = = =Û Û Û + + 0,25 7 14 3 7 4 7 4 0 1 1 2 2 k k k x C x x - æ ö ÷ ç + = ÷ ç ÷ ç è ø å 0,25 Số hạng chứa x 2 ứng với k thỏa: 14 3 2 7 4 k k - = =Û Vậy hệ số cần tìm là: 21 4 0,25 VI.b 1 1,0 Gọi A(-4; 8) Þ BD: 7x - y + 8 = 0 Þ AC: x + 7y - 31 = 0 0,25 Gọi D là đường thẳng qua A có vtpt (a ; b) D: ax + by + 4a - 5b = 0, D hợp với AC một góc 45 0 Þ a = 3, b = -4 hoặc a = 4, b = 3 Þ AB: 3 4 32 0; : 4 3 1 0x y A D x y- + = + + = 0,25 Gọi I là tâm hình vuông Þ I( 1 9 ; ) 2 2 - ( ) 3; 4CÞ : 4 3 24 0; : 3 4 7 0BC x y CD x y+ - = - + =Þ 0,25 KL: 0,25 2 1,0 Ta có: A, B nằm khác phía so với (P).Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P) Þ B’(-1; -3; 4) 0,25 ' 'MA MB MA MB A B- = - £ Đẳng thức xảy ra khi M, A, B’ thẳng hàng Þ M là giao điểm của (P) và AB’ 0,25 AB’: 1 3 2 x t y z t ì ï = + ï ï ï ï = - í ï ï ï = - ï ï î 0,25 M(-2; -3; 6) 0,25 VII.b 1,0 Đk: x ¹ 0, y > 0 ( ) ( ) 2 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 1 log log log log 0 2 0 0 , 1 0 , 2 x y x y x y ay x y my y x y x y y ay y y a ì ï ì = ï ï - = ï ï ï ï Û í í ï ï + - = ï ï + - = ï î ï ï î = ì =ì ï ï ï ï ï Û Û í í ï ï + - = + = ï ï î ï î 0,25 Hệ có nghiệm khi (2) có nghiệm y > 0 Ta có : f(y) = 2 y y+ >0 , " y > 0 0,25 Do đó pt f(y) = a có nghiệm dương khi a>0 0,25 Vậy hệ có nghiệm khi a > 0 0,25 . I HC S PHM H NI THI TH I HC - CAO NG 2011 KHOA TON-TIN MễN: TON- KHI A ------------- Thi gian lm bi: 180 phỳt ( khụng k thi gian giao ) A. PHN. danh: . P N - THANG IM THI TH I HC NM 2011 Mụn thi: TON . Cõu í ỏp ỏn im I 1 1,0 1 TX : D = R { } 1 . 2 S bin thi n: y = ( ) 2 1 0, 1 x D x -