Sở GD & ĐT hng yên Trờng THPT minh châu đề thi khảo sát dai hoc khối 12 Môn thi: Toán (Thời gian làm bài: 180 phút) Ngày thi: 10/5/2010 đề bài Cõu I (2.0 im) Cho hm s 4 2 2 1y x mx m= + (1) , vi m l tham s thc. 1.Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) khi 1m = . 2.Xỏc nh m hm s (1) cú ba im cc tr, ng thi cỏc im cc tr ca th to thnh mt tam giỏc cú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip bng 1 . Cõu II : ( 2, 0 im) Gii cỏc phng trỡnh 1. 3 3 4sin x.c 3x 4cos x.sin 3x 3 3c 4x 3os os+ + = 2. 2 2 3 3 3 log (x 5x 6) log (x 9x 20) 1 log 8 + + + + + = + CõuVI:( 1,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi ; hai ng chộo AC = 2 3a , BD = 2a v ct nhau ti O; hai mt phng (SAC) v (SBD) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABCD). Bit khong cỏch t im O n mt phng (SAB) bng 3 4 a , tớnh th tớch khi chúp S.ABCD theo a. CõuV :( 2, 0 im). 1. Tính tích phân sau: 2 2 2 0 cos .cos 2 .I x x dx = 1. Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z 3 .Chứng minh rằng: 46253 4 + zxy + 415 4 + xyz + 4815 4 + yzx 45 5 xyz. Cõu VI :(2,0 im) 1. Trong mt phng (Oxy), cho ng trũn (C ): 2 2 2x 2y 7x 2 0+ = v hai im A(-2; 0), B(4; 3). Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ca (C ) ti cỏc giao im ca (C ) vi ng thng AB. 2. Cho hm s 2 2x (m 1)x 3 y x m + + = + . Tỡm cỏc giỏ tr ca m sao cho tim cn ca th hm s tip xỳc vi parabol y = x 2 +5 Cõu VII :(1,0 im) Cho khai trin ( ) x 1 3 x 1 2 2 8 1 log 3 1 log 9 7 5 2 2 + + + ữ . Hóy tỡm cỏc giỏ tr ca x bit rng s hng th 6 trong khai trin ny l 224 ----------------***Hết***---------------- Chú ý:Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh:. . . . . . . . . . ĐÁP ÁN MÔN TOÁN (Đáp án- Thang điểm gồm 04 trang) Câu Nội dung Điểm I (2điểm) 1.(1 điểm). Khi 1m = hàm số trở thành: 4 2 2y x x= − • TXĐ: D= ¡ • Sự biến thiên: ( ) ' 3 2 0 4 4 0 4 1 0 1 x y x x x x x = = − = ⇔ − = ⇔ = ± 0.25 ( ) ( ) 0 0, 11 CD CT y y y y= = = ± = − 0.25 • Bảng biến thiên x - ∞ -1 0 1 + ∞ y ’ − 0 + 0 − 0 + y + ∞ 0 + ∞ -1 -1 0.25 • Đồ thị 0.25 2. (1 điểm) ( ) ' 3 2 2 0 4 4 4 0 x y x mx x x m x m = = − = − = ⇔ = Hàm số đã cho có ba điểm cực trị ⇔ pt ' 0y = có ba nghiệm phân biệt và ' y đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó 0m⇔ > 0.25 • Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: ( ) ( ) ( ) 2 2 0; 1 , ; 1 , ; 1A m B m m m C m m m− − − + − − + − 0.25 • 2 1 . 2 ABC B A C B S y y x x m m= − − = V ; 4 , 2AB AC m m BC m= = + = 0.25 • ( ) 4 3 2 1 2 . . 11 2 1 0 5 1 4 4 2 ABC m m m m AB AC BC R m m S m m m = + = = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ − = V 0.25 Câu II (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) Phương trình đã cho tương đương với phương trình : 1. Phương trình : 3 3 4sin x.cos3x 4cos x.sin 3x 3 3 cos4x 3 + + = 2 2 4 (1 cos x)sin x.cos3x (1 sin x)cos x.sin 3x 3 3 cos4x 3[ ]⇔ − + − + = 4 sin x.cos3x cos x.sin 3x) cos x sin x(cosx.cos3x sin x.sin3x) 3 3 cos4x 3[( ] ⇔ + − + + = 11 4 sin 4x sin 2x.cos2x 3 3 cos4x 3 4 sin 4x sin 4x 3 3 co s4x 3 3sin 4x 3 3 cos4x 3 2 4 [ ] ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ + = ÷ 0,50 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 f x ( ) = x 4 -2 ⋅ x 2 1 3 1 sin 4x 3 cos4x 1 sin 4x cos 4x sin(4x ) sin 2 2 2 3 6 π π ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = 4x k2 4x k2 4x k2 x k 3 6 3 6 6 24 2 (k Z) 5 5 x k 4x k2 4x k2 4x k2 8 23 6 3 6 2 π π π π π π π + = + π + = + π = − + π = − + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈ π ππ π π π π = + + = + π + = + π = + π 0,50 Đáp án Điểm 2.(1,0 điểm) PT 2 2 3 3 3 log (x 5x 6) log (x 9x 20) 1 log 8 + + + + + = + (*) + Điều kiện : 2 2 x 5 x 5x 6 0 x 3 x 2 4 x 3 x 5 x 4 x 9x 20 0 x 2 <− + + > <− ∨ > − ⇔ ⇔ − < < − <− ∨ >− + + > >− , và có : 3 3 1 log 8 log 24 + = + PT (*) 2 2 2 2 3 3 log (x 5x 6)(x 9x 20) log 24 (x 5x 6)(x 9x 20) 24 (x 5) ( 4 x 3) (x 2) (x 5) ( 4 x 3) (x 2) + + + + = + + + + = ⇔ ⇔ <− ∨ − < < − ∨ >− <− ∨ − < < − ∨ > − (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 24 (*) (x 5) ( 4 x 3) (x 2) (**) + + + + = ⇔ < − ∨ − < < − ∨ >− + Đặt 2 t (x 3)(x 4) x 7x 12 (x 2)(x 5) t 2 = + + = + + ⇒ + + = − , PT (*) trở thành : t(t-2) = 24 2 (t 1) 25 t 6 t 4 ⇔ − = ⇔ = ∨ = − • t = 6 : 2 2 x 1 x 7x 12 6 x 7x 6 0 x 6 =− + + = ⇔ + + = ⇔ =− ( thỏa đkiện (**)) • t = - 4 : 2 2 x 7x 12 4 x 7x 16 0 + + = − ⇔ + + = : vô nghiệm + Kết luận : PT có hai nghiệm là x = -1 và x = - 6 0,25 0,25 0,25 0,25 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Câu III (1,0 điểm) Từ giả thiết AC = 2 3a ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = 3a ; BO = a , do đó · 0 60A DB = Hay tam giác ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD). 0,25 Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH AB⊥ và DH = 3a ; OK // DH và 1 3 2 2 a OK DH= = ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK) Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB). 0,25 Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao ⇒ 2 2 2 111 2 a SO OI OK SO = + ⇒ = Diện tích đáy 0,25 S A B K H C O I D 3a a 2 4 2. . 2 3 D S ABC ABO S OAOB a = = = ; ng cao ca hỡnh chúp 2 a SO = . Th tớch khi chúp S.ABCD: 3 . 1 3 . 3 3 D DS ABC ABC a V S SO= = 0,25 IV (1,0 im) Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z 3 . Chứng minh rằng: xy3 4625 4 + z + zx5 415481 44 +++ xyzy xyz545 Bất đẳng thức 2 2 4 x x + + 2 2 9 4 9 y y + + 2 2 25 4 25 z z + 45 VT +++++ 22 ) 5 2 3 22 ()53( zyx zyx 3 2 2 3 )5.3.( 36 )5.3.(.9 zyx zyx + . 0,25 Đặt t = 3 2 )5.3.( zyx ta có 1 3 53 )5.3.( 3 3 = ++ zyx zyx do đó t 1 0,25 Điều kiện . 0 < t 1. Xét hàm số f(t)= t9 + t 36 36 36 36 27 2 36 . 27t t t t t = + =45 0,25 Dấu bằng xảy ra khi: t=1 hay x=1; y= 3 1 ; z= 5 1 . 0,25 Cõu V. (2,0 im) 1.(1,0 im) 1/ + ng trũn (C ) : 2 2 2 2 2 2 7 7 65 2x 2y 7x 2 0 x y x 1 0 x y 2 4 16 + = + = + = ữ (C ) cú tõm 7 I ;0 4 ữ v bỏn kớnh 65 R 4 = + ng thng AB vi A(-2; 0) v B(4; 3) cú phng trỡnh x 2 y x 2 y 6 3 2 , hay : + + = = + Giao im ca (C ) vi ng thng AB cú ta l nghim h PT 2 2 2 2 x 2 5x(x 2) 0 2x 2y 7x 2 0 2x 2 7x 2 0 x 0; y 1 2 x 2 x 2 x 2; y 2 x 2 2 2 2 y = y = y = + = + = + = ữ = = + + = = + Vy cú hai giao im l M(0; 1) v N(2; 2) + Cỏc tip tuyn ca (C ) ti M v N ln lt nhn cỏc vect 7 IM ;1 4 = ữ uuur v 0,25 0,25 1 IN ;2 4 = ÷ uur làm các vectơ pháp tuyến , do đó các TT đó có phương trình lần lượt là : • 7 (x 0) 1(y 1) 0 7x 4y 4 0 4 , hay : − − + − = − + = • 1 (x 2) 2(y 2) 0 x 8y 18 0 4 , hay : − + − = + − = 0,50 2/ Cho hàm số 2 2x (m 1)x 3 y x m + + − = + . Tìm các giá trị của m sao cho tiệm cận của đồ thị hàm số tiếp xúc với parabol y = x 2 +5 Điểm Hàm số 2 2x (m 1)x 3 y x m + + − = + xác định với mọi x m≠ − Viết hàm số về dạng 2 m m 3 y 2x 1 m x m − − = + − + + + TH1 : 2 1 13 m m 3 0 m 2 ± − − = ⇔ = : Có hàm số bậc nhất y 2x 1 m= + − ( x m≠ − ) : đồ thị không có tiệm cận + TH2 : 2 1 13 m m 3 0 m 2 ± − − ≠ ⇔ ≠ : Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng (d 1 ) x = -m và tiệm cận xiên là đường thẳng (d 2 ) y = 2x + 1 - m + Đường thẳng (d 1 ) x = - m luôn cắt parabol parabol y = x 2 +5 tại điểm (-m ; m 2 +5) ( với mọi 1 13 m 2 ± ≠ ) và không thể là tiếp tuyến của parabol + Tiệm cận xiên (d 2 ) y = 2x + 1 - m tiếp xúc với parabol y = x 2 +5 ⇔ PT x 2 +5 = 2x + 1 - m , hay PT x 2 – 2x + 4 +m = 0 có nghiệm kép ' ⇔ ∆ = 1-(4 + m) = 0 m 3 ⇔ = − ( thỏa điều kiện) Kết luận : m = -3 là giá trị cần tìm 0,25 0,25 0,25 0,25 VI. (1,0 điểm) (1,0 điểm) Cho khai triển ( ) x 1 3 x 1 2 2 8 1 log 3 1 log 9 7 5 2 2 − − − + + + ÷ . Hãy tìm các giá trị của x biết rằng số hạng thứ 6 trong khai triển này là 224 ( ) x 1 3 x 1 2 2 8 1 log 3 1 log 9 7 5 2 2 − − − + + + ÷ Ta có : ( ) k 8 8 k 8 k k 8 k 0 a b C a b = − = + = ∑ với ( ) ( ) ( ) x 1 3 x 1 2 2 111 log 3 1 log 9 7 x 1 x 1 5 3 5 a 2 9 7 b 2 3 1 = ; − − − + − + − − = + = = + + Theo thứ tự trong khai triển trên , số hạng thứ sáu tính theo chiều từ trái sang phải của khai triển là ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 111 5 x 1 x 1 x 1 x 1 3 5 6 8 T C 9 7 . 3 1 56 9 7 . 3 1 − − − − − − = + + = + + ÷ ÷ + Theo giả thiết ta có : ( ) ( ) x 11 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 9 7 56 9 7 . 3 1 4 9 7 4(3 1) 3 1 = 224 − − − − − − − + + + ⇔ = ⇔ + = + + ( ) x 1 2 x 1 x 1 x 1 3 1 x 1 3 4(3 ) 3 0 x 2 3 3 − − − − = = ⇔ − + = ⇔ ⇔ = = 0,25 0,25 0,25 0,25 Chý ý häc sinh lµm c¸ch kh¸c kÕt quÈ ®óng vÉn ®îc ®iÓm tèi ®a ----Hết----- . 5 1 1 1 5 x 1 x 1 x 1 x 1 3 5 6 8 T C 9 7 . 3 1 56 9 7 . 3 1 − − − − − − = + + = + + ÷ ÷ + Theo giả thi t ta có : ( ) ( ) x 1 1 x 1. ) ( ) x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 9 7 56 9 7 . 3 1 4 9 7 4(3 1) 3 1 = 224 − − − − − − − + + + ⇔ = ⇔ + = + + ( ) x 1 2 x 1 x 1 x 1 3 1 x 1 3 4(3 ) 3 0 x 2