Bài tập trắc nghiệm Cấp số cộng năm học 2019 - 2020 có lời giải chi tiết

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số không đổi d được gọi[r]

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ CẤP SỐ CỘNG CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

A LÝ THUYẾT I ĐỊNH NGHĨA

Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước cộng với số không đổi d

Số không đổi d gọi công sai cấp số cộng

Đặc biệt, d 0 thì cấp số cộng dãy số không đổi (tất số hạng nhau)

Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:

1) Nếu  un là cấp số cộng với công sai d , ta có cơng thức truy hồi

*

1 ,

n n

u  u d n  1

2) Cấp số cộng  un dãy số tăng công sai d 0 3) Cấp số cộng  un dãy số giảm công sai d 0

STUDY TIP

Để chứng minh dãy số  un là cấp số cộng, cần chứng minh un1 u số với n

mọi số nguyên dương n

Ví dụ Chứng minh dãy số hữu hạn sau cấp số cộng:

2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19



Lời giải

Vì 1  2 3; 3;  7 4 3; 10 7 3;

13 10 3;  16 13 3;  19 16 3. 

Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số 2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 cấp số cộng với cơng sai

3

d

Ví dụ Trong dãy số đây, dãy số cấp số cộng? Tìm số hạng đầu cơng sai

a) Dãy số  an , với an 4n3; b) Dãy số  bn , với

4  

n

n

b ;

c) Dãy số  cn , với cn 2018n; d) Dãy số  dn , với dn n2

Lời giải

a) Ta có an1 4(n  1) 4n1 nên an1an (4n 1) (4n   3) 4, n

Do  an cấp số cộng với số hạng đầu a1 4.1 3 1 công sai d 4

b) Ta có 1 3( 1)

4



   

 

n

n n

b nên 1 3 3,

4 4

n n

n n

b  b        n

Suy  bn cấp số cộng với số hạng đầu

2 3.1

4



  

b công sai

4  

d

c) Ta có

1 2018    n n

c nên

1 2018 2018 2017.2018 

   n  n  n

n n

c c (phụ thuộc vào giá trị

n) Suy  cn cấp số cộng

d) Ta có

1 ( 1)    n

d n nên 2

1 ( 1)

      

n n

d d n n n (phụ thuộc vào giá trị n)

Suy  dn cấp số cộng

Ví dụ Cho cấp số cộng  un có số hạng với số hạng đầu 1

3 

u công sai

3  

triển cấp số cộng

Lời giải

Ta có 2 1 2; 3 2 2; 4 3 10;

3

           

u u d u u d u u d

5

14 22

; 6; ;

3

           

u u d u u d u u d

Vậy dạng khai triển cấp số cộng  un 2; 2; 2; 10; 14; 6; 22 3     

II SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ CỘNG Định lý

Nếu cấp số cộng  un có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định

bởi công thức:

1 ( 1) ,

    

n

u u n d n (2)

STUDY TIP

Từ kết định lý 1, ta rút nhận xét sau:

Cho cấp số cộng  un biết hai số hạng up uq số hạng đầu cơng sai tính theo cơng thức:

(1) :  



p q

u u

d

p q

(2) : u1 up (p1) d

Ví dụ Cho cấp số cộng  un có u1 2 d  5

a) Tìm u20

b) Số 2018 số hạng thứ cấp số cộng?

Lời giải

a) Ta có u20 u1(20 1) d  2 19.( 5)  93

b) Số hạng tổng quát cấp số cộng un u1(n1)d  7 n Vì un  2018 nên 75n 2018 n 405

Do n405 số nguyên dương nên số2018 số hạng thứ 405 cấp số cộng cho

III TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG Định lý

Trong cấp số cộng  un , số hạng (trừ số hạng đầu cuối) trung bình cộng hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa

1

2

  

 k k k

u u

u với k2 (3)

STUDY TIP

Một cách tổng quát, ta có:

Nếu  un cấp số cộng ,

2

  

 p k p k  

p

u u

u k p

Ví dụ

a) Cho cấp số cộng  un có u99 101 u101 99 Tìm u100

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Lời giải

a) Theo tính chất cấp số cộng, ta có 99 101

100

2   u u

u nên u100 100

b) Theo tính chất cấp số cộng, ta có

2  

 

x

2   x y Vì x2 nên y10

Vậy 2 2

2 10 104

    

P x y

IV TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG Định lý

Cho cấp số cộng  un Đặt Sn u1u2   un Khi đó:

( )

2 

 n

n

n u u

S (4) 1 ( 1)

2 

 

n

n n

S nu d (5)

STUDY TIP

1) Chúng ta thường sử dụng cơng thức (4) để tính Sn khi biết số hạng đầu số hạng thứ n cấp số

cộng

2) Để tính S , cơng thức (5) sử dụng trường hợp Cụ thể là, cần tìm số n hạng đầu u công sai 1 d cấp số cộng

3) Các toán cấp số cộng thường đề cập đến đại lượng u d n u1, , , n,S Chúng ta cần biết ba đại n

lượng năm đại lượng tìm hai đại lượng cịn lại Tuy nhiên, theo cơng thức tính ,

n n

u S tốn cấp số cộng quy việc tính ba đại lượng u d n1, ,

Ví dụ Cho cấp số cộng  un có u1  2 d 3

a) Tính tổng 25 số hạng cấp số cộng b) Biết Sn 6095374, tìm n

Lời giải

Ta có

2

( 1) 3( ) (3 7)

2

2 2

  

     

n

n n n n n n

S nu d n

a) Ta có 25 25(3.25 7) 850

2 

 

S

b) Vì Sn 6095374 nên (3 7) 6095374 12190748

2

     

n n

n n

Giải phương trình bậc hai với n nguyên dương, ta tìm n2017

B CÁC DẠNG TOÁN VỀ CẤP SỐ CỘNG

Câu 1. Trong dãy số đây, dãy số cấp số cộng?

A Dãy số  an , với an 2 ,n  n *

B. Dãy số  bn , với b1 1,bn1 2bn   1, n *

C. Dãy số  cn , với cn (2n3)2 4n2, n *

D. Dãy số  dn , với 1 1, 1 2018, *

1



   



n n

d d n

d

Lời giải Đáp án C

- Phương án A: Ba số hạng dãy số 2, 4,

Ba số khơng lập thành cấp số cộng 4    2 - Phương án B: Ba số hạng dãy số 1, 3,

Ba số không lập thành cấp số cộng 1    2

- Phương án C: Ta có *

9 12 ,

   

n

c n n

Do đó, *

1 12,

     

n n

c c n nên ( )cn cấp số cộng

- Phương án D: Ba số hạng dãy số 1, 1009,1009 505

Ba số không lập thành cấp số cộng

STUDY TIP

1) Để chứng minh dãy số  un cấp số cộng, cần chứng minh un1 un số với số nguyên dương n

2) Để dãy số  un cấp số cộng, cần phải ba số hạng liên tiếp u uk, k1,uk2 dãy số không lập thành cấp số cộng

Câu 2. Cho cấp số cộng  un có u1 123 u3 u15 84 Tìm số hạng u17

A.u17 242 B.u17 235 C.u17 11 D. u17 4

Lời giải Đáp án C

Ta có cơng sai cấp số cộng 15 84

7

3 15 12



   

 

u u

d

Suy u17 u1(17 1) d 11 Vậy phương án C

STUDY TIP

Với việc biết số hạng đầu công sai cấp số cộng, hồn tồn xác định yếu tố cịn lại cấp số cộng số hạng tổng quát, thứ tự số hạng tổng n số hạng Tham khảo tập sau

Nhận xét: Cụ thể đề xuất câu hỏi sau đây:

Câu 1: Cho cấp số cộng  un có u1 123 u3 u15 84 Số 11 số hạng thứ

cấp số cộng cho?

A. 17 B 16 C 18 D 19

Câu 2: Cho cấp số cộng  un có u1 123 u3 u15 84 Tìm số hạng tổng quát cấp số

cộng  un

A. un 1307n B un 1167n C un 123 7 n D un 123 7 n Câu 3: Cho cấp số cộng  un có u1 123 u3 u15 84 Tính tổng S2017 2017 số hạng

đầu tiên cấp số cộng cho

A. S2017 14487102,5 B S2017  13983861

C. S2017  13990920,5 D S2017 14480043

Câu 4: Cho cấp số cộng  un có u1 123 u3 u15 84 Biết tổng n số hạng cấp số cộng 18, tìm n

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Câu 3. Cho cấp số cộng  un có u1 2u5 0 S4 14 Tính số hạng đầu u1 cơng sai d cấp số cộng

A.u1 8,d 3 B. u1  8,d 3 C.u1  8,d  3 D. u1 8,d  3

Lời giải Đáp án D

Ta có u12u5  0 u12(u14 )d  0 3u18d 0

1

4

4(2 )

14 14

2 

  u d    

S u d

Ta có hệ phương trình 1

1

3 8

2

  

 



       

u d u

u d d

Vậy phương án D

Câu 4. Cho cấp số cộng  un Mệnh đề mệnh đề sai?

A.um k un k um un, với km k, n

B. um k um k 2um, với k m

C.um uk (mk d) , với k m

D. u3n u2n un1

Lời giải Đáp án D

Kiểm tra phương án đến tìm phương án sai

+ Phương án A: Ta có um k un k u1(m k 1)d  u1 (n k 1)d

1 ( 1) ( 1)

u  m d u n d um un

Do A phương án

+ Phương án B: Ta có um k um k u1(m k 1)d  u1 (m k 1)d

1

2[ ( 1) ]

 u  m d  um Do B phương án

+ Phương án C: Ta có um u1(m1)d u1(k1)d(mk d) uk (mk d)

Do C phương án

+ Phương án D: Ta có u2n un1 u1(2n1)d  u1 nd u1(3n1)du1u3nu1

Vậy phương án D sai

STUDY TIP

Qua ví dụ này, lưu ý số tính chất cấp số cộng như: 1) um k un k um un, với km k, n

2) um k um k 2um, với k m 3) um uk (mk d) , với k m Do C phương án

+ Phương án D: Ta có u2n un1 u1 2n1d u1 nd  u1 3n1d u1 u3n u1 u3n Vậy D phương án sai

Câu 5. Cho dãy số  un xác định u1 321 un1un3 với *

A. S 16875 B. S63375 C. S 63562,5 D. S 16687,5

Lời giải

Từ công thức truy hồi dãy số  un , ta có  un cấp số cộng với công sai d  3 Do tổng 125 số hạng cấp số cộng

 

1

125 125

16875

u d

S     

Vậy chọn phương án A

Câu 6. Cho cấp số cộng  un có cơng sai d  3 2

2

u u u đạt giá trị nhỏ Tính tổng S100 100 số hạng cấp số cộng

A. S100 14650 B. S100 14400 C. S100  14250 D. S100 15450

Lời giải

Đặt au1

  2  2 2  2

2 2

2 3 36 126 18 18

u u u  ad  a d  a d  a  a  a   với a

Dấu xảy a   6 a 6.Suy u16

Ta có 100 100 100 1 14250

2

u d

S        Vậy phương án C

Nhận xét: Từ kết tập này, đề xuất câu hỏi sau đây:

Câu 1. Cho cấp số cộng  un có cơng sai d  3 2

2

u u u đạt giá trị nhỏ Tìm số hạng thứ 2017 cấp số cộng

A u2017 6042 B u2017 6045 C u2017  6044 D u2017  6054

Câu 2. Cho cấp số cộng  un có cơng sai d  3 2

2

u u u đạt giá trị nhỏ Số 2019 số hạng thứ cấp số cộng cho?

A 676 B 675 C 672 D 674

Câu 3. Cho cấp số cộng  un có cơng sai d  3 2

2

u u u đạt giá trị nhỏ Tìm số hạng tổng quát cấp số cộng

A un  9 3n B un  6 3n C un  5 3n D un   3 3n

Câu 4. Cho cấp số cộng  un có cơng sai d  3, m tham số Tìm giá trị nhỏ

biểu thức 2

2

F u u u

A minF18 B minF 6 C minF 99 D minF117

Câu 7. Cho cấp số cộng 3,8,13, Tính tổng S    3 13 2018

A. S408422 B. S408242 C. S 407231,5 D. S 409252,5

Lời giải

Cấp số cộng 3,8,13, có số hạng đầu a1 3 cơng sai d 5 Suy 2018 số hạng thứ 2018 404

5

  

cấp số cộng

Do 404  

404 2018

408242

S S    Vậy B phương án

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

A. 402 B. 403 C. 404 D. 405

Câu 2.Cho cấp số cộng 3,8,13, , , x Tìm x biết 13     x 408242

A. x2017 B. x2016 C. x2019 D. x2018

Câu 3. Cần viết thêm vào hai số 2018 số hạng để thu cấp số cộng hữu hạn có tổng số hạng 408242 ?

A. 402 B. 403 C. 405 D. 404

Câu 4.Cho cấp số cộng  un có u13,uk 2018 Sk 408242 Số hạng thứ 2018 cấp số cộng số đây?

A. 10088 B. 10093 C. 10083 D. 10098

Câu 8. Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng: x33mx22m m 4x9m2 m

A. m0 B. 17 265

12

m  C. 17 265

12

m  D. m1

Lời giải Cách 1: Giải toán cách giải tự luận

- Điều kiện cần: Giả sử phương trình cho có ba nghiệm phân biệt x x x1, 2, 3 lập thành cấp số cộng Theo định lý Vi-ét phương trình bậc ba, ta có x1  x2 x3 3m Vì

1, 2,

x x x lập thành cấp số cộng nên x1x3 2x2 Suy 3x2 3mx2 m Thay x2 m vào phương trình cho, ta

 

3 2

3 0

1 m

m m m m m m m m m m

m

 

          

 

- Điều kiện đủ:

+ Với m0 ta có phương trình x3   0 x (phương trình có nghiệm nhất) Do

m khơng phải giá trị cần tìm + Với m1, ta có phương trình

3 1; 2;

x  x  x   x x  x Ba nghiệm 2; 1; lập thành cấp số cộng nên m1 giá trị cần tìm

Cách 2: Kiểm tra phương án chọn phương án Trước hết, ta kiểm tra phương án A D (vì m nguyên)

+ Với m0 ta có phương trình x3   0 x (phương trình có nghiệm nhất) Do

m khơng phải giá trị cần tìm + Với m1, ta có phương trình

3 1; 2;

x  x  x   x x  x Ba nghiệm 2; 1; lập thành cấp số cộng nên m1 giá trị cần tìm

STUDY TIP

Phương trình bậc ba  

0

ax bx   cx d a có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng điều kiện cần

3

b x

a

  nghiệm phương trình Giải điều kiện ta có hệ

thức liên hệ hệ số phương trình 3

2b 9abc27a d 0 Trong thực hành giải toán, cần ghi nhớ điều kiện cần

3

b x

a

  nghiệm phương trình

Câu 9. Biết tồn hai giá trị tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập

thành cấp số cộng: 2

10

A. 343

8

 B. 721

8 C.

721

 D. 343

8

Lời giải

Đặt  

0

tx t Khi ta có phương trình: t210t2m27m0 (*)

Phương trình cho có 4nghiệm phân biệt phương trình (*) có nghiệm dương phân biệt

2

2

5 (2 )

0 25

2

m m

m m

m m

   



    

 



(do tổng hai nghiệm 100 nên không cần điều kiện này)

+ Với điều kiện (*)có hai nghiệm dương phân biệt t t1, 2 (t1 t2) Khi phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt  t2; t1; t1; t2 Bốn nghiệm lập thành cấp số cộng

   

1 1 2

t t t t t t t t

         

Theo định lý Vi-ét ta có:

1 10; 2

t  t t t  m  m

Suy ta có hệ phương trình

2 1

1 2

2

1

9 1

10 9

2

7

t t t m

t t t

m

t t m m m m

     

      

    

      

 

Cả hai giá trị thỏa mãn điều kiện nên nhận

Do

3

3 721

1

2



 

   

 

Suy phương án C

Câu 10. Một sở khoan giếng đưa định mức sau: Giá từ mét khoan 100000 đồng kể từ mét khoan thứ hai, giá mét sau tăng thêm 30000 đồng so với giá mét khoan trước Một người muốn kí hợp đồng với sở khoan giếng để khoan giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt gia đình Hỏi sau hồn thành việc khoan giếng, gia đình phải tốn cho sở khoan giếng số tiền bao nhiêu?

A. 7700000 đồng B. 15400000 đồng C. 8000000 đồng D. 7400000 đồng

Lời giải

Gọi un giá mét khoan thứ n, 1 n 20

Theo giả thiết, ta có u1100000 un1un 30000 với 1 n 19

Ta có (un) cấp số cộng có số hạng đầu u1100000 cơng sai d30000

Tổng số tiền gia đình tốn cho sở khoan giếng tổng số hạng cấp số cộng (un) Suy số tiền mà gia đình phải toán cho sở khoan giếng

1

20 20

20[2 (20 1) ]

7700000

2

u d

S  u u  u     (đồng)

Vậy phương án A

C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Dạng 1: Bài tập nhận dạng cấp số cộng

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc A. 3,1,5,9,14 B. 5, 2, 1, 4, 7   C. 5,1, ,1 1,

3  3 D.

7 1

, , 2, ,

2 2

   

Câu 2. Trong dãy số sau, dãy số không cấp số cộng?

A. Dãy số  an với an 3n5

B. Dãy số bn với bn  3 5n

C. Dãy số  cn với n

c n n

D. Dãy số  dn với 2017 cot4 1 2018

n

n

d    

Câu 3. Cho số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện: Ba số , ,

xy yz zx theo thứ tự lập thành cấp số cộng Mệnh đề mệnh đề đúng?

A. Ba số x y z2, 2, theo thứ tự lập thành cấp số cộng

B. Ba số y z x2, 2, theo thứ tự lập thành cấp số cộng

C. Ba số y x z2, 2, theo thứ tự lập thành cấp số cộng

D. Ba số z y x2, 2, theo thứ tự lập thành cấp số cộng

Dạng 2: Bài tập xác định số hạng công sai cấp số cộng

Câu 4. Cho cấp số cộng  un xác định u3  2; un1un3,  n * Xác định số hạng tổng

quát cấp số cộng

A. un3n11 B. un 3n8 C. un 2n8 D. un  n

Câu 5.Cho cấp số cộng  un có u2 2017;u51945 Tính u2018

A. u2018 46367 B. u201850449 C. u2018  46391 D. u201850473

Câu 6. Cho cấp số cộng  xn có Sn 3n2 2n Tìm số hạng đầu u1 cơng sai d cấp số cộng

đó

A. u12;d 7 B. u11;d 6 C. u11;d 6 D. u12;d 6

Câu 7. Cho cấp số cộng  un có Sn 7n2n2 Tính giá trị biểu thức Pu32u52u72

A. P491 B. P419 C. P1089 D. P803

Câu 8. Cho cấp số cộng  un với

3

5

u u

u u

  

 

 Tìm số hạng đầu cấp số cộng

A. u11 u14 B. u11 u1 4 C. u1 1 u14 D. u1 1 u11

Câu 9. Cho cấp số cộng  un có cơng sai d 2 2

2

u u u đạt giá trị nhỏ Số 2018 số hạng thứ cấp số cộng  un ?

A. 1012 B. 1011 C. 1014 D. 1013

Câu 10. Cho cấp số cộng 6, , 2,x  y Khẳng định sau đúng?

A. x2;y5 B. x4;y6 C. x2;y 6 D. x4;y 6

Câu 11. Viết sáu số xen 24 để cấp số cộng có tám số hạng Sáu số hạng cần viết thêm

A. 6,9,12,15,18, 21 B. 21,18,15,12,9,6

C. 13,10,27,17,41, 24

2 2 D.

16 23 37 44 58 65

, , , , ,

3 3 3

mỗi cấp số cộng có số hạng chung?

A. 404 B. 403 C. 672 D. 673

Câu 13. Cho cấp số cộng 1,7,13, ,x thỏa mãn điều kiện 13     x 280 Tính giá trị x

A. x53 B. x55 C. x57 D. x59

Câu 14. Biết tồn giá trị x0;2 để ba số sin ,sin x 2x,1 sin 3 x lập thành cấp số cộng, tính tổng S giá trị x

A. S 5 B. S 3 C.

2

S   D. 23

6

S 

Dạng 3: Bài tập tổng n số hạng cấp số cộng

Câu 15. Cho cấp số cộng  un có u4  3 tổng số hạng S9 45 Cấp số cộng

có

A. S1092 B. S20980 C. S3  56 D. S16526

Câu 16. Cho cấp số cộng  xn có x3x1380 Tính tổng S15 15 số hạng cấp số cộng

A. S15600 B. S15800 C. S15570 D. S15630

Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất cấp số cộng

Câu 17. Cho cấp số cộng  un Mệnh đề mệnh đề đúng?

A. np u mp m u  nm n u  p 0 B. m n u  m n p u np m u  p 0

C. mp u m n m u np n u  p 0 D. p n u  mm p u nm n u  p 0

Câu 18. Cho ba số dương , ,a b c thỏa mãn điều kiện , ,

  

b c c a a b lập thành cấp số

cộng Mệnh đề đúng?

A Ba số , ,a b c lập thành cấp số cộng

B Ba số 1 1, ,

a b c lập thành cấp số cộng

C Ba số a b c2, 2, lập thành cấp số cộng

D Ba số a, b, c lập thành cấp số cộng

Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng

Câu 19. Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x410x2 m có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

A m16 B m9 C m24 D m21

Câu 20. Biết tồn hai giá trị tham số m để phương trình x42m1x22m 1

có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng, tính tổng bình phương hai giá trị

A 1312

81 B

1024

81 C

32

9 D

1600 81

Câu 21. Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x33x2 x m2 1 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

A m 16 B m 2 C m2 D m 2

Câu 22. Biết tồn ba giá trị m m m1, 2, 3 tham số m để phương trình

3

9 23

      

x x x m m m có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng, tính

giá trị biểu thức 3

1

  

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

A P34 B P36 C P64 D P 34

Câu 23. Mặt sàn tầng nhà cao mặt sân 0,5m Cầu thang từ tầng lên tầng hai gồm 21 bậc, bậc cao 18cm Kí hiệu hn độ cao bậc thứ n so với mặt sân Viết công thức để tìm độ cao hn

A hn 0,18n0,32 m B hn 0,18n0,5 m C

 

0,5 0,18

 

n

h n m D hn 0,5n0,32 m

Câu 24. Người ta trồng 3003 theo hình tam giác sau: hàng thứ có cây, hàng thứ hai

có cây, hàng thứ ba có cây,… Hỏi trồng hàng theo cách này?

A 77 hàng B 76 hàng C 78 hàng D 79 hàng

Câu 25. Trên bàn cờ có nhiều vng Người ta đặt hạt dẻ vào vng đầu tiên, sau đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt dẻ nhiều ô 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt dẻ nhiều ô thứ hai 5, … tiếp tục đến ô cuối Biết đặt hết số ô bàn cờ người ta phải sử dụng hết 25450 hạt dẻ Hỏi bàn cờ có ơ?

A 98 ô B 100 ô C 102 ô D 104 ô

Câu 26. Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực việc trả lương cho kỹ sư theo phương thức sau: Mức lương quý làm việc cho công ty 13,5 triệu đồng/quý, kể từ quý làm việc thứ hai, múc lương tăng thêm 500.000 đồng quý Tính tổng số tiền lương kỹ sư nhận sau ba năm làm việc cho công ty

A 198 triệu đồng B 195 triệu đồng C 228 triệu đồng D 114 triệu đồng

Câu 27. Trên tia Ox lấy điểm A A1, 2, ,An, cho với số nguyên dương n, OAn n Trong nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa tia Ox, vẽ nửa đường trịn đường kính OAn, n1, 2, Kí hiệu u1 diện tích nửa đường trịn đường kính OA1 với

2



n , kí hiệu un diện tích hình giới hạn nửa đường trịn đường kính OAn1, nửa đường trịn đường kính OAn tia Ox Mệnh đề đúng?

A Dãy số  un cấp số cộng

B Dãy số  un cấp số cộng có cơng sai





d

C Dãy số  un cấp số cộng có cơng sai





d

D Dãy số  un khơng phải cấp số cộng có cơng sai





d

Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị  C hàm số y3x2 Với số nguyên dương n, gọi An giao điểm đồ thị  C với đường thẳng d x n:  0 Xét dãy số  un

với un tung độ điểm An Mệnh đề mệnh đề đúng? A Dãy số  un cấp số cộng có cơng sai d  2

B Dãy số  un cấp số cộng có cơng sai d 3

C Dãy số  un cấp số cộng có cơng sai d 1

D Dãy số  un cấp số cộng

Câu 29. Cho cấp số cộng  u có số hạng đầu u12 công sai d  3 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm A A1, 2, cho với số nguyên dương n, điểm An có tọa độ n u; n Biết

rằng tất điểm A A1, 2, ,An, nằm đường thẳng Hãy viết phương

A y  3x B y  3x C y2x3 D y2x5

D HƯỚNG DẪN GIẢI

Dạng 1: Bài tập nhận dạng cấp số cộng

Câu 1. Đáp án B

Kiểm tra phương án đến tìm đáp án - Phương án A: 1        3 14 9 5 - Phương án B: 2 5             1  1  4 Vậy dãy số phương án B cấp số cộng

Câu 2. Đáp án C

Kiểm tra phương án đến tìm đáp án

- Phương án A: Ta có an1an   3, n nên  an cấp số cộng - Phương án B: Ta có bn1  bn 5, n nên  bn cấp số cộng - Phương án C: Ta có cn1 cn ,n  n nên  cn không cấp số cộng - Phương án D: Ta có dn 2018, n 1(do cot4 1

2



 

n

) nên  dn cấp số cộng

Câu 3. Đáp án C

Theo giả thiết, ta có:

      2

1

2 2

           

   y z x y z x y x z y z x

x y z x y z

Suy y x z2, 2, z x y2, 2, lập thành cấp số cộng Do phương án C

Dạng 2: Bài tập nhận dạng cấp số cộng

Câu 4. Đáp án A

Ta có  un cấp số cộng có cơng sai d 3 nên số hạng đầu u1 u3 2d  8

Suy số hạng tổng quát un 3n11

Câu 5. Đáp án A

Gọi d công sai cấp số cộng Theo giả thiết, ta có: 1

1

2017 2041

4 1945 24

  

 



       

u d u

u d d

Suy u2018 u1 2017d  46367

Câu 6. Đáp án B

Ta có u1 S11 u1u2 S2 8 Suy u2 7 Vậy d u2 u1

Câu 7. Đáp án A

Ta có un SnSn1  9 4n

Suy u3  3,u5  11,u7  19 Do P491

Câu 8. Đáp án A

Ta có

3 5

5

  

 



   

 

u u u

u u u

3

5

3

    

u

u

+ Giải

5

2

    

u

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

+ Giải

5

3

    

u

u , ta u1 4

Câu 9. Đáp án A

Ta có 2 2  2

2   3 24 1563 14  8

u u u u u u

Dấu xảy u1    4 u1

Số hạng tổng quát cấp số cộng un 2n6 Nếu un 2018 2n 6 2018 n 1012 Vậy 2018 số hạng thứ 1012 cấp số cộng

Câu 10. Đáp án C

Theo tính chất cấp số cộng, ta có  

 

2 2

6

2

     

 

   

    

x x

y

x y

Câu 11. Đáp án A

Theo giả thiết, ta có u1 3,u8 24 Suy 7 d24 d

Vậy số cần viết thêm 6,9,12,15,18, 21

Câu 12. Đáp án B

Ta có xn   4 n 3 3n1,1 n 2017

 

1 5 4,1 2017

      

n

y m m m

Để số số hạng chung hai cấp số cộng ta phải có

 

3n 1 5m 4 3n5 m1

Suy n 5, tức n5t  *

3

  

m t t

Lại 1 n 2017 nên 1 t 403

ứng với 403 giá trị t, ta tìm 403 số hạng chung

Câu 13. Đáp án B

Cấp số cộng 1, 7,13, ,x có số hạng đầu u11 công sai d 6 nên số hạng tổng quát

6

 

n

u n

Giả sử xun 6n5 Khi 13 6 4 2

2



    x n n  n  n Theo giả thiết, ta có 3n22n280 n 10 x u1055

Câu 14. Đáp ánA.

Theo tính chất cấp số cộng ta có:

  

2

3

3

2

1 sin sin sin sin sin sin sin sin sin

2 sin sin 1

sin

2 cos

   

   

    

   

   

  

x x x

x x x

x x x

x x

+) sin 2                  x k x x k

+) cos

2

 

   

x x k

Với nghiệm

6

 

  

x k x0; 2, ta tìm 11

6





x Với nghiệm

6

 

 

x k

0; 2



x , ta tìm

6





x Với nghiệm

2

 

 

x k x0; 2 ta tìm nghiệm ; 2     x x

Do 11

6 2

    

    

S

Dạng 3: Bài tập tổng n số hạng cấp số cộng

Câu 15. Đáp án B.

Ta có u4    3 u1 3d  3

 

9

9

45 45

2



  u d    

S u d

Do ta có hệ phương trình 1

1

3 27

4

              

u d u

u d d

Ta có 10 10 2  90; 20 20 2 19  980

2

 

 u d   u d 

S S

Vậy đáp án B.

Câu 16. Đáp án A

Ta có x3x1380x12d  x152d80

 15

1 15 15

15

80 600

2



 x x  S  x x 

Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất cấp số cộng

Câu 17. Đáp ánA.

Kiểm tra phương án tìm phương án Ta có: um u1 m1d u; n   u1 n 1d u; p  u1 p1d - Phương án A: Ta có: n p u mp m u  nm n u  p

- npu1m1dp m u1n1dm n u1p1d0 - Vậy đáp án A.

Câu 18. Đáp ánA

Theo giả thiết ta có:

     

1

2 2

 

  

         

b c a b c a

c a a c b b c a b a c b

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng

Câu 19. Đáp án B

Áp dụng kết phần lí thuyế, ta có phương trình cho có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng điều kiện cần 9b2 100achay 9.102 100.1.m m

Với m9 phương trình cho trở thành x410x2    9 x 1;x 3 Bốn số  3; 1;1;3 lập thành cấp số cộng nên m9 giá trị cần tìm

Câu 20. Đáp ánA.

ÁP dụng kết phần lý thuyết, ta có phương trình cho có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng điều kiện cần 9b2 100ac hay

 2   2

4

9 2 100.1 32 16 4

9   

       

   

m

m m m m

m

Với m4, ta có phương trình x410x2 9 Phương trình nàu có nghiệm 3; 1;1;3  lập thành cấp số cộng

Với

9

 

m , ta có phương trình 9x410x2 1 Phương trình có nghiệm 1; 1; ;1 3

 

lập thành cấp số cộng

Vậy 4;

9

  

m m thỏa mãn yêu cầu tốn

Do

2

2 1312

4

9 81

     

 

Câu 21. Đáp ánD.

Áp dụng kết phần lý thuyết, ta có phương trình cho có nghiệm phân biệt điều kiện

cần

3a



 b    nghiệm phương trình

Suy 133.12 1 m2    1 m

Với m 2, ta có phương trình x33x2  x

  

3 1, 1,

x x x x x

        

Ba số 1,1,3 lập thành cấp số cộng

Vậy giá trị cần tìm m 2 Do D phương án

Câu 22. Đáp án A

Áp dụng kết phần lý thuyết, ta có phương trình cho có nghiệm phân biệt điều

kiện cần là:

3

b a



    nghiệm phương trình

Suy 339.3223.3m34m2  m



4

m  m   m   m 1,m2,m3

Với m 1,m2,m3 m34m2  m nên m34m2   m 15 Do vậy, với m 1,m2,m3 ta có phương trình

  

3 2

9 23 15

x  x  x   x x  x   x 1,x3,x5 Ba số 1,3,5 lập thành cấp số cộng

Do  3 3

1 34

   

Câu 23. Đáp án A

Ký hiệu hn độ cao bậc thứ n so với mặt sân

Khi đó, ta có hn1hn0,18 (mét), h1 0,5 (mét) Dãy số  hn lập thành cấp số cộng có h10,5 cơng sai d0,18 Suy số hạng tổng quát cấp số cộng

 

0,5 0,18 0,18 0,32

n

h   n  n (mét)

Câu 24. Đáp án A

Giả sử trồng n hàng Khi tổng số trồng  1

2 n n S    n 

Theo giả thiết ta có  1 3003 77

2 n n

n



  

Câu 25. Đáp án B

Kí hiệu un số hạt dẻ ô thứ n

Khi đó, ta có u17 un1 un 5,n1

Dãy số  un cấp số cộng với u17 cơng sai d5 nên có

 

1

2 5 9

2

n

n u n d n n

S       

Theo giả thiết, ta có

2

5

25450

n  n

  n 100 Suy bàn cờ có 100 Do B đáp án

Câu 26. Đáp án B

Kí hiệu un mức lương quý thứ n làm việc cho cơng ty Khi u1 13,5

1 0,5,

n n

u  u  n

Dãy số  un lập thành cấp số cộng có số hạng đầu u113,5 cơng sai d 0,5 Một năm có quý nbên năm có tổng 12 quý

Số tiền lương sau năm tổng số tiền lương 12 quý tổng 12 số hạng cấp số cộng  un Vậy, tổng số tiền lương nhận sau năm làm việc cho công ty kỹ sư 12 12 2.13,5 11.0,5  195

2

S    (triệu đồng)

Câu 27. Đáp án B

Bán kính đường trịn có đường kính OAn

2

n n r 

Diên tích nửa đường trịn đường kính OAn

2 2

1

2

n

n n

S      

 

Suy 1  12 2 1 ,

8

n n n

n

u  s s   n  n    n

Ta có

2

1

1

2

u     

 

Do 1 , n

4

n n

u  u    nên  un cấp số cộng với công sai

4

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Suy B phương án

Câu 28. Đáp án B

Ta có A n un ; n un 3n2

Do un1un   3, n nên  un cấp số cộng với công sai d 3 Suy B phương án

Câu 29. Đáp án A

Số hạng tổng quát cấp số cộng  un un   u1 n 1d   3n

Nhận thấy toạ độ điểm An thoả mãn phương trình y  3x nên phương trình đường thẳng qua điểm A A1, 2, ,An, y  3x

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng

xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường

Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức

Tấn

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

- - - - -